радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен

где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC катеты BC=a, AC=b, гипотенуза AB=c.

Проведём радиусы OK, OM, ON к сторонам треугольника.

(как отрезки касательных, проведённых из одной точки).

Отсюда следует, что четырёхугольник CKOM — квадрат, стороны которого равны радиусу вписанной в треугольник ABC окружности: CK=CM=OM=OK=r.

Таким образом, формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности

Источник

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в любой треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

1. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катеты треугольника

Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника (Рис.1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности.

Радиус вписанной в треугольник окружности, если известна площадь треугольника S и полупериметр p вычисляется из следующей формулы (статья Радиус вписанной в треугольник окружности, формула (5)):

Площадь прямоугольного треугольника по катетам вычисляется из формулы:

Подставляя (2) и (3) в (1) получим формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

Из формулы (4) выведем другую эквивалентную формулу. Умножим числитель и знаменатель формулы (4) на \( \small a+b-c \):

Учитывая (5), формулу (6) можно переписать так:

Таким образом другая формула вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности имеет вид:

где c вычисляется из (5).

Пример 1. Известны катеты прямоугольного треугольника a=17 и b=5. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся одним из формул (4) и (7). Вычислим, сначала, гипотенузу прямоугольного треугольника из формулы (5):

Подставим значения \( \small a=17, \; b=5\; c=17.720045 \) в (7):

Ответ:

2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и прилегающей к нему острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и прилежащий к нему угол β(Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

Учитывая, что \( \small \alpha=90°-\beta \) и \( \small \sin \ (90°-\beta)=\cos \beta \), получим:

Тогда из (8) получим:

Далее, из теоремы синусов:

Чтобы получить формулу радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности через катет и прилежащий к нему угол, подставим значения \( \small b \) и \( \small c \) из (9) и (10) в (7):

(11)

Пример 2. Известны катет \( \small a=21 \) и прилежащий к нему угол \( \small \beta=30° \) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (11). Подставим значения \( \small a=21 \) \( \small \beta=30° \) в (11):

Ответ:

3. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности, если известны катет и противолежащий острый угол

Пусть известны катет a прямоугольного треугольника и противолежащий угол \( \small \alpha; \) (Рис.3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.

В предыдущем параграфе мы вывели формулу вписанной в прямоугольный треугольник окружности по катету и прилежащему углу (формула (11)). Учитывая, что в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, имеем:

Тогда (11) можно преобразовать так (подробнее на странице Формулы приведения тригонометрических функций:

(12)

Пример 3. Известны катет \( \small a=6 \) прямоугольного треугольника и противолежащий угол \( \small \alpha=53°. \) Найти радиус окружности вписанной в треугольник.

Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (12). Подставим значение \( \small a=6, \; \alpha=53° \) в (12):

Ответ:

Источник