сколькими способами можно рассадить 3 х всадников на 7 коней
Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения.
Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения.
Определение: Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов .
Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.
Комбинаторные задачи делятся на: задачи на перестановки , задачи на размещение, задачи на сочетание
Определение: Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
Пример: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
Задачи на перестановки
Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?
Это задача на перестановки.
Решение: Выбираем одну из 3-х книг и ставим на первое место. Это можно сделать 3-мя способами.
Вторую книгу мы можем выбрать из 2-х оставшихся двумя способами, получаем 3·2 способов.
Третью книгу мы можем выбрать 1 способом.
Получится 3·2·1=6 способов.
Определение: Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов.
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно переставить n объектов?»
Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?
Решение: P 8 = 8!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 40320.
Пример 2. Сколькими способами можно составить расписание на один день, если в этот день предусмотрено 6 уроков по 6 разным предметам?
Решение: P 6 = 6!=1 ∙2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720.
Пример 3. Сколькими различными способами можно разместить на скамейке 10 человек?
Решение: P 8 = 8!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 = 3628800.
Пример 4. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора?
Решение: P 4 = 4!=1 ∙2 ∙ 3 ∙ 4 = 24.
Пример 5. Сколько различных шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что цифры в числе не повторяются?
Решение: Чтобы число было кратным 5, цифра 5 должна стоять на последнем месте. Остальные цифры могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое количество шестизначных чисел, кратных 5, равно числу перестановок из 5 элементов, т.е.
P 5 = 5!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120.
Задачи на размещения
Имеется 5 книг и одна полка, такая что на ней вмещается лишь 3 книги.
Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?
Это задача на размещение.
Решение: Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это можно сделать 5-ю способами.
Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых.
Таких пар может быть 5·4.
Третью книгу мы можем выбрать 3-мя способами.
Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.
Определение: Размещением из n элементов по k ( k ≤ n ) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов и в каждой выборке переставить их местами?»
Пример 1. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?
Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 7, 9?
Пример 3. В соревнованиях высшей лиги по футболу участвуют 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами могут быть распределены медали между командами?
Пример 4. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?
Пример 5. Боря, Дима и Володя сели играть в карты. Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)
– способами можно раздать 3 карты игрокам.
Пример 6. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
– способами можно рассадить в поезде 4 человека.
Задачи на сочетания
Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?
Это задача на сочетания.
Решение: Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.
123 124 125 134 135 145
Определение: Сочетанием из n элементов по k ( k n ) называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов (не имеет значения, в каком порядке указаны элементы).
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов из n ?»
Пример 1. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Пример 2. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок?
Пример 3. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?
Пример 4. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
Пример 5. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?
Решение: Т.к. двое мальчиков войдут в команду, то остается отобрать 3 из 8. Для выборки важен только состав (по условию все члены команды не различаются по ролям).
Пример 6. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
Решение: В одной игре участвуют 2 человека, следовательно, нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15, причем порядок в таких парах не важен.
Пример 7. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?
Решение: Различных дробей из 6 чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17 можно составить
штук ( способами выбираем два числа из 6, и двумя способами составляем из них дробь, сначала одно число – числитель, другое – знаменатель и наоборот).
Из этих 30 дробей 15 будут правильные.
Пример 8. Боря, Дима и Володя сели играть в карты. Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)
Правило сложения комбинаций
Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ.
Задача. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?
Решение: Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек:
– способами можно выбрать 2-х юношей;
– способами можно выбрать 2-х девушек;
Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.
Пример 1. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
Решение: Не менее 2-х человек, т.е. 2+7 или 3+6 или 4+5 человек (5+4, 6+3, 7+2 – те же самые комбинации).
В каждой выборке важен только состав, т.е. члены подгруппы не различаются по ролям, т.е. выборки – сочетания из n различных элементов по m элементов.
Число выборов из 2-х человек:
Число выборов из 3-х человек:
Число выборов из 4-х человек:
Применяем правило сложения: способов.
Правило умножения комбинаций
Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.
Задача. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?
– способами можно выбрать 1 юношу;
– способами можно выбрать 1 девушку.
Таким образом, 1-го юношу и 1 девушку можно выбрать: способами.
Пример 1. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой – 6 мужчинам, по третьей – 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
Решение: Имеем 14 претендентов и 13 рабочих мест. Сначала выберем работников на первую специальность, то есть 4 женщин из 6:
Далее выберем мужчин на вторую специальность:
Осталось 2 женщины, 2 мужчин и 3 вакантных места, которые, по условию, могут занять любые из четырех оставшихся человек.
Это может быть сделано 2 вариантами:
1 женщина и 2 мужчин (выбираем женщину способами)
1 мужчина и 2 женщины (выбираем мужчину способами).
В итоге получаем 15 · 28 · (2+2)=1680.
Пример 2. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую – 5 и в третью – 12. Сколькими способами это можно сделать.
Решение: Создавая первую бригаду, отбирают 3 человека из 20, создавая вторую – 5 из оставшихся 17, создавая третью – 12 из оставшихся 12. Для выборок важен только состав (роли членов бригады не различаются).
Создавая сложную выборку (из 3-х бригад), воспользуемся правилом умножения:
Пример 3. Сколькими способами может быть сдана выигрышная комбинация из 2-х карт при игре в «очко»?
Для тех, кто не знает: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и будем считать выигрышной комбинацию из 2-х тузов.
способами может быть сдана десятка и туз («каждая десятка с каждым тузом»);
способами может быть сдана пара тузов.
Итого: выигрышные комбинации.
Пример 4. Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?
В разряде сотен можно записать любую из цифр.
В разряде десятков можно выбрать любую из 10 цифр:
По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.
Итого, существует: трёхзначных чисел, которые делятся на 5.
Перестановки с повторениями
У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
Решение:Имеем набор <я, я, г, г, г>. Всего перестановок пятиэлементного множества 5!, но мы не должны учитывать перестановки, в которых объекты одного типа меняются местами несколько раз, поэтому нужно поделить на возможное число таких перестановок: 2! · 3!.
Пример 1: Сколько различных буквосочетаний можно получить перестанов-кой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?
Решение: Всего: 11 карточек, среди которых буква:
К – повторяется 3 раза;
О – повторяется 3 раза;
Л – повторяется 2 раза;
Ь – повторяется 1 раз;
Ч – повторяется 1 раз;
И – повторяется 1 раз.
По формуле количества перестановок с повторениями:
Пример 2: Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Институт?
Решение: В слове «институт» 8 букв, из них две буквы «и», три буквы «т» и по одной букве «н», «с» и «у». Поэтому всего можно получить перестановками букв различных слов.
Пример 3: Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю – лёгкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?
Решение: По формуле количества перестановок с повторениями:
способами можно составить расписание занятий на неделю.
Пример 4: Сколько чисел, больших 3000000, можно составить из цифр 3, 2, 2, 1, 1, 1, 0.
Решение: На первом месте обязательно должна стоять тройка. Оставшиеся 6 цифр образуют перестановку с повторениями:.
Сочетания с повторениями
В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков?
Решение ( I способ.) :Обратите внимание на критерий сочетаний с повторениями – по условию на выбор предложено не множество объектов как таковое, а различные виды объектов; при этом предполагается, что в продаже есть не менее пяти хот-догов, 5 ватрушек и 5 пончиков.
Что может быть в выборке?
Варианты: 5 хот-догов, 5 ватрушек, 5 пончиков, 3 хот-дога + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 ватрушки + 2 пончика и т.д. Всего 21 способ.
Типичная смысловая нагрузка: «Для выбора предложено n множеств, каждое из которых состоит из одинаковых объектов. Сколькими способами можно выбрать m объектов?»
Используя формулу количества сочетаний с повторениями, получаем
способом можно приобрести 5 пирожков.
Пример 1: В кошельке находится достаточно большое количество рублей, 2-х, 5-ти и десятирублёвых монет. Сколькими способами можно извлечь три монеты из кошелька?
Решение: Используя формулу количества сочетаний с повторениями, получаем
способами можно выбрать 3 монеты из кошелька.
Пример 2: В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить 12 открыток для поздравлений?
Размещения с повторениями
Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?
Решение:Для решения задачи достаточно знаний правил комбинаторики:
способами можно выбрать первую цифру пин-кода и способами – вторую цифру пин кода и столькими же способами – третью и столькими же – четвёртую. Таким образом, по правилу умножения комбинаций, четырёхзначный пин-код можно составить: способами.
Типичная смысловая нагрузка: «Дано множество, состоящее из n объектов, при этом любой объект можно выбирать неоднократно. Сколькими способами можно выбрать m объектов, если важен порядок их расположения в выборке?
В частности, возможен случай, когда из n имеющихся объектов m раз будет выбран какой-то один объект».
Пример 1: Согласно государственному стандарту, автомобильный номерной знак состоит из 3 цифр и 3 букв. При этом недопустим номер с тремя нулями, а буквы выбираются из набора А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (используются только те буквы кириллицы, написание которых совпадает с латинскими буквами).
Сколько различных номерных знаков можно составить для региона?
– способами можно составить цифровую комбинацию автомобильного номера, при этом одну из них (000) следует исключить
– способами можно составить буквенную комбинацию автомобильного номера.
По правилу умножения комбинаций, всего можно составить
Пример 2: Человек, пришедший в гости, забыл код, открывающий дверь подъезда, но помнил, что он составлен из нулей и единиц и всего имеет четыре цифры. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придётся перебрать, чтобы открыть дверь?
Пример 3: Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?
Решение: Подсчитаем количество чисел от 1 до 999999 в записи которых нет единиц. Каждую цифру можно выбрать 9 способами (любая цифра кроме 1), поэтому все 6 цифр можно выбрать 9 6 способами. При этом один вариант (000000) нужно убрать, так как число 0 не рассматривается. Получаем всего 9 6 −1=531440 чисел. Так как всего чисел 1 000 000, то видно, что чисел без единицы среди чисел от 1 до 1 000 000 больше, чем тех, в записи которых единица есть.
Ответ: чисел без единицы больше.
(разработка + презентация) на тему «Комбинаторика для школьников любого возраста»
Методические указания для выполнения практической работы «Решение задач по комбинаторике».
Министерство образования и науки Самарской области
Государственное бюджетное образовательное
учреждение среднего профессионального образования
«Тольяттинский политехнический техникум»
Зам. директора по УР
__ _________ 20__ г.
для выполнения практической работы №1
«Решение задач по комбинаторике»
дисциплина Теория вероятностей и математическая статистика
специальностей: 09.02.06 Сетевое и системное администрирование
09.02.07 Информационные системы и программирование
от ___ _____20__ № ____
Руководитель УПО №2
________ Л.Г. Светличная
Методические указания разработаны Захаровой С.В. – преподавателем
математических дисциплин ГБПОУ СО «ТПК».
Методические указания предназначены для студентов второго курса дневного отделения специальностей 09.02.06 «Сетевое и системное администрирование», 09.02.07 «Информационные системы и программирование». Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой и могут быть использованы с целью формирования практических умений и навыков при изучении темы «Комбинаторика».
Практическая работа №1
Тема: «Решение задач по комбинаторике»
В результате выполнения практической работы студент должен:
Краткие теоретические сведения
1 а) Перестановки 
По определению, считают, что 0!=1,1!=1.
б) Перестановки с повторениями 
Пример 1. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове ГОРА?
1) Что делаем с буквами (меняем местами – значит перестановки)
2) Повторяются ли буквы (нет – значит перестановки без повторения)
Решение. 
Пример 2. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове ИНСТИТУТ?
1) Что делаем с буквами (меняем местами – значит перестановки)
2) Повторяются ли буквы (да – значит перестановки с повторениями)
2 а) Сочетания 
б) Сочетания с повторениями 
Пример 1. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
2) Порядок важен? (нет – значит сочетания)
3) Повторяться могу? (нет – значит сочетания без повторений)
Решение.
Пример 2. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и картошка. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
2) Порядок важен? (нет – значит сочетания)
3) Повторяться могу? (да – значит сочетания с повторениями)
3 а) Размещения 
б) Размещения с повторениями 
Пример 1. Сколько различных 3-х значных цифр можно составить из 2,4,6,8, если цифры не повторяются?
2) Порядок важен? (да – значит размещения)
3) Цифры повторяются (нет)
Решение. 
Пример 2. Сколько различных 3-х значных цифр можно составить из 2,4,6,8?
2) Порядок важен? (да – значит размещения)
3) Цифры повторяются (да – значит размещения с повторениями)
Решение. 
Образец решения задач
Перестановки, сочетания и размещения без повторения
1. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 1, 5, 7, 9? 
2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 1, 5, 7, 9, если цифры не повторяются?
3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
4. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 1 даму и 2 туза?
5. Сколькими способами можно рассадить 6 человек за столом?
6. Сколькими способами можно рассадить 3 мальчика и 3 девочки за столом?
7. Сколькими способами можно рассадить в 2 ряда 3 мальчика и 3 девочки?
8. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?
9. У Васи дома живут 4 кота.
а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки 2-х котов (одного
на левую, другого – на правую)?
10. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.
11. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду? (2 мальчика точно входят, т.е. осталось выбрать 3 из 8)
12. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
13. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа?
14. Имеется 3 фрукта. Сколькими способами можно взять хотя бы один фрукт?
Перестановки, сочетания и размещения с повторениями
15. Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю – лёгкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?
16. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?
17. В кошельке находится достаточно большое количество рублей, 2-х, 5-ти и десятирублёвых монет. Сколькими способами можно извлечь три монеты из кошелька?
18. В коробке лежат шары трех цветов—красного, синего и зеленого. Шары одного цвета считаются одинаковыми. Вопрос: сколькими способами можно составить набор из двух шаров?
19. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?
1) 
2) 
20. Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?
Задания для самостоятельного решения
Практическая работа №1
Тема: «Решение задач по комбинаторике»
3. Сколькими способами можно разместить восемь пассажиров в три вагона?
4. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?
5. Сколько различных двузначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).
6. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 3, 7?
7. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?
8. Секретный замок состоит из 3 барабанов, на каждом из которых можно выбрать цифры от 0 до 9. Сколько различных вариантов выбора шифра существует?
10. В начале игры каждому игроку раздается 6 карт из колоды, в которой 36 различных карт. Сколько существует различных комбинаций карт, которые игрок может получить в начале игры?
11. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?
12. На прививку в медпункт отправились 7 друзей. Сколькими разными способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета?
14. В лифт 12-этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со 2-го) этаже. Сколькими способами люди могут выйти на разных этажах?
15. Сколько нечетных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 8, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться).
1 Формулы комбинаторики: перестановки, размещения и сочетания с повторениями и без.