сколько диагоналей можно провести в шестиугольнике
ГДЗ учебник по математике 5 класс Бунимович. 19. Многоугольники. Номер №303
ЗАДАЧА−ИССЛЕДОВАНИЕ
Число диагоналей многоугольника можно подсчитать так:
• найти число диагоналей, выходящих из одной вершины, − их на 3 меньше, чем вершин (рисунок справа);
• умножить это число на число вершин;
• разделить результат на 2 (объясните почему).
Сколько диагоналей у семиугольника? десятиугольника? стоугольника? У какого многоугольника 9 диагоналей? 
Решение
Десятиугольник:
1 ) 10 − 3 = 7 (диагоналей) − выходит из каждой вершины;
2 ) 7 * 10 = 70 (диагоналей) − удвоенное количество;
3 ) 70 : 2 = 35 (диагоналей) − в десятиугольнике.
Стоугольник:
1 ) 100 − 3 = 97 (диагоналей) − выходит из каждой вершины;
2 ) 97 * 100 = 9700 (диагоналей) − удвоенное количество;
3 ) 9700 : 2 = 4850 (диагоналей) − в стоугольнике.
Пусть a ( вершин) в многоугольнике, тогда:
1 ) a − 3 (диагоналей) − выходит из каждой вершины;
2 ) a(a − 3 ) (диагоналей) − удвоенное количество;
3 ) a(a − 3 ) : 2 = 9 (диагоналей) − в многоугольнике;
a(a − 3 ) = 9 * 2
a(a − 3 ) = 18
18 = 3 * 6 = 9 * 2
Путем подбора можно вычислить, что a = 6, т.к.:
6 * ( 6 − 3 ) = 18
6 * 3 = 18
Значит у шестиугольника 9 диагоналей.
Ответ: 14 диагоналей; 35 диагоналей; 4850 диагоналей; у шестиугольника.
Сколько диагоналей в шестиугольнике? Как называется шестиугольник?
Шестигранник и диагоналей тоже шесть.
В этом случае название само за себя говорит: имеется шесть диагоналей.
Шестиугольник так и называется шестиугольником. Если хотите назвать его более «научно», назовите его «гексагоном» (в именительном падеже «гексагон»).
Диагональ правильного пятиугольника «стягивает» дугу в 144°. Проводим к концам диагонали радлиусы и получаем равнобедренный треугольник. Длину основания этого треугольника (диагонали пятиугольника) находим по стандартной процедуре d=2*r*sin(72°). Поскольку r=1, то получается d=2*sin(72°).
sin(72°) находим по формуле двойного угла sin(72°)=2*sin(36°)*cos(36°).
А значения sin(36°)=√((5-√5)/8) и cos(36°)=(1+√5)/4, мы с Вами уже неоднократно вычисляли и использовали.
Так очень же просто вывести формулу. Рассмотрим одну вершину n-угольника. К ней самой, а также к двум ближайшим вершинам диагональ не проведешь. Значит из каждой вершины можно провести (n-3) диагонали. Умножаем на количество вершин, и разделим на 2, так как при таком подсчете каждая диагональ посчитана дважды. Итого получается n*(n-3)/2. Теперь просто подставляем значения n.
Остается отметить, что формула пригодна только для полностью выпуклых многоугольников, т.е. не имеющих внутренних углов, превышающих 180 градусов.
В принципе, в математике есть для такого подсчета специальная формула, но гораздо лучше самому разобраться, что в ней откуда берется.