Успенский что такое доказательство

Семь размышлений на темы философии математики

Владимир Успенский

Предисловие

С 26 по 29 сентября 1985 г. в городе Обнинске проходил Всесоюзный симпозиум «Закономерности и современные тенденции развития математики». Автор принял участие в этом мероприятии по приглашению Владимира Ивановича Купцова, которому симпозиум в немалой степени обязан царившей на нем непринужденной, творческой и деловой атмосферой. Доклады сопровождались интенсивными обсуждениями, продолжавшимися на так называемых «круглых столах». Автор, не заявивший какого-либо специального доклада, неоднократно выступал в ходе этих обсуждений. Высказанные им соображения показались достойными опубликования Михаилу Ивановичу Панову, который и предложил оформить их в виде статьи для составляемого им сборника. Так появились настоящие «Семь размышлений». Вот их темы:

1. Действительно ли в математике все определяется и доказывается?

Математики, как правило, очень гордятся тем, что они математики. Источник гордости они видят в своей науке — причем не столько в той пользе, которую приносит математика, сколько в том, что это такая уникальная, ни на какую другую не похожая область знаний. И с этой исключительностью согласны и нематематики (так что величие математиков, к их удовольствию, осознается не только ими самими, но и окружающими). В самом деле, считается общепризнанным, что математика имеет по крайней мере следующие три присущие только ей черты. Во-первых, в математике, в отличие от других наук, все понятия строго определяются. Во-вторых, в математике — опять-таки в отличие от других наук — все строго доказывается из аксиом. В-третьих, математика непонятна в такой вызывающей уважительный трепет степени, какая недоступна ни одной другой пауке. Репетиторов по математике едва ли не больше, чем по всем другим школьным предметам, вместе взятым, а уж о современной «высшей» математике и говорить нечего: достаточно раскрыть любую монографию, а тем более журнальную статью. (Заметим, что обычно не задумываются, что третья из перечисленных черт вступает в известное противоречие с первыми двумя.)

Когда что-то слишком общеизвестно, закрадывается подозрение, не является ли это «что-то» мифом (ведь общественное мнение обладает автономным механизмом самоподдержания). Постараемся непредвзятым, по возможности, образом критически рассмотреть три только что названные общеизвестные черты математики.

Тогда, во-первых, обнаруживаем, что определить все математические понятия невозможно. Одно определяется через другое, другое через третье и т. д.; где-то мы должны остановиться. («Портной учился у другого, другой у третьего, да первый-то портной у кого же учился?» — справедливо замечает г-жа Простакова.) Рассказывают, что известный одесский математик С. И. Шатуновский, приводя определение все новых и новых понятий, в ответ на повторные вопросы «А что такое то-то и то-то» наконец не выдерживал и сам спрашивал: «А что такое «что такое?»»

Итак, первый из мифов о математике — «в математике все определено» — оказывается разрушенным. Перейдем ко второму: «В математике все доказывается из аксиом». Чтобы убедиться, что это не так и, таким образом, разрушить и этот миф, достаточно открыть классический школьный учебник геометрии А. П. Киселева, или какой-нибудь втузовский учебник математического анализа, или университетский учебник теории чисел. Мы встречаем в этих учебниках доказываемые теоремы, но вряд ли (за исключением аксиомы о параллельных — она же пятый постулат Евклида) найдем какие-либо аксиомы. Дело обстоит несколько загадочным образом. В самом деле, если нет аксиом, то на основе чего происходят доказательства, скажем теорем теории чисел? По-видимому, на основе здравого смысла и неких представлений об основных свойствах натуральных чисел, каковые представления, хотя и одинаковые у всех людей, не сформулированы явно в виде списка аксиом. (Насколько их можно сформулировать — тема следующего размышления.)

Необходима честная констатация того наблюдения, что в реальной математике сплошь и рядом встречаются теоремы, доказываемые без опоры на какие бы то ни было аксиомы. Сложнее дело обстоит с третьей отмеченной нами чертой математики — ее непонятностью. Проще всего сказать, что это миф, по если относительно первых двух черт достаточно было спросить самое математику — спросить и получить отрицательный ответ,— то здесь, конечно, обращение к математике с вопросом, понятна ли она, неуместно. А опрос общественного мнения, безусловно, выставит математику на призовое место по уровню непонятности. Выяснение причин этого явления — которое следует признать настолько объективным, насколько вообще могут быть объективными явления социальной психологии — тема отдельного большого исследования, на которое мы не замахиваемся. Некоторым комментариям на эту тему будет посвящено наше последнее размышление.

2. Можно ли определить понятие натурального числа?

Конечно, можно сказать, что натуральное число — это количество предметов в конечной совокупности. Эта формулировка, по-видимому, будет отвечать как значению (точнее, одному из значений) слова «определить», предложенному «Толковым словарем русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова [5] («дать научную, логическую характеристику, формулировку какого-либо понятия, раскрыть его содержание (научн.)»), так и формулировке Философской энциклопедии [11] («Определение» объекта, результаты изучения которого отображаются в соответствующих понятиях, «можно рассматривать как формулирование (в явной и сжатой форме) содержания этих понятий»). Подойдем, однако, к понятиям «определить», «определение» с позиций математика. А именно потребуем, чтобы определение содержало в себе исчерпывающую информацию об определяемом понятии — настолько исчерпывающую, что человек, ничего ранее не знавший об этом понятии, мог бы составить правильное представление о нем исключительно из предложенного определения. Можно ли в таком случае предположить, что человек, вовсе не знающий, что такое натуральное число (не термин, а именно понятие), может усвоить это понятие из первой фразы этого абзаца? Весьма сомнительно: вряд ли, искренне не зная, что такое число, он понимает, что количество предметов не означает, скажем, их суммарный вес, да и само понятие конечной совокупности предметов расплывается при переходе к очень большим совокупностям. Вероятно, все согласны, что триллион в триллионной степени — это натуральное число; но, однако, это число больше числа атомов во Вселенной. Неясно, насколько уместно говорить о конечной совокупности, состоящей из триллиона в триллионной степени количества предметов [16].

Сказанное не следует воспринимать как критику в адрес Н. Бурбаки и других авторов, предлагающих аналогичные формулировки. Разумеется, они, как и все люди, имеют априорное представление о натуральном числе (априорное, разумеется, по отношению к предлагаемому определению, но не к опыту). Они не ставят себе цель дать объясняющее определение понятия натурального числа (т. е. определение, посредством которого можно было бы обучить новичка). Их цель более скромная и более техничная: дать определение этому понятию в рамках излагаемой аксиоматической теории множеств. Можно определить понятие функции через понятие пары, а можно понятие пары через понятие функции. Ясно, что эти умственные построения имеют мало общего с объяснением непосвященному, что такое пара и что такое функция;

Все предыдущие рассуждения имеют целью подвести к следующей почти очевидной мысли. Оставим в стороне математическую и логическую «проблематику, связанную с поисками определения (а правильнее было бы сказать,— поисками отражения, моделирования) понятия натурального числа в рамках тон или иной аксиоматической теории. Займемся попытками дать «наивное» объяснение понятия натурального числа, позволяющее незнающему узнать, что это такое. Довольно скоро мы убеждаемся, что такие попытки бесплодны. Натуральное число следует признать первичным, неопределяемым понятием, одной из категорий математики.

3. Можно ли определить Натуральный Ряд (с прописной буквы)?

Потерпев неудачу в попытках определить, что такое натуральное число (или, напротив, обретя удачу в отнесении этого понятия к категории неопределяемых), обратимся к понятию Натурального Ряда. Натуральный Ряд — с большой, или прописной, буквы — это совокупность всех натуральных чисел. Если мы знаем, что такое натуральное число и понимаем слова «совокупность всех», то мы знаем и что такое Натуральный Ряд. Обратно, зная Натуральный Ряд, мы легко определим натуральное число как его элемент. Поэтому понятие Натурального Ряда столь же неопределимо, как и понятие натурального числа. (Впрочем, можно считать фразу «Натуральный Ряд есть множество всех натуральных чисел» законным определением понятия Натурального Ряда через первичные неопределимые понятия «натуральное число» и «множество всех».)

«Как же так? — воскликнет читатель. — А аксиомы Пеано? Разве они не определяют Натуральный Ряд?» Конечно нет, да они на это и не претендуют, если понимать Натуральный Ряд так, как мы его понимаем — т. е. как единственную (!) совокупность некоторых однозначно понимаемых сущностей, называемых натуральными числами. В самом деле, посмотрим, как выглядят аксиомы Пеано. Они гласят: «Ноль есть натуральное число, и ноль не следует ни за каким натуральным числом, и т. д.». Таким образом, они опираются па понятие «ноль» и «следовать за» (имеется в виду непосредственное следование). Но они не разъясняют, да и не могут разъяснить, что означают эти понятия (т. е. что такое «ноль» и что такое «следовать за»), а лишь указывают связи между ними. Причем аксиомы сформулированы таким образом, что если ноль этих аксиом — это обычный Ноль 7 Натурального Ряда, а «следование за» означает непосредственное следование одного числа за другим в Натуральном Ряду (так что за Нолем следует Единица, за Единицей — Двойка и т. д.), то все эти связи будут выполнены в Натуральном Ряду. Иными словами, аксиомы Пеано оказываются верными, истинными утверждениями при естественной их интерпретации на Натуральном Ряду. Но они, разумеется, будут верны не только на Натуральном Ряду, но и на всякой структуре, изоморфной 8 Натуральному Ряду. Например, если интерпретировать встречающийся в аксиомах Пеано термин «ноль» как наименьшее простое число, а термин «следовать за» — как переход от одного простого числа к ближайшему за ним следующему, то при такой интерпретации все аксиомы Пеано окажутся верными. Выходит, они, эти аксиомы, не дают даже возможности отличить Натуральный Ряд от совокупности всех простых чисел. Повторяю, они на это и не претендуют. Они претендуют на то, чтобы, как говорят, «определить Натуральный Ряд с точностью до изоморфизма». Более точно это означает, что аксиомы Пеано определяют не одну, а сразу много математических структур, причем все они изоморфны Натуральному Ряду и, следовательно, изоморфны между собой. Еще более точно, аксиомы Пеано определяют весь класс таких структур. Любую такую структуру будем называть натуральным рядом (с маленькой, или строчной, буквы!). Таким образом, Натуральный Ряд есть один из натуральных рядов.

Говоря коротко, изоморфизм двух математических структур — это взаимно-однозначное соответствие между совокупностями элементов первой структуры и второй структуры, сохраняющее определенные на этих структурах операции и отношения. В нашем примере изоморфизм между структурой (Натуральный Ряд с операцией «следовать за») и структурой (простые числа с операцией «следовать за») задает бесконечная таблица

Операция «следовать за» при этом соответствии действительно сохраняется: 6 следует за 5, и одновременно 17 следует за 13, и вообще у следует за х в верхнем ряду тогда и только тогда, когда соответствующие им члены нижнего ряда р_у и р_х (именно в этом порядке!) следуют один за другим (следуют в смысле, определенном для ).

Иногда говорят, что Натуральный Ряд — это есть ряд

ноль, один, два, три, …, сто двадцать шесть, …

(его членами являются выражения, составленные из русских букв и пробелов между словами); или ряд

(его членами являются выражения, составленные из арабских цифр);

, I, II, III, …, CXXVI, …

(его членами являются выражения, составленные из римских цифр с добавлением придуманного нами символа — римский ноль 9 ).

Разумеется, любой из этих рядов не есть Натуральный Ряд, (который состоит из абстрактных количественных категорий и не может быть изображен), а есть всего лишь ряд имен, обозначений для его членов, т. е. для натуральных чисел. Вместе с тем каждый из этих рядов имен может рассматриваться как один из натуральных рядов с маленькой буквы.

Вообще, никакая система математических аксиом никогда не определяет какую-либо структуру однозначным образом, а в лучшем случае — с точностью до изоморфизма. (Мы говорим «в лучшем случае», поскольку бывают и весьма важны системы аксиом, определяющие класс неизоморфных структур. Например, аксиомы теории групп определяют математические структуры, называемые группами, но не все они изоморфны между собой.)

Подведем итоги. Определить аксиоматически Натуральный Ряд невозможно. Можно попытаться определить аксиоматически понятие натурального ряда — т. е. понятие произвольной структуры, изоморфной Натуральному Ряду. Обсуждению этих попыток мы посвящаем наше следующее размышление.

4. Можно ли аксиоматически определить понятие натурального ряда (со строчной буквы)?

Среди структур сигнатуры 12 изоморфны». Немножко терпения, разберемся и с аксиомами Пеано.

А сейчас обсудим вот какой вопрос. На Натуральном Ряде определено не только отношение порядка « 13 отношение «быть простым числом» (напомним, что свойства мы трактуем как одноместные отношения); двуместная операция сложения; двуместная операция умножения; двуместная операция возведения в степень (причем 0 0 = 1); одноместная операция непосредственного следования (мы будем, как это часто делается, обозначать ее штрихом, так что, например, 0′ = 1; 13′ = 14); константы 0, 1, 2, 3, 4, … (напомним, что константы мы трактуем как нульместные операции); четырехместная операция [log_u+1(z + y x-z+u )] (здесь, как обычно, через [a] обозначается целая часть числа a); и многие другие. Мы привели лишь несколько примеров, а всего на определено несчетное количество операций и отношений. Для того чтобы определить понятие структуры, изоморфной , мы сперва должны из этого количества выделить некоторые (теоретически возможно — все) операции и отношения и рассмотреть изоморфизм относительно именно этих выделенных операций и отношений. На самом деле, поэтому не существует понятия натурального ряда просто, а только понятие натурального ряда относительно данного списка операций и отношений. Выше мы рассматривали понятие натурального ряда относительно списка, в котором операций не было вовсе, а отношение одно — отношение «быть меньше».

Выделенные на множестве операции и отношения называют в контексте наших рассмотрении — сигнатурными, а список таких операций и отношений — сигнатурой. Точнее, сигнатурой называют список не самих операций и отношений, а список их имен, но для наших целей это различие (само по себе очень важное) не слишком существенно, и нам проще его не замечать. Множество, с выделенными операциями и отношениями, образующими список , называется (математической) структурой сигнатуры . Теперь мы можем сказать, что всякий натуральный ряд является структурой той или иной сигнатуры . Поэтому следует говорить не о натуральном ряде вообще, а о натуральном ряде сигнатуры . До сих пор мы рассматривали случай, когда

= < 14 — конечную или бесконечную — мы не образовали, всегда для этой совокупности будут существовать структуры (сигнатуры <0, ′, 15 ).

Кажется сомнительным, чтобы язык со столь неясной семантикой мог служить удовлетворительным средством для аксиоматического определения чего-нибудь — в частности, натурального ряда.

И действительно, если мы проанализируем использование аксиомы индукции в процессе доказательства того, что любая модель аксиом I — III изоморфна , мы увидим, что здесь, по существу, используется то самое понятие натурального числа, которое мы еще только собираемся аксиоматически определить. Наше свойство P₀ означает «иметь вид 0′′ … ′». Многоточие в выражении «0′′ … ′» как раз и пытается заменить собою общее представление о натуральном числе. А выразить свойство P₀ без априорного представления о натуральном числе или без заменяющих его многоточия или слов «и т.д.» невозможно.

5. Можно ли доказать, что великую теорему Ферма нельзя ни доказать, ни опровергнуть?

Проблема континуума, упомянутая в конце нашего предыдущего размышления, относится к числу главных проблем, волновавших умы математиков. В знаменитом докладе «Математические проблемы», с которым великий Гильберт выступил в 1900 г. на Международном конгрессе в Париже, она была названа первой. Как было отмечено, проблема континуума оказалась неразрешимой: континуум-гипотезу невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

Перечисляя 23 основные проблемы математики, Гильберт не упомянул проблему доказательства (или опровержения) Великой теоремы Ферма. По-видимому, Гильберт не считал эту проблему достаточно важной. Тем не менее нет сомнения, что это самая знаменитая из нерешенных математических проблем. И притом единственная из нерешенных проблем, известных, к сожалению, широкой массе нематематиков. Мы написали «к сожалению», ибо ощутимый процент времени математиков-профессионалов тратится на изучение и опровержение сочинений ферматистов — так называются люди, не имеющие должной математической подготовки, но считающие, что именно они доказали теорему Ферма.

Строго говоря, теорему Ферма нельзя назвать теоремой. «Математическая энциклопедия» [22] определяет теорему как «математическое утверждение, истинность которого устанавливается путем доказательства».

Много факторов способствовало популярности теоремы Ферма в среде непрофессионалов. Среди них: 1) авторитетность автора: ее высказал один из создателей теории чисел — французский математик Пьер де Ферма; 2) почтенность возраста: она была высказана около 1630 г.; 3) романтические обстоятельства, при которых она была сформулирована: Ферма записал ее на полях «Арифметики» Диофанта издания 1621 г. Восьмая задача второй книги «Арифметики» Диофанта гласит: «Заданный квадрат разложить на два квадрата». Ферма сделал к этой задаче следующее замечание: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и вообще никакую степень большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». В бумагах Ферма доказательства найдено не было; 4) учреждение в 1908 г. премии Вольфскеля в сто тысяч германских марок за доказательство теоремы Ферма («приятный» факт учреждения большой премии, естественно, получил гораздо большую известность, чем «неприятный» факт ее полного обесценивания вследствие наступившей после первой мировой войны инфляции); 5) простота формулировки.

Конечно, первые четыре фактора не смогли бы сработать, не будь теорема Ферма столь общедоступна по своей формулировке. Вот в чем она состоит: Каково бы ни было целое число n, большее, чем 2, уравнение x n + y n = z n не имеет целых положительных решений.

Как видим, участвующее в формулировке теоремы Ферма уравнение рассматривают как уравнение с тремя неизвестными — x, y, z. Поскольку n может принимать значения 3, 4, 5, 6 и т. д., то на самом деле здесь бесконечная серия уравнений, и утверждается, что ни одно из них не имеет решения в таких целых x, y, z, что x > 0, y > 0, z > 0. С логической точки зрения более естественно рассматривать уравнение x n + y n = z n как одно уравнение с четырьмя неизвестными n, x, y, z. Теорема Ферма, стало быть, утверждает, что это уравнение не имеет целых решений, таких, что n > 2, x > 0, y > 0, z > 0.

Поиски доказательств теоремы Ферма продолжаются. Теоретически говоря, могли бы происходить и поиски ее опровержения, но они не происходят. Ситуация с гипотезой, называемой «теоремой Ферма», значительно отличается от той, которая имеет место для континуум-гипотезы: ведь для континуум-гипотезы, как мы знаем, доказано, что ее нельзя ни доказать, ни опровергнуть (более точно Гёдель в 1939 г. показал, что ее нельзя опровергнуть, а Коэн в 1963 г. — что ее нельзя доказать). Для гипотезы (теоремы) Ферма такое доказательство — доказательство невозможности ее ни доказать, ни опровергнуть — отсутствует. Спрашивается: это доказательство пока отсутствует (с надеждой его получить в будущем) или оно в принципе невозможно? Если бы это доказательство удалось получить, это несомненно принесло бы математике большую пользу, поскольку раз навсегда закрыло бы шлюз для потока безграмотных попыток доказать теорему Ферма. К сожалению, такое доказательство невозможно. И мы сейчас разъясним, почему невозможно. Правда, остается теоретическая возможность того, что удастся доказать, что теорему Ферма нельзя доказать. Появление такого доказательства также перекрыло бы вышеназванный шлюз — но тогда, вероятно, возник бы поток попыток опровергнуть теорему Ферма (например, путем предъявления в косвенной форме четверок астрономически больших чисел n, x, y, z, для которых нужное равенство было бы практически непроверяемым).

Итак предположим, что (а) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя доказать; (б) существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя опровергнуть.

Наша цель теперь — показать, что (а) и (б) несовместимы, т. е. не может быть, чтобы оба эти утверждения были истинны одновременно. На самом же деле мы обнаружим, что (б) несовместимо даже с более слабым, чем (а), утверждением (а₁): «теорему Ферма нельзя доказать». Именно, мы покажем, что из (б) следует наличие у теоремы ферма доказательства и тем самым отрицание (а₁).

Лемма 1. Если нельзя доказать, что четверки Ферма существуют, то их не существует.

Замечание. Пусть А — какое-либо утверждение. Нет никаких причин считать, что если нельзя доказать, что А, то А неверно. Однако — и в этом содержание леммы — это так, коль скоро А есть утверждение «четверки Ферма существуют».

Лемма 2. Если нельзя опровергнуть теорему Ферма, то теорема Ферма верна.

Замечание. Не видно причин, почему это должно быть верно для любой теоремы.

Доказательство леммы 2. Лемма 2 есть просто переформулировка леммы 1. Ведь «опровергнуть теорему Ферма» значит «доказать, что четверки Ферма существуют», а «теорема Ферма верна» значит «четверки Ферма не существуют».

Лемма 2, которую мы доказали, имеет строение «если P, то Q». Поэтому если P имеет доказательство, то и Q имеет доказательство (доказательство Q состоит в сочетании доказательства леммы с доказательством Р). Поэтому имеем такое

Следствие леммы 2. Если существует доказательство того, что нельзя опровергнуть теорему Ферма, то существует и доказательство того, что теорема Ферма верна, т. е. попросту, доказательство теоремы Ферма.

Ввиду важности этого следствия еще раз сформулируем его: если существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя опровергнуть, то теорему Ферма можно доказать. Итак, если (б), то теорему Ферма можно доказать, что и представляет собою обещанное отрицание утверждения (а₁).

Полученное противоречие и завершает наше рассуждение о том, что (а₁) и (б), а тем более (а) и (б) несовместимы.

Возникает следующий естественный вопрос: а почему проведенное рассуждение нельзя повторить для континуум-гипотезы? В самом деле, гипотеза (теорема) Ферма утверждает, что нет четверок Ферма, а континуум-гипотеза — что нет множеств мощности, промежуточной между и c. Давайте заменим четверку Ферма на множество промежуточной мощности, теорему Ферма — на континуум-гипотезу и еще раз проведем только что проведенное рассуждение. Мы должны, обязаны где-то споткнуться, ведь утверждения (а′) и (б′), получающиеся из (а) и (б) заменой слов «теорема Ферма» на слово «континуум-гипотеза», оба верны. Где же мы споткнемся? А вот где — в доказательстве леммы 1 (разумеется, не в первоначальной формулировке, а с заменой слов «четверки Ферма» на слова «множества промежуточной мощности»). Приведенное выше доказательство леммы 1 обосновывалось на следующей идее: можно фактически предъявить четверку чисел a, b, c, d и удостовериться, что она образует четверку Ферма. Но что значит предъявить множество? Могут возразить, что и мы, собственно, предъявляем не числа как количественные категории, их предъявить невозможно, можно только написать их имена (например, в виде нуля со штрихами или в виде десятичной записи). Но дело в том, что каждое натуральное число имеет имя, чего нельзя сказать о множествах: множеств больше, чем имен (если понимать последние как конечные комбинации знаков какого-нибудь алфавита). Но даже если ограничиться множествами, имеющими имена, и предъявлять вместо множеств эти имена, все равно остается главная трудность: как проверить, что предъявленное множество имеет промежуточную мощность? Проверить, что четверка чисел есть четверка Ферма, в принципе (если отвлечься от количества шагов и необходимого пространства) несложно: надо подставить числа в уравнение и сравнить левую и правую части. Способа же, который по предъявленному множеству определил бы его мощность или хотя бы определил, будет ли эта мощность удовлетворять неравенству 19 (подобно тому как алгоритмически проверяемо свойство четверки чисел «быть четверкой Ферма»). Итак, теорема Гёделя утверждает, что ни ∃x(x), ни ¬∃x(x) не имеют формального доказательства.

Ужесточим наши требования к представлениям о формальном доказательстве. Именно, потребуем, чтобы, коль скоро для какого-то алгоритмически проверяемого свойства утверждение ∃x оказывается истинным, то это утверждение ∃x обладает формальным доказательством. Это требование довольно естественно: оно реализуется при формализации следующих уже встречавшихся выше этапов: 1) предъявления некоторого с; 2) проверки, что это с удовлетворяет свойству ; здесь существенно и то, что с можно фактически предъявить, и то, что (с) можно фактически проверить.

Наше требование вытекает, в частности, из следующих двух еще более естественных требований:

1) если для числа с справедливо (алгоритмически) проверяемое свойство , то (с) обладает формальным доказательством;

2) для какого угодно свойства , если для некоторого c утверждение (с) обладает формальным доказательством, то и ∃x(x) обладает формальным доказательством.

Теперь рассуждениями, аналогичными тем, которые применялись в связи с теоремой Ферма, приходим к следующему выводу: если ни утверждение ∃x(x), ни его отрицание ¬∃x(x) не обладают формальным доказательством, то из одной только информации об этом обстоятельстве можно извлечь сведение, которое из этих двух утверждений верно: именно, верно ¬∃x(x).

Давайте еще раз оценим парадоксальность ситуации: из одного только факта, что ни А, ни не-А не обладают формальным доказательством, можно заключить, которое из этих двух высказываний истинно на самом деле.

6. Что такое доказательство?

В предыдущем размышлении встречались как термин «доказательство», так и термин «формальное доказательство». Иногда считают, что формальное доказательство — это такое доказательство, которое формально. Мы предпочитаем смотреть на эти понятия иначе.

Формальное доказательство — это математический объект, подобный, скажем, матрице или треугольнику. Это конечная цепочка знаков некоторого заранее фиксированного алфавита, т. е., как говорят в математике, слово в этом алфавите. Говоря «знак», мы не имеем в виду — в данном случае — какую-либо смысловую, содержательную сторону, но только внешнюю, графическую. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в математике, когда имеют в виду внешнюю, графическую сторону, говорят не «знак», а «буква». К числу букв относят обычно буквы алфавитов реальных языков (русского, латинского и т. д.), цифры, знаки препинания. Разумно отнести к числу букв и пробел между словами (словами в обычном, не математическом смысле), изобретая для его обозначения какой-либо специальный символ, например #. Это дает возможность текст, т. е. последовательность слов, также рассматривать как слово (в уточненном выше математическом смысле). Итак, формальное доказательство — это прежде всего слово в некотором алфавите — алфавите формальных доказательств. Разумеется, этим ни в малейшей степени не исчерпывается понятие формального доказательства: мы просто хотели подчеркнуть, что понятие формального доказательства относится к разряду слов — так же как понятие треугольника к разряду геометрических фигур.

Какие именно слова следует считать формальными доказательствами — это тема особого разговора, выходящего за круг сюжетов, которые мы хотели бы здесь обсудить. Подчеркнем, что возможны различные определения понятия формального доказательства, каждое из которых приводит к своему множеству формальных доказательств. Некоторые общие положения, которым должно подчиняться любое разумное определение, были: изложены в предыдущем размышлении. Заметим, впрочем, что иногда делают еще один шаг в сторону общности и не требуют заранее, чтобы формальными доказательствами обладали только истинные утверждения, полностью отделяя понятие формального доказательства от понятия истины. А затем это отброшенное требование вводят в виде дополнительного свойства (которым формальное доказательство, вообще говоря, может и не обладать): именно, множество формальных доказательств называют семантически непротиворечивым, если всякое утверждение, обладающее формальным доказательством, истинно. Более точно общие представления о формальных доказательствах излагаются с помощью понятия дедуктики (см., например, [21]).

Подчеркнем еще, что формальными доказательствами могут обладать (или не обладать) не сами содержательно понимаемые утверждения, а лишь их записи (т. е. опять-таки слова) в каком-либо точно заданном логико-математическом языке.

Определение понятия формального доказательства — быть может, лучше сказать: определение множеств формальных доказательств — в широких пределах (обусловленных указанными выше общими ограничительными свойствами множества формальных доказательств) произвольно. Здесь имеется в виду тот «юридический» произвол, который отличает математические определения вообще. Мы имеем «юридическое» право, например, произвольно определить класс функций и назвать, «как хотим», например — непрерывными.

Другое дело, что всякое разумное математическое определение обычно претендует на то, чтобы соответствовать некоторым интуитивным представлениям, отражать их. Законность определения еще не означает его разумности. Так, математическое понятие непрерывной кривой отражает (с той или иной точностью) наши интуитивные, содержательные представления о траектории движущейся точки. Аналогично понятие формального доказательства отражает интуитивные представления о содержательном доказательстве.

Можно сказать, что понятие формального доказательства является математической моделью понятия доказательства — в том же смысле, в каком понятие непрерывной кривой является математической моделью понятия траектории.

Остается выяснить, что же такое доказательство. Хотя, как мы отмечаем в самом начале настоящего очерка, неправильно полагать, что в математике все доказывается, нет сомнений, что понятие доказательства играет в математике центральную роль. «Со времен греков говорить «математика» — значит говорить «доказательство»» — так начинает свои «Начала математики» Николай Бурбаки [6, с. 23]. Вместе с тем мы отмечали, что понятие доказательства не принадлежит математике (математике принадлежит лишь его математическая модель — формальное доказательство). Оно принадлежит логике, лингвистике и больше всего — психологии.

Итак, термин «доказательство» — один из самых главных в математике — не имеет точного определения. А приблизительное его определение таково: доказательство — это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других [12].

Восприняв доказательство, мы делаемся в известной степени агрессивными, приобретая готовность убеждать других с помощью этого воспринятого нами рассуждения. Если же мы не приобретаем такой готовности, это значит, что мы еще не восприняли предъявленное нам рассуждение как доказательство и если даже признали его доказательством, то просто, чтобы отмахнуться.

Заметим, что понятия, присутствующие в нашем определении доказательства — либо логико-лингвистические («рассуждение»), либо психологические («убеждающая сила», «готовность»). Это полностью отвечает сути дела: само представление о доказательстве неразрывно связано с языковыми средствами и с социальной психологией человеческого общества. И то и другое изменяется с ходом истории. Меняется языковое оформление доказательств. Меняется и представление об убедительности.

Представление об убедительности зависит не только от эпохи, но и от социальной среды. К сожалению, я не могу сейчас вспомнить, где я читал пассаж на следующую тему. Кардиналы, современники Галилея, были неглупые люди, некоторые из них могли воочию наблюдать горы на Луне в Галилеев телескоп, а также с пониманием следить за логикой рассуждений Галилея. Однако для них их собственные взгляды, основанные на априорной догме, были убедительнее любого эксперимента и любой логики. (Интересный анализ того, как априорно суженное представление о способах показывания препятствует признанию некоторых фактов, приведен в статье С. П. Божича [13].)

Представление об убедительности того или иного рассуждения зависит от многих факторов. Выявление этих факторов представляется важной задачей логики и психологии. В число таких факторов входит, например, разделение понятий (а точнее, терминов) на осмысленные и бессмысленные. Понятия флогистона и теплорода, считавшиеся осмысленными в XVIII в., признаются сейчас бессмысленными. Эйнштейн открыл, что бессмысленным является и понятие одновременности двух событий — как объективное понятие, не зависящее от наблюдателя (более точно, он открыл, что одновременность не двуместное отношение между двумя событиями, а трехместное отношение, членами которого являются 1-е событие, 2-е событие и наблюдатель). С другой стороны, такое «очевидно бессмысленное понятие», как бесконечно малое число, наполняется сейчас точным смыслом в рамках новой ветви математики — так называемого нестандартного анализа. С изменением представлений об осмысленности или бессмысленности понятий меняется и представление и о самой сущности научной истины. Меняется представление об очевидности. Как в свое время все знали, что гроза вызывается высшими силами, так теперь все знают, что причина грозы — в атмосферном электричестве. Наличие у инертных газов свойства не вступать в химическое соединение было настолько очевидным, что это свойство было закреплено в самом названии «инертные»; когда же в 1962 г. были получены первые соединения с участием этих газов, химики, по-видимому, не испытали никакого стыда, а лишь с удовольствием констатировали, что «для объяснения строения этих соединений не потребовалось принципиально новых представлений о природе химической связи» (Большая Советская Энциклопедия, изд. 3-е, статья «Инертные газы»).

То, что человеческое знание меняется с ходом истории — разумеется, общее место. Здесь хотелось бы подчеркнуть, что в состав знания входят не только сами факты, но и исходные предпосылки, презумпции, на основе которых тот или иной факт делается членом системы знаний: представления об осмысленности и бессмысленности, об очевидности и неочевидности, о возможном и невозможном, о частном и общем, об убедительности и неубедительности, о доказанном и недоказанном, о достоверном и недостоверном. Все эти представления, хотя, возможно, и меняющиеся более медленно, чем простые представления о фактах, в сущности так же исторически относительны, как и последние.

В частности, социально-историческая обусловленность представлений о доказательствах вообще распространяется и на математические доказательства.

Для иллюстрации сказанного автор сейчас попытается изложить вкратце свои представления о понятии доказательства в Древнем Египте, в Древней Греции и в Индии.

В основе предлагаемой схемы лежит убеждение, что представление о доказательстве есть продукт социальной истории общества. Мы отдаем себе отчет в упрощенности наших исторических экскурсов, приписывая Древнему Египту централизованную государственность, хотя и там были периоды раздробленности, а Древней Греции — демократию, хотя и там случались тиранические или олигархические правления. Но любая схема предполагает упрощения.

Итак, Древний Египет. Централизованное теократическое государство с необычайно сильной дисциплиной. В качестве действенного инструмента поддержания централизации, дисциплины, порядка выступает постоянное строительство пирамиды, требующее колоссальных людских и материальных ресурсов и объединяющее усилия всей страны. Авторитет фараона и жрецов непререкаем. Непререкаем и авторитет написанного слова. Если что-то сказал или написал жрец, писец, учитель — значит, это так и есть. Если что-то написано на папирусе — значит, это так и есть. Убедительность основывается на авторитетности источника.

Иначе обстояло дело в Древней Греции. Сравнительно (с Египтом) небольшие государственные образования с народными собраниями. В народных собраниях выступают ораторы, не являющиеся носителями априорного авторитета. Они должны убедить слушателей посредством рассуждения. Формирование правильных рассуждений становится повседневной и актуальной потребностью. Отсюда — зарождение логики у Сократа и окончательное оформление ее в виде науки у Аристотеля. Отсюда же — приближающиеся к современным представления о доказательстве, начало дедуктивного метода в математике. Основой математической убедительности становится рассуждение. Возникает понятие об основах правильных рассуждений — аксиомах и постулатах. Убедительно (и следовательно, доказуемо) то, что может быть получено «законным рассуждением» из отправных утверждений, признаваемых справедливыми.

Наконец, Индия. Хотя те геометрические иллюстрации, на которые мы собираемся ссылаться, относятся к средневековой Индии, не исключено, что они появились уже в Индии древней. Вообще, датировка индийских математических представлений вызывает значительные трудности, поскольку одни тексты могут представлять собою изложение более ранних. С другой стороны, это и не так существенно: в то время как средневековый Египет и средневековая Греция не имели ничего общего с Древним Египтом и Древней Грецией, средневековая Индия оставалась хранителем духовного наследия древней Индии. Существенной чертой этого наследия являлось и является придание статуса высшей достоверности внутреннему озарению. Непосредственное внутреннее озарение представляет собой основной источник знания и обладает неоспоримой убедительностью. То, что познано таким образом, считается доказанным. Чтобы убедить в этом другого, надо привести его в такое состояние, чтобы и он мог испытать внутреннее озарение. Поэтому геометрические доказательства выглядели так: чертеж, а под ним подпись: «Смотри!»

Примеры таких чертежей с подписями «Смотри!», относящиеся к XII и XVI вв., приведены, например, в [9] на с. 76 и 154. Один из этих чертежей (он воспроизведен также на стр. 75 в [15]), на наш взгляд, достоин того, чтобы излагаться в сегодняшней средней школе: он нагляднее современных доказательств показывает, что площадь круга равна площади прямоугольника, стороны которого суть полуокружность и полудиаметр круга. Поэтому мы приводим этот чертеж здесь — см. рис. 5.

Автор отдает себе отчет, что его мнение по поводу индийских доказательств расходится с мнением такого авторитета в области истории математики, как А. П. Юшкевич, который пишет (см. [9, с. 155]): «Лаконичность выводов в индийских сочинениях по математике или наличие в последних чертежей с одной лишь припиской «Смотри»! не следует рассматривать как проявление особого подхода к проблеме доказательства или особого хода мышления». На наш взгляд, как раз следует. Почему же в противном случае такого рода «Смотри!» мы не встречаем нигде, кроме Индии?

Ценные соображения об эволюции понятия математического доказательства высказывает в [15] С. С. Демидов, который, в частности, указывает, «что доказательность математических рассуждений также в конечном итоге есть их убедительность. То, что нам казалось убедительным вчера, уже не кажется таким сегодня».

Определение доказательств как убеждающего текста делает понятие доказательства довольно-таки субъективным (для кого текст убеждающий, а для кого нет). Нам не представляется это недостатком определения. Такова суть вещей. Употребленное выше слово «делает», пожалуй, неудачно. Наше определение не столько делает понятие доказательства субъективным, сколько отражает субъективный характер этого понятия. Тем интереснее задача (от решения которой мы весьма далеки), почему же все-таки понятие доказательства носит характер общекультурный в том смысле, что в пределах одной и той же культуры споры о том, доказано или нет то или иное утверждение, хотя и бывают, но сравнительно редки.

Говоря о таких спорах, мы не имеет в виду несогласия между представителями разных логических направлений в математике, например, между представителями обычной, классической математики и представителями интуиционистской (конструктивистской) математики. Последние не признают доказанными (а, напротив, считают неверными) многие утверждения обычной математики. Можно считать, что интуиционисты и конструктивисты принадлежат к разным математическим культурам и даже самые привычные слова (такие, как, скажем, «существует») наполняют другим смыслом (разумеется, интуиционисты и конструктивисты считают, что это представители традиционной математики наполняют слова другим смыслом, а они, интуиционисты, как раз и употребляют эти слова в единственно правильном смысле). Поэтому интуиционисты считают неверными многие доказательства традиционной математики.

Мы говорим здесь о другом — не об изменении семантики терминов, ведущем к изменению истинностной оценки утверждений, а о том, что доказательство может оказаться непонятным и потому неубедительным (а раз неубедительным — значит, вообще не доказательством). Современная математика имеет сложное строение, которое почти перестает быть обозримым. Доказательства некоторых теорем оказываются столь громоздкими, что надо иметь чрезвычайно большое желание, терпение и время, чтобы их проверить. О том, что надо иметь специальные знания, нечего и говорить — для ряда теорем не только изобретение их доказательств, но и проверка этих доказательств оказывается доступной лишь узкому кругу изощренных специалистов.

Иногда интересуются объемом доказательства той или иной теоремы. При этом обычно имеют в виду, что в доказательстве разрешается использовать в виде готовых формулировок, уже не требующих доказательств, теоремы, установленные ранее. Будет ли такое рассуждение доказательством — т. е. убеждающим текстом — для того, кто не знаком с доказательствами этих «установленных ранее» теорем? Мы не беремся дать однозначный ответ на этот вопрос. Заметим еще, что само слово «ранее» вносит дополнительный субъективный «релятивистский» момент (две почти одновременно доказанные теоремы могут по-разному хронологически упорядочиваться разными наблюдателями). Если же запретить ссылаться в доказательстве на какие бы то ни было ранее доказанные теоремы и восходить непосредственно к определениям и первичным, неопределяемым понятиям (о которых мы рассуждали в нашем первом размышлении), то такое полное доказательство может в ряде случаев простираться на тысячи страниц математического текста (и быть затруднительным для восприятия даже еще более, чем доказательство, опирающееся хотя бы и на неизвестные читателю, но ясно сформулированные факты).

Изучение трудных математических доказательств можно сравнить с альпинистским восхождением на вершину. Уровень моря соответствует начальным понятиям. Восхождение от уровня моря может занимать месяцы, а его математический аналог (понимание доказательства) — годы. В обоих случаях — много промежуточных остановок. Сперва добираются до общего высокогорного лагеря, в котором собираются альпинисты, направляющиеся на различные окрестные вершины. Этому этапу соответствует получение серьезной математической подготовки, достаточной для владения более специальными темами. Затем начинается движение к избранной вершине, опять-таки с промежуточными лагерями и остановками. Для математика роль этих лагерей и остановок играют, соответственно, теории и теоремы. Как альпинист может совершить за свою жизнь ограниченное число восхождений, так и математик — узнать ограниченное число доказательств.

Следующая общая для альпинизма и математики черта является существенной — известная условность в выборе точки отсчета. Собственно восхождение начинается не с уровня моря, а с точки, куда профессиональные альпинисты могут добраться как бы без труда, хотя для обычных людей попадание в эту точку может представить весьма большие трудности. Собственно доказательство начинается с аналогичной точки: эта точка расположена на некоем общекультурном (имеется в виду математическая культура) уровне. Впрочем, при современном состоянии математики общность приставки «обще-» непрерывно снижается, и ныне многие доказательства начинаются с точки, доступной лишь узким специалистам. Вторая общая черта — расчлененность на этапы, наличие достаточного числа промежуточных остановок.

Откуда же в математике берется убеждение, что доказанные теоремы, доказательства которых он так никогда и не узнает, действительно являются доказанными, т. е. располагают доказательствами? Видимо, такое убеждение основано не на чем ином, как на доверии. Это положение внешне не должно казаться слишком странным. В самом деле, многие ли читатели этих строк видели остров Пасхи? Ведь для тех, кто его не видел, убеждение в том, что этот остров существует, также основано в конечном счете на доверии. Но если современное доказательство основано на доверии к авторитету, то в чем же его принципиальное отличие от древнеегипетского?

Ответ на этот непростой вопрос заключается, возможно, в том, что доказательства постепенно переходят из разряда явлений индивидуального опыта в разряд явлений опыта коллективного. Тенденция к выдвижению на первый план коллективного вообще характерна для истории цивилизации. Хорошо известно (и много обсуждено), что с развитием человеческого общества возникает и неуклонно усиливается разделение и кооперация труда. Лишь в глубокой древности человек мог сам, лично производить все необходимое для себя: сейчас каждый вынужден пользоваться результатами труда других. Известно (хотя и в меньшей степени обсуждено), что одновременно происходит разделение и кооперация научных знаний. Трудно сказать, когда — по-видимому, в средние века — еще находились отдельные ученые, способные охватить всю доступную их современникам сумму знаний. Сейчас каждый вынужден так или иначе использовать знания других. Аналогично обстоит дело и с доказательствами: деятельность в сфере производства и потребления доказательств стала в такой же степени объектом разделения и кооперации, как и деятельность в сфере производства и потребления знаний. Само понятие убедительности начинает терять свой индивидуализированный оттенок и все больше приобретает характер «коллективной убедительности». По-видимому, следует постепенно приучаться говорить об убедительности не для отдельного индивидуума, а для некоторого научного коллектива. При этом коллективная убедительность отнюдь не означает равную «непосредственную убедительность» для каждого в отдельности члена коллектива. Коллектив выступает не как простая сумма членов, а как единое целое. Смысл коллективной убедительности в том, что для каждой составной части доказательства найдется свой «отвечающий за нее» член коллектива, для которого непосредственно убедительна именно эта часть (а другие члены коллектива полагаются в данном вопросе на этого члена).

Век информатики вносит свои коррективы и в представления о доказательствах. Возникают, например, случаи, когда доказательство требует перебора столь большого числа вариантов, что этот перебор делается недоступным человеку — а машине доступен. Допустим, машина перебрала все требуемые варианты, и перебор привел к нужным результатам. Можем ли мы считать, что получили доказательство? А что если машина дала так называемый «сбой»? (Но ведь и человек может ошибаться!) Кроме того, необходима гарантия, что сама программа (работы машины) составлена правильно; правильность программы требует специального доказательства, и теория таких доказательств образует специальный раздел теоретического программирования.

Сами Аппель и Хакен высказывают такие мысли по поводу своего доказательства [20]: «При доказательстве было осуществлено беспрецедентное применение компьютеров. Дело в том, что используемые в доказательстве вычисления делают его более длинным, чем традиционно считается допустимым. На самом деле, правильность предложенного доказательства вообще не может быть проверена без помощи компьютера. Более того, некоторые из решающих идей доказательства материализовались посредством компьютерных экспериментов. Не исключено, конечно, что в один прекрасный день появится короткое доказательство теоремы о четырех красках… Вместе с тем не исключено, что такое короткое доказательство вообще невозможно. В этом последнем случае возникает новый и интересный тип теорем, для которых не существует доказательств традиционного типа».

В последнее время, однако, правильность доказательства Аппеля и Хакена стала подвергаться сомнению — причем как раз не машинная часть, а домашинная, теоретическая, та, в которой устанавливается, что к рассмотрению частных случаев действительно все сводится.

Комментарий. Скажем о ситуации с доказательством Аппеля и Хакена чуть подробнее. Основная идея этих авторов связана со следующими представлениями. Прежде всего авторы переходят от раскраски областей карты к раскраске вершин плоского графа, причем такого, который представляет собою триангуляцию. Далее, они называют конфигурацией любой подграф, образованный циклом и внутренностью этого цикла. Конфигурация называется сводимой, если некоторыми стандартными методами можно доказать, что она не может быть погружена в минимальный контрпример к гипотезе четырех красок. Множество конфигураций называется неизбежным, если каждая плоская триангуляция содержит как подграф одну из конфигураций множества. Из определений немедленно следует, что для решения (положительного) проблемы четырех красок достаточно предъявить неизбежное множество сводимых конфигураций. В [19] на с. 505—567 авторы предъявляют в явном виде 1834 сводимые конфигурации, образующие неизбежное множество. Длина цикла в каждой из этих конфигураций — 14 или менее того. И для поиска неизбежного множества, и для доказательства сводимости его членов использовался компьютер. Однако если в первом случае (построение множества) привлечение компьютера носило вспомогательный характер, поскольку само доказательство неизбежности найденного (теперь уже неважно, каким способом) множества не опирается на машинные вычисления, то во втором случае (проверка сводимости) использование компьютера является существенным компонентом доказательства, и на каждую конфигурацию идет примерно 10 минут машинного времени такой проверки. Оценивая доказательство Аппеля и Хакена, авторы обзора [23] указывают, что авторам доказательства понадобилось для его построения четыре года и 1200 часов машинного времени и что текст доказательства занимает 139 страниц, в том числе 99 страниц рисунков с более чем 30 рисунками в среднем на страницу. Они отмечают также, что «существенно переборный характер доказательства затрудняет его проверку (по оценке Аппеля проверка всех деталей требует 300 часов машинного времени)». Названные 300 часов относятся, по-видимому, к проверке сводимости. Однако, как мы уже отмечали, сомнения вызывает как раз немашинная часть — проверка неизбежности предъявленного множества конфигураций. Дело в том, что непосредственно в тексте [18] и [19] эта проверка исчерпывающим образом не проводится. На с. 460 текста сделано подстрочное примечание, в котором сообщено, что детали доказательства неизбежности предъявленного множества (более точно, детали доказательства лежащей в основе этой неизбежности так называемой теоремы о разряжении) содержатся на микрофишах, образующих специальное приложение к журналу. Автору этих строк, однако, не довелось увидеть это приложение.

Создается впечатление, что с развитием математики (и появлением все более и более сложных и длинных доказательств) доказательства теряют свое главное свойство — свойство убедительности. Делается непонятным, что же тогда остается от доказательства: ведь убедительность как бы входит в их определение. Кроме того, с усложнением доказательства возрастает его элемент субъективности. Конечно, формальное доказательство объективно. Но, во-первых, формальными доказательствами обладают не сами суждения, а их выражения, записи в формализованных языках. Во-вторых, проверка утверждения, что данный текст является формальным доказательством, хотя и осуществляется алгоритмически, может, при объемистом тексте, вызвать значительные практические трудности.

Большие доказательства начинают жить по каким-то своим, макроскопическим законам. При чрезмерном возрастании объема доказательства расплывается само представление о доказательстве — подобно тому как в «большом» расплывается понятие о натуральном числе (еще раз отсылаем читателя к статье П. К. Рашевского [16]).

Получается, что хотя все доказательства должны, по определению, быть убедительными, одни доказательства убедительнее других, т. е. как бы в большей степени являются доказательствами, чем другие. Возникает нечто вроде градации доказательств по степени доказательности — идея, которая, конечно, в корне противоречит первоначальным представлениям об одинаковой непреложности всех доказательств. Но ведь и математические истины допускают нечто вроде такой градации. Каждое из следующих трех утверждений: «2•2 = 4», «17 14 > 31 11 », «300! > 100 300 » истинно. Однако мы говорим: «Верно, как 2•2 = 4», но не говорим «Верно, как 17 14 > 31 11 » или «Верно, как 300! > 100 300 ».

7. Можно ли математику сделать понятной?

В чем причины того, что математика непонятна столь многим? Эта проблема волновала великого Пуанкаре:

«Чем объяснить, что многие умы отказываются понимать математику? Не парадоксально ли это? В самом деле… здесь имеется проблема, которая не легко решается, но которая должна занимать всех, желающих посвятить себя делу преподавания» [2, с. 353].

Скорее всего, «виноваты» обе стороны. Виноваты нематематики, приученные дурным воспитанием к непониманию и даже неприязненному отношению к математике (как указывает Пуанкаре, «зачастую ум людей, нуждающийся в руководящей нити, слишком ленив для поисков ее» [2, с. 354]). Виноваты математики, не желающие тратить свои усилия на то, чтобы разъяснить свою математику непосвященным (а сколько людей удивляется, что в математике еще осталось, что открывать!). Конечно, в математике всегда останутся многочисленные детали, недоступные непрофессионалу (и даже профессионалу, но в другой области математики). Но ведь так обстоит дело всюду — в шахматах, например, многие ходы Карпова и Каспарова в их сражениях друг с другом были непонятны даже гроссмейстерам. В то же время гораздо больше из математики, чем думают обычно, могло бы быть объяснено широким кругам доброжелательных слушателей и читателей — не в деталях, конечно, а на уровне общей сути. Разумеется это требует от математиков целенаправленной деятельности в новом для них направлении. Возможно, что в этом и состоит их нравственный долг перед человечеством.

«Но, чтобы помочь непонимающим, мы должны сначала хорошо узнать то, что их останавливает» [2, с. 354]. Во многих случаях, по-видимому, препятствием является сложное логическое строение математических определений и утверждений — строение, в котором логические связки и кванторы существования и общности чередуются друг с другом. Всякий преподававший математический анализ знает трудности, возникающие на пути параллельного усвоения понятия предельной точки последовательности, определение которой имеет структуру и понятие предела последовательности, определение которого имеет структуру . Однако являются ли возникающие при усвоении этих понятий учащимися психологические трудности трудностями сути дела или трудностями словесного выражения? Автор не знает окончательного ответа на этот вопрос, который связан с еще более глубоким вопросом: можно ли отделить математику от словесных формулировок? Иначе говоря, пребывает ли математика исключительно в математических текстах или же математика имеет некоторую отличительную от текстов сущность, а тексты служат лишь тем или иным (и потому, может быть, не всегда удачным) способом выражения этой сущности. По-видимому этот вопрос, который мы назвали более «глубоким», применим не только к математике, но и к любой другой науке. Математика же выделяется среди других наук тем, что она есть, по формулировке Энгельса, «абстрактная наука, занимающаяся умственными построениями» 25 [1, с. 529].

По-видимому, все же математические понятия, как и всякие разумные понятия, существуют в виде представлений, не обязательно связанных с текстами. Определяющие же эти понятия словесные тексты следует признать важным, но не единственным способом их усвоения.

Думается, что уже сегодня мы располагаем более совершенными способами внедрения в сознание обучающегося понятия предела и предельной точки последовательности (обучающегося, не имеющего специальных «математических способностей», которые — при современном понимании этого взятого в кавычки словосочетания — предполагают высокое умение воспринимать именно словесные формулировки). Представим себе экран, на котором рисуется траектория движения точки, неограниченно приближающейся к некоторой неподвижной точке, которая и есть предел. Этот сюжет многократно повторяется с изменением как положения предела (чтобы не создавалось ложного впечатления, что у всех последовательностей один и тот же предел), так и способа приближения движущейся точки к пределу (чтобы не создавалось, в частности, ложного впечатления, что расстояние между движущейся точкой и ее пределом изменяется монотонно). Можно представить и аналогичную наглядную иллюстрацию понятия предельной точки, когда траектория хотя и неограниченно приближается временами к той точке, но вместе с тем опять-таки временами отдаляется от нее на определенное расстояние. Кажется правдоподобным, что у любого наблюдающего такие картинки возникнет правильное представление и о пределе, и о предельной точке.

Можно быть уверенным, что с внедрением компьютеров преподавание пойдет по пути визуализации понятий, традиционно считавшихся совершенно абстрактными.

Если бы излагаемая тема имела только педагогическое значение, мы бы не останавливались на ней так подробно в сочинении философского характера. Однако тема выходит за рамки педагогики, смыкаясь с вопросом об онтологической природе математических сущностей. Вопрос же этот, как и всякий разумный теоретический вопрос, имеет прикладное значение — в данном случае, в порядке обратной связи, педагогическое. В самом деле, если математическое понятие имеет сущность, отдельную от воплощения в словесном определении или формуле, то можно надеяться на лучшее понимание этой сущности путем демонстрации различных ее проявлений (а не только формулировки).

Чтобы не быть голословными, приведем свежий пример. На с. 71—72 недавно вышедшего учебного пособия [24] приведена формула, определяющая некое математическое понятие — так называемый конус Кларка. Сформулировав определение, авторы пишут: «Однако с первого взгляда невозможно понять ни свойств конуса Кларка, ни сам смысл его формального определения». И дальше они сперва приводят эвристические соображения, позволяющие уяснить конус Кларка, а затем переводят эти соображения на язык нестандартного анализа. Здесь можно уловить мысль, что понятие конуса Кларка существует как бы само по себе; определение же в виде формулы — лишь один из способов (и не наиболее удобный) постижения этого понятия, а для лучшего постижения полезны описания вроде «результаты разглядывания множества в микроскоп» [24, с. 86].

Независимо от того, так ли это на самом деле, представляется плодотворной следующая рабочая гипотеза: подлинно глубокое математическое понятие или математическое утверждение должно быть в своей сути просто. А тогда есть надежда, что оно окажется понятным, (или, лучше сказать, понятым): ведь к простому легче привыкнуть, а мы не знаем иного толкования для «понять», чем «привыкнуть».

Литература

1. Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 20.

2. Пуанкаре А. О науке. М., 19ЯЗ.

3. Гильберт Д. Основания геометрии. М.: Л., 1948.

4. Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук. Т. 1. Догреческая математика. М.; Л., 1937.

5. Толковый словарь русского языка. М., 1938. Т. 2.

6. Бурбаки Н. Теория множеств. М., 1965.

7. Черч А. Введение в математическую логику. М., 1960.

8. Hornby A. S., Parnwell E. C. An English-reader′s dictionary. L.; Oxford, 1959.

9. Юшкевич А. П. История математики в средние века. М., 1961.

10. Потоцкий М. В. О педагогических основах обучения математике. М., 1963.

11. Горский Д.. Определение // Филос. энциклопедия. М., 1967. Т. 4. С. 150-152.

12. Успенский В. А. Предисловие // Математика в современном мире. М., 1967.

13. Божич С. П. О способах истинностной оценки естественнонаучного высказывания // Логика и эмпирическое познание. М., 1982.

14. Изоморфизм // БСЭ. 3-е изд. М., 1972. Т. 10.

15. Демидов С. С. К истории аксиоматического метода II История и методология естественных наук; Математика. Механика. М., 1973. Вып. 14.

16. Рашевский II. К. О догмате натурального ряда // Успехи мат. наук. 1973. Т. 28. Вып. 4 (172).

17. Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable // Bull. Amer. Math. Soc. 1976. Vol. 82, N 5.

18. Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable. Pt I: Discharging // III. J. Math. 1977. Vol. 21, N 3.

19. Appel K., Haken W., Koch J. Every planar map is four colorable. Pt II: Reducibility II Ibid.

20. Appel K., Haken W. The solution of the Four-Color-Map problem // Scientific American 1977. Vol.237, N 4.

21. Успенский В. А. Теорема Гёделя о неполноте. М., 1982.

22. Плиско В. Е. Теорема // Мат. энциклопедия. М., 1985. Т. 5.

23. Козырев В. П., Юшманов С. В. Теория графов: (Алгоритм., алгебраич. и метр. пробл.) // Теория вероятности: Мат. статистика. Теорет. кибернетика. М., 1985. Т. 23.

24. Кусраев А. Г., Нутателадзе С. С. Субдифференциалы и их применения: Учеб. пособие. Новосибирск, 1985.

25. Уроки открывает беседа с математиком Л. Понтрягиным: Интервью акад. Л. С. Понтрягина «Учит. газ.» // Учит. газ. 1985, 23 мая.

Примечания

1. Полезно представить себе граф, в котором в вершинах размещены слова, а стрелка идет от вершины Х в вершину Y в том случае если в словарной статье, толкующей слово X, встречается слово Y

2. Например, в толковом словаре английского языка Хорнби и Парнуэлла |8] оставлены без объяснений такие слова, как «thing» (в основном значении) и «all». К сожалению, для русского языка подобный словарь еще не создан.

3. Цитированные слова произнес «неглупый ученик» в оправдание сделанному на уроке заявлению, что шар, положенный на наклонную плоскость, покатится вверх. Этот замечательный эпизод описан в [10].

4. Пример акад. П. С. Александрова.

5. Давно пора покончить с анахронизмом, начинающим натуральный ряд с единицы. В пенале всегда какое-то натуральное число карандашей — может быть нуль. Натуральное число — это мощность (число элементов) конечного множества, в частности — пустого.

6. Автор пользуется случаем выразить свой протест против получившего, к сожалению, распространение русского перевода названия трактата Бурбаки как «Элементы математики» (в подлиннике «Elements de mathematique»). Французские издания «Начал Евклида» также озаглавлены «Elements». Параллель замыслов, Евклида и Бурбаки бросается в глаза. (Несколько менее очевидное сходство заключается в загадочности личностей обоих авторов и скудности биографических сведении о них. Ведь само существование Евклида как отдельного человека иногда также подвергается сомнению.) Перевод «Elements» как «Элементы» (в применении к сочинению Бурбаки) представляется чистым недоразумением.

7. Члены Натурального Ряда — Ноль, Один (Единица), Два (Двойка) и т. д. — мы пишем с большой буквы, чтобы подчеркнуть их уникальность, т. е. абсолютную единственность. Слова «Ноль», «Один» (или «Единица»), «Два» (или «Двойка») и т. д. — собственные имена в абсолютном смысле (такие, как слона «Солнце», «Луна», «Земля»), у каждого из них единственное значение — количество элементов пустого, одноэлементного, двухэлементного и т. д. множества. А «ноль» аксиом Пеано является именем собственным лишь относительно, в пределах данного контекста, а точнее — в контексте той структуры, которая описывается этими аксиомами. Таких структур много, и в каждой из них свой ноль.

8. По поводу понятий «изоморфизм», «изоморфный» мы отсылаем читателя ко второй из двух статей «Изоморфизм» в 3-м издании Большой Советской Энциклопедии [14].

9. Не отсутствием ли «римского ноля» в традиционном наборе символов объясняется упорное исключение ноля из натурального ряда? Короче говоря, не находимся ли мы в этом вопросе в плену у латыни?

10. Заметим в этой связи, что «физический» Натуральный Ряд, скорее всего, отличается от своей математической модели — «математического» Натурального Ряда. См. по этому поводу глубокую и недостаточно оцененную статью П. К. Рашевского [16].

11. Нетрудно заметить, что свойство формулы «быть закрытой» не зависит от того, в применении к какой структуре мы рассматриваем эту формулу; это свойство может быть определено чисто синтаксически по внешнему виду формулы. (Все переменные должны быть связаны кванторами; в этом и состоит закрытость.)

12. Моделью системы, или списка аксиом, называется всякая структура, удовлетворяющая каждой из аксиом системы.

13. «Вслед за У. В. Куайном мы принимаем этот этимологически более правильный термин вместо распространенного в настоящее время термина «unary»» ([7], примечание 29).

Источник