периметр равнобочной трапеции в которую можно вписать окружность равен 20 чему равна боковая сторона

Решение №2408 В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

Проведём высоты из вершин В, С и через точку пересечения диагоналей О (ВН = МК = СР). Искомое расстояние это МО :

Трапеция равнобедренная, значит боковые стороны равны:

Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма противоположных сторон равна:

ВС + AD = AB + CD = 2AB

Периметр равен 160, сумма всех сторон трапеции:

ВС + AD + AB + CD =20
2AB + 2AB = 20
4AB = 20
AB = 20/4 = 5
CD = 5

Площадь трапеции равна 20:

МК = ВН = СР = 4

В прямоугольном ΔАВH найдём АН по теореме Пифагора:

АН = РD = 3 – как отрезки образованные высотами равнобедренной трапеции.

ВС + AD = 2·AB
ВС + HP + AH + PD = 2·5
2ВС + 2·3 = 10
2ВС = 10 – 6
2ВС = 4
ВС = 4/2 = 2

Найдём AD:

AD = AH + HP + PD = BC + 2·AH = 2 + 2·3 = 8

Пусть искомое расстояние МО = х, тогда ОК = МК – МО = 4 – х.
ΔВОС подобен ΔАОD по двум равным углам, ∠ВОС = ∠АОD как вертикальные, ∠СВО = ∠АDО – как накрест лежащие при двух параллельных прямых и секущей.
Значит в данных треугольника соответствующие стороны и высоты пропорциональны, составим отношение:

Источник