какое максимальное значение принимает функция
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат спасательным кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции.
Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция непрерывна на отрезке
если:
1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке справа и в точке
слева.
Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:
Функция непрерывна в точке
справа, если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке:
. Она же непрерывна в точке
слева, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке:
Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:
Мысленно возьмите красную линию в руки. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси ), функция всё равно останется ограниченной – изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём. В курсе матанализа этот вроде бы простой факт констатируется и строго доказывается первой теоремой Вейерштрасса. …Многих раздражает, что в математике нудно обосновываются элементарные утверждения, однако в этом есть важный смысл. Предположим, некий житель махрового средневековья вытягивал график в небо за пределы видимости
вот это вставляло. До изобретения телескопа ограниченность функции в космосе была вовсе не очевидна! Действительно, откуда вы знаете, что нас ждёт за горизонтом? Ведь когда-то и Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обыденная телепортация требует доказательства =)
Согласно второй теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция достигает своей точной верхней грани
и своей точной нижней грани
.
Число также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через
, а число
– минимальным значением функции на отрезке с пометкой
.
В нашем случае:
Примечание: в теории распространены записи .
Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.
Важно! Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции, наибольшее значение функции и наименьшее значение функции – НЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимум функции и минимум функции. Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.
Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел
и всё!
Более того, решение чисто аналитическое, следовательно, чертежа делать не надо!
Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведённого рисунка:
1) Находим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку.
Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует, что там минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает максимума и волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке
. Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.
Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.
2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.
3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.
Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня:
– критические точки.
Ещё раз подчёркиваю, что нас не интересует, есть в них максимумы/минимумы или нет.
Первая критическая точка принадлежит данному отрезку:
А вот вторая – нет: , поэтому про неё сразу забываем.
Вычислим значение функции в нужной точке:
Итоговый результат я выделил жирным цветом, при оформлении задания в тетради его удобно обвести в кружок простым карандашом или пометить как-то по-другому.
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
Результаты опять каким-либо образом выделяем.
3) Дело сделано, среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее.
Ответ:
Критическое значение на поверку оказалось точкой максимума, но об этом нас никто не спрашивал. Впрочем, для саморазвития можете устно подмечать такие факты.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.
В рассматриваемой задаче очень важно не допускать вычислительных ошибок, так как рецензент немедленно посмотрит, сами догадываетесь куда.
Другой существенный момент касается пункта № 1.
Во-первых, критических точек может не оказаться вообще. Это очень хорошо – меньше вычислений. Просто записываем вывод: «критические точки отсутствуют» и переходим ко второму пункту алгоритма.
Во-вторых, все критические точки (одна, две или бОльшее количество) могут не принадлежать отрезку. Замечательно. Пишем следующее: «критические точки (а) не принадлежат (ит) рассматриваемому отрезку». Находить какие-то значения функции здесь, разумеется, тоже не надо.
В моей коллекции есть и те и те примеры, но они унылы как бескрайние просторы Сахары. По сути, всё задание сводится к нахождению двух значений функции на концах интервала. Гораздо интереснее снять кепки, солнечные очки и отправиться играть в пляжный футбол:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке
Решение: всё опять начинается дежурной фразой:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
Да, критических точек тут и правда целая команда:
Первые две точки принадлежат нашему отрезку:
Но третья оказывается вне игры:
(надеюсь, все сумели сосчитать )
Вычислим значения функции в подходящих точках:
Чтобы не заблудиться в трёх соснах, не забываем выделять результаты,
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
Среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения. Максимальное значение («пятёрка») достигается сразу в двух точках, и это необходимо указать в завершающей записи:
Ответ:
Время от времени критические точки могут совпадать с одним или даже с обоими концами отрезка, и в этом случае укорачивается второй этап решения. Следующий пример для самостоятельного изучения посвящен как раз такой ситуации:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке
Примерный образец решения в конце урока.
Иногда техническая трудность рассматриваемого задания состоит в замысловатой производной и громоздких вычислениях:
Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке
Решение: отрезок, надо сказать, творческий, но пример взят из конкретной контрольной работы и ни в коем случае не придуман.
1) Вычислим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку:
Очевидный корень оказывается не в теме: .
Решаем уравнение:
Второй корень принадлежит нашему отрезку:
Если вам не понятно, почему именно такой корень, обязательно обратитесь к школьному учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс и повторите, что такое логарифм, ибо плох тот студент, который не мечтает овладеть логарифмами.
Дальнейшие вычисления задачи я распишу максимально подробно, но без комментариев. Некоторую информацию о логарифмической функции и свойствах логарифма можно почерпнуть в статье Графики и свойства элементарных функций и методичке по школьным формулам.
Вычислим значение функции во второй критической точке:
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
3) «Жирные» результаты получены с экспонентами и логарифмами, что существенно затрудняет их сравнение. По сей причине вооружимся калькулятором либо Экселем и вычислим приближённые значения, не забывая, что :
Вот теперь всё понятно.
Ответ:
Дробно-рациональный экземпляр для самостоятельного решения:
Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке
Вычисления в данном случае не менее кропотливы и точно так же потребуют вмешательства калькулятора (если вы, конечно, не вундеркинд). Полное решение и ответ в конце урока.
Стрелки часов приближаются к 9 утра, и побережье потихоньку заполняется всё бОльшим и бОльшим количеством стройных ног. Если честно, не терпится захлопнуть ноут и похулиганить, но всё-таки мужественно разберу нетривиальную вещь:
Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке
Решение:
1) Найдём критические точки. Предварительно можно раскрыть скобки, но не особо сложнее использовать и правило дифференцирования произведения:
– критические точки.
Обратите внимание, что точка обращает знаменатель производной в ноль, но её следует отнести к критическим значениям, поскольку САМА ФУНКЦИЯ определена в данной точке. На этом случае я подробно останавливался в теоретической части и последнем примере урока Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Кроме того, данная точка совпала с правым концом отрезка, а значит, в следующем пункте будет меньше расчётов. В следующем, но не сейчас:
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
уже известно.
Ответ:
Раз, два, три, четыре, пять – мне пора верстать.
Скорее всего, вы прочитали данную статью в ненастную погоду, поэтому желаю всем скорейшего летнего загара без зачётки в кармане! …ну или с дипломом на груди… …ой, что-то я не то сказал =)
Пример 2: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
– критические точки.
2)Вычислим значения функции на концах отрезка:
Ответ:
Пример 4: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
– критические точки.
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
уже рассчитано в предыдущем пункте.
Ответ:
Пример 6: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку:
– критические точки.
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
Ответ:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам