Установить что три плоскости имеют общую точку и вычислить ее координаты
Точка пересечения трех плоскостей
Чтобы найти координаты точки пересечения трех плоскостей, необходимо решить эти уравнения относительно х, у и z, при этом координаты точки пересечения должны удовлетворять уравнениям всех трех плоскостей.
Система уравнений трёх плоскостей имеет вид:
Если определитель этой системы не равен нулю,
то система имеет единственное решение и тогда три плоскости пересекаются в одной точке.
1. Если три плоскости не имеют ни одной общей точки ( или хотя бы две из них параллельны) — система уравнений не имеет решений.
2.Если плоскости имеют бесчисленное множество общих точек ( все они проходят через одну прямую), то система уравнений имеет бесчисленное множество решений.
3.Если система имеет одну общую точку, то система уравнений имеет только одно решение.
Пример 1
Исследовать, есть ли общие точки у плоскостей
x+y+z=1, x-2y-3z=5, 2x-y-2z=6
Оно имеет бесчисленное множество решений. Значит, три плоскости имеют бесчисленное множество общих точек, т. е. проходят через одну прямую. 
Решая эти уравнения совместно, получим координаты искомой точки x=-1; y=1; z=2.
Таким образом плоскости имеют одну общую точку (-1; 1; 2), так как система уравнений имеет единственное решение. 
Пример 3
Плоскости
не имеют общих точек, так как плоскости (1) и (2) параллельны.
Система уравнений несовместима (уравнения (1) и (2) противоречат друг другу). 
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 4.8 / 5. Количество оценок: 4
Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач
В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.
Общее уравнение плоскости: основные сведения
Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.
Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.
Уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства.
Раскроем чуть шире смысл теорем.
Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.
Общее уравнение плоскости, проходящей через точку
Решение
Подставим координаты точки М 0 в исходной уравнение плоскости:
Ответ: точка М 0 принадлежит заданной плоскости; точка N 0 – не принадлежит.
Решение
Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.
Возможно получить это уравнение другим способом.
Решение
Рассмотрим два способа решения.
Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:
Неполное общее уравнение плоскости
Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
A · 0 + B · 0 + C · 0 = 0 ⇔ 0 ≡ 0
Решение
Задачу возможно решить еще одним способом.
Решение
Уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки, не лежащие на одной прямой
В рамках этого материала мы разберем, как найти уравнение плоскости, если мы знаем координаты трех различных ее точек, которые не лежат на одной прямой. Для этого нам понадобится вспомнить, что такое прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Для начала мы введем основной принцип данного уравнения и покажем, как именно использовать его при решении конкретных задач.
Как найти уравнение плоскости, которая проходит через 3 заданные точки
Для начала нам необходимо вспомнить одну аксиому, которая звучит следующим образом:
Если три точки не совпадают друг с другом и не лежат на одной прямой, то в трехмерном пространстве через них проходит только одна плоскость.
Иными словами, если у нас есть три разных точки, координаты которых не совпадают и которые нельзя соединить прямой, то мы можем определить плоскость, проходящую через нее.
Зная координаты нормального вектора и координаты точки, через которую проходит плоскость, мы можем записать общее уравнение этой плоскости.
Из этого мы и будем исходить в дальнейшем.
На схеме это будет выглядеть так:
Запишем полученное уравнение в координатной форме:
От полученного в результате уравнения можно перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости, если этого требуют условия задачи.
В следующем пункте мы приведем примеры того, как указанные нами подходы реализуются на практике.
Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки
Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.
Решение
Используем поочередно оба способа.
Теперь вычислим их векторное произведение. Вычисления определителя расписывать при этом не будем:
Это и есть нужное нам уравнение плоскости, которая проходит через три точки.
Мы получили нужное нам уравнение.
А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.
Решение
Векторное произведение будет равно:
Если мы используем второй способ, у нас получится:
Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:
Через три точки можно провести плоскость
Гипермаркет знаний>>Математика>>Математика 10 класс>>Математика:Существование плоскости, проходящей через три данные точки
Существование плоскости, проходящей через три данные точки
Теорема 15.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть А, В, С — три данные точки, не лежащие на одной прямой (рис. 317). Проведем прямые АВ и АС; они различны, так как точки А, В, С не лежат на одной прямой. По аксиоме Сз через прямые АВ и АС можно провести плоскость 
. Эта плоскость содержит точки А, В, С.
Докажем, что плоскость а, проходящая через точки А, В, С, единственна. Действительно, плоскость, проходящая через точки А, В, С, по теореме 15.2 содержит прямые АВ и АС. А по аксиоме Сз такая плоскость единственна.
Задача (13). Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.
Решение. Пусть А, В, С — три точки, лежащие на прямой . Возьмем точку D, не лежащую на прямой (аксиома I). Через точки А, В, D можно провести плоскость (теорема 15.3). Эта плоскость содержит две точки прямой — точки A и В, а значит, содержит и точку С этой прямой (теорема 15.2).
Следовательно, через три точки, лежащие на одной прямой, всегда можно провести плоскость.
А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений
Календарно-тематическое планирование по математике, видео по математике онлайн, Математика в школе скачать
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь – Образовательный форум.
сколько плоскостей можно провести через
две различные точки
три различные точки
четыре точки никакие три из которых не лежат на одной прямой.
В рамках этого материала мы разберем, как найти уравнение плоскости, если мы знаем координаты трех различных ее точек, которые не лежат на одной прямой. Для этого нам понадобится вспомнить, что такое прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Для начала мы введем основной принцип данного уравнения и покажем, как именно использовать его при решении конкретных задач.
Как найти уравнение плоскости, которая проходит через 3 заданные точки
Для начала нам необходимо вспомнить одну аксиому, которая звучит следующим образом:
Если три точки не совпадают друг с другом и не лежат на одной прямой, то в трехмерном пространстве через них проходит только одна плоскость.
Иными словами, если у нас есть три разных точки, координаты которых не совпадают и которые нельзя соединить прямой, то мы можем определить плоскость, проходящую через нее.
Зная координаты нормального вектора и координаты точки, через которую проходит плоскость, мы можем записать общее уравнение этой плоскости.
Из этого мы и будем исходить в дальнейшем.
n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1
На схеме это будет выглядеть так:
Запишем полученное уравнение в координатной форме:
x – x 1 y – y 1 z – z 1 x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1 = 0
От полученного в результате уравнения можно перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости, если этого требуют условия задачи.
В следующем пункте мы приведем примеры того, как указанные нами подходы реализуются на практике.
Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки
Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.
Решение
Используем поочередно оба способа.
Теперь вычислим их векторное произведение. Вычисления определителя расписывать при этом не будем:
n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = – 5 · i → + 30 · j → + 2 · k →
Это и есть нужное нам уравнение плоскости, которая проходит через три точки.
x – x 1 y – y 1 z – z 1 x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1 = 0
x – x 1 y – y 1 z – z 1 x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1 = x – ( – 3 ) y – 2 z – ( – 1 ) – 1 – ( – 3 ) 2 – 2 4 – ( – 1 ) 3 – ( – 3 ) 3 – 2 – 1 – ( – 1 ) = = x + 3 y – 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = – 5 x + 30 y + 2 z – 73
Мы получили нужное нам уравнение.
А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.
Решение
Векторное произведение будет равно:
M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → – 4 6 2 – 6 9 3 = 0 · i ⇀ + 0 · j → + 0 · k → = 0 →
Если мы используем второй способ, у нас получится:
x – x 1 y – y 1 z – z 1 x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1 = 0 ⇔ x – 5 y – ( – 8 ) z – ( – 2 ) 1 – 5 – 2 – ( – 8 ) 0 – ( – 2 ) – 1 – 5 1 – ( – 8 ) 1 – ( – 2 ) = 0 ⇔ ⇔ x – 5 y + 8 z + 2 – 4 6 2 – 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0
Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:
Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости
В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.
Определение уравнения плоскости
Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.
Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.
Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.
Общее уравнение плоскости
Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.
Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.
Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.
Нормальное уравнение плоскости
Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.
Уравнение плоскости в отрезках
Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.
Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.