сколько 9 значных чисел делящихся на 5 можно составить путем перестановки цифр числа 377353752
Необходимо, чтобы это число заканчивалось на 5
Сколько двух значных чисел, сумма цифр которых равна нечетному числу, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3?
Сколько двух значных чисел, сумма цифр которых равна нечетному числу, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3.
Сколько трёхзначных чисел, делящихся на 6, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 9 без повторения цифр в числе?
Сколько трёхзначных чисел, делящихся на 6, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 9 без повторения цифр в числе?
Сколько трёхзначных чисел, делящихся на 6, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 9 без повторения цифр в числе?
Сколько трёхзначных чисел, делящихся на 6, можно составить из цифр 0, 1, 2, 5, 9 без повторения цифр в числе?
Сколько 4 значных чисел можно составить используя цифры 4и5?
Сколько 4 значных чисел можно составить используя цифры 4и5.
Какие двузначные числа не меняются при перестановке их цифр?
Какие двузначные числа не меняются при перестановке их цифр.
Сколько таких чисел?
Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если цифры в числе не повторяются?
Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если цифры в числе не повторяются?
Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если цифры в числе не повторяются?
Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если цифры в числе не повторяются?
Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если цифры в числе не повторяются?
Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если цифры в числе не повторяются?
Сколько четырёх значных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 если цифры в числе не повторяется?
Сколько четырёх значных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 если цифры в числе не повторяется?
Пракикум «Решение задач по комбинаторике»
Разделы: Математика
Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….
К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.
Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля (1623–1662) и Пьера Ферма (1601–1665) по теории азартных игр. Эти труды содержали принципы определения числа комбинаций элементов конечного множества. С 50-х годов 20 века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.
Основные правила комбинаторики – это правило суммы и правило произведения.
Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно сделать n + m способами.
Например, Если на тарелке лежат 5 яблок и 6 груш, то один плод можно выбрать 5 + 6 = 11 способами.
Если элемент А можно выбрать n способами, а элемент В можно выбрать m способами, то пару А и В можно выбрать n • m способами.
Например, если есть 2 разных конверта и 3 разные марки, то выбрать конверт и марку можно 6 способами (2 • 3 = 6).
Правило произведения верно и в том случае, когда рассматривают элементы нескольких множеств.
Например, если есть 2 разных конверта, 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 24 способами (2 • 3 • 4 = 24).
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториалом и обозначается символом n!
Например, 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120.
Принято считать 0! равным 1.
Число перестановок из n равна n!
Например, если есть 3 шарика – красный, синий и зелёный, то выложить их в ряд можно 6 способами (3 • 2 • 1 = 3! = 6).
Иногда комбинаторная задача решается с помощью построения дерева возможных вариантов.
Например, решим предыдущую задачу о 3-х шарах построением дерева.
Практикум по решению задач по комбинаторике.
1. В вазе 6 яблок, 5 груш и 4 сливы. Сколько вариантов выбора одного плода?
2. Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 алые и 4 жёлтые розы?
3. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С ведут три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
4. Сколькими способами можно составить пару из одной гласной и одной согласной букв слова «платок»?
гласные: а, о – 2 шт.
согласные: п, л, т, к – 4 шт.
5. Сколько танцевальных пар можно составить из 8 юношей и 6 девушек?
6. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно заказать?
Ответ: 28 вариантов.
7. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?
1 цифра – 3 способа
2 цифра – 3 способа
3 цифра – 3 способа
Ответ: 9 различных двузначных чисел.
8. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5, если цифры могут повторяться?
1 цифра – 2 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 2 способа
Ответ: 8 различных чисел.
9. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться?
1 цифра – 3 способа
2 цифра – 4 способа
Ответ: 12 различных чисел.
10. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых все цифры чётные?
1 цифра – 4 способа
2 цифра – 5 способов
3 цифра – 5 способов
Ответ: существует 100 чисел.
11. Сколько существует четных трёхзначных чисел?
1 цифра – 9 способов (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2 цифра – 10 способов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)
Ответ: существует 450 чисел.
12.Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из трёх различных цифр 4, 5, 6?
1 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
3 цифра – 1 способ
Ответ: 6 различных чисел.
13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А, В, С, D?
1 вершина – 4 способа
2 вершина – 3 способа
3 вершина – 2 способа
14. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,при условии, что ни одна цифра не повторяется?
1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
Ответ: 60 различных чисел.
15. Сколько различных трёхзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если любая из этих цифр может быть использована только один раз?
1 цифра – 2 способа
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
Ответ: 24 различных числа.
16. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал шести цветов?
1 полоса – 6 способов
2 полоса – 5 способов
3 полоса – 4 способа
17. Из класса выбирают 8 человек, имеющих лучшие результаты по бегу. Сколькими способами можно составить из них команду из трёх человек для участия в эстафете?
1 человек – 8 способов
2 человек – 7 способов
3 человек – 6 способов
18. В четверг в первом классе должно быть четыре урока: письмо, чтение, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?
1 урок – 4 способа
2 урок – 3 способа
3 урок – 2 способа
4 урок – 1 способ
19. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки разные?
1 урок – 8 вариантов
2 урок – 7 вариантов
3 урок – 6 вариантов
4 урок – 5 вариантов
5 урок – 4 варианта
8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720
20. Шифр для сейфа составляется из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?
1 цифра – 5 способов
2 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
4 цифра – 2 способа
5 цифра – 1 способ
5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120
21. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?
22. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и 9?
1 цифра – 8 способов
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 10 способов
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 10 способов
6 цифра – 10 способов
7 цифра – 10 способов
8 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 • 10 = 8.000.000
23. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана эта станция?
№ телефона 394
10 • 10 • 10 • 10 = 10.000
24. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?
Левые перчатки – 6 способов
Правые перчатки – 5 способов (6 перчатка того же размера, что и левая)
5 цифра – 2 способа (две чётные цифры)
4 цифра – 4 способа
3 цифра – 3 способа
2 цифра – 2 способа
1 цифра – 1 способ
26. Сколько существует четырёхзначных чисел, составленных из нечётных цифр и делящихся на 5?
Нечётные цифр – 1, 3, 5, 7, 9.
Из них делятся на 5 – 5.
4 цифра – 1 способ (цифра 5)
3 цифра – 4 способа
2 цифра – 3 способа
1 цифра – 2 способа
27. Сколько существует пятизначных чисел, у которых третья цифра – 7, последняя цифра – чётная?
1 цифра – 9 способов (все, кроме 0)
2 цифра – 10 способов
3 цифра – 1 способ (цифра 7)
4 цифра – 10 способов
5 цифра – 5 способов (0, 2, 4, 6, 8)
9 • 10 • 1 • 10 • 5 = 4500
28. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвёртая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечётные?
1 цифра – 5 вариантов (из 1, 3, 5, 7, 9)
2 цифра – 1 вариант (цифра 2)
3 цифра – 5 вариантов
4 цифра – 1 вариант (цифра 4)
5 цифра – 5 вариантов
6 цифра – 1 вариант (цифра 6)
5 • 1 • 5 • 1 • 5 • 1 = 125
29.Сколько различных чисел, меньших миллиона, можно записать с помощью цифр 8 и 9?
Однозначных – 2
Двузначных – 2 • 2 = 4
Трёхзначных – 2 • 2 • 2 = 8
Четырёхзначных – 2 • 2 • 2 • 2 =16
Пятизначных – 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32
Шестизначных – 2 • 2 • 2 • 2 2 • 2 = 64
Всего: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126
30. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Капитан – 11 способов
Заместитель – 10 способов
31.В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и ответственного за проездные билеты?
Староста – 30 способов
Ответ. за билеты – 29 способов
32. В походе участвуют 12 мальчиков, 10 девочек и 2 учителя. Сколько вариантов групп дежурных из трёх человек (1 мальчик, 1 девочка, 1 учитель) можно составить?
33. Сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными?
1 буква – 33 способа
2 буква – 32 способа
3 буква – 32 способа
4 буква – 32 способа
Сколько 9 значных чисел делящихся на 5 можно составить путем перестановки цифр числа 377353752
11 Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр: а) 1,2, 5, 6, 7, 8; б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?
Решение.
б) Дано 6 цифр: 0, 2, 5, 6, 7, 8, из них нужно составлять различные шестизначные числа. Отличие от предыдущей задачи состоит в том, что ноль не может стоять на первом месте.
Ответ: а) 720; б) 600 чисел.
11. Т. Сколько среди четырехзначных чисел (без повторения цифр), составленных из цифр 3, 5, 7, 9, таких, которые: а) начинаются с цифры 3;
а) Из цифр 3, 5, 7, 9 составляем четырехзначные числа, начинающиеся с цифры 3.
Фиксируем цифру 3 на первом месте; тогда на трех оставшихся местах в произвольном порядке могут располагаться цифры 5, 7 9 Общее количество вариантов их расположения равно Р3= 3!=6. Столько и будет разных четырехзначных чисел, составленных из данных цифр и начинающихся с цифры 3.
б) Заметим, что сумма данных цифр 3 + 5 + 7 + 9 = 24 делится на 3, следовательно, любое четырехзначное число, составленное из этих цифр, делится на 3. Для того, чтобы некоторые из этих чисел делились на 15, необходимо, чтобы они заканчивались цифрой 5.
Фиксируем цифру 5 на последнем месте; остальные 3 цифры можно разместить на трех местах перед 5 Рз = 3! = 6 различными способами. Столько и будет разных четырехзначных чисел, составленных из данных цифр, которые делятся на 15.
Ответ: а) 6 чисел; б) 6 чисел.
12. Т. Найдите сумму цифр всех четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 (без их повторения).
Каждое четырехзначное число, составленное из цифр 1, 3, 5, 7 (без повторения), имеет сумму цифр, равную 1+3 + 5 + 7=16.
Из этих цифр можно составить Р4 = 4! = 24 различных числа, отличающихся только порядком цифр. Сумма цифр всех этих чисел будет равна
16 hello_html_m4d36610e.gif = 384.
13. Т. Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число возможных комбинаций, если:
а) Олег должен находиться в конце ряда;
в) Олег и Игорь должны стоять рядом.
Решение.
а) Всего 7 мальчиков на 7 местах, но один элемент фиксирован, не переставляется (Олег находится в конце ряда). Число возможных комбинаций при этом равно числу перестановок 6 мальчиков, стоящих перед Олегом: Р6=6!=720.
пару как единый элемент, переставляемый с другими пятью элементами. Число возможных комбинаций тогда будет Р6 = 6! = 720.
Пусть теперь Олег и Игорь стоят рядом в порядке ИО. Тогда получим еще Р6 = 6! = 720 других комбинаций.
Общее число комбинаций, в которых Олег и Игорь стоят рядом (в любом порядке) равно 720 + 720 = 1 440.
Ответ: а) 720; б) 120; в) 1 440 комбинаций.
1hello_html_m3c563423.gif =362 880, или hello_html_m12882a1c.gifР9= 9! = 362 880.
15. М. Сколькими способами можно обозначить вершины куба буквами А, В, С, D, E, F, G, K?
16. Т. В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?
Всего 6 уроков, из них два урока математики должны стоять рядом.
«Склеиваем» два элемента (алгебра и геометрия) сначала в порядке АГ, затем в порядке ГА. При каждом варианте «склеивания» получаем Р5 = 5! = 120 вариантов расписания. Общее число способов составить расписание равно120 (AГ) +120 (ГА) = 240.
Ответ: 240 способов.
17. Т. Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы К, О, Н стоят рядом?
Дано 5 букв, из которых три буквы должны стоять рядом. Три буквы К, О, Н могут стоять рядом одним из Р3 = 3! = 6 способов. Для каждого способа «склеивания» букв К, О, Н получаем Р3 = 3! = 6 способов перестановки букв, «склейка», У, С. Общее число различных перестановок букв слова «конус», в которых буквы К, О, Н стоят рядом, равно 6 • 6 = 36 перестановок- анаграмм.
Каждый вариант расположения мальчиков может сочетаться с каждым из вариантов расположения девочек, поэтому по правилу произведения общее число способов рассадить детей в этом случае равно 120hello_html_m491b39d8.gif20= 14400.
Ответ: 3 628 800 способов; 14 400 способов.
19. Т. Пять мальчиков и четыре девочки хотят сесть на девятиместную скамейку так, чтобы каждая девочка сидела между двумя мальчиками. Сколькими способами они могут это сделать?
Каждый способ размещения девочек может сочетаться с каждым способом размещения мальчиков, поэтому по правилу произведения общее число способов равно: Р4hello_html_552d120f.gif20 = 2 880 способов.
Ответ: 2 880 способов.
20. Ф. Разложить на простые множители числа 30 и 210. Сколькими способами можно записать в виде произведения продых множителей число: 1) 30; 2) 210?
Разложим данные числа на простые множители:
30 = 2hello_html_12f685af.gif; 210 = 2hello_html_m2e795925.gif.
Число 30 можно записать в виде произведения простых множителей
Р3 = 3! = 6 разными способами (переставляя множители).
Число 210 можно записать в виде произведения простых
множителей Р4 = 4! = 24 разными способами.
Ответ: 1) 6 способов; 2) 24 способа.
21. Ф. Сколько различных четных четырехзначных чисел с неповторяющимися цифрами можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 5?
Чтобы число было четным, оно должно заканчиваться четной цифрой, т. е. 2. Зафиксируем двойку на последнем месте, остальные три цифры должны стоять перед ней в произвольном порядке. Количество различных перестановок из 3 цифр равно P3 = 3! = 6; следовательно, различных четных четырехзначных чисел будет также 6 (к каждой перестановке из трех цифр добавляется цифра 2).
22. Ф. Сколько различных нечетных пятизначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно записать с помощью Цифр 1,2, 4, 6, 8?
Чтобы составленное число было нечетным, необходимо, чтобы оно оканчивалось нечетной цифрой, т. е. единицей. Остальные 4 Цифры можно переставлять местами, располагая каждую перестановку перед единицей.
Общее число нечетных пятизначных чисел равно числу перестановок: Р4 = 4! =24.
23. Ф. Сколько различных шестизначных чисел с неповторяющимися цифрами можно записать с помощью цифр 1; 2 3, 4, 5, 6, если: 1) число должно начинаться с 56; 2) цифры 5 и 6 в числе должны стоять рядом?
Две цифры 5 и 6 фиксируем в начале числа и дописываем к ним различные перестановки из 4 оставшихся цифр; количество различных шестизначных чисел равно: Р4 = 4! = 24.
Условно будем считать пару 56 одной цифрой и переставлять ее с четырьмя остальными цифрами; получим Р5 = 5! = 120 различных чисел из 5 цифр, среди которых одна условная, двойная.
Если считать условной цифрой пару 65, то получим еще Р5 = 5! = = 120 различных чисел.
Общее количество различных шестизначных чисел, в которых цифры 5 и 6 стоят рядом (в любом порядке), равно 120 + 120 = 240 чисел. (Варианты 56 и 65 несовместны, не могут реализоваться одновременно; применяем комбинаторное правило суммы.)
Ответ: 1) 24 числа; 2) 240 чисел.
24. Ф. Сколько различных четных четырехзначных чисел, в записи которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1,2,3,4?
Четное число должно оканчиваться четной цифрой. Фиксируем на последнем месте цифру 2, тогда 3 предшествующие цифры можно переставить Р3 = 3! = 6 различными способами; получим 6 чисел с двойкой на конце. Фиксируем на последнем месте цифру 4, получим Р3 = 3! = 6 различных перестановок трех предшествующих цифр и 6 чисел, оканчивающихся цифрой 4.
Общее количество четных четырехзначных чисел будет 6 + 6 = 12 различных чисел.
Замечание. Общее количество вариантов мы находим, пользуясь комбинаторным правилом суммы (6 вариантов чисел, оканчивающихся двойкой, 6 вариантов чисел, оканчивающихся четверкой; способы построения чисел с двойкой и с четверкой на конце являются взаимоисключающими, несовместными, поэтому общее количество вариантов равно сумме числа вариантов с двойкой на конце и числа вариантов с 4 на конце). Запись 6 + 6 = 12 лучше отражает основания наших действий, чем запись Рhello_html_61b3018f.gif.
25. Ф. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 1) 12; 2) 24; 3) 120?
Особенностью этой задачи является то, что в разложении каждого из данных чисел есть одинаковые, повторяющиеся множители. При образовании различных перестановок из множителей мы не получим новую перестановку, если поменяем местами какие-нибудь два одинаковых множителя.
1) Число 12 разлагается на три простых множителя, два из которых одинаковы: 12 = hello_html_4ceccab8.gifhello_html_2acfdf34.gif.
Если бы все множители были различны, то их можно было бы переставить в произведении Р3 = 3! = 6 различными способами. Чтобы перечислить эти способы, условно «различим» две двойки, подчеркнем одну из них: 12 = 2hello_html_4c79c33a.gif.
Тогда возможны следующие 6 вариантов разложения на жители: hello_html_5df3b42f.gifhello_html_5df3b42f.gif
Но на самом деле подчеркивание цифр не имеет в математике никакого значения, поэтому полученные 6 перестановок в обычной записи имеют вид:
т. е. фактически мы получили не 6, а 3 различные перестановки Количество перестановок уменьшилось в два раза за счет того, что мы не должны учитывать перестановки двух двоек между собой.
Можно рассуждать иначе, основываясь только на комбинаторном правиле произведения.
Чтобы составить произведение из трех множителей, сначала выберем место для множителя 3; это можно сделать одним из трех способов. После этого оба оставшихся места заполняем двойками; это можно сделать 1 способом. По правилу произведения общее число способов равно: 3-1 =3.
Чтобы составить произведение из четырех множителей, сначала выберем место для множителя 3; это можно сделать одним из четырех способов. После этого все три оставшихся места заполним двойками; это можно сделать 1 способом (двойки неразличимы между собой, поэтому просто пишем на каждое свободное место по двойке). По правилу произведения получим 4hello_html_m36b86dac.gif1=4 различных записи произведения.
3) Число 120 разлагается на 5 простых множителей (2,2,2,3,5), из которых три- одинаковые. В этом случае hello_html_m7b9e2f32.gif, Рх=20.
Второй способ. Составляя произведение из пяти множителей, сначала выберем место для пятерки (5 способов), затем для тройки (4 способа), а оставшиеся 3 места заполним двойками (1 способ); по правилу произведения 5 • 4 • 1 = 20.
Ответ: 1) 3; 2) 4; 3) 20.
26. Ф. Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом, чтобы 3 клетки были красными, а 3 оставшиеся были закрашены (каждая своим цветом) белым, черным или зеленым?
Ответ: 120 способов.
27.Т. Пешеход должен пройти один квартал на север и три квартала на запад. Выпишите все возможные маршруты пешехода.
Количество различных маршрутов равно Р4 = hello_html_11e512a4.gif hello_html_m6dcc6463.gif
Иначе: выбираем одно место из 4 для буквы с; количество вариантов равно hello_html_m57310d7c.gif= 4.
б) В 9 «А» классе в среду 5 уроков: алгебра, геометрия, физкультура, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на этот день?
в) Сколькими способами четыре вора могут разбежаться по одному на все четыре стороны?
г) Адъютант должен развезти пять копий приказа генерала пяти полкам. Сколькими способами он может выбрать маршрут доставки копий приказа?
г) Под маршрутом будем понимать последовательность, посещения полков. Первым можно