Сфера, вписанная в пирамиду
Биссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости
Определение 1. Биссекторной плоскостью двугранного угла называют такую плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит этот угол на два равных двугранных угла (рис. 1).
Утверждение 1. Точка, расположенная внутри двугранного угла, находится на одном и том же расстоянии от граней этого угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссекторной плоскости.
Таким образом, справедливость утверждения вытекает из соответствующих теорем о свойствах биссектрисы угла. Доказано.
Следствие 1. Если сфера, расположенная внутри двугранного угла, касается каждой из плоскостей граней этого угла, то центр сферы находится на биссекторной плоскости двугранного угла (рис. 3).
Сфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы
Определение 2. Сферой, вписанной в пирамиду, называют такую сферу, которая касается плоскостей всех граней пирамиды, причем точки касания лежат на гранях пирамиды (рис. 4).
Определение 3. Если сфера вписана в пирамиду, то пирамиду называют описанной около сферы.
Если сфера вписана в пирамиду, то она касается граней каждого внутреннего двугранного угла, образованного соседними гранями пирамиды. В соответствии со следствием 1 центр вписанной в пирамиду сферы должен находиться в точке пересечения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды.
Если у пирамиды нет точки, в которой пересекаются биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды, то в такую пирамиду нельзя вписать сферу.
Замечание 1. Для того, чтобы проверить, можно ли в пирамиду вписать сферу, достаточно проверить, существует ли точка пересения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды. Если такая точка существует, то она будет равноудалена как от основания пирамиды, так и от каждой из боковых граней.
Рассмотрим несколько типов пирамид, в которые можно вписать сферу.
Катет OB прямоугольного треугольника SOB выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле
Катет OO’ прямоугольного треугольника OO’B выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле
Поскольку длина отрезка OO’ не зависит от выбора боковой грани пирамиды, то биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды пересекаются в точке O’, которая и является центром вписанной в пирамиду сферы.
Доказательство утверждения 2 завершено.
Поскольку у любой правильной пирамиды все внутренние двугранные углы при основании равны, то справедливо
Следствие 2. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу, причем ее радиус R выражается через высоту пирамиды h и внутренний двугранный угол при основании пирамиды φ по формуле
 | (1) |
Буквой R на рисунке 7 обозначен радиус вписанной в пирамиду сферы, буквой r – радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а буквой φ – внутренний двугранный угол при основании пирамиды. Из прямоугольного треугольника OSB получаем
 | (2) |
В силу следствия 2 из формул (1) и (2) получаем
из формулы (3) получаем соотношение
Ответ. 
Следствие 3. Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен
Следствие 4. Радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a, равен
Следствие 5. Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен
Следствие 6. Радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен
Сфера, вписанная в треугольную пирамиду.
Формула для радиуса вписанной сферы
Утверждение 3. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.
Доказательство. Доказательство этого утверждения напоминает планиметрическое доказательство возможности вписать окружность в произвольный треугольник.
Получим формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной в тетраэдр SABC сферы. Для этого заметим, что объем пирамиды SABC равен сумме объемов пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB, причем высота каждой из пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB равна радиусу R вписанной в пирамиду SABC сферы. Если обозначить площади граней тетраэдра SABC символами
а объемы пирамид SABC, OABC, OSCA, OSAB, OSCB – символами
то справедливы следующие равенства:
где символом Sполн обозначена площадь полной поверхности пирамиды SABC.
Замечание 2. Если в пирамиду (необязательно треугольную) можно вписать сферу, то, рассуждая аналогично, можно получить следующую формулу для радиуса вписанной в пирамиду сферы
где символами Vпир и Sполн обозначены объем и площадь полной поверхности пирамиды соответственно.
Около любой пирамиды можно описать сферу
Проверяемые элементы содержания и виды деятельности: владение понятиями о стереометрических фигурах; знание их свойств; знание формул для вычисления площадей поверхностей и объемов тел; умение применять эти знания при решении задач.
Ориентировочное время выполнения учащимися: 10—15 минут.
• Элементы, площадь поверхности, объем стереометрических фигур.
Особенности экзаменационных заданий по стереометрии
Задания этого вида представляют собой стереометрические задания на установление взаимосвязи между основными элементами многогранников и круглых тел, а также на использование формул для вычисления их площадей поверхностей и объемов. Вычислительной трудности задания не представляют; решение, как правило, сводится к использованию одной-двух формул. Соответствующие формулы нужно знать наизусть.
Куб — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Куб является частный случаем параллелепипеда и призмы, поэтому для него выполнены все их свойства. Кроме того, если а — длина ребра куба, 
— диагональ основания, 
— диагональ куба, 
— площадь полной поверхности, а V — объем куба, то справедливы формулы:
Призма. Прямоугольный параллелепипед
Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, две грани которого — равные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней — параллелограммы.
Правильной призмой называется прямая призма, основание которой — правильный многоугольник.
Прямой призмой называется призма, боковое ребро которой перпендикулярно плоскости основания. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру, а все боковые грани прямой призмы — прямоугольники.
Соотношения для прямой призмы
Пусть H — высота прямой призмы, AA1 — боковое ребро, 
— периметр основания, 
— площадь основания, 
— площадь боковой поверхности, 
— площадь полной поверхности, V — объем прямой призмы. Тогда имеют место следующие соотношения:
Особенности правильной шестиугольной призмы
В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Напомним его свойства.
— Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
— Большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам.
— Меньшая диагональ правильного шестиугольника в 
раз больше его стороны.
— Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°.
— Меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.
— Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.
Пусть вне плоскости многоугольника 
задана точка P. Тогда фигура, образованная треугольниками 
, 
и многоугольником 
вместе с их внутренними областями называется пирамидой (n-угольной пирамидой).
Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а основание ее высоты — центр этого многоугольника.
Соотношения для правильной пирамиды
Пусть H — высота правильной пирамиды, h — ее апофема, — периметр основания пирамиды, — площадь основания, — площадь боковой поверхности, — площадь полной поверхности, V — объем правильной пирамиды. Тогда имеют место следующие соотношения:
Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
Тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечениями могут быть только треугольники и четырехугольники (рис. 1). Параллелепипед имеет шесть граней. Его сечениями могут быть треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники (рис. 2).
Теоремы, используемые при построении сечений
Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней по параллельным прямым.
Теорема 2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Теорема 3. Если прямая l параллельна какой либо прямой m, проведённой в плоскости 
то она параллельна и самой плоскости 
Теорема 4. Если прямая, лежащая в плоскости сечения, не параллельна плоскости некоторой грани, то она пересекается со своей проекцией на эту грань.
Алгоритм построения сечений
Для построения сечений рекомендуем пользоваться следующим алгоритмом.
1. Если две точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то проводим через них прямую. Часть прямой, лежащая в плоскости грани — сторона сечения.
2. Если прямая a является общей прямой секущей плоскости и плоскости какой-либо грани, то находим точки пересечения прямой a с прямыми, содержащими ребра этой грани. Полученные точки — новые точки секущей плоскости, лежащие в плоскостях граней.
3. Если никакие две из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее любые две данные точки, а затем выполняем шаги 1, 2.
Для контроля правильности построенного сечения, проверяйте, что:
— все вершины сечения лежат на рёбрах многогранника;
— все стороны сечения лежат в гранях многогранника;
— в каждой грани многогранника лежит не более одной стороны сечения.
Цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону.
Соотношения для цилиндра
Пусть h — высота цилиндра, r — радиус основания, Sбок — площадь боковой поверхности, Sполн — площадь полной поверхности, V — объем цилиндра. Тогда имеют место следующие соотношения:
Конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет.
Соотношения для конуса
Пусть h — высота конуса, r — радиус основания, l — образующая, Sбок — площадь боковой поверхности, Sполн — площадь полной поверхности, V — объем конуса. Тогда имеют место следующие соотношения:
Сфера и шар
Шаром называется фигура, полученная при вращении полукруга вокруг оси, содержащей его диаметр. Сферой называется поверхность шара. Пусть R — радиус шара, S — площадь сферы, V — объем шара. Тогда имеют место следующие соотношения:
Комбинации круглых тел. Вписанные сферы
Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается обоих оснований цилиндра и каждой его образующей.
Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания конуса и каждой его образующей.
Сфера называется вписанной в усечённый конус, если она касается обоих оснований конуса и всех его образующих.
Теорема 1: В прямой круговой цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда его высота равна диаметру основания. Причём центр сферы есть середина оси цилиндра.
Теорема 2: В любой прямой круговой конус можно вписать сферу. Причём центр сферы есть точка пересечения оси конуса с биссектрисой угла наклона образующей конуса к плоскости его основания.
Теорема 3. В усечённый конус можно вписать сферу тогда и только тогда, когда он прямой круговой, и длина его образующей равна сумме длин радиусов оснований. Причём центр сферы есть середина оси усечённого конуса.
Комбинации круглых тел. Описанные сферы
Сфера называется описанной около цилиндра, если окружности его оснований лежат на сфере.
Сфера называется описанной около конуса, если вершина конуса и его основание лежат на сфере.
Теорема 1: около цилиндра можно описать сферу тогда и только тогда, когда он прямой круговой. Причём центр сферы есть середина оси цилиндра.
Теорема 2: около конуса можно описать сферу тогда и только тогда, когда он круговой. Причём центр сферы есть точка пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости основания и проходящей через центр его, и плоскости, перпендикулярной какой-либо его образующей конуса и проходящей середину этой образующей.
Следствие: сферу можно описать около любого прямого кругового конуса. В этом случае, центр сферы — точка пересечения прямой, содержащей высоту конуса с плоскостью, перпендикулярной какой-либо из его образующих и проходящей через ее середину.
Комбинации конуса и цилиндра
Цилиндр называется вписанным в конус, если одно его основание лежит на основании конуса, а второе совпадает с сечением конуса плоскостью, параллельной основанию. Конус в этом случае называется описанным вокруг цилиндра.
Цилиндр называется описанным вокруг конуса, если центр одного из оснований цилиндра является вершиной вершина конуса, а противоположное основание цилиндра совпадает с основанием конуса. Конус в этом случае называется вписанным в цилиндр.
Комбинации многогранников и круглых тел. Описанные сферы
Сфера называется описанной около многогранника, если все его вершины лежат на этой сфере. Многогранник называется в этом случае вписанным в сферу.
Возможность описать сферу около многогранника означает существование точки (центра сферы), равноудалённой ото всех вершин многогранника.
Теорема 1: если из центра описанной около многогранника сферы опустить перпендикуляр на какое-либо из его рёбер, то основание этого перпендикуляра разделит ребро на две равные части.
Теорема 2: если из центра описанной около многогранника сферы опустить перпендикуляр на какую-либо из его граней, то основание этого перпендикуляра попадёт в центр круга, описанного около соответствующей грани.
Теорема 3: если около многогранника описана сфера, то её центр лежит на пересечении перпендикуляров к каждой грани пирамиды, проведённых через центр окружности, описанной около соответствующей грани.
Теорема 4: если около многогранника описана сфера, то её центр является точкой пересечений всех плоскостей, проведённых через середины рёбер пирамиды перпендикулярно к этим рёбрам.
Комбинации многогранников и круглых тел. Вписанные сферы
Сфера называется вписанной в многогранник, если все его грани касаются этой сферы. Многогранник называется в этом случае описанным около сферы.
Теорема: если в многогранник с площадью поверхности S и объёмом V вписан шар радиуса r, то справедливо соотношение:
Комбинации конуса, цилиндра и многогранников
В условиях задач встречаются также следующие понятия, не входящие в школьные учебники, которые уточняются непосредственно в условиях задач. Приведем наиболее употребительные из них.
Цилиндр вписан в призму: основания цилиндра вписаны в основания призмы.
Цилиндр описан вокруг призмы: основания цилиндра описаны вокруг оснований призмы.
Цилиндр вписан в пирамиду: одно из основание цилиндра вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание цилиндра принадлежит основанию пирамиды.
Цилиндр описан вокруг пирамиды: вершина пирамиды принадлежит одному из оснований цилиндра, а другое его основание описано вокруг основания пирамиды.
Конус вписан в призму: основание конуса вписано в основание призмы, а вершина конуса принадлежит противоположному основанию призмы.
Конус описан вокруг призмы: одно из оснований призмы вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание призмы вписано в основание конуса.
Конус вписан в пирамиду: их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды. Вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой.
Конус описан вокруг пирамиды: их вершины совпадают, а основание конуса описано вокруг основания пирамиды.
