с помощью функции распределения можно описать
Функции случайных величин
Закон распределения вероятностей функции одной случайной величины
При решении задач, связанных с оценкой точности работы различных автоматических систем, точности производства отдельных элементов систем и др., часто приходится рассматривать функции одной или нескольких случайных величин. Такие функции также являются случайными величинами. Поэтому при решении задач необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величин. При этом обычно известны закон распределения системы случайных аргументов и функциональная зависимость.
Таким образом, возникает задача, которую можно сформулировать так.
Рассмотрим задачу о законе распределения функции одного случайного аргумента
Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения
и искомый ряд распределения имеет вид
Если же среди чисел есть одинаковые, то каждой группе одинаковых значений нужно отвести в таблице один столбец и соответствующие вероятности сложить.
Пример 1. Случайная величина распределена с плотностью
Решение. Обратная функция неоднозначна. Одному значению аргумента соответствуют два значения функции
Закон распределения функции двух случайных величин
Будем полагать, что эта система однозначно разрешима относительно
и удовлетворяет условиям дифференцируемости.
Плотность распределения случайной величины
Математическое ожидание функции случайных величин
На практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики. Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределения этих функций.
Пусть случайная величина является функцией случайного аргумента с заданным законом распределения
Пусть — дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения
Составим таблицу значений величины и вероятностей этих значений:
так как величина, определяемая формулой (6.4), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут заранее объединены, а порядок членов изменен.
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле
Рассмотрим случаи, когда для нахождения математического ожидания функции случайных аргументов не требуется знание даже законов распределения аргументов, а достаточно знать только некоторые их числовые характеристики. Сформулируем эти случаи в виде теорем.
Теорема 6.1. Математическое ожидание суммы как зависимых, так и независимых двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
Теорема 6.2. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:
Следствие 6.1. Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Следствие 6.2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Дисперсия функции случайных величин
Приведем расчетные формулы только для случая непрерывных случайных аргументов. Для функции одного случайного аргумента дисперсия выражается формулой
Формулу (6.5) можно заменить на следующую:
Теорема 6.3. Дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин плюс удвоенная сумма корреляционных моментов каждой из слагаемых величин со всеми последующими:
Следствие 6.3. Дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:
Теорема 6.4. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин вычисляется по формуле
Корреляционный момент функций случайных величин
Раскрывая скобки и применяя свойства математического ожидания, получаем
Рассмотрим две функции случайной величины
Согласно формуле (6.6)
т.е. корреляционный момент двух функций случайных величин равен математическому ожиданию произведения этих функций минус произведение из математических ожиданий.
Свойство 1. От прибавления к случайным величинам постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не изменяются.
Свойство 2. Для любых случайных величин и абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин:
Следствие 6.5. Для любых случайных величин и абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы: