какое минимальное число общих точек необходимо задать чтобы две плоскости совпали
Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом
Лекция по математике предназначена для студентов 1 курса специальности 09.02.07 для самостоятельного изучения во время дистанционного обучения
Просмотр содержимого документа
«Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом»
Занятие 86. Тема «Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом»
Планиметрия. Аксиомы планиметрии
Основные понятия стереометрии
Следствия из аксиом стереометрии
Планиметрия. Аксиомы планиметрии
Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий фигуры и объекты на плоскости. Этот раздел изучается в школе с 7 по 9 класс.
Аксиома – это утверждение, принимающееся как истинное без доказательства. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений»
Аксиомы планиметрии – это основные свойства простейших геометрических фигур. Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка, прямая. Все аксиомы планиметрии можно разделить на группы.
1. Аксиомы принадлежности
1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Аксиомы расположения
2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
4. Аксиомы откладывания
4.1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.
4.2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.
4.3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
5. Аксиома параллельности
5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Основные понятия стереометрии
Стереометрия – это один из самых интересных и важных разделов математики. «Стереометрия» – греческое слово, состоящее из двух частей: «стереос» – «пространственный» и «метрео» — «измеряю». Т.е. «стереометрия» обозначает «измерение в пространстве». Стереометрия знакомит нас с разнообразием пространственных форм, законами их восприятия и изображения. Это геометрия в пространстве. Основными понятиями стереометрии являются точка, прямая и плоскость.
Точка – это идеализированный маленький объект, размером которого можно пренебречь. Евклид определял точку как то, что не имеет частей. Точки на чертежах обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C,…
Прямая – это идеальная фигура, аналог натянутой нити, края крышки стола, луча света. Она не имеет толщины, ее длина считается бесконечной. Прямые изображаются как участки прямых, обозначаются одной строчной буквой латинского алфавита: a, b, c, …
Плоскость – это идеальный аналог ровной поверхности воды, стола, зеркала. Плоскость бесконечна во всех направлениях. Плоскость изображается как бесформенная фигура или параллелограмм, обозначается буквами греческого алфавита: α, β, γ.
Основные фигуры стереометрии связаны тремя утверждениями, которые приняты за аксиомы – объяснение их очевидно. Очевидно, что в стереометрии на отдельно взятой плоскости справедливы все аксиомы планиметрии. Рассмотрим аксиомы, которые характерны только для пространства.
Аксиома С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Аксиома С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Аксиома С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Следствия из аксиом стереометрии
Следствие 1. (С4). Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну
Следствие 2. (С5). Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости.
Следствие 3. (С6). Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
Задание для самостоятельного выполнения
Задание 1. Ответить письменно на вопросы:
Назовите способы однозначного задания плоскости
Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой?
Летят три мухи. Когда они будут находиться в одной плоскости?
Какое минимальное число точек определяет: а)прямую, б)плоскость?
Верно ли, что все точки окружности принадлежат плоскости, если эта окружность имеет с плоскостью? Почему?
В плоскости даны три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой. Как расположены стороны ∆АВС относительно плоскости?
Как расположены друг с другом плоскости 
и 
?
Можно ли провести плоскость через данную точку пространства? Если да, то, сколько различных плоскостей можно провести через эту точку?
Может ли стул на трёх ножках, имеющих разную длину, не качаться?
Когда открывают крышку рояля, то её подпирают в одной точке. Какое свойство плоскости при этом применяются?
Задание 2. Выучить все формулировки аксиом планиметрии, аксиом стереометрии и следствия из них.
Задание 3. Познакомится самостоятельно со следствием 4 из учебника (теорема – Разбиение пространства плоскостью на два полупространства)
Пользуясь этим теоретическим материалом и материалом учебника А.В. Погорелов «Геометрия» (7-11 класс стр. 231-237) и (10-11 класс страницы смотрите из оглавления) выполнить письменно 1задание и устно 2 и 3 задание.
Выполненное 1 задание отправить на адрес электронной почты преподавателя: (например Петров-86)
Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом
Лекция по математике предназначена для студентов 1 курса специальности 09.02.07 для самостоятельного изучения во время дистанционного обучения
Просмотр содержимого документа
«Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом»
Занятие 86. Тема «Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом»
Планиметрия. Аксиомы планиметрии
Основные понятия стереометрии
Следствия из аксиом стереометрии
Планиметрия. Аксиомы планиметрии
Планиметрия – это раздел геометрии, изучающий фигуры и объекты на плоскости. Этот раздел изучается в школе с 7 по 9 класс.
Аксиома – это утверждение, принимающееся как истинное без доказательства. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений»
Аксиомы планиметрии – это основные свойства простейших геометрических фигур. Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка, прямая. Все аксиомы планиметрии можно разделить на группы.
1. Аксиомы принадлежности
1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Аксиомы расположения
2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
4. Аксиомы откладывания
4.1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.
4.2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.
4.3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
5. Аксиома параллельности
5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Основные понятия стереометрии
Стереометрия – это один из самых интересных и важных разделов математики. «Стереометрия» – греческое слово, состоящее из двух частей: «стереос» – «пространственный» и «метрео» — «измеряю». Т.е. «стереометрия» обозначает «измерение в пространстве». Стереометрия знакомит нас с разнообразием пространственных форм, законами их восприятия и изображения. Это геометрия в пространстве. Основными понятиями стереометрии являются точка, прямая и плоскость.
Точка – это идеализированный маленький объект, размером которого можно пренебречь. Евклид определял точку как то, что не имеет частей. Точки на чертежах обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C,…
Прямая – это идеальная фигура, аналог натянутой нити, края крышки стола, луча света. Она не имеет толщины, ее длина считается бесконечной. Прямые изображаются как участки прямых, обозначаются одной строчной буквой латинского алфавита: a, b, c, …
Плоскость – это идеальный аналог ровной поверхности воды, стола, зеркала. Плоскость бесконечна во всех направлениях. Плоскость изображается как бесформенная фигура или параллелограмм, обозначается буквами греческого алфавита: α, β, γ.
Основные фигуры стереометрии связаны тремя утверждениями, которые приняты за аксиомы – объяснение их очевидно. Очевидно, что в стереометрии на отдельно взятой плоскости справедливы все аксиомы планиметрии. Рассмотрим аксиомы, которые характерны только для пространства.
Аксиома С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Аксиома С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Аксиома С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Следствия из аксиом стереометрии
Следствие 1. (С4). Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну
Следствие 2. (С5). Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости.
Следствие 3. (С6). Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и притом только одна.
Задание для самостоятельного выполнения
Задание 1. Ответить письменно на вопросы:
Назовите способы однозначного задания плоскости
Можно ли провести плоскость через три точки, если они лежат на одной прямой?
Летят три мухи. Когда они будут находиться в одной плоскости?
Какое минимальное число точек определяет: а)прямую, б)плоскость?
Верно ли, что все точки окружности принадлежат плоскости, если эта окружность имеет с плоскостью? Почему?
В плоскости даны три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой. Как расположены стороны ∆АВС относительно плоскости?
Как расположены друг с другом плоскости и ?
Можно ли провести плоскость через данную точку пространства? Если да, то, сколько различных плоскостей можно провести через эту точку?
Может ли стул на трёх ножках, имеющих разную длину, не качаться?
Когда открывают крышку рояля, то её подпирают в одной точке. Какое свойство плоскости при этом применяются?
Задание 2. Выучить все формулировки аксиом планиметрии, аксиом стереометрии и следствия из них.
Задание 3. Познакомится самостоятельно со следствием 4 из учебника (теорема – Разбиение пространства плоскостью на два полупространства)
Пользуясь этим теоретическим материалом и материалом учебника А.В. Погорелов «Геометрия» (7-11 класс стр. 231-237) и (10-11 класс страницы смотрите из оглавления) выполнить письменно 1задание и устно 2 и 3 задание.
Выполненное 1 задание отправить на адрес электронной почты преподавателя: (например Петров-86)
Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2
Вступление
Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.
Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.
Задача №1
Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.
Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P1(x1, y1), P2(x2, y2). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P1P2 и P1M и по его знаку сделать вывод.
Задача №2
Определить принадлежит ли точка лучу.
Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P1(x1, y1) — начало луча, а P2(x2, y2) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.
Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P1(x1, y1), где P2(x2, y2) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P1P2, P1M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)
Задача №3
Определить принадлежит ли точка отрезку.
Решение
Пусть точки P1(x1, y1), P2(x2, y2) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P1, P2. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P1 и P2, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP1, MP2). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.
Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP1,MP2) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P1 и P2)
Задача №4
Взаимное расположение двух точек относительно прямой.
Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.
Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.
Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] ≤ 0.
Задача №5
Определить пересекаются ли две прямые.
Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a1b2 — a2b1 = 0.
Если же прямые заданы точками P1(x1, y1), P2(x2, y2), M1(x3, y3), M2(x4, y4), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P1P2 и M1M2: если оно равно нулю, то прямые параллельны.
В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b1, a1), (-b2, a2) которые называются направляющими векторами.
Задача №6
Определить пересекаются ли два отрезка.
Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:
Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P1P2, P1M2] > 0, [P1P2, P1M1] [P1P2, P1M2] * [P1P2, P1M1] 2 + b 2 ).
Задача №8
Расстояние от точки до луча.
Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.
В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.
Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 находится между точками O1 и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d2. Использование отрицательного значения d2 приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.
Заключение
Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.
Какое минимальное число общих точек необходимо задать чтобы две плоскости совпали
Рассмотрим некоторые способы графического задания плоскости. Положение плоскости в пространстве может быть определено:
1. тремя точками, не лежащими на одной прямой линии (рис. 41 );
Рисунок 41. Плоскость, заданная тремя точками, не лежащими на одной прямой
2. прямой линией и точкой, не принадлежащей этой прямой (рис. 4 2);
Рисунок 42. Плоскость, заданная прямой линией и точкой, не принадлежащей этой линии
3. двумя пересекающимися прямыми (рис.43);
Рисунок 43. Плоскость, заданная двумя пересекающимися прямыми
4. двумя параллельными прямыми (рис.44);
Рисунок 44. Плоскость, заданная двумя п араллельны ми прямы ми
5. О положении плоскости относительно плоскостей проекций удобно судить по её следам (рис.45).
С ледом плоскости называется прямая линия, по которой плоскость пересекается с плоскостью проекций. В зависимости от того, какую плоскость проекций пересекает данная a плоскость различают горизонтальный a П1, фронтальный a П2 и профильный a П3 следы.
Рисунок 45. Плоскость, заданная следами
Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, а две другие разноименные проекции лежат на осях.