какое моделирование выполняет процесс построения и изучения математических моделей
Математическое моделирование и процесс создания математической модели
1. Математическое моделирование
и процесс создания математической модели.
Математическое моделирование представляет собой метод исследования объектов и процессов реального мира с помощью их приближенных описаний на языке математики — математических моделей.
Процесс создания математической модели условно можно разбить на ряд основных этапов:
1) построение математической модели;
2) постановка, исследование и решение соответствующих вычислительных задач;
3) проверка качества модели на практике и модификация модели.
Рассмотрим основное содержание этих этапов.
Построение математической модели. Математической моделью называется аналитическое выражение, которое находится в результате анализа некой физической системы или явления, включающей в себя несколько неизвестных параметров этой системы или явления, подлежащих определению на основе данных эксперимента. С помощью наблюдений и экспериментов, практики выявляются основные «характеристики» явления, которым сопоставляются некоторые величины. Как правило, эти величины принимают числовые значения, т. е. являются переменными, векторами, матрицами, функциями и т. д.
Установленным внутренним связям между «характеристиками» явления придается форма равенств, неравенств, уравнений и логических структур, связывающих величины, включенные в математическую модель. Таким образом, математическая модель становится записью на языке математики законов природы.
Подчеркнем, что математическая модель неизбежно представляет собой компромисс между бесконечной сложностью изучаемого явления и желаемой простотой его описания.
Математические модели часто разделяют на статические и динамические. Статическая модель описывает явление или ситуацию в предположении их завершенности, неизменности (т. е. в статике). Динамическая модель описывает, как протекает явление или изменяется ситуация от одного состояния к другому (т. е. в динамике). При использовании динамических моделей, как правило, задают начальное состояние системы, а затем исследуют изменение этого состояния во времени. В динамических моделях искомое решение часто является функцией времени у=у(t), переменная t в таких моделях, как правило, бывает выделенной и играет особую роль.
Постановка, исследование и решение вычислительных задач. Для того чтобы найти интересующие исследователя значения величин или выяснить характер из зависимости от других входящих в математическую модель величин, ставят, а затем решают математические задачи.
Выявим основные типы решаемых задач. Для этого все величины, включенные в математическую модель, условно разобьем на три группы:
1) исходные (входные) данные х,
2) параметры модели a,
3) искомое решение (выходные данные) у.
1). Наиболее часто решают так называемые прямые задачи, постановка которых выглядит следующим образом: по данному значению входного данного х при фиксированных значениях параметров a требуется найти решение у. Процесс решения прямой задачи можно рассматривать как математическое моделирование причинно-следственной связи, присущей явлению. Тогда входное данное х характеризует «причины» явления, которые задаются и варьируются в процессе исследования, а искомое решение у — «следствие».
Для того чтобы математическое описание было применимо не к единичному явлению, а к широкому кругу близких по природе явлений, в действительности строят не единичную математическую модель, а некоторое параметрическое семейство моделей. Выбор конкретной модели из этого семейства осуществляется фиксацией значений параметров модели a. Например, в роли таких параметров могут выступать некоторые из коэффициентов, входящих в уравнения.
2). Большую роль играет решение так называемых обратных задач, состоящих в определении входного данного х по данному значению у (параметры модели a, как и в прямой задаче, фиксированы). Решение обратной задачи — это в определенном смысле попытка выяснить, какие «причины» x привели к известному «следствию» у. Как правило, обратные задачи оказываются сложнее для решения, чем прямые.
3). Помимо двух рассмотренных типов задач следует упомянуть еще один тип — задачи идентификации. В широком смысле задача идентификации модели — это задача выбора среди множества всевозможных моделей той, которая наилучшим образом описывает изучаемое явление. В такой постановке эта задача выглядит как практически неразрешимая проблема. Чаще задачу идентификации понимают в узком смысле, как задачу выбора из заданного параметрического семейства моделей конкретной математической модели (с помощью выбора ее параметров a), с тем чтобы оптимальным в смысле некоторого критерия образом согласовать следствия из модели с результатами наблюдений.
Указанные три типа задач (прямые, обратные и задачи идентификации) будем называть вычислительными задачами. Для удобства изложения в дальнейшем независимо от типа решаемой задачи будем называть набор подлежащих определению величин искомым решением и обозначать через у, а набор величин — входным данным и обозначать через х.
Появление ЭВМ кардинально изменило ситуацию. Класс математических моделей, допускающих подробное исследование, резко расширился. Решение многих, еще недавно недоступных, вычислительных задач стало обыденной реальностью.
Проверка качества модели на практике и модификация модели. На этом этапе выясняют пригодность математической модели для описания исследуемого явления. Теоретические выводы и конкретные результаты, вытекающие из гипотетической математической модели, сопоставляют с экспериментальными данными. Если они противоречат друг другу, то выбранная модель непригодна и ее следует пересмотреть, вернувшись к первому этапу. Если же результаты совпадают с допустимой для описания данного явления точностью, то модель можно признать пригодной. Конечно, необходимо дополнительное исследование с целью установления степени достоверности модели и границ ее применимости.
Вопросы для повторения:
1. Что такое математическая модель?
2. Основные этапы построения математической модели?
3. Основные типы решаемых задач?
2. Основные этапы решения инженерной
задачи с применением ЭВМ
Решение инженерной задачи с использованием ЭВМ можно разбить на ряд последовательных этапов. Выделим следующие этапы:
1) постановка проблемы;
2) выбор или построение математической модели;
3) постановка вычислительной задачи;
4) предварительный (предмашинный) анализ свойств вычислительной задачи;
5) выбор или построение численного метода;
6) алгоритмизация и программирование;
7) отладка программы;
8) счет по программе;
9) обработка и интерпретация результатов;
10) использование результатов и коррекция математической модели.
Постановка проблемы. Первоначально прикладная задача бывает сформулирована в самом общем виде:
— исследовать некоторое явление,
— спроектировать устройство, обладающее заданными свойствами,
— дать прогноз поведения некоторого объекта в определенных условиях и т. д.
На данной стадии происходит конкретизация постановки задачи. Первостепенное внимание при этом уделяется выяснению цели исследования.
Этот очень важный и ответственный этап завершается конкретной формулировкой проблемы на языке, принятом в данной предметной области. Знание возможностей, которые дает применение ЭВМ, может оказать существенное влияние на окончательную формулировку проблемы.
Выбор или построение математической модели. Для последующего анализа исследуемого явления или объекта необходимо дать его формализованное описание на языке математики, т. е. построить математическую модель. Часто имеется возможность выбора модели среди известных и принятых для описания соответствующих процессов, но нередко требуется и существенная модификация известной модели, а иногда возникает необходимость в построении принципиально новой модели.
Постановка вычислительной задачи. На основе принятой математической модели формулируют вычислительную задачу (или ряд таких задач). Анализируя результаты ее решения, исследователь предполагает получить ответы на интересующие его вопросы.
Предварительный анализ свойств вычислительной задачи. На этом этапе проводят предварительное (предмашинное) исследование свойств вычислительной задачи, выяснению вопросов существования и единственности решения, а также исследованию устойчивости решения задачи к погрешностям входных данных.
Выбор или построение численного метода. Для решения вычислительной задачи на ЭВМ требуется использование численных методов.
Часто решение инженерной задачи сводится к последовательному решению стандартных вычислительных задач, для которых разработаны эффективные численные методы. В этой ситуации происходит либо выбор среди известных методов, либо их адаптация к особенностям решаемой задачи. Однако если возникающая вычислительная задача является новой, то не исключено, что для ее решения не существует готовых методов.
Для решения одной и той же вычислительной задачи обычно может быть использовано несколько методов. Необходимо знать особенности этих методов, критерии, по которым оценивается их качество, чтобы выбрать метод, позволяющий решить проблему наиболее эффективным образом. Здесь выбор далеко не однозначен. Он существенно зависит от требований, предъявляемых к решению, от имеющихся в наличии ресурсов, от доступной для использования вычислительной техники и т. д.
Алгоритмизация и программирование. Как правило, выбранный на предыдущем этапе численный метод содержит только принципиальную схему решения задачи, не включающую многие детали, без которых невозможна реализация метода на ЭВМ. Необходима подробная детализация всех этапов вычислений, для того чтобы получить реализуемый на ЭВМ алгоритм. Составление программы сводится к переводу этого алгоритма на выбранный язык программирования.
Существуют библиотеки из которых пользователи из готовых модулей свои программы, либо, в крайнем случае, приходится программу писать с «нуля».
Отладка программы. На этом этапе с помощью ЭВМ выявляют и исправляют ошибки в программе.
После устранения ошибок программирования необходимо провести тщательное тестирование программы — проверку правильности ее работы на специально отобранных тестовых задачах, имеющих известные решения.
Счет по программе. На этом этапе происходит решение задачи на ЭВМ по составленной программе в автоматическом режиме. Этот процесс, в ходе которого входные данные с помощью ЭВМ преобразуются в результат, называют вычислительным процессом. Как правило, счет повторяется многократно с различными входными данными для получения достаточно полной картины зависимости от них решения задачи.
Обработка и интерпретация результатов. Полученные в результате расчетов на ЭВМ выходные данные, как правило, представляют собой большие массивы чисел, которые потом представляются в удобной для восприятия форме.
Использование результатов и коррекция математическое модели. Завершающий этап состоит в использовании результатов расчетов в практической деятельности, иначе говоря, во внедрении результатов.
Очень часто анализ результатов, проведенный на этапе их обработки и интерпретации, указывает на несовершенство используемой математической модели и необходимость ее коррекции. В таком случае математическую модель модифицируют (при этом она, как правило, усложняется) и начинают новый цикл решения задачи.
Вопросы для повторения:
1. Основные этапы решение инженерной задачи с использованием ЭВМ?
3. Вычислительный эксперимент
Создание математических моделей и решение инженерных задач с применением ЭВМ требует выполнения большого объема работ. Нетрудно заметить аналогию с соответствующими работами, проводимыми при организации натурных экспериментов: составление программы экспериментов, создание экспериментальной установки, выполнение контрольных экспериментов, проведение серийных опытов) обработка экспериментальных данных и их интерпретация и т. д. Однако вычислительный эксперимент проводится не над реальным объектом, а над его математической моделью, и роль экспериментальной установки играет оснащенная специально разработанной программой ЭВМ. В связи с этим естественно рассматривать проведение больших комплексных расчетов при решении инженерных и научно-технических задач как вычислительный эксперимент, а описанную в предыдущем параграфе последовательность этапов решения как один его цикл.
Отметим некоторые достоинства вычислительного эксперимента по сравнению с натуральным:
1. Вычислительный эксперимент, как правило, дешевле физического.
2. В этот эксперимент можно легко и безопасно вмешиваться.
3. Его можно повторить еще раз (если в этом есть необходимость) и прервать в любой момент.
4. В ходе этого эксперимента можно смоделировать условия, которые нельзя создать в лаборатории.
Заметим, что в ряде случаев проведение натурного эксперимента затруднено (а иногда и невозможно), так как изучаются быстропротекающие процессы, исследуются труднодоступные или вообще пока недоступные объекты. Часто проведение полномасштабного натурного эксперимента сопряжено с губительными или непредсказуемыми последствиями (ядерная война, поворот сибирских рек) или с опасностью для жизни или здоровья людей. Нередко требуется исследование и прогнозирование результатов катастрофических явлений (авария ядерного реактора АЭС, глобальное потепление климата, землетрясение). В этих случаях вычислительный эксперимент может стать основным средством исследования. Заметим, что с его помощью оказывается возможным прогнозировать свойства новых, еще не созданных конструкций и материалов на стадии их проектирования.
Существенным недостатком вычислительного эксперимента является то, что применимость его результатов ограничена рамками принятой математической модели.
Создание нового изделия или технологического процесса предполагает выбор среди большого числа альтернативных вариантов, а также оптимизацию по ряду параметров. Поэтому в ходе вычислительного эксперимента расчёты проводятся многократно с разными значениями входных параметров. Для получения нужных результатов с требуемой точностью и в приемлемые сроки необходимо, чтобы на расчет каждого варианта тратилось минимальное время.
Разработка программного обеспечения вычислительного эксперимента в конкретной области инженерной деятельности приводит к созданию крупного программного комплекса. Он состоит из связанных между собой прикладных программ и системных средств, включающих средства, предоставляемые пользователю для управления ходом вычислительного эксперимента, обработки и представления его результатов. Такой комплекс программ иногда называют проблемно-ориентированным пакетом прикладных программ.
Вопросы для повторения:
1. Достоинства вычислительного эксперимента по сравнению с натуральным?
2. Недостатки вычислительного эксперимента?
4. Простейшие методы решения задач
4.1. Поиск корня функции.
Метод деления отрезка по полам (метод Вилли).
Делим отрезок пополам (АС=СВ). Выбираем половину, в которой функция пересекает ось 0х, затем обозначаем С за В, т. е. С=В и снова делим пополам. Выбор половины осуществляется произведением ¦(А)´¦(В). Если произведение больше 0, то корня нет.
Метод хорд (секущих).
Метод касательных (метод Ньютона).
Математическое моделирование
Математическое моделирование — процесс построения и изучения математических моделей.
Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.
Содержание
Определения
Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.
Определение модели по А. А. Ляпунову: Моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):
По учебнику Советова и Яковлева [3] : «модель (лат. modulus — мера) — это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.» (с. 6) «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.» (с. 6) «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.»
Несколько менее общее определение математической модели, основанное на идеализации «вход — выход — состояние», заимствованной из теории автоматов, даёт Wiktionary: «Абстрактное математическое представление процесса, устройства или теоретической идеи; оно использует набор переменных, чтобы представлять входы, выходы и внутренние состояния, а также множества уравнений и неравенств для описания их взаимодействия.» [6]
Наконец, наиболее лаконичное определение математической модели: «Уравнение, выражающее идею.» [7]
Классификация моделей
Формальная классификация моделей
Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий [8] :
и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом — распределённые модели и т. д.
Классификация по способу представления объекта
Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:
Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика» [12] Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика».
Содержательные и формальные модели
Содержательная классификация моделей
В работе Р. Пайерлса (англ. R. Реiеrls ) [17] дана классификация математических моделей, используемых в физике и, шире, в естественных науках. В книге А. Н. Горбаня и Р. Г. Хлебопроса [18] эта классификация проанализирована и расширена. Эта классификация сфокусирована, в первую очередь, на этапе построения содержательной модели.
Тип 1: Гипотеза (такое могло бы быть)
Эти модели «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». По Р. Пайерлсу это, например, модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника (усовершенствованная Кеплером), модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва.
Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман:
«У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть.» [19]
Если модель первого типа построена, то это означает что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только вре́менной паузой: статус модели первого типа может быть только вре́менным.
Тип 2: Феноменологическая модель (ведем себя так, как если бы…)
Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.
Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира, проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.
Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.
Тип 3: Приближение (что-то считаем очень большим или очень малым)
Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае — использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример — закон Ома.
Если мы используем модель идеального газа для описания достаточно разреженных газов, то это — модель типа 3 (приближение). При более высоких плотностях газа тоже полезно представлять себе более простую ситуацию с идеальным газом для качественного понимания и оценок, но тогда это уже тип 4.
Тип 4: Упрощение (опустим для ясности некоторые детали)
В модели типа 4 отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Одни и те же уравнения могут служить моделью типа 3 (приближение) или 4 (опустим для ясности некоторые детали) — это зависит от явления, для изучения которого используется модель. Так, если модели линейного отклика применяются при отсутствии более сложных моделей (то есть не производится линеаризация нелинейных уравнений, а просто ищутся линейные уравнения, описываюшие объект), то это уже феноменологические линейные модели, и относятся они к следующему типу 4 (все нелинейные детали «для ясности» опускаем).
Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики. Путь от микроописания к свойствам тел (или сред), состоящих из большого числа частиц, очень длинен. Приходится отбрасывать многие детали. Это приводит к моделям 4-го типа.
Тип 5: Эвристическая модель (количественного подтверждения нет, но модель способствует более глубокому проникновению в суть дела)
Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даёт предсказания только «по порядку величины». Типичный пример — приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Оно даёт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины.
Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта — модель пятого типа. В этом случае часто используют модель по аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте.
Тип 6: Аналогия (учтём только некоторые особенности)
Тип 7: Мысленный эксперимент (главное состоит в опровержении возможности)
А. Эйнштейн был одним из великих мастеров мысленного эксперимента. Вот один из его экспериментов. Он был придуман в юности и, в конце концов, привел к построению специальной теории относительности. Предположим, что в классической физике мы движемся за световой волной со скоростью света. Мы будем наблюдать периодически меняющееся в пространстве и постоянное во времени электромагнитное поле. Согласно уравнениям Максвелла, этого быть не может. Отсюда юный Эйнштейн заключил: либо законы природы меняются при смене системы отсчета, либо скорость света не зависит от системы отсчета. Он выбрал второй — более красивый вариант. Другой знаменитый мысленный эксперимент Эйнштейна — Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена.
А вот и тип 8, широко распространенный в математических моделях биологических систем.
Тип 8: Демонстрация возможности (главное — показать внутреннюю непротиворечивость возможности)
Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.
Один из самых знаменитых таких экспериментов — геометрия Лобачевского (Лобачевский называл её «воображаемой геометрией»). Другой пример — массовое производство формально — кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др. Парадокс Эйнштейна — Подольского — Розена был задуман как модель 7 типа, для демонстрации противоречивости квантовой механики. Совершенно незапланированным образом он со временем превратился в модель 8 типа — демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.
В основе содержательной классификации — этапы, предшествующие математическому анализу и вычислениям. Восемь типов моделей по Р. Пайерлсу суть восемь типов исследовательских позиций при моделировании.
Пример
где 
означает вторую производную от x по времени: 
.
Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором».
По формальной классификация эта модель линейная, детерминисткая, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе её построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т.
д.), которые в реальности могут не выполняться.
По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 упрощение («опустим для ясности некоторые детали»), поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности (например, диссипация). В некотором приближении (скажем, пока отклонение груза от равновесия невелико, при малом трении, в течение не слишком большого времени и при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой (хотя и снова ограниченной) областью применимости.
Впрочем, при уточнении модели сложность её математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, «более правильная»).
Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, её содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям, её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия («учтём только некоторые особенности»).
Жёсткие и мягкие модели
Гармонический осциллятор — пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о её применимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жёсткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением:
Здесь 
— некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, 
— некоторый малый параметр. Явный вид функции f нас в данный момент не интересует. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида 
, то есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим затухающие колебания. Поведение системы качественно изменилось.
Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор — пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы. [20] Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.
Универсальность моделей
Прямая и обратная задачи математического моделирования
Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются, как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.
Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.
В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.
Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение) или быть результатом специально планируемого в ходе решения экперимента (активное наблюдение).
Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный И. Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.
Дополнительные примеры
Модель Мальтуса
Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением
Система хищник-жертва
Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения. Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра — Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.