сколько видов решений можно применить для определения площади параллелограмма
Сторона параллелограмма AB равна с диагональю BD, длина которой 15 см, сторона AD равна 24 см.
1. Определи площадь параллелограмма.
2. Сколько видов решений можно применить для определения площади?
АН=DH=12
Высота по т.Пифагора
ВН=√(АВ²-АН²)=√(225-144)=9
S=9•24=216 см²
2) Для определения площади параллелограмма можно применить формулы:
а) Умножения высоты и стороны: S=h•a
б) Формулу Герона S= √p(p-a)(p-b)(p-c) для половины параллелограмма и последующего умножения на 2.
в) Формулу умножения сторон и синуса угла между ними: S=a•b•sinα=a•b•sinβ
Что касается формулы умножения диагоналей, то правильной будет Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними:
S=0,5•D•d•sinα=0,5•D•d•sin β
Б.Кут суміжний з кутом у 50°
Г. Зовнішній кут рівностороннього трикутника
Геометрия 8 класс Атанасян Задачи 459-482
Упражнения 459-482 из учебника «Геометрия 8 класс. УМК Атанасян» с ответами и решениями. Глава VI. Площадь. § 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции (52. Площадь параллелограмма. 53. Площадь треугольника. 54. Площадь трапеции). Геометрия 8 класс Атанасян Задачи 459-482 + ОТВЕТЫ.
Нажмите на спойлер, чтобы посмотреть ответ на задание.
Геометрия Атанасян. Глава 6.
§ 2. Площади параллелограмма,
треугольника и трапеции
Задачи №№ 459-482:
Задача № 460. Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма.
Задача № 461. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.
Задача № 462. Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Найдите площадь ромба.
Задача № 463. Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, равная 14 см, образует с ней угол в 30°. Найдите площадь параллелограмма.
Задача № 465. Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма.
Задача № 466. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна 15,2 см, а один из его углов 45°.
Задача № 467. Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур.
Задача № 469. Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведённая к стороне АВ, равна 11 см. Найдите высоту, проведённую к стороне ВС.
Задача № 470. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведённая к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведённую к меньшей из данных сторон.
Задача № 471. □ Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм.
Задача № 473. Через вершину С треугольника АВС проведена прямая m, параллельная стороне АВ. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием АВ имеют равные площади.
Задача № 474. Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.
Задача № 475. □ Начертите треугольник АВС. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.
Задача № 476. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.
Задача № 478. В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.
Задача № 480. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если:
а) АВ = 21 см, CD = 17 см, высота ВН равна 7 см;
б) ∠D = 30°, АВ = 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см;
в) ВС ⊥ АВ, АВ = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см.
Задача № 481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135°.
Задача № 482. Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.
Вы смотрели: Упражнения из учебника «Геометрия 8 класс. УМК Атанасян» с ответами и решениями. Глава VI. Площадь. § 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции (52. Площадь параллелограмма. 53. Площадь треугольника. 54. Площадь трапеции). Геометрия 8 класс Атанасян Задачи 459-482 + ОТВЕТЫ.
Площади фигур. Площадь параллелограмма.
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, полностью принадлежащей
одной плоскости. Если фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, то площадь
будет равна числу этих квадратов.
Параллелограмм это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и
лежат на параллельных прямых.
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус
Воспользуйтесь нашим калькулятором для расчета площади параллелограмма.
Для расчета площади других фигур воспользуйтесь этим калькулятором: площади фигур.
Формулы для определения площади параллелограмма:
1. Площадь параллелограмма по длине стороны и высоте.
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону
2. Площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними.
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.
3. Площадь параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними.
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
Нахождение площади параллелограмма: формула и примеры
Параллелограмм – это геометрическая фигура; четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.
Формула вычисления площади
По длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:
S = a ⋅ h
По двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма находится путем умножения длин его обеих сторон и синуса угла между ними:
S = a ⋅ b ⋅ sin α
По двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна одной второй произведения длин его диагоналей, умноженного на синус угла между ними:
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь параллелограмма, если длина его стороны равняется 7 см, а высоты – 4 см.
Задание 2
Найдите площадь параллелограмма, если его стороны равны 6 и 8 см, а угол между ними – 30°.
Задание 3
Найдите площадь параллелограмма с диагоналями, равными 4 и 6 см. Угол между ними составляет 90°.
Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Доказательство:
Пусть
1) Проведем высоту к прямой, содержащей сторону параллелограмма.
2) (как соответственные углы при параллельных прямых и и секущей Поэтому (по гипотенузе и острому углу).
3) Параллелограмм состоит из трапеции и треугольника а прямоугольник — из трапеции и треугольника Так как треугольники и равны, то равны и их площади, а потому равными будут площади параллелограмма и прямоугольника
4) Но и поэтому Следовательно,
Заметим, что если основание высоты — точка -совпадает с точкой или лежит на продолжении стороны то доказательство теоремы будет аналогичным.
В общем виде формулу площади параллелограмма можно записать так:
где — сторона параллелограмма, — высота, к ней проведенная.
Пример:
Докажите, что высоты ромба, проведенные из одной вершины, равны.
Доказательство:
Пусть — данный ромб, и — его высоты (рис. 232).
Ромб является параллелограммом, поэтому Но а значит
Пример:
Решение:
1) Пусть — данный параллелограмм, и — его высоты (рис. 232),
2) По условию поэтому
3) Пусть см, тогда см.
4) Так как по формуле площади параллелограмма или имеем уравнение: То есть откуда (см).
5) Тогда
Ответ. 40
Площадь параллелограмма
С помощью формулы площади прямоугольника можно доказать формулу площади произвольного параллелограмма.
Теорема (формула площади параллелограмма)
Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
где — сторона параллелограмма, — проведенная к ней высота.
Пусть — данный параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис. 145, а). Проведем его высоты и докажем, что Четырехугольник является прямоугольной трапецией, площадь которой можно вычислить двумя способами — как сумму площадей параллелограмма и треугольника или как сумму площадей прямоугольника и треугольника Треугольники равны по гипотенузе и катету как противолежащие стороны параллелограмма, как расстояния между параллельными прямыми). Следовательно, эти треугольники имеют равные площади. Тогда площади параллелограмма и прямоугольника также равны, т.е. Случаи, когда точка не является внутренней точкой отрезка (рис. 145, б, в), рассмотрите самостоятельно.
Пример:
Площадь параллелограмма равна а длины его высот — 3 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.
Решение:
Пусть дан параллелограмм с площадью и высотами (рис. 146).
Поскольку
Следовательно, периметр параллелограмма равен
Ответ: 42 см.
Решая приведенную задачу, можно заметить интересную закономерность: чем больше сторона параллелограмма, тем меньше проведенная к ней высота.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.