На страницах нашего онлайн портала alivahotel.ru мы расскажем много самого интересного и познавательного, полезного и увлекательного для наших постоянных читателей.
Назовем натуральное число хорошим если в нем можно переставить цифры так чтобы делилось на 11
Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.
а) Является ли число 5432 хорошим?
б) Является ли число 10235 хорошим?
в) Найти наименьшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.
а) Да, является: 2453 делится на 11.
Замечание: Есть и другие верные примеры, например, 5423.
б) По признаку делимости на 11, разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, должна делиться на 11. При этом в нашем случае эта разность не может быть равна нулю: так как сумма всех цифр в данном числе равна 11 (независимо от их перестановки), и, значит, разность между суммами чисел, стоящих на четных и нечетных местах, будет нечетной. При этом, эта разность по модулю не превосходит что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 10235, не будет делиться на 11. Таким образом, 10235 не является хорошим.
в) Всего есть 5 нечетных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Очевидно, числа, составленные из одной или двух различных цифр, не делятся на 11. Рассмотрим число, составленное из трех различных нечетных цифр. Наименьшее возможное число ― число, первые две цифры которого 1 и 3. В качестве третьей нельзя рассмотреть 5 или 7, так как в этом случае сумма всех цифр будет нечетна, а значит и разность между суммами цифр на четных и нечетных местах будет нечетной, то есть не равной нулю.
При этом данная разность не превосходит что меньше 11. Значит, числа 135 и 137 хорошими не являются. А 139 — хорошее, так как 319 делится на 11.
Назовем натуральное число хорошим если в нем можно переставить цифры так чтобы делилось на 11
Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.
а) Является ли число 1234 хорошим?
б) Является ли число 12345 хорошим?
в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.
а) Да, является: 1243 делится на 11.
Замечание: Есть и другие верные примеры, например, 4312.
б) По признаку делимости на 11, разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, должна делиться на 11. При этом в нашем случае эта разность не может быть равна нулю: так как сумма всех цифр в данном числе равна 15 (независимо от их перестановки), и, значит, разность между суммами чисел, стоящих на четных и нечетных местах, будет нечетной. При этом, эта разность по модулю не превосходит что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 12345 не будет делиться на 11. Таким образом, 12345 не является хорошим.
в) Всего есть 5 нечетных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Докажем, что число, составленное из всех этих пяти цифр, не может делиться на 11. Обозначим сумму цифр, стоящих на нечетных местах искомого числа через a, а сумму цифр, стоящих на четных местах — через b. Тогда а, значит, их разность также нечётна, то есть не равна 0.
Значит, разность этих чисел не делится на 11, то есть число 13579 не является хорошим. Таким образом, в искомом числе не более 4 цифр. В этом случае наибольшее возможное число ― 9753. Оно является хорошим, так как 9735 делится на 11.
Ответ: а) да; б) нет; в) 9753.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
2
Верно получен один из перечисленных результатов:
― верный пример в пункте а);
― обоснованное решение пункта б);
― доказательство того, что в пункте в) количество цифр не превосходит четырёх;
― приведён пример наибольшего хорошего четырёхзначного числа.
Назовем натуральное число хорошим если в нем можно переставить цифры так чтобы делилось на 11
Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.
а) Является ли число 5432 хорошим?
б) Является ли число 10235 хорошим?
в) Найти наименьшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.
а) Да, является: 2453 делится на 11.
Замечание: Есть и другие верные примеры, например, 5423.
б) По признаку делимости на 11, разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, должна делиться на 11. При этом в нашем случае эта разность не может быть равна нулю: так как сумма всех цифр в данном числе равна 11 (независимо от их перестановки), и, значит, разность между суммами чисел, стоящих на четных и нечетных местах, будет нечетной. При этом, эта разность по модулю не превосходит что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 10235, не будет делиться на 11. Таким образом, 10235 не является хорошим.
в) Всего есть 5 нечетных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Очевидно, числа, составленные из одной или двух различных цифр, не делятся на 11. Рассмотрим число, составленное из трех различных нечетных цифр. Наименьшее возможное число ― число, первые две цифры которого 1 и 3. В качестве третьей нельзя рассмотреть 5 или 7, так как в этом случае сумма всех цифр будет нечетна, а значит и разность между суммами цифр на четных и нечетных местах будет нечетной, то есть не равной нулю.
При этом данная разность не превосходит что меньше 11. Значит, числа 135 и 137 хорошими не являются. А 139 — хорошее, так как 319 делится на 11.
Ответ: а) да, б) нет, в) 139.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
2
Верно получен один из перечисленных результатов:
― верный пример в пункте а);
― обоснованное решение пункта б);
― доказательство того, что в пункте в) количество цифр не превосходит четырёх;
― приведён пример наибольшего хорошего четырёхзначного числа.
Назовем натуральное число хорошим если в нем можно переставить цифры так чтобы делилось на 11
Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.
а) Является ли число 1234 хорошим?
б) Является ли число 12345 хорошим?
в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.
а) Да, является: 1243 делится на 11.
Замечание: Есть и другие верные примеры, например, 4312.
б) По признаку делимости на 11, разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, должна делиться на 11. При этом в нашем случае эта разность не может быть равна нулю: так как сумма всех цифр в данном числе равна 15 (независимо от их перестановки), и, значит, разность между суммами чисел, стоящих на четных и нечетных местах, будет нечетной. При этом, эта разность по модулю не превосходит что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 12345 не будет делиться на 11. Таким образом, 12345 не является хорошим.
в) Всего есть 5 нечетных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Докажем, что число, составленное из всех этих пяти цифр, не может делиться на 11. Обозначим сумму цифр, стоящих на нечетных местах искомого числа через a, а сумму цифр, стоящих на четных местах — через b. Тогда а, значит, их разность также нечётна, то есть не равна 0.
Значит, разность этих чисел не делится на 11, то есть число 13579 не является хорошим. Таким образом, в искомом числе не более 4 цифр. В этом случае наибольшее возможное число ― 9753. Оно является хорошим, так как 9735 делится на 11.
Назовем натуральное число хорошим если в нем можно переставить цифры так чтобы делилось на 11
Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.
а) Является ли число 1234 хорошим?
б) Является ли число 12345 хорошим?
в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.
а) Да, является: 1243 делится на 11.
Замечание: Есть и другие верные примеры, например, 4312.
б) По признаку делимости на 11, разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, должна делиться на 11. При этом в нашем случае эта разность не может быть равна нулю: так как сумма всех цифр в данном числе равна 15 (независимо от их перестановки), и, значит, разность между суммами чисел, стоящих на четных и нечетных местах, будет нечетной. При этом, эта разность по модулю не превосходит что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 12345 не будет делиться на 11. Таким образом, 12345 не является хорошим.
в) Всего есть 5 нечетных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Докажем, что число, составленное из всех этих пяти цифр, не может делиться на 11. Обозначим сумму цифр, стоящих на нечетных местах искомого числа через a, а сумму цифр, стоящих на четных местах — через b. Тогда а, значит, их разность также нечётна, то есть не равна 0.
Значит, разность этих чисел не делится на 11, то есть число 13579 не является хорошим. Таким образом, в искомом числе не более 4 цифр. В этом случае наибольшее возможное число ― 9753. Оно является хорошим, так как 9735 делится на 11.
Ответ: а) да; б) нет; в) 9753.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
2
Верно получен один из перечисленных результатов:
― верный пример в пункте а);
― обоснованное решение пункта б);
― доказательство того, что в пункте в) количество цифр не превосходит четырёх;
― приведён пример наибольшего хорошего четырёхзначного числа.
что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 10235, не будет делиться на 11. Таким образом, 10235 не является хорошим.
что меньше 11. Значит, числа 135 и 137 хорошими не являются. А 139 — хорошее, так как 319 делится на 11.
что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 12345 не будет делиться на 11. Таким образом, 12345 не является хорошим.
а, значит, их разность также нечётна, то есть не равна 0.