на полке лежат 19 различных книг сколькими различными способами можно выбрать три книги

На полке лежат 19 различных книг сколькими различными способами можно выбрать три книги

Задача 1: Сколько квадратов со сторонами по линиям сетки можно нарисовать на доске 8 × 8?

Решение: 204

Задача 2: Сколько способов расставить n человек в ряд?

Решение: n!

Задача 3: Сколько способов выбрать a) двух человек из десяти?

b) трех человек из десяти?

(Ответ: это число

Задача 4: Доказать, что .

Задача 5: Сколько способов сделать бусы из a) семи разных бусинок b) пяти белых и двух черных бусинок (Бусы – это окружность, на которую насажены бусины. Ее можно поворачивать, но нельзя переворачивать).

Решение: а) 6! = 720; б) 3

Задача 6: Доказать, что a) по формуле b) с помощью комбинаторных рассуждений.

Задача 7: Доказать, что .

Задача 8: Сколько способов расставить на полку 3 книги одного вида, 5 – другого и 8 – третьего?

Задача 9: p – простое число. Доказать, что делится на p.

Задача 10: Сколько способов разбить 12 человек на две группы по 12 и 5 человек так, чтобы:

a) два данных человека оказались в разных группах.

Решение: а) ; b)

Задача 11: a) Доказать, что число способов выбрать k человек из n и выбрать из них главного равно .

b) Доказать, что то же самое число равно .

Задача 12: Сколько способов расставить 20 разных книг по 5 полкам?

Решение: 5²º

Задача 13: Сколько способов расставить 25 разных книг по 5 полкам так, чтобы на каждой было не менее одной книги?

Задача 14: Сколько способов расставить 25 одинаковых книг по 5 полкам (некоторые полки могут оказаться пустыми)?

Решение:

Задача 15: Сколько способов расставить на доске 8 × 8 a) 8 ладей b) 32 коня так, чтобы они не били друг друга?

Решение: а) 8!; б) 2.

Задача 16: Сколько всего 6-значных чисел

a) без единиц в записи.

b) по крайней мере с одной единицей в записи.

Решение: а) 8 • 9 5 ; b) 9 • 10 5 – 8 • 9 5

Задача 17: Сколько существует семизначных чисел, у которых

a) все цифры разные

b) любые две соседних цифры разные

c) есть две одинаковых цифры.

Решение: а) ; б)

Задача 18: Сколько способов рассадить 5 мужчин и 5 женщин за круглым столом так, чтобы мужчины и женщины чередовались?

Решение: 2 • 5! • 5!

Задача 19: В классе 30 человек. Сколько способов разбить класс на две группы и в каждой выбрать старосту?

Решение:

Задача 20: Сколько 7-значных чисел, в которых

a) каждая цифра больше предыдущей?

b) каждая цифра не меньше предыдущей?

Решение: а) ; б) ;

Задача 21: Сколько способов разбить 15 мужчин и 15 женщин на пары для танцев?

Решение: 15!

Задача 22: Сколько разных слов можно составить из слова:

a) ПЕРЕЕЗД b) МАТЕМАТИКА c) АА … АББ … ББ (n букв «А», m букв «Б»)

Решение: а) ; b) ; c)

Задача 23: Доказать тождества:

a) .

b) .

c) .

Задача 24: Сколько способов прочитать слово «ТРЕУГОЛЬНИК», двигаясь вправо и вниз:

Решение: a) 2¹º; б)

Задача 25: a) Круг разбит на простое число p секторов. Сколько способов раскрасить их в n цветов (раскраски, совмещающиеся при повороте, считаются одинаковыми).

b) Вывести из пункта a) малую теорему Ферма: n p – n делится на p.

Решение: .

Задача 26: a,b – натуральные числа, a ≥ b – 1. Сколько способов расставить a белых и b черных фишек так, чтобы черные не стояли рядом?

Решение:

Задача 27: Доказать, что .

Задача 28: Пусть p – простое число. Доказать, что:

a) если k не делится на p, то делится на p;

b) (a + b) p ≡ a p + b p (mod %)%p;

c) (a + b + … + d) p ≡ a p + b p + … + d p (mod %)%p.

d) Вывести из пункта c) малую теорему Ферма: a p ≡ a (mod %)%p.

Задача 29: На окружности отмечено 11 точек.

a) Сколько существует многоугольников с вершинами в отмеченных точках?

b) Каких из них больше: содержащих данную отмеченную точку или остальных?

Решение: а)

Задача 30: Сколько способов выбрать:

a) 3 пары из 100 человек?

b) n пар из 2n человек?

Решение: а) ; b) .

Задача 31: Каких 6-значных чисел больше: представляющихся в виде произведения двух трехзначных или остальных?

Решение: Остальных

Задача 32: На дороге длиной 999 километров стоят 1000 километровых столбов, на каждом из которых написаны два числа – расстояние до начала и до конца дороги. Сколько среди этих столбов таких, на которых числа записаны только двумя различными цифрами?

Источник

Сколькими способами можно выбрать 9 книг, которые не стояли рядом?

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Сколькими способами можно выбрать 9 книг, которые не стояли рядом?
На полке 20 книг. Сколькими способами можно выбрать из них 9 книг, которые не стояли рядом? А.

Сколькими способами можно по кругу поставить 5 кукол и 3 игрушки так, чтобы при этом мягкие игрушки не стояли рядом
2.Сколькими способами можно по кругу поставить 5 различных кукол и 3 различные мягкие игрушки так.

Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?
Сколькими способами можно переставить буквы слова «каракули» так, чтобы никакие две гласные не.

Наверное, «никакие две из них не стоят рядом»?

Сколькими способами можно расставить 12 книг на 3 полках, если на одной полке вмещается 6 книг?
Сколькими способами можно расставить 12 книг на 3 полках, если на одной полке вмещается 6 книг?

Сколько существует способов взять с полки 7 книг, которые не стояли рядом?
На книжной полке 15 книг. Сколько существует способов взять с полки 7 книг, которые не стояли.

Сколькими способами можно распределить 3n различных книг?
Сколькими способами можно распределить 3n различных книг между тремя людьми, так, чтобы каждый.

Сколькими способами можно разложить 9 разных книг в 4 бандероли?
4.Сколькими способами можно разложить 9 разных книг В 4 бандероли По две книги и в 1 бандероль 1.

Источник

Тест с ответами: “Комбинаторные задачи”

1. В конкурсе “Подиум” участвует 10 модельеров, лучшие из которых займут 1-е, 2-е и 3-е места. Сколько разных вариантов результата первенства может быть получено в финале конкурса, если учитывать только положение первых трех:
а) 720 +
б) 270
в) 330

2. Определите число размещений из четырёх элементов по два. В ответе укажите только число:
а) 24
б) 12 +
в) 21

3. При открытии ателье, оказывающего услуги широкого профиля, понадобились следующие работники: администратор, осуществляющий прием заказов, модельер, две швеи и закройщик. Сколькими способами можно выбрать для этого ателье швей из 5 человек, желающих занять эту должность:
а) 18
б) 15
в) 10 +

4. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9:
а) 4536 +
б) 3645
в) 6453

5. В шкатулке лежат 9 катушек ниток: 4 белого, 3 черного и 2 красного цветов. Сколькими способами можно выбрать по одной катушке ниток каждого цвета:
а) 48
б) 12
в) 24 +

6. В группе 10 девушек и 15 мальчиков. Сколькими способами можно составить команду из двух девушек и двух мальчиков:
а) 2547
б) 4725 +
в) 7524

7. Сколькими способами можно разложить 6 выкроек детской одежды так, что определенные три лежали рядом:
а) 64
б) 86
в) 144 +

8. Бригадир должен отправить на работу бригаду из 3х человек. Сколько таких бригад можно составить из 8 человек, так чтобы Сидоров оказался в бригаде:
а) 21 +
б) 12
в) 42

9. Сколькими способами можно выбрать 1 потайную молнию для платья из 20 имеющихся в продаже:
а) 26
б) 40
в) 20 +

10. На полке стоят 25 различных книг. Сколькими способами можно выбрать три книги:
а) 3200
б) 2300 +
в) 2200

11. Какое количество способов больше: 1) выбрать 5 человек из 17 или 2) выбрать 12 человек из 17:
а) равны +
б) 1
в) 2

12. Группе 7 человек надо пройти диспансеризацию. Чтобы упорядочить процесс осмотра, необходимо составить порядковый список студентов. Сколькими способами можно составить очередь на прием к врачу:
а) 4050
б) 5040 +
в) 5400

13. Сколько различных трехбуквенных слов можно получить, используя буквы слова ЧИСЛО:
а) 60 +
б) 46
в) 24

14. Из 15 членов легкоатлетической секции нужно выбрать 4 участников для забега в эстафете 100 м, 200 м, 500 м и 1000 м (каждый участник пробегает один этап). Сколькими способами это можно сделать:
а) 23670
б) 63720
в) 32760 +

15. У Сережи есть 8 фломастеров. Сколькими способами он может выбрать 3 из них:
а) 56 +
б) 65
в) 28

16. Сколькими способами могут разместиться 3 человека в четырехместном купе на свободных местах:
а) 12
б) 48
в) 24 +

17. Что означает знак “!” в записи 123! :
а) имунал
б) факториол
в) факториал +

18. Сколько различных двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 3, 8, если цифры в этих числах могут повторяться:
а) 9 +
б) 3
в) 18

19. Алина и Саша решают задачу: “Найдите количество пятизначных чисел кратных 5 и начинающихся с 2 или 3”. Алина считает, что правильный ответ 4000, а Саша – 6000. Кто прав:
а) Саша
б) оба правы
в) Алина +

20. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых нечетные и различные:
а) 120
б) 60 +
в) 30

21. Количество способов расставить n различных предметов в ряд с учетом порядка называется количеством [ …. ] из n элементов:
а) перестановок +
б) передвижений
в) пертурбаций

22. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать:
а) 80
б) 110 +
в) 210

23. Верно ли, что каждое число треугольнике Паскаля равно сумме чисел расположенных под ним:
а) да
б) отчасти
в) нет +

24. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке:
а) 36
б) 20
в) 24 +

25. Имеется кодовый замок. Известно, что код состоит из четырёх цифр. Сколько различных кодов может быть набрано:
а) 151200
б) 5044
в) 5040 +

26. Сколькими способами из 9 учебных дисциплин можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков:
а) 60480 +
б) 604
в) 6048

27. У Винни Пуха семеро друзей. За один день он успевает сходить к двум из них. Сколькими способами Винни может каждый день организовывать поход в гости:
а) 42 +
б) 48
в) 45

28. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5:
а) 210
б) 120 +
в) 3125

29. Сколькими способами всех пятерых гостей можно рассадить на трёх свободных стульях? В ответе укажите только число:
а) 0 +
б) 10
в) 25

30. В партии из 4000 семян пшеницы 50 семян не взошли. Какова вероятность появления невсхожих семян:
а) 0,001
б) 0,05
в) 0,0125 +

Источник

Алгебра

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Комбинаторика и ее основные принципы

Очень часто приходится решать задачи, в которых надо посчитать количество возможных вариантов для той или иной ситуации. Например, сколько позиций может возникнуть на шахматной доске после первого хода обоих игроков? Сколько разных паролей длиною в десять символов можно записать, если ни один символ не использовать дважды? Сколько разнообразных комбинаций чисел может выпасть при игре в лотерею «6 из 49»? На все эти вопросы помогает ответить специальный раздел математики, называемый комбинаторикой. Почти всегда комбинаторную задачу можно сформулировать так, чтобы ее вопрос начинался словами «сколькими способами…».

Очевидно, что если в конечном множестве содержится n элементов, то есть ровно n способов выбрать один из них.

Пример. В классе 15 человек. Сколькими способами учитель может назначить одного из них ответственным за чистоту доски?

Ответ. Таких способов ровно 15.

В комбинаторике существует два основных правила. Первое из них называется правилом сложения.

Несмотря на формулировку, по сути это очень простое правило.

Пример. В магазине продается 14 телевизоров Panasonic и 17 телевизоров Sony. Петя хочет купить один телевизор. Сколько у него вариантов покупки?

Решение. По правилу сложения Петя может выбрать один из 14 + 17 = 31 телевизоров.

Ответ: 31 телевизор.

Особое значение имеет второе правило, которое называют правилом умножения.

Проиллюстрируем это правило.

Пример. В секции бадминтона 15 мальчиков и 20 девочек. Тренер должен отправить на соревнования смешанную пару. Сколько вариантов действий у него?

Решение. Тренер может составить 15•20= 300 разнополых пар из своих воспитанников.

Пример. Пете нужно купить технику для компьютера. В магазине продается 20 различных клавиатур, 25 моделей геймпадов и 30 компьютерных мышей. Купить надо по одному экземпляру каждого из этих устройств. Сколько вариантов покупки есть у него?

Решение. Сначала подсчитаем число возможных пар «клавиатура-геймпад». Их количество равно 20•25 = 500. Теперь составим «тройку» из одной из 500 пар и одной из 30 мышей. Число троек равно 500•30 = 15000.

Правила сложения и умножения можно комбинировать.

Пример. Сколько слов не более чем из трех букв можно составить, используя алфавит, содержащий ровно 30 букв?

Решение. Очевидно, что слов из одной буквы можно составить ровно 30. Количество двухбуквенных слов равно количеству пар, которые можно составить из этих букв, то есть 30•30 = 900. Трехбуквенных слов можно составить 30•30•30 = 27000. Всего же слов длиною не более 3 букв будет

30 + 900 + 27000 = 27930

Далее мы изучим основные понятия комбинаторики – перестановки, размещения, сочетания.

Перестановки

Рассмотрим простейшую комбинаторную задачу. На полке расставляют по порядку книги. Их ставят вертикально друг за другом. Сколькими способами можно расставить на полке 2 книги? Очевидно, что двумя:

Либо синяя книжка будет первой слева, либо она будет находиться в конце полки, третьего варианта здесь нет. Здесь условно считается, что варианты, когда между книгами есть зазоры, идентичны вариантам без зазоров:

То есть нас интересует исключительно порядок, в котором стоят книги. Каждый из найденных вариантов называется перестановкой книг. Перестановкой называют любое конечное множество, для элементов которого указан порядок элементов.В комбинаторике перестановки являются одними из основных объектов изучения.

Например, если в забеге на 100 метров стартует 8 спортсменов, то они образуют множество участников забега. После финиша становится известно, кто занял 1-ое место, кто оказался вторым или третьим, а кто стал последним. Результат забега будет перестановкой, ведь он представляет собой список спортсменов с указанием их мест, то есть он определяет порядок между ними.

Вернемся к примеру с книгами. Обозначим количество возможных перестановок n элементов как Р_n. Две книжки можно расставить двумя разными способами, поэтому Р₂ = 2. Обозначим эти перестановки как АБ и БА. Сколько способов расстановки есть в случае трех книжек? Их все можно получить из вариантов с 2 книжками, добавляя между ними книгами ещё один том:

Видно, что между 2 книгами есть три позиции, на которые можно поставить 3-ий том. Общее количество вариантов равно произведению числа этих позиций и количества вариантов для 2 книг, то есть Р₃ = 3•Р₂ = 3•2 = 6:

Итак, мы имеем 6 перестановок для 3 книг:

А сколько перестановок существует для 4 книг? Снова-таки, между тремя книгами 4-ый том можно поставить четырьмя способами:

То есть из перестановки трех книг АБВ можно получить 4 перестановки:

Всего существует 6 перестановок для 3 книг (Р₃ = 6), и для каждой из них можно построить 4 перестановки из 4 книг. Получается, что общее количество перестановок 4 книг равно

Продолжая подобные рассуждения, можно убедиться, что количество перестановок 5 предметов в 5 раз больше, чем перестановок для 4 объектов:

И вообще, если число перестановок n объектов равно Р_n, то количество перестановок (n + 1)объекта равно в (n + 1)раз больше:

При этом отметим, что 1 книгу можно расставить на полке только одним способом:

То есть Р₁ = 1. Теперь выпишем значения чисел Р при разном количестве переставляемых предметов, используя формулуР_n+1 = (n + 1)Р_n

Видно, что количество перестановок n объектов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n. В математике есть специальная функция для вычисления значения этого произведения. Она называется факториалом и обозначается восклицательным знаком.

Например, факториал 6 вычисляется так:

Мы убедились на примере с книгами, что количество перестановок из n различных объектов, которое обозначается как Р_n, равно n!.

Относительно факториала надо заметить несколько важных моментов. Во-первых, очевидно, что факториал единицы равен 1:

Во-вторых, иногда в комбинаторных задачах приходится вычислять факториал нуля. По ряду соображений эта величина также принимается равной единице

Объяснить это можно так. Факториал числа можно представить как произведение этого числа и факториала предыдущего числа, например:

5! = 1•2•3•4•5 = (1•2•3•4)•5 = 4!•5

7! = 1•2•3•4•5•6•7 = (1•2•3•4•5•6)•7 = 6!•7

В общем случае формула выглядит так:

Из неё несложно получить, что

Подставив в эту формулу единицу, получим

Пример. Сколькими способами тренер может расставить 4 участников эстафеты 4х400 м по этапам эстафеты?

Решение. Количество таких способов равно числу перестановок 4 различных объектов Р₄:

Пример. Вася решил изучать сразу 7 иностранных языков, причем на занятия по каждому из них он собирается выделить ровно один день в неделе. Сколько вариантов расписаний занятий может составить себе Вася?

Решение. В данном случае расписание занятий – это порядок, в котором Вася в течение недели будет изучать иностранные языки, например:

Такое расписание можно описать последовательностью символов:

Создавая расписание, Вася переставляет 7 языков, поэтому общее количество расписаний равно 7!:

Пример. Сколько пятизначных цифр можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4, причем каждую не более одного раза?

Решение. Общее количество перестановок 5 цифр составляет Р₅. Однако нельзя начинать запись числа с нуля. Так как, перестановка 12340 – это пятизначное число (двенадцать тысяч триста сорок), а перестановка 03241 – не является пятизначным числом.

Расстановок, начинающихся с нуля, ровно Р₄, поэтому общее количество допустимых цифр равно Р₅ – Р₄:

Р₅ – Р₄ = 5! – 4! = 120 – 24 = 96

Пример. На полке расставляют 7 книг, однако 3 из них образуют трехтомник. Тома трехтомника должны стоять друг за другом и в определенном порядке. Сколько существует способов расстановки книг?

Решение. Будем считать трехтомник одной книгой. Тогда нам надо расставить 5 книг

Пример. Необходимо расставить 7 книг на полке, но три из них принадлежат одному автору. Их надо поставить друг с другом, но они могут стоять в любом порядке. Сколько возможно перестановок книг.

Решение. Снова будем считать три книги как один трехтомник. Получается, что существует 5! = 120 вариантов. Однако каждому из них соответствует 3! = 6 расстановок книг внутри трехтомника, например:

В итоге на каждую из 120 расстановок приходится 6 вариантов расстановки трехтомника, а общее число расстановок равно, согласно правилу умножения, произведению этих чисел:

Перестановки с повторениями

До этого мы рассматривали случаи, когда все переставляемые объекты были различными. Однако порою некоторые из них не отличаются друг от друга. Пусть на полке надо расставить 3 книги, но две из них одинаковые. Сколько тогда существует перестановок? Общее число перестановок 3 книг составляет 3! = 6:

Здесь одинаковые книги отмечены как А и А1. Очевидно, что 1-ый и 2-ой варианты (А1АБ) и (АА1Б) на самом деле не отличаются друг от друга. В них отличается лишь порядок одинаковых книг А и А1. В первом случае за А1 следует А, а во втором, наоборот, за А следует А1. Тоже самое можно сказать про варианты 3 и 4, 5 и 6. Получается, что все возможные перестановки можно разбить на группы, в которых находятся «перестановки-дубликаты»:

В каждой группе находится ровно по два «дубликата». Почему именно по два? Это число равно количеству перестановок одинаковых книг. Так как одинаковых томов 2, а Р₂ = 2, то в каждой группе по 2 «дубликата». Действительно, если бы мы «убрали» с полки все книги, кроме повторяющихся, то там осталось бы только 2 одинаковых тома, которые можно переставить двумя способами.

Для того чтобы найти количество «оригинальных» перестановок, надо их общее количество поделить на число дубликатов в каждой группе.

Пусть теперь надо расставить 4 книги, из которых 3 одинаковы. Обозначим тома как А, А1, А2 и Б. Всего можно записать 4! = 24 перестановки. Однако каждые 6 из них будут дублировать друг друга. То есть их можно разбить на группы, в каждой из которых будет 6 идентичных «дубликатов»:

1-ая группа: БАА1А2, БАА2А1, БА1АА2, БА1А2А, БА2АА1, БА2А1А

2-ая группа: АБА1А2, АБА2А1, А1БАА2, А1БА2А, А2БАА1, А2БА1А

3-ая группа: АА1БА2, АА2БА1, А1АБА2, А1А2БА, А2АБА1, А2А1БА

4-ая группа: АА1А2Б, АА2А1Б, А1АА2Б, А1А2АБ, А2АА1Б, А2А1АБ

И снова для подсчета числа оригинальных перестановок надо из общее число расстановок поделить на количество дубликатов в каждой группе:

Для обозначения перестановок с повторениями используется запись

где n – общее количество объектов, а n₁, n₂, n₃,… n_k – количество одинаковых элементов. Например, в задаче с 4 книгами мы искали величину Р₄(3, 1), потому что всего книг было 4, но они были разбиты на две группы, в одной из которых находилось 3 одинаковых тома (буквы А, А1, А2), а ещё одна книга (Б) составляла вторую группу. Мы заметили, что для вычисления числа перестановок с повторениями надо общее число перестановок делить на количество дублирующих перестановок. Формула в общем случае выглядит так:

Пример. Вася решил, что ему стоит изучать только два иностранных языка. Он решил 4 дня в неделю тратить на английский, а оставшиеся три дня – на испанский. Сколько расписаний занятий он может себе составить.

Решение. Вася должен расставить 3 урока испанского и 4 урока английского, тогда n₁ = 3, а n₂ = 4. Общее количество уроков равно 3 + 4 = 7. Тогда

Обратите внимание, что для удобства при делении факториалов мы не вычисляли их сразу, а пытались сократить множители. Так как в ответе любой комбинаторной задачи получается целое число, то весь знаменатель дроби обязательно сократится с какими-нибудь множителями в числителе.

Пример. У мамы есть 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин. Эти фрукты она распределяет между 6 детьми. Сколькими способами она может это сделать, если каждый должен получить по фрукту?

Решение. Всего есть три группы фруктов. В первой находится 3 яблока, поэтому n₁ = 3. Во второй группе 2 банана, поэтому n₂ = 2. В третьей группе только 1 апельсин, поэтому n_k = 1. Общее число фруктов равно 6. Используем формулу:

В знаменателе формулы для перестановок с повторениями мы записываем число объектов в каждой группе одинаковых предметов. Так, если переставляются 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин, то в знаменателе мы пишем 3!•2!•1!. Но что будет, если в каждой группе будет находиться ровно один уникальный объект? Тогда мы запишем в знаменателе произведение единиц:

В итоге мы получили ту же формулу, что и для перестановок без повторов. Другими словами, перестановки без повтора могут рассматриваться просто как частный случай перестановок с повторами.

Размещения

Пусть в футбольном турнире участвуют 6 команд. Нам предлагают угадать те команды, которые займут призовые места (то есть первые три места). Сколько вариантов таких троек существует?

Сначала запишем ту команду, которая выиграет турнир. Здесь есть шесть вариантов, по количеству участвующих команд. Запишем эти варианты:

Далее выберем один из вариантов и для него укажем серебряного призера соревнований. Здесь есть только 5 вариантов, ведь 1 из 6 команд уже записана на 1-ом месте:

Такую пятерку можно записать для каждого из шести вариантов того, кто станет чемпионом. Получается, что всего есть 6•5 = 30 пар «чемпион – серебряный призер». Наконец, для одной такой пары можно записать 4 варианта того, кто окажется третьим (две команды писать нельзя, так как они уже записаны на первых двух строчках):

Для каждой пары можно записать 4 тройки призеров. Так как число пар «чемпион – вице-чемпион» равно 6•5 = 30, то число троек составит 6•5•4 = 120.

В данном случае из некоторого множества команд мы выбрали несколько и расположили их в каком-то порядке. То есть мы выбрали упорядоченное множество. В комбинаторике оно называется размещением.

Если общее число команд обозначить как n (в этом примере n = 6), а количество упорядочиваемых команд равно k, то количество таких размещений в комбинаторике обозначается как

В примере с командами количество размещений равнялось 120:

Читается эта запись как «число размещений из 6 по 3 равно 120».

Для нахождения этого числа мы перемножили k (3)множителей. Первый из них был равен n(6), так как каждая из n команд могла занять первая место. Второй множитель был равен (n– 1), так как после определения чемпиона мы могли поставить на вторую позицию одну из (n– 1) команд. Третий множитель был равен (n– 2). По этой логике каждый следующий множитель будет меньше предыдущего на единицу. Например, чтобы вычислить число размещений из 7 по 4, надо перемножить 4 множителя, первый из которых равен 7, а каждый следующий меньше на 1:

Однако математически удобнее представлять это произведение как отношение двух факториалов. Для этого умножим количество размещений на дробь 3!/3!, равную единице. Естественно, число размещений из-за умножения на единицу не меняется:

Число 3 в данном случае можно получить, если из 7 вычесть 4. В общем случае из числа n надо вычесть число k. Тогда формула для вычисления количества размещений примет вид:

Пример. В программе 8 «А» класса 12 различных предметов. В понедельник проводится 5 занятий подряд. Сколько существует вариантов расписаний для класса, если в течение понедельника нельзя проводить два одинаковых урока?

Решение. Для составления расписания нужно выбрать 5 предметов и расставить их по порядку. Поэтому нам необходимо найти размещение из 12 по 5:

Пример. В вагоне 10 свободных мест. В него зашло 6 пассажиров. Сколькими способами они могут расположиться в вагоне?

Решение. Из десяти мест надо выбрать шесть и указать для каждого, какому пассажиру оно соответствует. То есть каждый вариант рассадки пассажиров – это размещение из 10 по 6. Найдем их количество:

Заметим, что перестановка – это частный случай размещения, когда k = n. Действительно, если нам надо указать тройку призеров турнира, в котором участвуют 6 команд, то мы указываем размещение из 6 по 3. Но если мы указываем для каждой из 6 команд, какое место она займет в чемпионате, то это размещение из 6 по 6. С другой стороны, это расстановка одновременно является и перестановкой 6 команд. Убедимся, что в этом частном случае формула для подсчета количества размещений покажет тот же результат, что и формула для перестановок

Для примера с 6 командами это будет выглядеть так:

Здесь мы использовали тот факт, что факториал нуля принимается равным единице. Данное рассуждение можно, наоборот, использовать для того, чтобы доказать, что факториал нуля – это единица.

Сочетания

Выбирая размещение, мы должны были выбрать из множества несколько объектов и упорядочить их. В частности, мы выбирали три команды из шести и указывали, какая из них будет первой, какая второй, а какая третьей. Поэтому размещения «Локомотив, Зенит, Краснодар» и «Локомотив, Краснодар, Зенит» отличались друг от друга.

Однако порою этот порядок не имеет значения. Так, существует известная лотерея, где предлагается угадать 7 чисел из 49, которые выпадут во время розыгрыша из барабана. При этом порядок их выпадения не играет никакой роли. Игрок, выбирая эти 7 чисел, с точки зрения математики формирует сочетание из 49 по 7.

Количество возможных сочетаний из n по k обозначается буквой С:

Для вычисления количеств сочетаний из n по k сначала найдем количество аналогичных размещений. Оно вычисляется по формуле:

Однако все они соответствуют только одному сочетании – ЛКЗ. Таким образом, считая количество размещений, мы посчитали каждое сочетание не один, а 3! раз. Поэтому для нахождения количества сочетаний в комбинаторике надо поделить число размещений на число перестановок k элементов:

Эта формула связывает важнейшие понятия комбинаторики – перестановки, сочетания и размещения. Подставим в неё формулы для размещений и перестановок и получим:

Пример. Сколько троек призеров турнира можно составить, выбирая три футбольные команды из шести?

Решение. Посчитаем число сочетаний из 6 по 3:

Пример. Сколько комбинаций чисел может составить игрок, играющий в лотереи «5 из 36», «6 из 45», «7 из 49»?

Решение. В каждом из этих случаев игрок выбирает сочетание нескольких чисел. Посчитаем их число:

Ответ: 376992; 8145060; 85900584

Пример. На плоскости отмечены 8 точек, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через них? Сколько треугольников и четырехугольников можно построить с вершинами в этих точках?

Решение. Для того чтобы провести прямую, достаточно выбрать любые 2 точки из 8. Общее количество прямых будет равно числу сочетаний из 8 по 2:

Заметим принципиальную важность того условия, что никакие три точки не лежат на одной прямой. Оно гарантирует, что при выборе двух различных точек мы будем получать различные прямые. Если бы, например, точки АВС лежали бы на одной прямой, то при выборе сочетаний АВ, ВС и АС мы получали бы одну и ту же прямую:

Это же условие гарантирует, что, выбрав любые 3 и 8 точек, мы сможем построить треугольник с вершинами в этих точках, а выбрав 4 точки, получим четырехугольник. Поэтому для подсчета количества треугольников и четырехугольников следует искать число сочетаний по 3 и 4:

Ответ: 28 прямых, 56 треугольников и 70 четырехугольников.

Пример. В одной урне находится 10 различных шаров с номерами от 0 до 9, а в другой – 8 различных шаров с первыми восемью буквами алфавита. По условиям лотереи ведущий вытаскивает из первой урны два шара с числами, а из второй – три шара с буквами. Для победы в лотерее надо угадать выпавшие шары. Сколько комбинаций шаров может выпасть в игре?

Решение. Посчитаем отдельно, сколькими способами можно выбрать 2 шара с цифрами из 10 и 3 шара с буквами из 8:

По правилу умножения мы должны перемножить эти числа, чтобы найти общее количество возможных вариантов:

Заметим, что выбирая, например, сочетание из 49 по 7, мы одновременно выбираем и сочетание из 49 по 49 – 7 = 42. Действительно, игрок, обводящий в кружок в лотерейном билете свои 7 счастливых чисел, одновременно и определяет остальные 42 числа, какие числа он НЕ считает счастливыми. Для наглядности запишем число сочетаний в обоих случаях:

Получили одну и ту же дробь, в которой отличается лишь последовательность множителей в знаменателе. Можно показать, что и в общем случае число сочетаний из n по k совпадает с количеством сочетаний из n по (n– k):

Источник