какое ограничение всегда учитывается в любой постановке транспортной задачи

Какой метод лежит в основе динамической транспортной задачи

— сведение задачи к статической

Выберите правильный вариант: функциональная динамическая транспортная задача кроме расходов на перевозку включает в себя

— затраты на хранение грузов у поставщиков и потребителей

Каким математическим методом можно решить классическую транспортную задачу

Какие значения могут принимать коэффициенты при переменных в ограничениях транспортной задачи

Какое количество переменных будет в классической транспортной задачи с двумя поставщиками и тремя потребителями

В задаче транспортного типа целесообразно применять для решения следующих вопросов

-согласованный подвоз груза к предприятию

-управление дорожными маршрутами

Скольким критериям соответствует найденный оптимальный план перевозок транспортной задачи из трех поставщиков и двух потребителей

Задача транспортного типа включает в себя

Что необходима и достаточно для разрешимости классической транспортной задачи

-запасы груза должны равняться потребностям

В задачах распределения порожних кольцевых маршрутов потребителями являются

Что позволяет определить динамическая транспортная задача

— затраты на минимальные необходимые резервы груза у потребителя

Какие ограничения всегда учитываются в любой постановке транспортной задачи

— не отрицательность переменных

Какую сущность отображает коэффициент замещения постановке MODUS

-величина, на которую изменилась пропускная способность в местах переброски

Какое количество ограничений будет в классической транспортной задаче с двумяпоставщиками и тремя потребителями

Какая постановка транспортной задачи не учитывает переходные процессы во времени

-статическая транспортная задача

Какие затраты не входят в целевую функцию в динамической транспортной задачи

-затраты на перераспределение пропускной способности

Переходные процессы в структуреперевозок возникают по следующей причине

— изменение в работе поставщиков и потребителей

Каким образом в транспортной задаче учитывается пропускная способность

-ограничением на переменные

Целевую функцию ДТЗЗУ не входят

-затраты на перераспределение пропускной способности

-на изменение режима работы

Сколько видов связей адаптации выделяют в постановке MODUS

Какую смысловую нагрузку несет в себе понятие переменная в транспортной задаче

Укажите основной не достаток оптимизационных задач для расчета жд станции

-слишком грубое представление о технологии

Что позволяют динамические резервы

-функционировать с мин резервами груза и вагонов

При каких условиях транспортная задача гарантированно будет обладатьцелочисленным решением

-при целочисленных объемах производства и потребления

65. в результате полученного оптимального решения классической транспортной задачизначение одной из переменных =0

— перевозка груза не выгодна

В классической транспортной задаче требуется найти такой план перевозок прикотором

-мин затраты на перевозку

Какие типы ограничений существуют в классической транспортной задаче

Что главным образом влияет на продолжительность расчета транспортной задачи наЭВМ

-количество переменных и ограничений

Сколько ограничений возникнет в классической транспортной задаче из m поставщиков и n потребителей

Какие виды транспортных издержек можно применять в одной транспортной задаче

В классической транспортной задаче количество поставщиков и потребителей

-зависит от полигона транспортной сети

Чему всегда должен быть равен такт моделирования в оптимизационных транспортныхзадачах

— зависит от полигона и возможностей ЭВМ

Какая постановка транспортной задачи лежит в основе согласованного подвода груза к морским портам

-метод динамического согласования

В качестве критерия оптимальности транспортной задачи не допустимо использовать

-локомотивы и вагоны

Дата добавления: 2018-02-15 ; просмотров: 6114 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования относится к перечню классических задач, решаемых в практике деятельности людей. Эта задача методами классической математики не решается. В задаче необходимо отыскивать экстремум целевой функции. В задаче целевая функция – линейная. Ограничения на переменные (их может быть очень много) описываются также линейными зависимостями. Казалось бы чего проще. Но как раз ограничения и порождают трудности, связанные не просто с поиском max и min при отсутствии ограничений, а с необходимостью учета таких ограничений. Искать требуется не просто экстремум, а условный экстремум. Методы решения задачи позволяют учитывать особенности структуры задачи и даже отказаться от симплексного метода решения в чистом виде.

I. Основные параметры, термины и обозначения

Для ощущения масштаба задачи приведу парочку изображений того, что рассматривается в транспортной задаче линейного программирования.

Все суда на одной карте в режиме онлайн

Все самолеты мира в режиме онлайн

В теории в тексте задачи Хичкока ничего не говорится о равенстве имеющегося общего запаса судов в портах отправления и общей потребности в судах в портах прибытия (назначения). Если такого равенства нет, то система ограничений несовместна. В случае равенства

транспортная задача называется «сбалансированной». Задачи, в которых условие баланса не задано, должны быть приведены к «сбалансированному» виду. Это можно выполнить использованием «фиктивных» перевозок. Рассматриваем два случая:

Метод содержит три последовательных этапа:

Формирование опорного плана;

Проверка опорного плана на оптимальность;

Переход к новому опорному плану, если предыдущий не оптимален.

II. Формирование опорного плана перевозок

Рассмотрим способ получения начального опорного плана транспортной задачи, названный способом северо-западного (С-З) угла. Способ заключается в заполнении ячеек таблицы m×n значениями переменной x_ij, таким образом, чтобы удовлетворялись условия задачи. При этом план решения Х[m, n] может быть и не оптимальным, но обязательно должен быть допустимым.

В этом способе формируют опорный план, двигаясь по таблице: сверху вниз по строкам и слева направо вдоль строки. Начинают с левого верхнего угла (ячейки), куда вписывают значение x₁₁ =min<a₁, b₁>.Первые строка и столбец из рассмотрения далее исключаются.

Затем, если a₁ > b₁, то определяется остаток (a₁ – b₁) продукта на первом пункте отправления и его запас реализуется на 2-м пункте назначения. Остаток потребностей 2-го пункта назначения удовлетворяется за счет 2-го пункта отправления, остатки которого направляются в 3-й пункт назначения и т.д. Ниже метод будет иллюстрирован числовым примером.

Пример 1. Построение опорного плана методом Северо-Западного угла

Требуется найти план Х [m,n] перевозок, удовлетворяющий условиям на целевую функцию Q и переменные х_ij задачи Q.

РЕШЕНИЕ Построить исходный опорный план способом северо-западного угла. Строим симплексную таблицу: Таблица 3. Опорный план задачи

В таблице способом северо-западного угла получен опорный план. Базисные переменные (их число = 6): x₁₁ = 40, x₁₂= 20, x₂₂= 40, x₂₃= 40, x₃₃= 40, x₃₄= 60. Свободные переменные: x₁₃= x₁₄= x₂₁= x₂₄= x₃₁= x₃₂= 0 (их число равно 6).

Ячейки таблицы, соответствующие базисным переменным, называют базисными, остальные – свободными. Далее в алгоритме будем следовать идее симплекс метода. Суммарная стоимость перевозок Q, соответствующая плану Х[m,n], получает представление

Q = d₁₁∙x₁₁ + d₁₂∙x₁₂ + d₂₂∙x₂₂ + d₂₃ ∙x₂₃+ d₃₃ ∙x₃₃+ d₃₄ ∙x₃₄ = = 5∙40 + 2∙20 + 10∙40 + 2∙40 + 8∙40 + 5∙60 = 200+40+400 + 80 + 320+ 300 = 1340 ед

Каждому из таких уравнений соответствует какая-либо базисная переменная х_ij Система уравнений с потенциалами содержит m+n неизвестных потенциалов, число же уравнений равняется числу базисных ячеек таблицы, т.е. (m + n – 1). Следовательно, один из потенциалов можно задать произвольно, положив его равным, например, нулю.

Решая далее систему уравнений для потенциалов, находим значения потенциалов строк и столбцов, все фиктивные стоимости d_ij и коэффициенты γ_ij. Если для всех свободных клеток γ_rs ≤ 0, то перевод в базис любой свободной переменной не уменьшит значения целевой функции и, следовательно, выбранный опорный план не является оптимальным. Если же некоторые γ_rs >0, то данный план можно улучшить путем перевода в базис свободной переменной, соответствующей max γ_rs, а также путем исключения из базиса, принадлежащей ему переменной, первой обращающейся в нуль. Переход к новому опорному плану и поиск оптимального плана рассмотрим на примере. Другой способ формирования опорного плана предложен Фогелем. Этот способ при первом чтении можно пропустить, так как дальше он в тексте не используется.

Пример 2. Способ аппроксимации Фогеля

В большинстве случаев этот способ дает опорный план наиболее близкий к оптимальному. Удобен для матриц большой размерности. Используется концепция штрафов, взимаемых за выбор не самого оптимального с точки зрения транспортных издержек маршрута. Штраф по каждой строке и каждому столбцу определяется из анализа маршрутов с различными показателями издержек (как разность двух различных уровней транспортных издержек). Первой заполняется клетка матрицы (таблицы), в которой фиксируется самый крупный штраф. После заполнения клетки штрафы пересчитываются и так до тех пор, пока все ресурсы не будут распределены. Исходные данные для этого примера заполняют таблицу слева вверху.

Этапы алгоритма: 1. Вычисление разностей в каждой строке и в каждом столбце между наименьшей стоимостью и ближайшей к ней по величине. Разности по строкам записываются справа в столбце разностей, разности по столбцам – внизу в строке разностей. Например, для строк А₁ разность равна А₁В₂ – А₁В₃ = 38 – 24 = 14 и т. д.

2. Поиск из всех разностей, как по строкам, так и по столбцам максимальный. В нашем примере максимальная разность равна 38 и находится в строке А₂. Обведем максимальную разность рамкой.

3. Размещение в клетку, где находится наименьшая стоимость (А₂В₂ = 18) (строка с наибольшей разностью), максимально возможного количества ресурсов. Оно равно 20, т.е. всему ресурсу отправителя А₂. Поскольку все ресурсы отправителя А₂ исчерпаны, строку А₂ исключаем из дальнейших расчетов, для чего отметим все клетки этой строки точками.

4. Вычисление разностей столбцам и строкам, не принимая во внимание стоимость в клетках, имеющих ресурсы и клетках с точкой (исключенную строку или столбец) и определение максимальной разности в строке или столбце (В₃ = 76).

5. Поиск минимального элемента в строке или в столбце с максимальной разностью (А₁В₃ = 24) и размещения в данную клетку максимально возможного количества ресурса, возвращение к этапу №4 и т.д. Окончательно

ЦФ Q=23∙19 + 7∙3 + 20∙18 + 2∙10 + 14∙24 + 1∙100 +3∙48 = = 437 + 21 + 360 + 20 +3 36 + 100 + 272 =1546 ед. Это значение соответствует опорному плану Фогеля.

III. Транспортная задача линейного программирования

Как основной метод решения транспортной задачи – используется метод потенциалов. Ни симплексный метод, ни распределительный метод здесь не рассматриваются. У них имеются свои плюсы и минусы, но объем изложения достаточно велик. Возможно этому позднее я уделю внимание и время, но пока отвечаю на пожелание читателя Хабра.

Исходные данные задачи удобно представить двумя матрицами.

Требуется найти план Х [m,n] перевозок, удовлетворяющий условиям на целевую функцию Q и переменные х_ij задачи

Решение задачи:

1. Формирование начального опорного плана способом Северо-Западного угла.

2. Проверка опорного плана на оптимальность

Является ли найденный опорный план оптимальным? Ответ может быть получен после составления и решения системы уравнений для потенциалов. Определим систему уравнений для потенциалов и вычислим их значения:

α₁ + β₁ = d₁₁ = 2;
α₁ + β₂ = d₁₂ = 3;
α₂ + β₂ = d₂₂ = 3;
α₂ + β₃ = d₂₃ = 1;
α₂ + β₄ = d₂₄ = 2;
α₃ + β₄ = d₃₄ = 2.

Каждое из этих значений соответствует одной базисной ячейке. Одну из неизвестных в системе можно задавать произвольно. Пусть β₁ = 0. Тогда после решения системы получены значения потенциалов: α₁= 2, α₂= 2, α₃= 2, β₁ =0, β₂=1, β₃ =–1, β₄ =0,

Формируем матрицу фиктивных стоимостей D'[m, n] и матрицу Г [m, n].

Выделяем в Г [m, n] свободные ячейки, содержащие γ_rs. Проверяем наличие положительных переменных γ_i,j > 0. Так как в матрице (в свободных ячейках) имеем γ₃₂ = 2 > 0, то исходный опорный план может быть улучшен, он не является оптимальным.

3. Переход к новому (улучшенному) опорному плану

Переменную x₃₂ =x следует ввести в базис. Обозначим ее предварительно через x без индексов. С учетом того, что х должна быть положительна х > 0. Найдем значение max x при условии сохранения баланса перевозок. Для этого воспользуемся начальным опорным планом. Будем добавлять переменную х в ячейки таблицы так, чтобы сохранялись условия баланса перевозок

Модификация начального опорного плана

Обозначим ее предварительно через x без индексов. С учетом того, что х должна быть положительна х > 0. Найдем значение max x при условии сохранения баланса перевозок. Для этого воспользуемся начальным опорным планом. Будем добавлять переменную х в ячейки таблицы так, чтобы сохранялись условия баланса перевозок Очевидно, что наибольшее x определяется теми x_ij в базисных клетках, из которых этот х вычитается. Следовательно, x₁₁ = min<х₂₂, х₃₄> = <10, 40>= 10. При x >10 перевозка х₂₂ становится отрицательной. Переменную х₂₂ исключаем из базиса и переводим ее в разряд свободных переменных. Далее повторяются рекурсивно три пункта алгоритма.

Получаем из модифицированного плана новый опорный план

В нем объемы перевозок распределены иначе чем в начальном опорном плане.

Новый опорный план

Суммарная стоимость перевозок для этого опорного плана получает представление:
Q = d₁₁ ∙x₁₁ + d₁₂∙x₁₂ + d₂₃∙x₂₃ + d₃₂∙x₃₂ + d₂₄∙x₂₄+ d₃₄∙x₃₄ =
=2∙70 + 3∙20 + 2∙10 + 1∙20 + 1∙10 + 2∙30 = 140 + 60 + 20 + 20 + 10 + 60 = 310 ед. Затраты на перевозки при этом плане уменьшились на 330 – 310 = 20 ед.

Является ли найденный опорный план оптимальным? Ответ может быть получен после составления и решения системы уравнений для потенциалов.

2. Проверка опорного плана на оптимальность

Определим систему уравнений для потенциалов и вычислим их значения:
α₁ + β₁ = d₁₁ = 2;
α₁ + β₂ = d₁₂ = 3;
α₂ + β₃ = d₂₃ = 1;
α₂ + β₄ = d₂₄ = 2;
α₃ + β₂ = d₃₂ = 1;
α₃ + β₄ = d₃₄ = 2.

Каждое из этих значений соответствует одной базисной ячейке. Одну из неизвестных в системе можно задавать произвольно. Пустьα₁ = 0. Тогда после решения системы получены значения потенциалов: α₁= 0, α₂= – 2, α₃= –2, β₁ =2, β₂=3, β₃ = 3, β₄ =4.

Формируем матрицу фиктивных стоимостей D'[m, n] и матрицу Г [m, n].

Свободные ячейки матрицы Г [m, n] содержат γ_i,j > 0 (γ₁₄ = 1>0). План не оптимален.

3. Переход к новому (улучшенному) опорному плану

Из свободных переменных с x_ij > 0, выбираем одну x₁₄ для введения ее в базис. Обозначим ее как и ранее через x без индексов. С учетом того, что х должна быть положительна х > 0. Найдем значение max x при условии сохранения баланса перевозок. Для этого воспользуемся очередным опорным планом. Будем добавлять переменную х в ячейки таблицы так, чтобы сохранялись условия баланса перевозок

модифицированный план

Очевидно, что наибольшее x определяется теми x_ij в базисных клетках, из которых этот х вычитается. Следовательно, x₁₁ = min<х₁₂, х₃₄> = <20, 30>= 20. При х₁₂ >20 перевозка х₁₂ становится отрицательной. Переменную х₁₂ исключаем из базиса и переводим ее в разряд свободных переменных. Переходим к новой итерации

1. Получаем из модифицированного плана новый опорный план.

В нем объемы перевозок распределены иначе чем в предшествующем опорном плане.

Суммарная стоимость перевозок для этого опорного плана получает представление:
Q = d₁₁ ∙x₁₁ + d₁₄∙x₁₄ + d₂₃∙x₂₃ + d₃₂∙x₃₂ + d₂₄∙x₂₄+ d₃₄∙x₃₄ =
=2∙70 + 3∙20 + 1∙20 + 2∙10 + 1∙30 + 2∙10 = 140 + 60 + 20 + 20 + 30 + 20 = 290 ед. Затраты на перевозки при этом плане уменьшились на 310 – 290 = 20 ед. Является ли найденный опорный план оптимальным? Ответ может быть получен после составления и решения системы уравнений для потенциалов.

2. Проверка опорного плана на оптимальность

Определим систему уравнений для потенциалов и вычислим их значения:
α₁ + β₁ = d₁₁ = 2;
α₁ + β₄ = d₁₄ = 3;
α₂ + β₃ = d₂₃ = 1;
α₂ + β₄ = d₂₄ = 2;
α₃ + β₂ = d₃₂ = 1;
α₃ + β₄ = d₃₄ = 2. Каждое из этих значений соответствует одной базисной ячейке. Одну из неизвестных в системе можно задавать произвольно. Пусть β₁ = 0. Тогда после решения системы получены значения потенциалов: α₁= 2, α₂= 2, α₃= 2, β₁ =0, β₂=1, β₃ =–1, β₄ =0.

Формируем матрицу фиктивных стоимостей D'[m, n] и матрицу Г [m, n].

При переходе к новому опорному плану проверяем наличие положительных свободных переменных γ_i,j >0. Но таких переменных не оказалось. Отсюда следует вывод, что полученный последним модифицированный план является оптимальным и ему соответствует значение линейной формы
Q’= 2∙70 + 3∙20 + 1∙20 + 2∙10 + 1∙30 + 2∙10 = 290.

Заключение

Вся теория исследования операций с позиций математики решает неклассические задачи оптимизации целевых функций. Отличие от классики в том, что те ограничения на переменные, которые исследователи вынуждены накладывать в рамках моделей, созданы и вызваны реальностью. Отыскивать требуется экстремумы функций при многих ограничениях, так называемые условные экстремумы. Классика не позволяет этого делать. Взятие производных и приравнивание их нулю «не видит» ограничений. Лучшее, что там имеется это функция Лагранжа, но ее использование также весьма ограничено. Транспортные задачи – частный, но важный случай в исследовании операций. Надеюсь, что читатель разобравшись в приведенных примерах, лучше стал понимать логику задачи и сумеет самостоятельно постигать интересующие его вопросы по другим публикациям в учебниках и журнальных статьях.

Ваулин А. Е. Методы цифровой обработки данных.– СПб.: ВИККИ им. А. Ф. Можайского, 1993.– 106 с.

Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно решаемые задачи. М.: Мир, 1982.

Корбут А.А., Финкельштейн Ю. Ю. Дискретное программирование М. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1969.

Макаров И. М. и др. Теория выбора и принятия решений.– М.: Наука, 1982.– 328 с.

Пфанцагль И. Теория измерений. – М.: Наука, 1988.–384 с.

Таха Х. А. Введение в исследование операций. 7-е изд. М.: Изд. дом «Вильямс», 2005.

Фишберн П. С. Теория полезности для принятия решений. – М.: Наука,1978. –352 с.

Источник