какое множество является универсальным классом в курсе алгебры 6 7 класса
Что такое множество в математике и как оно обозначается
Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.
Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.
В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A1, A2 и т. д.
Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a1, a2 и т. д.
Границы совокупности обозначаются фигурными скобками < >.
А = <а, в, с, у>– А состоит из четырех элементов.
Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:
Z = <к, л, т, р>, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.
Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.
Пример: N =
Выделяют три вида множеств:
пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.
Пример: А = <а, в, с, у>и В = <а, в, с, е, к>– все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.
Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.
Пример: А = <23, 29, 48>и В = <23, 29, 48>, тогда А = В.
В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.
Множество натуральных чисел
Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.
Множество целых чисел
Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:
Множество рациональных чисел
Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:
Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:
Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.
Операции над множествами
Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.
Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.
Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.
Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.
В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.
Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:
Объединение
Пересечение
Дополнение
С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.
Свойства операций над множествами
Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:
Коммутативность – переместительные законы:
умножения S ∩ D = D ∩ S;
сложения S ∪ D = D ∪ S.
Ассоциативность – сочетательные законы:
умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);
сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).
Дистрибутивность – законы распределения:
умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);
умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);
сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).
если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;
если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.
Идемпотентность объединения и пересечения:
О других свойствах операций можно узнать из картинки:
Счетные и несчетные множества
Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.
Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.
Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.
Числовые множества в школьном курсе математики
ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»
Учитель Математики Высшей категории
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
Числовые множества ― совокупность важнейших понятий в математике. Как вводятся числовые множества в школьном курсе. В каком классе мы с ними встречаемся впервые? Каковы способы их введения?
Первые представления о числах складывались постепенно под влиянием практики. Надо было сравнивать множества различных предметов, устанавливать существующие между ними отношения. Надо было объединять два множества предметов в одно множество или удалять из множества некоторое подмножество. Далеко не всегда непосредственное решение таких задач было простым. Но в результате усилий многих поколений, по мере развития способности людей к абстрагированию, возникавшие трудности успешно преодолевались ― с появлением натуральных чисел и операций над ними решение этих задач существенно упростилось. Сравнение множеств, например, стало теперь сводиться к счету и сравнению полученных чисел.
В этом же концентре «Сотня» детей знакомят с новыми операциями ― умножением и делением. Еще в 1 классе при изучении нумерации» сложения и вычитания в пределах 10 и 100 вводился счет пар и троек предметов и предлагались задачи на нахождение суммы одинаковых и неодинаковых слагаемых. Например, в трех коробках лежит по 6 карандашей в каждой. Сколько всего карандашей в коробках? Или: в первой коробке 3 карандаш, во второй ― 6, в третьей ― 8. Сколько всего карандашей в коробках? Решая такие задачи и примеры, учащиеся должны заметить, что есть суммы с одинаковыми слагаемыми. Во 2 классе такие суммы заменяют произведением (6 + 6 + 6 +6 = 24). Например, учитель предлагает решить задачу: «Девочка наклеила марки на 4 страницы альбома, по 5 марок на каждую. Сколько всего марок наклеила девочка»? Что можно сказать о слагаемых (5+5+5+5 = 20)?. Если слагаемые одинаковые, то сумму можно записать иначе: 5×4=20. Сложение одинаковых слагаемых называется умножением. Введение переместительного свойства умножения имеет важное значение: оно дает возможность почта вдвое сократить число случаев, которые необходимо запомнить наизусть. Конкретный смысл другой операции ― деления ― раскрывается с помощью соответствующих примеров. Интересны случаи умножения и деления с нулем, в учебнике это приводится в качестве упражнений. Зная определение произведения: сумму b слагаемых, каждая из которых равна a, называют произведением чисел a и b и обозначают a×b, ученики без труда могут найти значение, например: 0×2 = 0 + 0 = 0.
Интересен вопрос о сравнении целых чисел. Объяснение этого материала начинается с примера, встречающегося в жизни. Например, вчера термометр показывал в комнате 18°C, а сегодня он показывает 21°С. Вчера холоднее, чем сегодня: число 18 меньше, чем 21. Можно записать: 18 (–6) + (3) = 9
Конспект лекций по основам теории множеств
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Конспект лекции Основы теории множеств
Элементы и множества
Понятие множества принадлежит к числу фундаментальных неопределяемых понятий математики. О множестве известно, как минимум, что оно состоит из элементов. Можно сказать:
Определение1: Множеством называется любая совокупность каких-либо объектов, обладающим общим для всех характеристическим свойством.
Определение2: Множество – это неопределяемое понятие, которое задается перечислением предметов, входящих в него, либо их свойствами.
Определение3: Объекты, из которых составлено множество, называются его элементами.
Знак обозначает вхождение или принадлежность; запись х Е читается: «элемент х принадлежит множеству Е», или короче: «х— элемент множества Е». Если х не принадлежит Е, будем писать х Е, что читается « х не является элементом множества Е» или «х не принадлежит множеству Е».
Существует два способа задания множества:
перечисление элементов (только для конечных множеств):
указание характеристических свойств:
— Множество М состоит из таких элементов х, обладающих свойством х≤6, где х – натуральное число.
– множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
R – множество вещественных чисел;
Множество студентов в группе.
Перечислением можно задавать только конечные. Бесконечные множества задаются характеристическим свойством (предикатом) или порождающей процедурой.
Универсальное множество обычно обозначается U (от англ. universe, universal set), реже E.
Определение 7. Множество А называется подмножеством множества В, если всякий элемент из А является элементом В. Обозначают
.
т.е. А А; 4) Универсальное множество U обладает свойством: все рассматриваемые множества являются его подмножеством А U, где А – любое множество.
Определение 8. Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство множеств обозначают так: А = В.
Для того, чтобы доказать равенство множеств А и В нужно:
1) доказать, что каждый элемент множества А является элементом множества В;
2) доказать, что каждый элемент множества В является элементом множества А.
Определение 9: В случае, когда и 
, то это записывают 
и говорят, что А есть собственное подмножество В.
Определение 10: Мощность множества А обозначается | А |.
Для конечных множеств мощность – это число его элементов.
Пример: 1) В=<1,2,3>, | В |=3; 2) | Z |= 
; 3) | |=0.
Определение 11: Равные множества являются равномощными. Если А=В, то 
.
Определить все подмножества множества В=
Приведите примеры бесконечного множества.
Конспект лекции Операции над множествами
1. Операции над множествами
Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества.
Для получения новых множеств из уже существующих, используют операции над множествами. Рассмотрим основные из них.
Определение: Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В без повторения:
Пример, А=<1,2,6,7>, B =<2,4,6,8>, тогда 
=
Определение: Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В: 
Пример, А=<1,2,6,7>, B =<2,4,6,8>, тогда 
=
Определение: Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):
Определение: Симметрической разностью (или кольцевой суммой) множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):
.
Пример, А=<1,2,6,7>, B =<2,4,6,8>, тогда 
=
2. Основные тождества алгебры множеств
Для произвольных множеств А, В, и С справедливы следующие соотношения (табл. 1):
1. Коммутативность объединения
1’. Коммутативность пересечения
2. Ассоциативность объединения
2’. Ассоциативность пересечения
3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения
3’. Дистрибутивность пересечения относительно объединения
4. Законы действия с пустым и универсальным множествами
4’. Законы действия с пустым и универсальным множествами
5. Закон идемпотентности объединения
5’. Закон идемпотентности пересечения
6. Закон де Моргана
6’. Закон де Моргана
7. Закон поглощения
7’. Закон поглощения
8. Закон склеивания
8’. Закон склеивания
10. Закон двойного дополнения
Одним из важных понятий теории множеств является понятие декартова произведения множеств.
Аналогично можно определить декартово произведение n множеств 
: 
Технологическая карта к уроку алгебры 7 класс, тема «Множества»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Технологическая карта к уроку по теме “Множества” 7 класс
Учитель математики, директор
Ожерельева Галина Анатольевна, МБОУ «СОШ № 15 пос. Штыково» Шкотовского муниципального района Приморского края
Результаты обучения по разделу
-умеют грамотно излагать свои мысли в письменной и устной речи речи;
-понимают смысл поставленной задачи;
-проявляют креативность мышления, находчивость;
— осознают важность и необходимость знаний для человека;
-умеют контролировать процесс и результат своей деятельности.
-умеют видеть математическую задачу в окружающем мире;
-находят различные стратегии решения задач;
-создают алгоритмы для решения математических задач;
— умеют планировать свою деятельность и осуществлять ее.
— умеют выделять множества, подмножества;
— умеют правильно записывать операции над множествами;
— умеют правильно строить круги Эйлера для заданных множеств;
— умеют находить объединение множеств, пересечение множеств, разность множеств аналитическим и графическим способами;
-умеют выполнять устные и письменные вычисления;
— умеют преобразовывать рациональные выражения;
— умеют решать линейные уравнения;
Заданы два множества: А <2, 3, 4, 5, 6>и В <2, 4, 6, 7, 8>. Определить множество А∩В, А
В, А\В, В\А.
АВ=
По данным промежуткам А [4;+∞) и В (2;7] на числовой прямой определить множество А∩В, АВ, А\В, В\А
АВ=(2, + ∞ ]
В группе 35 студентов. Каждый из них изучает хотя бы один иностранный язык (английский или французский). Сколько студентов изучает оба языка, если известно, что английский язык изучают 14 человек, а французский – в два раза больше, чем английский.
Найдите пересечение и объединение множеств цифр, используемых в записи чисел 15243 и 6321
АВ=
Пересечением каких множеств является а) множество квадратов?; б) множество прямоугольных равнобедренных треугольников
Выполнить решение с помощью кругов Эйлера.
Ответ : а) множества прямоугольников и множества ромбов;
б) множества прямоугольных треугольников и множества равнобедренных треугольников.
В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуется метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта?
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА РАБОТЫ НАД ЗАДАЧЕЙ
В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуется метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.
Для решения воспользуемся кругами Эйлера:
Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются только метро и троллейбусом — (10 − х) человек, только автобусом и троллейбусом — (9 − х) человек, только метро и автобусом — (12 − х) человек. Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:
20 − (12 − х) − (10 − х) − х = х − 2
Х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30.
Основные этапы работы над задачей
Содержание педагогического взаимодействия
Постановка учебной задачи
Создание проблемной ситуации
Предлагает решить задачу (текст в формулировке задачи)
Организовывает «погружение в проблему».
Слушают учителя и строят речевое высказывания на уточнение задания
Совместное исследование проблемы
Поиск способов решения задачи
— является ли данная задача задачей на множества?
-Какие основные множества можно выделить по условию задачи?
— Будут ли эти множества независимыми друг от друга?
-что нужно сделать, чтобы ответить на вопрос задачи?
Фиксирует ответы учащихся
Отвечают на вопросы:
-да, т.к. можно выделить множества и в дальнейшем выполнить над ними операции согласно условию задачи.
— <М>— множество учащихся, пользующихся метро, < A >– множество учеников, пользующихся автобусом, <Т>– множество учеников, пользующихся троллейбусом.
— нет, так как в классе есть ученики, которые пользуются двумя и даже тремя видами транспорта.
— Нужно выполнить построение кругов Эйлера для заданных множеств и исследовать построенную графическую модель.
Исследуют условия и способы решения задачи
Создание математической модели
Предлагает выполнить построение кругов Эйлера для установленных множеств таким образом, чтобы они удовлетворяли условию задачи
Предлагает составить модели, для нахождения количества учеников, пользующихся:
Как, используя полученные данные, найти сколько всего человек пользуется транспортом?
Строят графическую модель показывают на ней связи между множествами, фиксируют известные данные, и приходят к выводу, что нужно найти пересечение всех трёх выделенных множеств: М, А, Т. Количество элементов которого следует обозначить через х.
Делают знаково-символическую запись связей и отношений:
Х – кол-во учащихся, пользующихся всеми тремя видами транспорта.
(12 – х) – учеников пользуются только метро и автобусом
(9 – х) – учеников пользуются только троллейбусом и автобусом
(10 – х) – учеников пользуются только метро и троллейбусом
(х – 2) – учеников пользуются только метро;
х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30
Слушают, воспринимают, записывают высказывания
Осуществляют планирование и самоконтроль
Нахождение решения задачи
Организует решение полученного уравнения, оценивает правильность решения
Решают полученное уравнение:
х + (12 − х) + (9 − х) + (10 − х) + (х + 4) + (х − 2) + (х − 6) = 30
х + 12 − х + 9 − х + 10 − х + х + 4 + х − 2 + х − 6 = 30
Планируют учебное сотрудничество
Осуществляют самоконтроль, коррекцию и самооценку
Интерпретация полученного решения
Ответить на поставленный вопрос
Предлагает дать ответ на вопрос задачи
Отвечают на вопрос задачи: три человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.
Слушают, воспринимают, записывают ответ к задаче
Осуществляют самоконтроль, коррекцию и самооценку
Оценка рациональности решения
Организует обсуждение рациональности решения и оценивание его
Обсуждают и анализируют решение
Осуществляют самоконтроль, коррекцию и самооценку
Проконтролировать достижение результата
Дает диагностическую работу по вариантам:
В группе 35 студентов. Каждый из них изучает хотя бы один иностранный язык (английский или французский). Сколько студентов изучает оба языка, если известно, что английский язык изучают 14 человек, а французский – в два раза больше, чем английский.
Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги». Из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?
Рефлексия своих действий
Осуществляют самоконтроль, коррекцию и самооценку
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-864178
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор открыл горячую линию по вопросам контрольных в школах
Время чтения: 1 минута
Минтруд предложил проект по реабилитации детей-инвалидов
Время чтения: 1 минута
«Спутник» объявили словом года в России
Время чтения: 2 минуты
Российские педагоги чаще всего жалуются на излишнюю отчетность и низкую зарплату
Время чтения: 2 минуты
Средняя зарплата учителей в Москве достигла 122 тыс. рублей
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.