Фазовая скорость в чем измеряется

Фазовая скорость

Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора). Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы). Ее можно рассматривать при желании как векторную величину.

Наиболее употребительное обозначение: .

Строго говоря, понятие фазы применимо только при описании гармонических или монохроматических (то есть синусоидальных или являющихся мнимыми экспонентами ) волн, а также — приближенно — для волн близкой формы (например, почти монохроматических волновых пакетов) или легко сводящихся к синусоидальным (например, сферических волн вида ), или, что менее корректно, при описании периодических волн другой формы. Тем не менее, волну (практически) любой формы с помощью преобразования Фурье можно представить как сумму монохроматических волн, и тогда к каждой из этих волн понятие фазы и фазовой скорости применимо вполне строго (впрочем, тогда у каждой монохроматической волны в разложении будет, вообще говоря, своя фазовая скорость, не совпадающая с другими; только в частных случаях они могут все точно совпадать или быть близки).

Для описания волн, отличных от гармонических, (особенно для описания волновых пакетов), используют, кроме понятия фазовой скорости, понятие скорости групповой (описывающей движение не отдельного гребня в волновом пакете, а его огибающей, например, максимума огибающей).

Содержание

Формулы

Основная формула, определяющая фазовую скорость (монохроматической) волны в одномерном пространстве или фазовую скорость вдоль волнового вектора для волны в пространстве большей размерности:

которая является прямым следствием того факта, что фаза плоской волны в однородной среде есть

для одномерного случая

или для размерности, большей единицы.

Конкретное соотношение между ω и k — так называемый закон дисперсии для каждого конкретного типа волн получают обычно из дифференциального уравнения, описывающего данный тип волн, подставляя в него монохроматическую (чаще всего плоскую) волну [1]

В случае, когда фазовая скорость не зависит для данного типа волн от частоты или волнового числа (и направления волнового вектора), тогда и групповая скорость совпадает с нею.

Фазовая скорость электромагнитной волны

В вакууме для электромагнитной волны любой частоты (по крайней мере, в тех диапазонах частот и интенсивностей, которые исследованы) фазовая скорость, измеренная в направлении волнового вектора, всегда равна одной и той же величине — скорости света в вакууме, универсальной константе.

В средах закон дисперсии электромагнитных волн достаточно сложен (см. Дисперсия света), и фазовая скорость может заметно меняться.

Для волнового уравнения

Такой результат получается прямой подстановкой в это уравнение монохроматической волны вида и затем вычислением .

Этот результат верен не только для волнового уравнения на одномерном пространстве (мы его использовали выше лишь для краткости; всё остается совершенно аналогичным при любом количестве производных по координатам в правой части).

отличающееся только последним членом, дает при аналогичной подстановке

(Это выражение при ненулевых вещественных m всегда больше, чем C и может быть сколь угодно большим при k → 0.

Фазовая скорость как вектор

Но это, конечно, не мешает при желании ввести чисто формально вектор фазовой скорости, по определению совпадающий по направлению с волновым вектором, и с абсолютной величиной, равной фазовой скорости в этом направлении. Вопрос о том, корректно ли называть такой вектор вектором фазовой скорости, является чисто терминологическим (конвенциональным), фактом является лишь то, что его проекции на оси координат или компоненты по этим осям не будут соответствовать фазовой скорости вдоль этих направлений в соответствии с определением фазовой скорости по направлению, данным в начале статьи (и вообще с каким-то разумным определением, кроме чисто формального, описанного в данном абзаце).

Конкретно же, для случая плоской гармонической волны фазовую скорость вдоль волнового вектора можно выразить следующим образом:

, где k — волновое число, ω — угловая частота.

При этом, фазовая скорость вдоль направления, отклонённого от волнового вектора на угол , будет равна:

Может ли фазовая скорость превосходить скорость света

Фазовая скорость может превосходить скорость света в вакууме, и нередко ее превосходит. Это никак не противоречит известному принципу максимальности скорости света, необходимость которого возникает чтобы одновременно соблюдались принцип причинности (чтобы не возникало причинных парадоксов) и принцип относительности (лоренц-инвариантность).

Дело в том, что эти принципы накладывают ограничение только на скорость распространения таких физических объектов, посредством которых можно передать информацию. А фазовая скорость [5] не относится к скоростям таковых объектов. Чисто монохроматическая (синусоидальная) волна бесконечна в пространстве и во времени, не может никак измениться, чтобы передать информацию (если мы промодулируем волну, она перестанет быть монохроматической, а скорость распространения модуляции — не совпадает с фазовой скоростью, обычно совпадая со скоростью групповой для почти монохроматических волн).

Фазовая скорость по направлению, не совпадающему с волновым вектором

Поскольку фазовая скорость, измеренная вдоль произвольного направления, не совпадающего с волновым вектором и направлением распространения волны, не является скоростью движения «физического объекта», то есть, объекта, состояние которого в последующие моменты времени причинно обусловлено состоянием в предыдущие, а по сути характеризует просто состояние осциллирующего поля в искусственно выбранных точках, часто (а именно если выбрать достаточно большой угол с волновым вектором), фазовая скорость по данному направлению любой, даже сколь угодно медленной (как показано в параграфе выше), волны может превышать скорость света, стремясь к бесконечности при стремлении угла к прямому.

В частности, фазовая скорость света (или вообще любой бегущей электромагнитной волны) в вакууме, измеренная по любому направлению, не совпадающему с ее волновым вектором, всегда больше скорости света.

Но дело не ограничивается фазовой скоростью по произвольному направлению. Скорость света может быть превзойдена даже и фазовой скоростью, измеренной вдоль волнового вектора.

Фазовая скорость для квантовой частицы

Фазовая скорость квантовой волны, соответствующей любой массивной частицы (то есть частицы, имеющей массу больше нуля), всегда больше скорости света. Это легко видеть из формул , и , из чего , в то время как E для массивных частиц всегда больше p за счет массы (энергии покоя).

Этот на вид парадоксальный результат связан с тем, что «распространение» такой волны является иллюзией [6] в том смысле, что между разными частями волны нет причинной связи (состояние волны, продвинувшейся вправо не определяется тем, какой она была слева). В этом смысле ситуация аналогична ситуации с движущимся быстрее света зайчиком итп.

Источник

Фазовая скорость в чем измеряется

Зафиксируем какое-либо значение фазы волны и проследим, с какой скоростью фаза будет перемещаться вдоль оси x.

.

Это уравнение дает связь между t и тем значением x, где зафиксированное значение фазы будет в данный момент времени. Следовательно, – это есть скорость перемещения данной фазы. Т.к. , поэтому . Возьмем производную по времени от обеих частей равенства: . Отсюда получим выражение для фазовой скорости:

Итак, скорость распространения фазы есть скорость распространения волны. Т.е. υ в уравнении волны есть фазовая скорость. Для синусоидальной волны скорость переноса энергии равна фазовой скорости. Но синусоидальная волна не несет никакой информации, любой сигнал – это модулированная волна, т.е. несинусоидальная (негармоническая).

При решении некоторых задач получается, что фазовая скорость больше скорости света. Здесь нет парадокса, так как скорость перемещения фазы – это не скорость передачи (распространения) энергии, которая не может распространяться со скоростью большей, чем скорость света с.

Источник

Фазовая скорость

Смотреть что такое «Фазовая скорость» в других словарях:

Фазовая скорость — вдоль направления, отклонённого от волнового вектора на угол α. Рассматривается монохроматическая плоская волна. Фазовая скорость скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движе … Википедия

ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ — скорость перемещения фазы волны в определ. направлении. В случае монохроматич. плоской волны вида u(х, t)=Acosj=Acos(wt kx) (где А амплитуда, j фаза, w круговая частота, k волн. число, t время, х расстояние, отсчитываемое в направлении… … Физическая энциклопедия

фазовая скорость — 1. Скорость изменения фазы волны в направлении ее распространения. Единица измерения м/с 2. Скорость распространения волнового фронта. [BS EN 1330 4:2000. Non destructive testing Terminology Part 4: Terms used in ultrasonic testing] [Система… … Справочник технического переводчика

фазовая скорость — скорость vф, с которой перемещается в пространстве фаза φ плоской монохроматической волны у =A sinφ. Здесь А амплитуда, фаза волны (λ длина волны, х расстояние от источника волн, Т период колебаний, t время). Если фаза φ = const, то… … Энциклопедический словарь

Фазовая скорость — 8. Фазовая скорость Скорость перемещения фронта электромагнитной волны Источник: ГОСТ 18238 72: Линии передачи сверхвысоких частот. Термины и определения оригинал документа … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

фазовая скорость — fazinis greitis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Greitis, kuriuo sklinda monochromatinės (begalinės sinusinės) bangos fazė: c = ω/k = λf; čia ω – kampinis dažnis, k – kampinis bangos skaičius, λ – bangos ilgis, f –… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

фазовая скорость — fazinis greitis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. phase velocity vok. Phasengeschwindigkeit, f rus. фазовая скорость, f pranc. vitesse de phase, f … Fizikos terminų žodynas

ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ — скорость перемещения в пространстве поверхности пост. фазы гармонич. (монохроматич.) волны. При распространении волн в средах Ф. с. различна для волн разл. частот (см. Дисперсия волн). Поэтому Ф. с. исчерпывающая хар ка распространения только… … Большой энциклопедический политехнический словарь

ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ — скорость vф, с к рой перемещается в пространстве фаза (р плоской монохроматич. волны u=Asinф. Здесь А амплитуда, ф = 2ПИ (t/T x/Лямбда) фаза волны (А, длина волны, х расстояние от источника волн, Т период колебаний, t время). Если фаза ф = const … Естествознание. Энциклопедический словарь

Источник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Фа́зовая ско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения в пространстве, вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора). Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы). Её можно рассматривать при желании как векторную величину.

Наиболее употребительное обозначение: v ϕ <\displaystyle v_<\phi >\ > .

Для описания волн, отличных от гармонических, (особенно для описания волновых пакетов), используют, кроме понятия фазовой скорости, понятие скорости групповой (описывающей движение не отдельного гребня в волновом пакете, а его огибающей, например, максимума огибающей).

Формулы

Основная формула, определяющая фазовую скорость (монохроматической) волны в одномерном пространстве или фазовую скорость вдоль волнового вектора для волны в пространстве большей размерности:

которая является прямым следствием того факта, что фаза плоской волны в однородной среде есть

В случае, когда фазовая скорость не зависит для данного типа волн от частоты или волнового числа (и направления волнового вектора), групповая скорость совпадает с фазовой.

Фазовая скорость электромагнитной волны

В вакууме для электромагнитной волны любой частоты (по крайней мере в тех диапазонах частот и интенсивностей, которые исследованы) фазовая скорость, измеренная в направлении волнового вектора, всегда равна одной и той же величине — скорости света в вакууме, универсальной константе.

В средах закон дисперсии электромагнитных волн достаточно сложен (см. Дисперсия света), и фазовая скорость может заметно меняться, вплоть до отрицательных [2] значений.

Для волнового уравнения

∂ 2 f ∂ t 2 = C 2 ∂ 2 f ∂ x 2 <\displaystyle <\frac <\partial ^<2>f><\partial t^<2))>=C^<2><\frac <\partial ^<2>f> <\partial x^<2)))) ,

имеет фазовую скорость С (причём C здесь — некий постоянный коэффициент; этот коэффициент равен скорости света в волновом уравнении для электромагнитных волн).

Этот результат верен не только для волнового уравнения на одномерном пространстве (мы его использовали выше лишь для краткости; всё остаётся совершенно аналогичным при любом количестве производных по координатам в правой части).

Для уравнения Клейна—Гордона

∂ 2 f ∂ t 2 = C 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + C 4 m 2 f <\displaystyle <\frac <\partial ^<2>f><\partial t^<2))>=C^<2><\frac <\partial ^<2>f><\partial x^<2))>+C^<4>m^<2>f> ,

отличающееся только последним членом, даёт при аналогичной подстановке

ω 2 = C 2 k 2 + C 4 m 2 <\displaystyle \omega ^<2>=C^<2>k^<2>+C^<4>m^ <2)) ,

ω = C 2 k 2 + C 4 m 2 <\displaystyle \omega =<\sqrt k^<2>+C^<4>m^ <2))))

v φ = ω / k = C 1 + C 2 m 2 / k 2 <\displaystyle v_<\varphi >=\omega /k=C<\sqrt <1+C^<2>m^<2>/k^ <2)))) .

Это выражение при ненулевых вещественных m всегда больше, чем C, и может быть сколь угодно большим при k → 0.

Фазовая скорость как вектор

Но это, конечно, не мешает при желании ввести чисто формально вектор фазовой скорости, по определению совпадающий по направлению с волновым вектором и с абсолютной величиной, равной фазовой скорости в этом направлении. Вопрос о том, корректно ли называть такой вектор вектором фазовой скорости, является чисто терминологическим (конвенциональным). Фактом является лишь то, что проекции этого «вектора» на оси координат или компоненты по этим осям не будут соответствовать фазовой скорости вдоль этих направлений в соответствии с определением фазовой скорости по направлению, данным в начале статьи (и вообще с каким-то разумным определением, кроме чисто формального, описанного в данном абзаце).

Конкретно же, для случая плоской гармонической волны фазовую скорость вдоль волнового вектора можно выразить следующим образом:

Может ли фазовая скорость превосходить скорость света

Фазовая скорость может превосходить скорость света в вакууме, и нередко её превосходит. Это никак не противоречит известному принципу максимальности скорости света, необходимость которого возникает, чтобы одновременно соблюдались принцип причинности (чтобы не возникало причинных парадоксов) и принцип относительности (лоренц-инвариантность).

Дело в том, что эти принципы накладывают ограничение только на скорость распространения таких физических объектов, посредством которых можно передать информацию. А фазовая скорость [6] не относится к скоростям таковых объектов. Чисто монохроматическая (синусоидальная) волна бесконечна в пространстве и во времени, не может никак измениться, чтобы передать информацию (если мы промодулируем волну, она перестанет быть монохроматической, а скорость распространения модуляции не совпадает с фазовой скоростью, обычно совпадая со скоростью групповой для почти монохроматических волн).

Фазовая скорость по направлению, не совпадающему с волновым вектором

Поскольку фазовая скорость, измеренная вдоль произвольного направления, не совпадающего с волновым вектором и направлением распространения волны, не является скоростью движения «физического объекта», то есть объекта, состояние которого в последующие моменты времени причинно обусловлено состоянием в предыдущие, а по сути характеризует просто состояние осциллирующего поля в искусственно выбранных точках, часто (а именно если выбрать достаточно большой угол с волновым вектором) фазовая скорость по данному направлению любой, даже сколь угодно медленной (как показано в параграфе выше) волны может превышать скорость света, стремясь к бесконечности при стремлении угла к прямому.

В частности, фазовая скорость света (или вообще любой бегущей электромагнитной волны) в вакууме, измеренная по любому направлению, не совпадающему с её волновым вектором, всегда больше скорости света.

Но дело не ограничивается фазовой скоростью по произвольному направлению. Скорость света может быть превзойдена даже и фазовой скоростью, измеренной вдоль волнового вектора.

Фазовая скорость для квантовой частицы

Однако эта фазовая скорость в принципе не может наблюдаться (так как в квантовой физике фаза ненаблюдаема вообще). Доступна же наблюдению лишь групповая скорость, которая и является квантовым аналогом обычной скорости классической частицы.

Фазовая скорость для уравнения Клейна—Гордона

Но дифференциальные уравнения, описывающие квантовые частицы, могут быть реализованы в принципе и на других физических системах (например, на достаточно простых механических моделях). В этом случае фазовая скорость вполне доступна наблюдению.

Тем не менее и здесь фазовая скорость может быть сделана сколь угодно большой (достаточно подобрать достаточно малое k), и в принципе её нетрудно сделать большей, чем скорость света.

Этот на вид парадоксальный результат связан с тем, что «распространение» такой волны является иллюзией [7] в том смысле, что между разными частями волны нет причинной связи (состояние волны, продвинувшейся вправо, не определяется тем, какой она была слева).

Источник

Формула скорости волны

Скоростью волны называют скорость, с которой движется фронт волны.

Формула фазовой скорости волны

Рассмотрим одномерный случай для гармонической волны. Уравнение волновой поверхности при это запишем как:

\[Ф_s=\omega t-kx+\varphi \ \left(1\right),\]

Если волны гармонические, то скорость движения волновой поверхности равна скорости распространения волны. Скорость, которую определяет выражение (3) является фазовой скоростью.

Фазовая скорость гармонической волны совпадает со скорость распространения энергии волны.

Формула для вычисления фазовой скорости распространения продольных волн

Скорость распространения продольных упругих волн в однородных в газах или жидкостях может быть вычислена как:

Для нахождения скорости распространения продольных волн в газе применяют выражение:

Продольные механические волны могут распространяться в твердых телах, их фазовая скорость равна:

Формула для фазовой скорости распространения поперечных волн

Поперечные механические волны способны распространяться только в твердых телах. Скорость ($v$) распространения поперечных волн в бесконечной изотропной среде при этом можно найти как:

Упругие свойства и плотность твердого тела зависит от химического состава вещества, и она несущественно изменяется при изменении давления и температуры. Поэтому в большинстве случаев скорость распространения волны можно считать постоянной.

Формула для групповой скорости волн

Кроме фазовой скорости для описания распространения диспергирующих волн применяют понятие групповой скорости. При этом фазовая скорость может зависеть от частоты, при этом в веществе распространяются волны сложного негармонического характера, тогда с групповую скорость проще использовать, как характеристику скорости распространения волн.

Групповой скоростью называют скорость перемещения группы (цуга) волн, которые создают в каждый момент времени, локализованный в пространстве, волновой пакет. Любая реальная волна представляет собой суперпозицию гармонических волн. Скорость, с которой такая волна распространяется в веществе, имеющем дисперсию, равна фазовой скорости накрадывающихся волн. Распространение волны определяют перемещением энергии колебаний, которую переносит группа вол от источника.

Групповая скорость ($u$) связана с фазовой скоростью ($v$) формулой:

Примеры задач с решением

Решение. Сделаем рисунок.

В качестве основы для решения задачи используем формулу для вычисления фазовой скорости волны вида:

Найдем период колебаний как время одного полного колебания:

Используя формулу (1.2) скорость будем вычислять, применяя формулу:

Вычислим искомую скорость:

Решение. Фазовую скорость движения волны найдем как:

Вычислим фазовую скорость:

\[v=450\cdot 0,8=360\ \left(\frac<м><с>\right).\]

Скорость колебания частиц равна:

Максимальное значение скорости колебаний частиц в волне из (2.3) равно:

Циклическую частоту найдем как:

Вычислим максимальную скорость колебаний частиц:

Источник