какое движение называют колебательным

§ 1. Колебательное движение. Гармонические колебания

1. Какое движение называют периодическим? Колебательным?

Движение называют периодическим, если физические величины, характеризующие движение, принимают одни и те же значения через равные промежутки времени. Колебательным движение называют движение, которое неоднократно повторяется
по одной и той же траектории.

2. Что называют амплитудой колебаний? Периодом? Частотой?

Амплитудой колебаний называют максимальное отклонение маятника от положения равновесия.

Периодом колебаний называют минимальный промежуток времени, в течение которого повторяются значения всех физических величин этого колебания, т.е. совершается одно полное колебание.

Частотой колебаний называют число колебаний, которое совершает тело в единицу времени.

3. Каким соотношением связаны между собой частота колебаний ν и циклическая частота колебаний ω?

Частота и циклическая частота колебаний связаны между собой соотношение:

4. Что такое кинематический закон движения? Запишите закон движения при гармонических колебаниях.

Кинематический закон движения — это зависимость координаты от времени x(t).

Закон движения при гармонических колебаниях:

по закону косинуса:

5. Какой путь проходит гармонически колеблющееся тело за два периода колебаний, если амплитуда колебаний равна A?

За два периода тело пройдёт расстояние 4А, поскольку за один период тело проходит расстояние, равное двум амплитудам.

6. Приведите примеры колебательных систем в природе и технике.

Колебательные системы в природе: землетрясения, приливы и отливы.

Колебательные системы в технике: маятниковые часы, детские качели.

Источник

Механические колебания

теория по физике 🧲 колебания и волны

Колебательное движение очень распространено. Заставить колебаться можно любое тело, если приложить к нему силу — однократно или постоянно. К примеру, если подтолкнуть качели, они начнут качаться вперед-назад, и такое движение будет приблизительно повторяться до тех пор, пока качели полностью не остановятся.

Другой пример колебательного движения — тело, подвешенное к пружине. Если его потянуть вниз и отпустить, то за счет сил упругости оно сначала поднимется вверх, а затем снова опустится вниз, затем движения вверх-вниз будут повторяться. Со временем они прекратятся под действием силы сопротивления воздуха.

Колебаниями можно назвать даже движение гири, которую поднимается тяжелоатлет вверх, а затем опускает в низ. При этом он будет прикладывать к гире силу постоянно. Гиря будет колебаться до тех пор, пока к нему будет прикладываться эта сила.

Колебания — это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определенные интервалы времени.

Механические колебания — это колебательные движения, совершаемые физическим телом в механической системе.

Механическая система — совокупность материальных точек (тел), движения которых взаимосвязаны между собой.

Какими бывают колебания?

Напомним, что в механической системе выделяют два вида сил:

Свободные колебания

Свободные колебания — колебания, происходящие в системе под действием внутренних сил после того, как эта система выведена из положения равновесия.

Колебательная система — механическая система, в которой возможно совершение свободных колебаний.

Свободные колебания в колебательной системе могут возникнуть только при наличии двух условий:

Примеры свободных колебаний:

Примером колебательной системы также служит математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити. В действительности такого маятника не существует. Это идеализированная модель реального маятника, примером которого служит тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити. В этом случае размером шарика и растяжением нити можно пренебречь.

В колебательную систему математического маятника входят:

В положении равновесия (точка О) шарик висит на нити и покоится. Если его отклонить от положения равновесия до точки А и отпустить, под действием силы тяжести шарик приблизится к положению равновесия. Так как к этому моменту шарик обретет скорость, он не сможет остановиться и приблизится к точке В. Затем он снова вернется в точку А через положение равновесия в точке О. Шарик будет колебаться, пока не затухнут под действием возникающей силы сопротивления воздуха.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания — колебания тел под действием внешних периодически изменяющихся сил.

Примерами вынужденных колебаний служат:

Затухающие и незатухающие колебания

Затухающие колебания — колебания, которые со временем затухают. При этом максимальное отклонение тела от положения равновесия с течением времени уменьшается.

Колебания затухают под действием сил, препятствующих колебательному движению. Так, шарик в сферической чаше перестает колебаться под действием силы трения. Математический маятник и качели перестают совершать колебательные движения за счет силы сопротивления воздуха.

Все свободные колебания являются затухающими, так как всегда присутствует трение или сопротивление среды.

Незатухающими колебаниями могут быть только те, которые совершаются под действием периодической внешней силы (вынужденные колебания). Так, ветка будет раскачиваться до тех пор, пока дует ветер. Когда он перестанет дуть, колебания ветки со временем затухнут. Иголка швейной машинки будет совершать колебательные движения до тех пор, пока швея вращает ручку привода. Когда она перестанет это делать, иголка сразу остановится.

Динамика колебательного движения

Для того чтобы описать количественно колебания тела пол действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механики Ньютона.

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием сил упругости

Рассмотрим колебательное движение шарика, вызванное силой упругости, возникшей при растяжении горизонтальной пружины вдоль оси Ох.

Согласно II закону Ньютона произведение массы тела на ускорение равно равнодействующей всех сил приложенных к телу. Поскольку сила трения пренебрежимо мала, мы можем считать, что в этой механической системе действует единственная сила — сила упругости. Учтем, что шарик колеблется вдоль одной прямой, и выберем одномерную систему координат Ох. Тогда:

Согласно закону Гука, проекция сила упругости прямо пропорциональная смещению шарика из положения равновесия (точки О). Смещение равно координате x шарика, причем проекция силы и координаты имеют разные знаки. Это связано с тем, что сила упругости всегда направлена к точке равновесия, в то время как расстояние от этой точки во время движения увеличивается в обратную сторону. Отсюда делаем вывод, что сила упругости равна:

где k — жесткость пружины.

Тогда уравнение движения шарики принимает

Пример №1. Груз массой 0,1 кг прикрепили к пружине школьного динамометра жесткостью 40 Н/м. В начальный момент времени пружина не деформирована. После того, как груз отпускают, возникают колебания. Чему равна максимальная скорость груза?

Максимальной скорости груз достигнет при максимальном его отклонении от положения равновесия — в нижней точке траектории. Учтем, что тело движется вниз под действием силы тяжести. Но в то же время на него действует сила упругости, которая возникает в пружине и нарастает до тех пор, пока не становится равной по модулю силе тяжести. Применив III закон Ньютона получим:

∣ ∣ ∣ → F т я ж ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ → F у п р ∣ ∣ ∣

где y m a x — максимальное отклонение груза от положения равновесия. В этой точке скорость тела будет максимальная. Для нахождения этой величины используем формулу из кинематики:

Начальная скорость равна нулю. Отсюда:

Максимальная скорость равна:

Уравнение движения математического маятника

Ниже на рисунке представлен математический маятник. Если мы выведем из положения равновесия шарик и отпустим, возникнет две силы:

При колебаниях шарика также будет возникать сила сопротивления воздуха. Но так как она очень мала, мы будем ею пренебрегать.

Чтобы описать динамику движения математического маятника, удобно силу тяжести разложить на две составляющие:

Причем компонента → F τ направлена перпендикулярно нити, а → F n — вдоль нее.

Компонента → F τ представляет собой проекцию силы тяжести в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия (точки О) на угол α. Следовательно, она равна:

Знак «–» мы здесь поставили по той причине, что компоненты силы тяжести → F τ и α имеют противоположные знаки. Ведь если отклонить шарик на угол α>0, то составляющая → F τ будет направлена в противоположную сторону, так как она будет пытаться вернуть шарик в положение равновесия. И ее проекция будет отрицательной. Если же шарик отклонить на угол α → F τ будет направлена в обратную сторону. В этом случае ее проекция будет положительной.

Разделим обе части выражения на массу шарика m и получим:

Внимание! Чтобы перевести градусы в радианы, нужно умножить градусы на число π и поделить результат на 180. К примеру 2 о = 2∙3,14/180 рад., или 2 о = 0,035 рад.

При малом отклонении также дугу ОА мы можем принять за длину отрезка OA, который мы примем за s. Тогда угол α будет равен отношению противолежащего катета (отрезка s) к гипотенузе (длине нити l):

Это уравнение похоже на то уравнение, которое мы получили для описания колебательного движения шарика под действием силы упругости. И оно также позволяет сделать вывод, что ускорение прямо пропорционально координате.

При отклонениях на малый угол мы можем пользоваться следующей формулой:

Чтобы найти длину нити, нужно выразить угол α в радианах:

Тогда длина нити равна:

Основные характеристики колебательного движения

Амплитуда — максимальное отклонение тела от положения равновесия. Обозначается буквой A, иногда — x_max. Единиц измерения — метр (м).

Период — время совершения одного полного колебания. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунда (с).

Период и частота колебаний связаны между собой следующей формулой:

Период колебаний также можно вычислить, зная количество совершенных колебаний N за время t:

Поскольку частота — это величина, обратная периоду колебаний, ее можно выразить в виде:

Пример №3. Определить частоту колебаний груза, если суммарный путь, который он прошел за 2 секунды под действием силы упругости, составил 1 м. Амплитуда колебаний равна 10 см.

Во время одного колебания груз проходит расстояние, равное 4 амплитудам. Посмотрите на рисунок. Положение равновесия соответствует состояние 2. Чтобы совершить одно полное колебание, сначала груз отводят в положение 1. Когда его отпускают, он проходит путь 1–2 и достигает положения равновесия. Этот путь равен амплитуде колебаний. Затем он продолжает движение до состояния 3. И в это время он проходит расстояние 2–3, равное еще одной амплитуде колебаний. Чтобы вернуться в исходное положение (состояние 1), нужно снова проделать путь в обратном направлении: сначала 3–2, затем 2–1.

Следовательно, количество колебаний равно отношению пройденного пути к амплитуде, помноженной на 4:

Так как мы знаем, что эти колебания совершались в течение 2 секунд, для вычисления частоты мы можем использовать формулу:

В таблице представлены данные о положении шарика, колеблющегося вдоль оси Ох, в различные моменты времени.

Каков период колебаний шарика?

Алгоритм решения

Решение

Из таблицы видно, что амплитуда колебаний равна 15 мм. Следовательно, максимальное отклонение в противоположную сторону составляет –15 мм. Расстояние между двумя максимальными отклонениями от положения равновесия шарика равно половине периода колебаний. Этим значения в таблице соответствует время 1 и 3 секунды соответственно. Следовательно, разница между ними — половина периода. Тогда период будет равен удвоенной разнице во времени:

T = 2 ( t 2 − t 1 ) = 2 ( 3 − 1 ) = 4 ( с )

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Массивный груз, подвешенный к потолку на пружине, совершает вертикальные свободные колебания. Пружина всё время остается растянутой. Как ведут себя потенциальная энергия пружины, кинетическая энергия груза, его потенциальная энергия в поле тяжести, когда груз движется вверх к положению равновесия?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Алгоритм решения

Решение

Потенциальная энергия пружины определяется формулой:

где k — коэффициент жесткости пружины, а x — ее удлинение. Величина x была максимальной в нижней точке траектории. Когда пружина начинает сжиматься, она уменьшается. Так как потенциальная энергия зависит от квадрата x прямо пропорционально, то при уменьшении этой величины потенциальная энергия пружины тоже уменьшается.

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

В нижней точке траектории скорость шарика была равна нулю. Но к этому времени потенциальная энергия пружины достигла максимума. Она начинает с ускорением поднимать шарик вверх, сжимаясь. Следовательно, скорость растет. Так как кинетическая энергия зависит от квадрата скорости тела прямо пропорционально, то при увеличении скорости этой величины кинетическая энергия шарика тоже увеличивается.

Потенциальная энергия тел в поле тяжести земли определяется формулой:

Масса и ускорение свободного падения шарика — постоянные величины. Следовательно, потенциальная энергия зависит только от расстояния до поверхности земли. Когда пружина поднимает шарик, расстояние между ним и землей увеличивается. Так как потенциальная энергия зависит от расстояния прямо пропорционально, то при его увеличении потенциальная энергия шарика тоже растет.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

В таблице представлены данные о положении шарика, прикреплённого к пружине и колеблющегося вдоль горизонтальной оси Ох, в различные моменты времени.

Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения и укажите их номера.

А) Потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна.

Б) Период колебаний шарика равен 4,0 с.

В) Кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна.

Г) Амплитуда колебаний шарика равна 30 мм.

Д) Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна.

Алгоритм решения

Решение

Согласно утверждению «А», потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна. Потенциальная энергия пружины максимальна, когда она отклоняется от положения равновесия на максимальную возможную величину. Из таблицы видно, что в данный момент времени ее отклонение составило 15 мм, что соответствует амплитуде колебаний (наибольшему отклонению от положения равновесия). Следовательно, утверждение «А» — верно.

Согласно утверждению «Б», период колебаний шарика равен 4,0 с. Один период колебаний включает в себя 4 фазы. В течение каждой фазы шарик на пружине проделывает путь, равный амплитуде. Следовательно, мы можем найти период колебаний, умножив время одной фазы на 4. В момент времени t = 0 с, шарик находился в положении равновесия. Первый раз он отклонился на максимальную величину (15 мм) в момент времени t = 1,0 с. Значит, период колебаний равен 1∙4 = 4 с. Следовательно, утверждение «Б» — верно.

Согласно утверждению «В», кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна. В этот момент времени, согласно данным таблицы, шарик проходит положение равновесия. В этом положении скорость шарика всегда максимальна. Поэтому кинетическая энергия, которая зависит от квадрата скорости прямо пропорционально, минимальной быть не может. Следовательно, утверждение «В» — неверно.

Согласно утверждению «Г», амплитуда колебаний шарика равна 30 мм. Амплитуда колебаний — есть расстояние от положения равновесия до точки максимального отклонения шарика. В данном случае оно равно 15 мм. Следовательно, утверждение «Г» — неверно.

Согласно утверждению «Д», полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна. Полная механическая энергия колебательной системы — это совокупность кинетической и потенциальной энергий. И при отсутствии сил трения она остается величиной постоянной. Она лишь превращается из одного вида энергии в другую. Следовательно, утверждение «Д» — неверно.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Источник

§ 53. КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА НА ПРУЖИНЕ. Вопросы

1. Какое движение называется колебательным? В чем главное отличие его от других движений?

1. Движение называется колебательным, если при движении происходит частичная или полная повторяемость состояния системы по времени. Если значения физических величин, характеризующих данное колебательное движение, повторяются через равные промежутки времени, колебания называют периодическими.

2. Что такое период колебаний? Что такое частота колебаний? Какова связь между ними?

3. Система колеблется с частотой 1 Гц. Чему равен период колебания?

4. В каких точках траектории колеблющегося тела скорость равна нулю? Ускорение равно нулю?

4. В точках максимального отклонения от положения равновесия скорость равна нулю. Ускорение равно нулю в точках равновесия.

5. Какие величины, характеризующие колебательное движение, изменяются периодически?

5. Скорость, ускорение и координата в колебательном движении изменяются периодически.

6. Что можно сказать о силе, которая должна действовать в колебательной системе, чтобы она совершала гармонические колебания?

6. Сила должна изменяться с течением времени по гармоническому закону. Эта сила должна быть пропорциональна смещению и направлена противоположно смещению к положению равновесия.

7. Какое перемещение совершит колеблющееся тело за один период? Чему равен путь, пройденный телом за это же время?

7. За один период времени перемещение тела будет равно нулю, т.к. тело вернется в исходную точку; путь же совершенный телом будет равен удвоенной амплитуде колебания.

Источник

Колебательное движение

Определение и примеры колебательного движения

Колебательное движение наряду с поступательным и вращательным является одним из видов механического движения.

Физическая система (или тело), в которой при отклонении от положения равновесия возникают колебания, называется колебательной системой. На рис.1 представлены примеры колебательных систем: а) нить + шарик + Земля; б) груз + пружина; в) натянутая струна.

Рис.1. Примеры колебательных систем: а) нить + шарик + Земля; б) груз + пружина; в) натянутая струна

Если в колебательной системе отсутствуют потери энергии, связанные с действием сил трения, то колебания будут продолжаться бесконечно долго. Такие колебательные системы называются идеальными. В реальных колебательных системах всегда существуют потери энергии, обусловленные силами сопротивления, в результате чего колебания не могут продолжаться бесконечно долго, т.е. являются затухающими.

Свободные колебания – это колебания, возникающие в системе под действием внутренних сил. Вынужденные колебания – колебания, возникающие в системе под действием внешней периодической силы.

Условия возникновения свободных колебаний в системе

Примеры решения задач

Вынужденными колебаниями являются случаи а) движение крыльев стрекозы; и г) движение травы на ветру. В обоих случаях колебания совершаются под действием внешней силы (в первом случае – силы мышц стрекозы, во втором случае – силы ветра). В случае ж) движение качелей колебания будут вынужденными, если время от времени раскачивать качели. Если же вывести качели из положения равновесия и отпустить, колебания будут свободными.

Источник

§ 1. Колебательное движение. Гармонические колебания

Оглавление

В мире разнообразных механических движений достаточно часто встречаются периодические (повторяющиеся) движения: колебания маятника часов, движение поршня в двигателе автомобиля, биение сердца человека. В чем особенность такого движения? Какими параметрами оно описывается? В чем их отличия от поступательного и вращательного движения?

Движение абсолютно твердого тела, при котором прямая, проходящая через любые две его точки, остается параллельной самой себе, называется поступательным движением.

Тело находится в равновесии, если векторная сумма всех сил, приложенных к нему, и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой оси равна нулю. Равновесие называется устойчивым, если при малом отклонении от положения равновесия тело возвращается в исходное положение.

Разные виды механического движения характеризуются различной степенью повторяемости. Так при поступательном движении тело может вообще не вернуться в исходное положение, тогда как при вращательном движении это произойдет через промежуток времени, равный периоду обращения T.

В окружающем нас мире очень широко распространен и такой вид движения тела, при котором оно сначала движется в прямом направлении, а затем — в обратном. Такое движение повторяется неоднократно по одной и той же траектории. Подобные примеры приведены на рисунке 1. При этом через любую точку траектории, за исключением крайних точек 1 и 2 (см. рис. 1), тело проходит как в прямом, так и в обратном направлениях.

Такой вид движения называется колебательным. Колебательное движение совершают такие механические системы, как маятник, качели, листья деревьев под воздействием ветра, струны при игре на гитаре или пианино. Движение атомов в кристаллической решетке также носит колебательный характер.

Таким образом, для колебательного движения характерно свойство повторяемости (см. рис. 1). Когда физические величины характеризующие движение (например, координата x, проекции скорости v_x и действующей силы F_x) принимают одни и те же значения через равные промежутки времени (рис. 2), то такие колебания (движения) называются периодическими.

Минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание, называется периодом колебаний и обозначается буквой T :

где Δt — промежуток времени, за который произошло N колебаний.

Колебания по своей природе могут быть не только механическими, но и электромагнитными (периодические изменения напряжения и силы тока в электрической цепи), термодинамическими (колебания температуры с течением времени) и т. д. Таким образом, колебания — это особая форма движения в том смысле, что различные по своей природе физические процессы (механические, электромагнитные и т. д.) описываются одинаковыми математическими зависимостями физических величин от времени.

Следовательно, частота колебаний показывает, какое число колебаний тело совершает в единицу времени (за секунду):

Для наглядного описания колебательного движения удобно представить зависимость координаты x колеблющегося тела от времени t в виде графика, т. е. построить график функции x(t).

Для механической «записи» колебаний можно использовать установку, изображенную на рисунке 3. В этой установке к грузу, подвешенному на двух нитях, прикреплен фломастер (рис. 4). Он может свободно перемещается в трубочке для того, чтобы постоянно касаться листа бумаги при колебаниях груза. Если отклонить груз поперек листа бумаги и отпустить, то кончик фломастера будет описывать на листе прямую линию, которая является траекторией движения груза (рис. 5).

Если же при этом лист бумаги будет двигаться с постоянной скоростью, то будет происходить сложение двух движений во взаимноперпендикулярных направлениях. В результате на бумаге появится кривая (см. рис. 3), каждая точка которой соответствует положению колеблющегося фломастера в различные моменты времени. Получилась развертка колебательного движения, т. е. график движения колеблющегося тела.

Такая кривая называется осциллограммой (от латинского слова oscillum — колебание и греч. γραμα (грамма) — запись).

Для развертки колебаний можно использовать и современную установку с компьютером, приведенную на рисунке 6. Подвесим на цилиндрической пружине груз. Отведем его вниз, отпустим и будем регистрировать колебания с помощью ультразвукового датчика движения. Он будет определять расстояние до подвешенного груза. При соответствующем программном обеспечении зависимость расстояния от груза до датчика от времени будет изображаться на экране компьютера (см. рис. 6).

Какие выводы можно сделать исходя из представленных осциллограмм?

Во-первых, координата тела изменяется периодически (см. рис. 6). Обычно систему координат выбирают так, что ось времени проходит через точку, значение координаты х = 0 которого соответствует положению устойчивого равновесия (рис. 7). В таком случае координата груза будет изменяться от максимального значения x = x_max = A до минимального значения x = x_min = –A. Максимальное отклонение маятника от значения х = 0 (положения равновесия) называется амплитудой колебаний и обозначается буквой А. В данном случае ее величина равна А = 0,12 м.

Следовательно, колебания кроме периода (частоты) характеризуются амплитудой колебаний.

Во-вторых, скорость и ускорение при движении колеблющегося тела непостоянны во времени. Они также периодически меняются во времени. Так, скорость маятника максимальна ( v = v _max) при прохождении положения равновесия (х = 0) и равна нулю v = 0 при х = A или х = –A.

Форму кривой, выражающей зависимость изменения колеблющейся величины (например, координаты, проекции скорости, проекции ускорения) от времени, называют формой колебаний (см. рис.2)

Заметим, что амплитуда и период колебаний не дают полного представления о характере периодического процесса, так как процессы могут иметь одинаковую амплитуду и период, но совершенно разную форму (pис. 9).

Как же математически описываются гармонические колебания?

Они описываются уравнениями, в которых координата (смещение) тела изменяется во времени по закону косинуса.

или синуса:

Величина называется фазой колебаний. Она определяет состояние колебательной системы (координаты, скорости, ускорения) в любой момент времени при заданной частоте и амплитуде. Значение в начальный момент времени φ(t = 0) =φ₀ называется начальной фазой φ₀.

Зависимость координаты от времени x(t) (соотношения (5) и (6)) называется кинематическим законом движения, поскольку позволяет определить положение колеблющегося тела. Исходя из него можно найти его скорость, ускорение в любой момент времени.

Координата тела (смещение тела из положения равновесия) x(t) в момент времени t при периодическом движении подчиняется равенству:

где f(t) — заданная периодическая функция от времени t, T — период этой функции.

Движение, при котором координата тела изменяется во времени по закону синуса (или косинуса), называется гармоническим колебанием.

Таким образом, основными кинематическими величинами, характеризующими периодические колебания, являются: период (Т), частота ( ), циклическая частота ( ) и амплитуда (А).

Название единицы частоты герц дано в честь немецкого физика Генриха Герца, который экспериментально открыл электромагнитные волны.

Обратим внимание на то, что величины T, v,ω, A, которые характеризуют гармонические колебания тела, аналогичны соответствующим величинам, описывающих движение тела по окружности (табл. 1).

Т а б л и ц а 1. Сопоставление физических величин, характеризующих вращательное и колебательное движение

Физические величины

Вид движения

Движение по окружности

Гармони­ческие колебания

Источник