Узел квадратной сетки что это такое
Метод узлов в задаче B5
Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок. Это даже не формула, а настоящая теорема. На первый взгляд, она может показаться сложной. Но достаточно решить пару задач — и вы поймете, насколько это крутая фишка. Так что вперед!
Для начала введем новое определение:
— это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки.
На первой картинке узлы вообще не обозначены. На второй обозначены 4 узла. Наконец, на третьей картинке обозначены все 16 узлов.
Какое отношение это имеет к задаче B5? Дело в том, что вершины многоугольника в таких задачах всегда лежат в узлах сетки. Как следствие, для них работает следующая теорема:
Теорема. Рассмотрим многоугольник на координатной сетке, вершины которого лежат в узлах этой сетки. Тогда площадь многоугольника равна:
где n — число узлов внутри данного многоугольника, число узлов, которые лежат на его границе (граничных узлов).
В качестве примера рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и попробуем отметить внутренние и граничные узлы.
На первой картинке дан обычный треугольник. На второй отмечены его внутренние узлы, число которых равно На третей картинке отмечены узлы лежащие на границе, их всего
Возможно, многим читателям непонятно, как считать числа Начните с внутренних узлов. Тут все очевидно: закрашиваем треугольник карандашом и смотрим, сколько узлов попало под закраску.
С граничными узлами чуть сложнее. Граница многоугольника — замкнутая ломаная, которая пересекает координатную сетку во многих точках. Проще всего отметить какую-нибудь «стартовую» точку, а затем обойти остальные.
Граничными узлами будут только те точки на ломаной, в которых одновременно пересекаются
Посмотрим, как все это работает в настоящих задачах.
Задача. Найдите площадь треугольника, если размер клетки равен 1 x 1 см:
Для начала отметим узлы, которые лежат внутри треугольника, а также на его границе:
Получается, что внутренний узел всего один: Граничных узлов — целых шесть: три совпадают с вершинами треугольника, а еще три лежат на сторонах.
Теперь считаем площадь по формуле:
Вот и все! Задача решена.
Задача. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Снова отмечаем внутренние и граничные узлы. Внутренних узлов всего Граничных узлов: из которых 4 являются вершинами четырехугольника, а еще 3 лежат на сторонах.
Остается подставить числа в формулу площади:
Обратите внимание на последний пример. Эту задачу реально предлагали на диагностической работе в 2012 году. Если работать по стандартной схеме, придется делать много дополнительных построений. А методом узлов все решается практически устно.
Важное замечание по площадям
Но формула — это еще не все. Давайте немного перепишем формулу, приведя слагаемые в правой части к общему знаменателю. Получим:
Числа n и k — это количество узлов, они всегда целые. Значит, весь числитель тоже целый. Мы делим его на 2, из чего следует важный факт:
Площадь всегда выражается целым числом или дробью. Причем в конце дроби всегда стоит «пять десятых»: 10,5; 17,5 и т.д.
Таким образом, площадь в задаче B5 всегда выражается целым числом или дробью Если ответ получается другим, значит, где-то допущена ошибка. Помните об этом, когда будете сдавать настоящий ЕГЭ по математике!
Метод узлов
Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок. Это даже не формула, а настоящая теорема. На первый взгляд, она может показаться сложной. Но достаточно решить пару задач — и вы поймете, насколько это крутая фишка. Так что вперед!
Для начала введем новое определение:
— это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки.
Обозначение 
На первой картинке узлы вообще не обозначены. На второй обозначены 4 узла. Наконец, на третьей картинке обозначены все 16 узлов.
Какое отношение это имеет к задаче B5? Дело в том, что вершины многоугольника в таких задачах всегда лежат в узлах сетки. Как следствие, для них работает следующая теорема:
Теорема
Рассмотрим многоугольник на координатной сетке, вершины которого лежат в узлах этой сетки. Тогда площадь многоугольника равна:
где n — число узлов внутри данного многоугольника, число узлов, которые лежат на его границе (граничных узлов).
Задача:
Рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и попробуем отметить внутренние и граничные узлы.
На первой картинке дан обычный треугольник. На второй отмечены его внутренние узлы, число которых равно На третей картинке отмечены узлы лежащие на границе, их всего
Возможно, многим читателям непонятно, как считать числа Начните с внутренних узлов. Тут все очевидно: закрашиваем треугольник карандашом и смотрим, сколько узлов попало под закраску.
С граничными узлами чуть сложнее. Граница многоугольника — замкнутая ломаная, которая пересекает координатную сетку во многих точках. Проще всего отметить какую-нибудь «стартовую» точку, а затем обойти остальные.
Граничными узлами будут только те точки на ломаной, в которых одновременно пересекаются
Посмотрим, как все это работает в настоящих задачах.
Задача 2:
Найдите площадь треугольника, если размер клетки равен 1 x 1 см:
Решение
Для начала отметим узлы, которые лежат внутри треугольника, а также на его границе:
Получается, что внутренний узел всего один: Граничных узлов — целых шесть: три совпадают с вершинами треугольника, а еще три лежат на сторонах.
Теперь считаем площадь по формуле:
Вот и все! Задача решена.
Задача 3:
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение
Снова отмечаем внутренние и граничные узлы. Внутренних узлов всего Граничных узлов: из которых 4 являются вершинами четырехугольника, а еще 3 лежат на сторонах.
Остается подставить числа в формулу площади:
Ответ: 4,5
Обратите внимание на последний пример. Эту задачу реально предлагали на диагностической работе в 2012 году. Если работать по стандартной схеме, придется делать много дополнительных построений. А методом узлов все решается практически устно.
Важное замечание по площадям
Но формула — это еще не все. Давайте немного перепишем формулу, приведя слагаемые в правой части к общему знаменателю. Получим:
Числа n и k — это количество узлов, они всегда целые. Значит, весь числитель тоже целый. Мы делим его на 2, из чего следует важный факт:
Площадь всегда выражается целым числом или дробью. Причем в конце дроби всегда стоит «пять десятых»:
Таким образом, площадь в задаче B5 всегда выражается целым числом или дробью Если ответ получается другим, значит, где-то допущена ошибка. Помните об этом, когда будете сдавать настоящий ЕГЭ по математике!
Сегодня мы научились считать площади фигур в задаче B5 методом узлов. Повторим, что для начала введят два определения:
Давайте посмотрим, как эти узлы выглядят на конкретной фигуре в задаче B5
Задача. Найдите площадь четырехугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Крестиками обозначены внутренние узлы. Очевидно, их количество Кружками обозначены граничные узлы. Их общее количество равно
Обратите внимание: под узлами подразумеваются только те точки, которые лежат на пересечении горизонтальных и вертикальных линий нашей сетки. Другими словами, следующие две точки не являются узлами, хотя в них граница фигуры также пересекается с линиями сетки:
Переходим к решению задачи. Для того, чтобы решать задачи B5 ЕГЭ по математике методом узлов, вам потребуется запомнить следующую теорему:
Теорема. Пусть дана фигура с внутренними узлами и граничными узлами. Тогда площадь этой фигуры считается по формуле:
S = n + 0,5 k − 1
Вот так все просто! Главное — запомните, это число внутренних узлов, число граничных узлов.
В нашем случае мы уже подсчитали, что Подставляем полученные числа в формулу и получаем:
Мы получили ответ: площадь четырехугольника
Ответ: 7,5
Как видите, задача свелась практически к устному счету. Поэтому обязательно возьмите данный прием на вооружение, ведь велика вероятность того, что на настоящем ЕГЭ по математике вам попадется именно такая задача B5 — площадь фигур на координатной сетке.
§ 16. Построения на клетчатой бумаге
С бумагой в клетку каждый из вас имеет дело практически с первых дней изучения математики, а может быть, и раньше. Однако вы вряд ли представляете себе, насколько мощным инструментом для геометрических построений является наличие на бумаге квадратной сетки.
На клетчатой бумаге нарисован отрезок, концы которого находятся в узлах сетки. Вам нужно найти его середину. Укажите, при каких положениях отрезка это можно сделать, не проводя дополнительных линий, а используя лишь точки пересечения отрезка с линиями сетки?
Как с помощью линейки найти середину отрезка при других его положениях?
Как проще всего найти точку, симметричную данному узлу сетки относительно другого данного узла сетки? Будет ли эта точка также узлом сетки?
Как разделить на заданное число n равных частей данный отрезок с концами в узлах сетки, пользуясь разве только линейкой?
В данном треугольнике с вершинами в узлах сетки проведите медианы, пользуясь одной лишь линейкой.
Обязательно ли точка пересечения медиан является узлом сетки?
Точки А, В и С находятся в узлах сетки. Не проводя никаких линий, параллельно перенесите точку С на вектор 
.
Будет ли полученная в результате точка узлом сетки?
Докажите, что если какая-то вершина треугольника и середины двух прилежащих к ней сторон находятся в узлах сетки, то и середина третьей стороны также совпадает с одним из узлов сетки.
Через заданный узел сетки с помощью одной линейки проведите прямую, параллельную данной прямой, проходящей через два данных узла сетки. Отразите проведенную прямую симметрично относительно той же данной прямой.
Не проводя никаких линий, найдите точку, которая получится, если повернуть данный узел сетки вокруг другого данного узла сетки на угол 90°.
Докажите, что если две заданные соседние вершины квадрата находятся в узлах сетки, то и остальные две его вершины также должны находиться в узлах сетки.
Найдите эти вершины, не проводя никаких линий.
С помощью одной линейки через заданный узел сетки проведите прямую, перпендикулярную данному отрезку с концами в узлах сетки.
Пользуясь одной лишь линейкой, отразите симметрично заданный узел сетки относительно данной прямой, проходящей через два данных узла сетки. Будет ли полученная в результате точка узлом сетки?
Докажите, что проходящая через некоторый узел сетки прямая содержит еще хотя бы один узел тогда и только тогда, когда она образует с какой-нибудь линией сетки угол, тангенс которого является рациональным числом.
Найдите величину угла ABC, изображенного на рис. 63. Пользуясь полученным значением, сообразите в уме, чему равна сумма 
Рис. 63
Рис. 64
Расположив на клетчатой бумаге угол DFE, описанный в задаче 16.14 и изображенный на рис. 64, подберите на луче FE несколько узлов сетки так, чтобы продемонстрировать равенства
Докажите, что если вершины треугольника лежат в узлах сетки, то тангенс любого непрямого угла этого треугольника является рациональным числом.
Прямая проходит через два заданных узла сетки. Предложите способ, как повернуть указанную прямую вокруг одного из этих узлов на угол, тангенс которого равен данному рациональному числу.
Докажите, что все вершины равностороннего треугольника не могут одновременно лежать в узлах сетки.
Могут ли все вершины правильного шестиугольника одновременно лежать в узлах сетки?
Вы хотите разметить циркулем на клетчатой бумаге вершины правильного шестиугольника. Пользуясь циркулем, вы, конечно, всегда сможете это сделать на любой бумаге (см. задачу 15.5). Нельзя ли, однако, воспользоваться имеющейся сеткой с тем, чтобы после проведения специально подобранной вами окружности линии сетки сами указали вам на окружности вершины правильного шестиугольника?
На клетчатой бумаге требуется разметить вершины квадрата таким образом, чтобы три из них лежали соответственно на трех заданных параллельных линиях сетки. Как это сделать, не проводя никаких дополнительных линий?
Можно ли, кроме того, обеспечить попадание также и четвертой вершины квадрата на какую-нибудь из трех указанных линий?
При каких значениях n все вершины правильного n-угольника могут одновременно лежать в узлах сетки?
Если вам приходилось рисовать на клетчатой бумаге прямоугольные треугольники, то, наверняка, порядком наскучило располагать их катеты по линиям сетки. Можно ли построить такой прямоугольный треугольник со всеми вершинами в узлах сетки, чтобы на линии сетки оказалась его гипотенуза?
Равнобедренный прямоугольный треугольник так расположить довольно несложно. Укажите способ построения всех таких треугольников.
Для проведения без циркуля какой-нибудь окружности на клетчатой бумаге, можно воспользоваться тем, что окружность с центром в узле сетки и радиусом 5 проходит через 12 узлов, изображенных на рис. 65. Докажите этот факт.
Рис. 65
Существует ли окружность с центром в узле сетки и целым радиусом, меньшим 5, также содержащая более 4 узлов?
Какого наименьшего целого радиуса должна быть окружность с центром в узле сетки, содержащая более 12 узлов? Нарисуйте хотя бы четверть этой окружности.
Решения
Рис. 66
Если обе указанные проекции имеют четную длину, то середина отрезка даже совпадает с некоторым узлом сетки (рис. 67).
Рис. 67
Если же ни одна из проекций не имеет четной положительной длины, то можно отступить от одного конца отрезка АВ на несколько клеток в одну сторону, от другого конца на столько же клеток в противоположную сторону и провести прямую через полученные точки С и D (рис. 68). Точка пересечения этой прямой с исходным отрезком и будет его серединой. Это вытекает из того факта, что четырехугольник АОВС является параллелограммом, ибо имеет пару равных и параллельных противоположных сторон АС и DB (точки С и D, конечно, всегда можно выбрать не лежащими на прямой АВ).
Рис. 68
16.2. Для того чтобы отразить узел А симметрично относительно узла Е, достаточно сосчитать по клеточкам длину горизонтальной проекции AF отрезка АЕ и длину вертикальной проекции FE этого же отрезка. После этого останется отложить от точки Е в вертикальном направлении точку G и от нее в горизонтальном направлении точку В так, чтобы выполнялись равенства 
(рис. 67). Симметричность точек А и В относительно точки Е вытекает из равенства прямоугольных треугольников AFE и BGE (по двум катетам). Из построения ясно, что точка Е обязательно является узлом сетки.
Рис. 69
16.4. Пользуясь методами, изложенными в решении задачи 16.1, можно построить середины сторон треугольника АВС, а затем провести его медианы. Точка Е пересечения медиан не обязательно попадает в узел, даже если середины всех трех сторон треугольника являются узлами сетки (рис. 70). Можно доказать, что это попадание произойдет тогда и только тогда, когда сумма горизонтальных, равно как и сумма вертикальных проекций векторов 
кратна 3.
Рис. 70
16.5. Сосчитаем по клеточкам длину горизонтальной проекции AE и вертикальной проекции EB вектора 
после этого точку С перенесем по горизонтали в точку F, которую затем перенесем по вертикали в точку D так, чтобы выполнялись равенства 
(рис.71). Тогда из равенства прямоугольных треугольников ABE и CDF и параллельности их соответствующих катетов следует равенство и параллельность их гипотенуз АВ и CD. Таким образом, имеем требуемое равенство 
Из построения ясно, что точка D совпадает с узлом сетки.
Рис. 71
Заметим, что точку D можно было построить и по-другому: параллельно перенеся точку В на вектор 
16.6. В силу параллельности средних линий треугольника ABC соответствующим его сторонам получаем, что середины D, Е и F сторон АВ, ВС и СА этого треугольника образуют вместе с вершиной А параллелограмм ADEF (рис. 72). Поэтому, если три его вершины A, D и F находятся в узлах сетки, то четвертая вершина, будучи результатом параллельного переноса точки D на вектор 
также совпадает с узлом сетки (см. задачу 16.5).
Рис. 72
16.7. Пусть данная прямая проходит через узлы А и В, чтобы провести через данный узел С прямую, параллельную прямой АВ, достаточно параллельно перенести точку В на вектор (см. задачу 16.5) и через полученную точку D провести прямую CD.
Для симметричного отражения прямой CD относительно прямой АВ можно затем параллельно перенести точки A и В на вектор 
и провести через полученные точки G и H прямую. Хотя точки G и Н, вообще говоря, не симметричны точкам С и D относительно прямой АВ, но прямая GH параллельна прямой АВ и отстоит от нее на том же расстоянии, что и прямая CD (рис. 73).
Рис. 73
Рис. 74
16.9. Повернем одну из двух данных вершин А или В, скажем А, вокруг вершины В на угол 90°, затем вершину В вокруг полученной точки С на угол 90° в том же направлении (рис. 75). Полученная в результате точка D вместе с точкой С и двумя данными вершинами А и В образует вершины квадрата (поскольку четырехугольник ABCD, согласно построению, является параллелограммом с прямым углом при вершине В и равными соседними сторонами АВ и ВС). Попутно мы доказали, что вершины С и D искомого квадрата находятся в узлах сетки, так как они являются; результатом поворота, описанного в решении задачи 16.8.
Рис. 75
16.10. Во-первых, повернем один конец А данного отрезка АВ на угол 90° вокруг другого его конца В в любом направлении (см. задачу 16.8) и получим в результате точку С. Во-вторых, параллельно перенесем заданную точку D на вектор 
, получив точку Е (см. задачу 16.5). Искомый перпендикуляр совпадает с прямой DE (рис. 76), поскольку эта прямая параллельна перпендикуляру ВС к прямой АВ. Впрочем, при известной сноровке точку С можно и не строить, а откладывать известный вектор ВС сразу от точки D.
Рис. 76
16.11. Искомая точка А лежит как на перпендикуляре ВС к данной прямой DE, проходящем через заданную точку В, так и на прямой FG, параллельной прямой DE и отстоящей от нее на то же расстояние, что и точка В. Построение точек С и F, G можно произвести, не проводя никаких линий (см. решения задач 16.10, 16.7), а затем найти точку пересечения А прямых ВС и FG. Эта точка, вообще говоря, не обязательно является узлом сетки, что хорошо видно на рис. 77.
Рис. 77
16.12. Если прямая проходит через два узла А и В, то она либо совпадает с линией сетки и тогда образует с ней нулевой угол с нулевым тангенсом, либо является гипотенузой прямоугольного треугольника ABC, катетами АС и ВС которого служат целочисленные горизонтальная и вертикальная проекции отрезка АВ. В последнем случае тангенсом одного из острых углов треугольника ABC является отношение ВС /АС, которое есть рациональное число.
16.13. Отметим точки D, E, F, G и соединим их с точками A, В и С и друг с другом так, как показано на рис. 78. Тогда из равенства прямоугольных треугольников ADB, АЕС и их расположения относительно линий сетки вытекает что точка С является результатом поворота точки В, вокруг точки А на угол 90° (см. задачу 16.8). Поэтому ABC есть равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Отсюда имеем равенство ∠ AВС = 45°.
Рис. 78
Учитывая также, что угол ABC составлен из угла AВС, тангенс которого равен у, и угла FBC, тангенс которого равен 1 /2, получаем равенство 
16.14. Наложим на квадрат ABCD сетку с шагом, равным четверти стороны квадрата, и обозначим узлы G и Н так, как указано на рис. 79. Тогда из равенства и расположения прямоугольных треугольников EFG и DFH вытекает, что Е является результатом поворота точки D вокруг точки F на угол 90° (см. задачу 16.8). Поэтому из равнобедренного прямоугольного треугольника DFE имеем равенства
Рис. 79
16.15. Расположим сетку так же, как это было сделано при решении задачи 16.14, и обозначим на луче узлы сетки G, H, К, а также узлы L, М, N и Р, Q, R в соответствии на рис. 80. Учитывая, что угол DF5 прямой, получаем равенства
Рис. 80
Теперь остается заметить справедливость соотношений
и посчитать тангенсы углов
После этого требуемые равенства получаются, если вместо указанных углов подставить соответствующие арктангенсы.
Рис. 81
16.17. Пусть прямая проходит через узлы В и С, а повернуть ее нужно вокруг узла В на угол с данным рациональным тангенсом α. Один из способов это сделать состоит в том, чтобы определить по узлам В и С тангенс β угла наклона прямой ВС к горизонтальному (или вертикальному) лучу BD, а затем найти тангенс γ угла наклона искомой прямой к тому же лучу по формуле
16.18. Если бы все вершины равностороннего треугольника одновременно лежали в узлах сетки, то, согласно утверждению задачи 16.16, углы при вершинах этого треугольника имели бы рациональные тангенсы; Однако хорошо известно, что это не так: 
— иррациональное число.
16.19. Все вершины правильного шестиугольника одновременно не могут лежать в узлах сетки, поскольку три его вершины, взятые через одну, являются вершинами правильного треугольника и уже эти три вершины не могут оказаться в узлах (см. задачу 16.18), а тем более все шесть вершин.
Рис. 82
16.21. Пусть три заданные линии сетки для определенности горизонтальны. Тогда рассмотрим вертикальную линию, которая пересекает их в точках A, В и С (рис. 83). Отложим от точки С по горизонтали точки D и Е так, чтобы выполнялись равенства CD = AB, DE = BC. Затем аналогично отложим от точки Е по вертикали точки F и G, а от точки G по горизонтали точку H, для которой GH = AB. Тогда точки В, D, F, Н являются вершинами квадрата (см. задачу 16.9), причем три из них В, D, H лежат на заданных линиях сетки.
Рис. 83
Для попадания четвертой вершины квадрата на одну из этих трех линий сетки необходимо и достаточно, чтобы средняя из линий была равноудалена от двух крайних, т. е. чтобы на рис. 83 выполнялось равенство АВ = ВС (четвертая вершина может находиться только на средней линии, которая тогда должна содержать диагональ квадрата со всеми вытекающими отсюда последствиями).
16.22. Докажем, что ни при каких значениях п, кроме л=4, правильный я-угольник не может иметь все вершины в узлах сетки. Случаи n = 3 и n = 6 рассмотрены в задачах 16.18 и 16.19. Пусть некоторый правильный n-угольник при n = 5 или n>6 все же удовлетворяет требованию задачи. Проведем в нем все; диагонали, соединяющие каждые две вершины, между которыми находятся ровно две вершины n-угольника (рис. 84). Тогда внутри рассматриваемого многоугольника образуется меньший, тоже правильный n-угольник, ограниченный проведенными диагоналями. При этом вершины меньшего многоугольника будут также лежать в узлах сетки, поскольку каждая из них будет являться четвертой вершиной параллелограмма (см. задачу 16.5), образованного некоторыми соседними сторонами большего многоугольника и параллельными им диагоналями: на рис. 84 таким параллелограммом является, например, четырехугольник АВСА’. Применив к меньшему многоугольнику те же рассуждения, мы получим еще меньший многоугольник, затем еще меньший и т. д. Однако этот процесс не может неограниченно продолжаться, так как сторона многоугольника при каждом уменьшении умножается на определенное число, меньшее 1, а значит, рано или поздно станет сама меньше шага сетки, что приведет нас к противоречию. Итак, сделанное выше предположение себя не оправдало.
Рис. 84
Рис. 85
16.24. Окружность с центром в узле сетки и радиусом 5 проходит, во-первых, через четыре попарно диаметрально противоположных угла сетки, лежащих на линиях, общих с центром окружности. Кроме того, она содержит по одной вершине от каждого из восьми прямоугольных треугольников с катетами 3 и 4, лежащими на линиях сетки, и с гипотенузой 5, один конец которой совпадает с центром окружности. Любая другая окружность указанного вида, содержащая более 4 узлов сетки, должна иметь радиус, равный гипотенузе прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами. Наименьший такой радиус равен 5 (см. задачу 7.7).
16.25. Как было замечено при решении задачи 16.24, число узлов сетки, лежащих на данной окружности с центром в узле и целым радиусом, полностью определяется количеством пифагоровых троек чисел, большее из которых равно радиусу этой окружности. Если таких троек нет, то число узлов равно 4, а если тройка только одна, то число узлов равно 8, и вообще каждая очередная тройка порождает 8 дополнительных узлов (именно 8, а не 4, поскольку меньшие числа пифагоровой тройки обязательно различны). Так как наименьшее число, участвующее в качестве большего числа сразу в двух пифагоровых тройках, равно 25 (см. решение задачи 7.7, где указаны, в частности, тройки 15, 20, 25 и 7, 24, 25), то искомый наименьший радиус окружности указанного вида, содержащей более 12 узлов сетки, равен как раз 25. Эта окружность проходит сразу через 20 узлов сетки. Ее четверть изображена на рис. 86.
Рис. 86