какое давление воздуха должно быть в сосуде объем которого 10 л
Физика (заочники). Молекулярная физика. Состояние идеального газа.
Механика. Кинематика.
Механика. Динамика
Механика. Законы изменения энергии и импульса.
Механика. Вращательное движение твердого тела.
Механика. Гидростатика.
Механика. Гидродинамика.
Молекулярная физика. Состояние идеального газа.
Молекулярная физика. Термодинамика
Молекулярная физика. Тепловые двигатели
Молекулярная физика. Реальные газы и жидкости.
1. Выходное отверстие велосипедного насоса диаметром d = 4 мм зажато пальцем
(см. рис.). Найти силу давления воздуха на палец в тот момент, когда поршень, сжимая
воздух, не доходит до конца насоса на расстояние l1 = 2 см. Длина насоса l = 42 см.
Процесс считать изотермическим.
2. Песок насыпают в цилиндр и плотно закрывают поршнем. При суммарном объеме песка и
воздуха Vl давление воздуха равно р1; а при суммарном объеме V2 давление воздуха равно р2. Найти
объем песка V, если температура неизменна.
3. Упругий шар, наполненный газом и имеющий радиус r1 = 10 см при внешнем давлении
р0 = 105 Па, помещен под колокол воздушного насоса. Каким должно стать внешнее давление рx, чтобы
радиус шара увеличился на Δr = 0,5 см? Давление, создаваемое оболочкой, р = аr2, где а = 1,66·107 Па/м2
и г − радиус шара. Температуру газа считать неизменной.
4. Газовый термометр состоит из шара с припаянной к нему горизонтальной
стеклянной трубкой (см. рис.). Капелька ртути, помещенная в трубку, отделяет объем
шара от внешнего пространства. Площадь поперечного сечения трубки S = 0,1 см2. При
температуре Т1 = 273 К капелька находилась на раcстоянии l1 = 30 см от поверхности
шара, при температуре Т2 = 278 К − на расстоянии l2 = 50 см. Найти объем шара и зависимость Т(l).
Давление считать постоянным.
5. При какой температуре находился газ в закрытом сосуде, если при нагревании его на ΔT = 140 К
давление возрастает в n = 1,5 раза?
7. В баллоне объемом V = 1,5 л находится воздух при нормальном давлении. За сколько ходов
поршня насоса, имеющего объем цилиндра V1 = 100 см3, можно понизить давление в баллоне в η = 100
раз? Температуру считать постоянной.
8. Компрессор, обеспечивающий работу отбойных молотков, засасывает из атмосферы V0 = 100 л
воздуха в секунду. Сколько отбойных молотков может работать от этого компрессора, если для работы
одного молотка необходимо V = 100 см3 воздуха в секунду при давлении р = 5·106 Па? Атмосферное
давление р0 = 105 Па.
9. Во сколько раз изменится давление в резервуаре пневматического тормоза трамвайного вагона
после n = 250 ходов поршня насоса, если объем резервуара V = 30 л? Насос за одно качание подает
26
ΔV = 600 см3 воздуха при нормальном атмосферном давлении. Изменением температуры пренебречь.
Начальное давление в резервуаре равно нормальному атмосферному давлению.
10. За сколько ходов поршня насоса с рабочим объемом ΔV можно повысить давление от
атмосферного р0 до р в сосуде объемом V? Изменением температуры пренебречь.
11. Начальное состояние газа р0, V0, T0. Газ подвергли сначала изобарическому расширению до
объема Vl, после чего нагрели при постоянном объеме до давления р1. Найти температуру газа в
конечном состоянии.
12. В цилиндрическом сосуде с газом находится в равновесии тяжелый поршень (см.
рис.). Масса газа и температура под поршнем и над ним одинаковы. Отношение объема над
поршнем к объему под поршнем равно 3. Каким будет это отношение, если температуру в
сосуде увеличить в 2 раза?
13. В закрытом сосуде цилиндрической формы находится газ при температуре tl = 0°С. Внутри сосуд
перегорожен легким, не проводящим тепло поршнем радиуса r = 2 см на две части объемами V1 = 10 см3
и V2 = 50 см3. Поршень находится в равновесии. На какое расстояние переместится поршень, если
большую часть газа нагреть на 30 К? Температура в другой части не меняется.
14. График процесса, происходящего с одним молем идеального газа, показан на
рисунке. Участки 2−3 и 1−4 − изотермы. Изобразить график этого процесса в
координатах Т, V. Найти объем V3, если V1 и V2 = V4 заданы.
16. В координатах p, V задан цикл 1−2−3−1 (см. рис.). Изобразить этот цикл в
координатах ρ, Т. Ρ − плотность газа, процесс 3−1 − изотермический. Ответ обосновать.
17. Один моль идеального газа расширяется изобарически. При этом оказалось, что
α = V/T = 2,8·10−3 м3/К. Определить концентрацию молекул газа при температуре Т1 = 103 К.
19. Аэростат объемом V = 300 м3 наполняется молекулярным водородом при температуре Т = 300 К
и давлении p = 105 Па. Какое время будет производиться наполнение оболочки аэростата, если из
баллонов каждую секунду переходит в аэростат Δm = 25 г водорода? До наполнения газом оболочка
аэростата водорода не содержала; газ считать идеальным.
20. Закрытый сосуд объемом V = 10 см3 имеет трещину, через которую ежесекундно проникает
ΔN = 106 частиц газа. Какое время понадобится для наполнения сосуда до нормального давления
р = 105 Па, если скорость проникновения частиц остается постоянной и начальное давление в сосуде
р0 = 0? Температура сосуда с газом Т = 273 К.
21. Цилиндрический сосуд длиной l = 85 см разделен на две части легкоподвижным
поршнем (см. рис.). При каком положении поршня давление в обеих частях цилиндра будет
одинаково, если одна часть заполнена кислородом, а другая водородом такой же массы?
Температура в обеих частях цилиндра одинакова.
22. Какое давление воздуха должно быть в сосуде, объем которого V = 10 л, чтобы при соединении
его с сосудом объемом V2 = 30 л, в котором находится воздух при давлении р2 = 105 Па, установилось
давление р = 3·105 Па? Температуру считать постоянной.
23. В сосуде объемом V1 находится одноатомный газ при давлении p1 и температуре T1, а в сосуде
объемом V2 такой же газ при давлении р2 и температуре Т2. Какое давление и температура установятся в
сосудах при их соединении? Теплообменом с окружающей средой и стенками сосудов пренебречь.
24. Приближенно воздух можно считать смесью азота (η1 = 80% по массе), кислорода (η2 = 16%) и
углекислого газа (η3 = 4%). Найти эффективную молярную массу М воздуха, т. е. молярную массу
такого газа, который при одинаковых параметрах со смесью будет иметь ту же массу.
25. В сосуде при давлении р = 105 Па и температуре t = 27°С находится смесь азота, кислорода и
гелия, массы которых равны. Найти плотность смеси газов.
26. Плотность газа, состоящего из смеси гелия и аргона, ρ = 2 кг/м3 при давлении р = 150 кПа и
температуре t = 27°С. Сколько атомов гелия содержится в газовой смеси объемом V = 1 см3?
27. Сосуд разделен пополам полупроницаемой перегородкой. Объем каждой части V = 1 л. В левую
половину введены водород массой m1 = 2 г и азот массой m2 = 28 г. Справа от перегородки − вакуум.
Какие давления установятся в обеих частях сосуда, если перегородка пропускает только водород, а
температура остается постоянной Т = 373 К?
28. Закрытый сосуд разделен на две равные половины поршнем, который может перемещаться без
трения. Давление и температура в обеих половинах одинаковы. В левой части находится чистый газ 1, в
правой − смесь газов 1 и 2, причем их парциальные давления равны. В некоторый момент поршень
становится проницаемым для газа 2. Во сколько раз η увеличится объем левой части после того, как
установится равновесие?
29. Некоторое количество водорода находится при температуре T1 = 200 К и давлении p1 = 400 Па.
Газ нагревают до температуры Т2 = 104 К, при которой молекулы водорода полностью распадаются на
атомы. Определить давление газа, если его объем и масса не изменились.
30. В сосуде находится озон (O3) при температуре t1 = 527°С. Через некоторое время он полностью
превращается в кислород (O2), температура устанавливается t2 = 127°С. На сколько процентов
изменилось давление в баллоне?
Какое давление воздуха должно быть в сосуде объем которого 10 л
§5.6. Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.
Газы нередко бывают реагентами и продуктами в химических реакциях. Не всегда удается заставить их реагировать между собой при нормальных условиях. Поэтому нужно научиться определять число молей газов в условиях, отличных от нормальных.
Для этого используют уравнение состояния идеального газа (его также называют уравнением Клапейрона-Менделеева):
где n – число молей газа;
P – давление газа (например, в атм ;
V – объем газа (в литрах);
T – температура газа (в кельвинах);
R – газовая постоянная (0,0821 л· атм /моль·K).
Например, в колбе объемом 2,6 л находится кислород при давлении 2,3 атм и температуре 26 о С. Вопрос: сколько молей O 2 содержится в колбе?
Из газового закона найдем искомое число молей n :
Решим такую задачу: некоторое количество газа гелия при 78 о С и давлении 45,6 атм занимает объем 16,5 л. Каков объем этого газа при нормальных условиях? Сколько это молей гелия? Можно, конечно, просто подставить данные нам значения в уравнение Клапейрона-Менделеева и сразу вычислить число молей n. Но что делать, если на экзамене вы забыли точное значение газовой постоянной R?
Газовую постоянную не нужно запоминать – ее можно легко вычислить в любой момент. Действительно, 1 моль газа при нормальных условиях (1 атм и 273 К) занимает объем 22,4 л. Тогда:
Другой способ заключается в том, чтобы заставить газовую постоянную R сократиться. Снова вспомним, что нормальные условия – это давление 1 атм и температура 0 о С (273 K). Запишем все, что нам известно про исходные (в задаче) и конечные (при н.у.) значения P, V и T для нашего газа:
Исходные значения: P 1 = 45,6 атм, V 1 = 16,5 л, T 1 = 351 K;
Очевидно, что уравнение Клапейрона-Менделеева одинаково справедливо как для начального состояния газа, так и для конечного:
Если теперь почленно разделить верхнее уравнение на нижнее, то при неизменном числе молей n мы получаем:
После подстановки всех известных нам значений получим объем газа при н.у.
V 2 = 45,6·16,5·273 / 351 = 585 л
Итак, объем гелия при н.у. составит 585 л. Поделив это число на молярный объем газа при н.у. (22,4 л/моль) найдем число молей гелия: 585/22,4 = 26,1 моль.
Значение числа Авогадро было экспериментально установлено только в конце XIX – начале XX века. Опишем один из таких экспериментов.
Сначала найдем, сколько альфа-частиц (то есть атомов гелия) образовалось за один год. Обозначим это число как N атомов:
N = 3,7·10 10 · 0,5 г · 60 сек · 60 мин · 24 час · 365 дней = 5,83·10 17 атомов.
В начале XX века этот способ определения постоянной Авогадро был самым точным. Но почему так долго (в течение года) длился эксперимент? Дело в том, что радий добывается очень трудно. При его малом количестве (0,5 г) радиоактивный распад этого элемента дает очень мало гелия. А чем меньше газа в замкнутом сосуде, тем меньшее он создаст давление и тем большей будет ошибка измерения. Понятно, что ощутимое количество гелия может образоваться из радия только за достаточно долгое время.
О других подходах к экспериментальному определению постоянной Авогадро можно прочитать в задаче к этому параграфу.
5.26. В стальном баллоне объемом 40 л находится водород под давлением 60 атм и температуре 25 о С. Сколько молей водорода в баллоне? Сколько граммов? Какой объем займет водород из баллона при н.у.?
5.28. В химической реакции, проводимой в замкнутом сосуде, из которого откачан воздух, должно образоваться 2,24 л кислорода (н.у.). Каким нужно выбрать объем сосуда, чтобы при температуре 30 о С давление в нем не превысило 2 атм?
Подсказка: атомный объем (объем одного грамм-атома) алюминия V = А/d, и в нем содержится N A атомов алюминия.
Конвертер величин
Калькулятор закона состояния идеального газа (давление–объем–температура–количество)
Калькулятор закона состояния идеального газа определяет одну из четырех величин, входящих в уравнение состояния (давление, объем, температура или количество), если известны три другие величины.
Пример: Рассчитать давление в паскалях в 70-литровом баке работающего на метане автомобиля, если в нем хранится 800 молей метана при 30 °С.
Еще несколько примеров решения задач о состоянии идеального газа под приводится калькулятором.
Для расчета выберите неизвестную величину и введите три известные величины из четырех имеющихся в уравнении состояния газа (давление, объем, температура, количество). Четвертая величина будет рассчитана после нажатия на кнопку Рассчитать. Количество можно ввести в молях или указать молярную массу и массу газа. Для определения молярной массы любого газа можно использовать калькулятор молярной массы. Если нужно определить молярную массу смеси газов, например, сухого воздуха, нужно определить молярные массы каждого газа и умножить их на процентное содержание по массе каждого газа в воздухе.
Примеры решения задач по уравнению состояния идеального газа (уравнению Менделеева — Клапейрона)
Задача 1: Плотность воздуха при нормальных условиях (температура 0 °С и атмосферное абсолютное давление 100 кПа) составляет 1,28 кг/м³. Определить среднюю молярную массу воздуха.
Решение: Поскольку плотность воздуха задана, это означает, что в калькулятор можно ввести массу одного кубического метра воздуха, равную 1,28 кг. Введите в калькулятор данные:
Задача 2: Молярная масса газа кислорода (O₂) M = 32 г/моль. Определить абсолютную температуру 128 г. кислорода, находящегося в 10-литровом сосуде под давлением P = 3 МПа.
Решение: Нажмите кнопку Reset и введите в калькулятор данные задачи:
Задача 3: В сосуде высокого давления находится газ под давлением P = 0.5 МПа при температуре T = 15 °С. Объем газа V = 5 л. Рассчитать объем этой массы газа при нормальных условиях (P = 100 кПа, T = 0 °С).
Решение: Нажмите кнопку Reset и введите в калькулятор данные задачи:
Задача 4: Рассчитать давление в паскалях в 70-литровом баке работающего на метане автомобиля, если в нем хранится 12,8 кг метана (молярная масса 16 г/моль) при 30 °С.
Определения и формулы
Идеальный газ
Идеальный газ — теоретическая модель, в которой газ представляется в виде множества свободно движущихся частиц бесконечно малого размера, которые взаимодействуют друг с другом абсолютно упруго, то есть при столкновении двух частиц их кинетическая энергия не изменяется и не превращается ни в какую другую форму энергию, например, в потенциальную энергию или в тепло. Считается, что суммарный размер частиц настолько мал, что занимаемый ими объем в сосуде пренебрежимо мал. Эта теоретическая модель полезна, так как она упрощает многие расчеты, а также в связи с тем, что идеальный газ подчиняется законам классической механики. Идеальный газ можно представить себе в виде множества абсолютно твердых сфер, которые только сталкиваются друг с другом и больше никак не взаимодействуют.
В обычных условиях, например, при стандартных условиях (при температуре 273,15 К и давлении в 1 стандартную атмосферу) большинство реальных газов ведут себя как идеальный газ. В общем случае, газ ведет себя как идеальный при низком давлении и высокой температуре, когда расстояния между молекулами газа относительно велики. В этих условиях потенциальная энергия вследствие действия межмолекулярных сил намного меньше кинетической энергии частиц. Размер молекул также незначителен по сравнению с расстоянием между ними. Идеальная модель не работает при низких температурах и высоких давлениях, а также для тяжелых газов. При понижении температуры и повышении давления реальный газ может стать жидкостью или даже перейти в твердое состояние, то есть может произойти фазовый переход. В то же время, модель идеального газа не допускает жидкого или твердого состояния.
Закон идеального газа
Идеальный газ, как и любой другой газ, можно охарактеризовать четырьмя переменными и одной константой, а именно:
Эти четыре переменные и одна константа объединены в приведенном ниже уравнении, которое называется уравнением состояния идеального газа:
Это уравнение также известно под названием закона идеального газа и уравнения Менделеева — Клапейрона или уравнения Клапейрона, так как уравнение было впервые выведено в 1834 г. французским инженером Эмилем Клапейроном (1799–1864). О вкладе Д. И. Менделеева — чуть ниже. В этом уравнении:
Приведенное выше уравнение показывает, что при нулевой абсолютной температуре получается нулевой объем. Однако это не означает, что объем реального газа действительно исчезает. При очень низких температурах все газы становятся жидкостями и уравнение идеального газа к ним неприменимо.
Универсальная газовая постоянная соответствует работе, выполненной при расширении одного моля идеального газа при нагревании на 1 К при постоянном давлении. Размерность постоянной — работа на количество вещества на температуру. Постоянная в точности равна 8,31446261815324 Дж⋅К⁻¹⋅моль⁻¹. Универсальная газовая постоянная также определяется как произведение числа Авогадро NA и постоянной Больцмана k:
Входящая в уравнение состояния идеального газа универсальная газовая постоянная была предложена и введена в уравнение Дмитрием Менделеевым в 1877 г. Поэтому уравнение состояния идеального газа в литературе на русском языке и ее переводах на другие языки, называется уравнением Менделеева — Клапейрона.
Количество газа в молях часто бывает удобно заменить массой газа. Количество газа в молях n, его масса m в граммах и молярная масса M в граммах на моль связаны формулой:
Заменяя в уравнении состояния идеального газа n на m/M, имеем:
Для определения молярной массы элемента, его относительная атомная масса умножается на коэффициент молярной массы в кг/моль
Например, молярная масса кислорода как элемента в единицах системы СИ
Если ввести в уравнение состояния идеального газа плотность ρ = m/V, мы получим:
Теперь введем понятие удельной газовой постоянной, которая представляет собой отношение универсальной газовой постоянной R к молярной массе M:
Например, удельная газовая постоянная сухого воздуха приблизительно равна 287 Дж·кг⁻¹·К⁻¹. Подставив удельную газовую постоянную в уравнение состояния идеального газа, получим:
Закон идеального газа объединяет четыре более простых эмпирических газовых закона, открытых в XVII–XIX вв. несколькими учеными, которые аккуратно измеряли свойства газа. Простые газовые законы можно также вывести из уравнения состояния идеального газа (PV=nRT). Поскольку в этом уравнении R является постоянной величиной, можно записать
Поскольку PV/NT — постоянная величина, можно записать это иначе:
Здесь индексы 1 и 2 показывают начальное и конечное состояние газа в системе. Мы будем использовать это уравнение ниже при описании четырех газовых законов.
Отметим, что исторически именно эмпирические законы поведения газа, описанные ниже, привели к открытию обобщенного закона состояния идеального газа. Эти законы были открыты несколькими учеными, которые проводили эксперименты, изменяя только две переменные состояния газа и оставляя две другие переменные постоянными.
Закон Бойля — Мариотта (T=const, n=const)
Изменим предыдущее уравнение с учетом, что количество газа в молях n и его температура Т остаются неизменными:
Это закон Бойля — Мариотта, описывающий зависимость объема V фиксированного количества газа в молях n от давления P при постоянной температуре T. Давление фиксированной массы газа при неизменной температуре обратно пропорционально его объему. Закон был сформулирован англо-ирландским химиком и физиком Робертом Бойлем в 1662 г. В России и континентальной Европе это закон называют законом Бойля — Мариотта с учетом вклада в открытие закона французского физика и священника Эдма Мариотта.
Закон Авогадро (T=const, P=const)
Если температура и давление остаются неизменными, можно записать
Это закон Авогадро, указывающий, что при неизменных температуре и давлении равные объемы любых газов содержат одинаковое количество молекул. Это уравнение показывает, что, если количество газа увеличивается, объем газа пропорционально растет. Иными словами, количество атомов или молекул газа не зависит от их размеров или от молярной массы газа. Закон назван в честь итальянского ученого Амедео Авогадро, который опубликовал гипотезу об отношениях объема газа и его количества в молях в 1811 году. Число Авогадро также носит его имя.
Закон Гей-Люссака (P=const, n=const)
При постоянном давлении объем фиксированного количества газа в молях пропорционален абсолютной температуре системы с газом.
В англоязычной литературе этот закон называется законом объемов и законом Шарля. Закон описывает как расширяется любой газ при увеличении его абсолютной температуры. Закон был сформулирован в неопубликованной работе французским ученым Жаком Шарлем в 80-х гг. XVIII в. Его соотечественник Жозеф Луи Гей-Люссак опубликовал этот закон в 1803 г. и указал, что приоритет открытия принадлежит Жаку Шарлю. Поэтому этот закон в литературе не на английском языке часто называют законом Гей-Люссака. В русскоязычной литературе закон носит имя Гей-Люссака. Итальянцы называют этот закон первым законом Гей-Люссака (ит. prima legge di Gay-Lussac).
Закон Шарля (или второй закон Гей-Люссака) (V=const, n=const)
Закон Шарля (называемый также вторым законом Гей-Люссака) гласит, что давление фиксированного количества газа в молях при его неизменном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре газа:
Закон был сформулирован Гей-Люссаком в 1802 г. В литературе на других языках этот закон также называют законом Амонтона по имени французского ученого Гийома Амонтона, который на сто лет раньше обнаружил количественную зависимость объема газа от его температуры. Иногда закон называют вторым законом Гей-Люссака и законом Шарля, так как сам Гей-Люссак считал, что закон открыт Шарлем. Закон зависимости давления от температуры был также независимо открыт английским физиком Джоном Дальтоном в 1801 г. Итальянцы называют этот закон вторым законом Вольта–Гей-Люссака (ит. seconda legge di Volta – Gay-Lussac), потому что итальянец Алессандро Вольта независимо проводил исследования газов и получил аналогичные результаты.