Физика то что должен знать каждый
Книга «Теоретический минимум. Все, что нужно знать о современной физике»
«Теоретический минимум» — книга для тех, кто пропускал уроки физики в школе и институте, но уже жалеет об этом. Хотите разобраться в основах естественных наук и научиться думать и рассуждать так, как это делают современные физики? В оригинальной и нестандартной форме известные американские ученые Леонард Сасскинд и Джордж Грабовски предлагают вводный курс по математике и физике для пытливых умов.
В отличие от прочих научно-популярных книг, пытающихся доступно объяснить законы физики, ловко уклоняясь от уравнений и формул, авторы учат читателя классическим основам естественных наук. Книга предлагает собственную оригинальную методику обучения, дополненную видео-лекциями, публикуемыми на сайте theoreticalminimum.com.
Лекция 9. Фазовая жидкость и теорема Гиббса—Лиувилля
Ленни любил смотреть на реку, особенно следить за мелкими соринками, плывущими по поверхности. Он пытался представить себе, как они будут двигаться между камнями или попадая в водовороты. Но течение реки как целого — совокупное движение большого объема воды, с разделяющимися, сходящимися и обгоняющими друг друга потоками, — это было за пределами его понимания.
Сконцентрироваться на конкретных начальных условиях и следить за отдельной траекторией в фазовом пространстве — это очень естественно для классической механики. Но есть и более широкий взгляд, который охватывает целое семейство траекторий. Вместо того чтобы помещать кончик карандаша в некую точку фазового пространства и прослеживать оттуда единственную траекторию, попытаемся сделать нечто более амбициозное. Представим, что у нас бесконечное число карандашей, и используем их так, чтобы однородно заполнить точками фазовое пространство (под однородностью я имею в виду то, что плотность точек в пространстве q, p везде одинакова). Считайте эти точки частицами, составляющими воображаемую жидкость, заполняющую фазовое пространство.
Пусть теперь каждая точка перемещается согласно гамильтоновым уравнениям движения: 
чтобы наша жидкость бесконечно текла по фазовому пространству.
Гармонический осциллятор — хороший начальный пример. В лекции 8 мы видели, что каждая точка движется по круговой орбите с постоянной угловой скоростью. (Напомню, что мы говорим о фазовом, а не о координатном пространстве. В координатном осциллятор движется взад и вперед в одном измерении.) Вся жидкость в целом совершает твердотельное движение, равномерно вращаясь вокруг начала координат фазового пространства.
Теперь вернемся к общему случаю. Если число координат равно N, то фазовое пространство и жидкость в нем 2N-мерные. Жидкость течет, но весьма специфическим образом. У ее потока есть особые свойства. Одно из них состоит в том, что если точка стартует с определенной энергией — то есть при заданном значении H(q, p), — то она сохраняет это значение энергии. Поверхности постоянной энергии (например, с энергией равной E) определяются уравнением H(q, p) = E. (2)
Для каждого значения E у нас есть одно уравнение с 2N переменными фазового пространства, которое определяет поверхность размерностью 2N – 1. Другими словами, для каждого значения E имеется своя поверхность; когда вы пробегаетесь по всем значениям E, эти поверхности заполняют все фазовое пространство. Можно рассматривать фазовое пространство с поверхностями, заданными уравнением (2), как карту изолиний (рис. 1), на которой горизонтали представляют не высоту, а значения энергии. Если точка жидкости находится на определенной поверхности, она останется на ней вечно. Это закон сохранения энергии.
Фазовое пространство гармонического осциллятора двумерно, а энергетические поверхности являются окружностями: 
В общем случае энергетические поверхности механической системы слишком сложны для визуализации, но принцип остается тем же самым: энергетические поверхности заполняют фазовое пространство как слои, а поток движется так, что точки остаются на той поверхности, на которой были изначально.
Здесь хочется остановиться и напомнить, о чем говорилось в самой первой лекции, где обсуждались монеты, кости и простейшие представления о законах движения. Мы описывали эти законы с помощью набора стрелок, соединяющих точки, которые представляют состояния системы. Мы также объяснили, что законы бывают допустимые и недопустимые, причем допустимые — обратимы. Суть в том, что каждая точка должна иметь ровно одну входящую стрелку и ровно одну исходящую. Если хотя бы в одной точке число входящих стрелок превосходит число исходящих (это называется конвергенцией), то такой закон необратим. То же самое относится и к случаю, когда исходящих стрелок больше, чем входящих (это называется дивергенцией). Как дивергенция, так и конвергенция стрелок нарушают обратимость и запрещены. До сих пор мы не возвращались к этой линии рассуждений. Теперь время пришло.
Поток и дивергенция
Рассмотрим некоторые простые примеры течения жидкости в обычном пространстве. Забудем на время о фазовом пространстве и просто рассмотрим обычную жидкость, движущуюся в привычном трехмерном пространстве с осями, обозначенными как x, y, z. Поток можно описать полем скоростей. Поле скоростей 
определяется заданием в каждой точке пространства вектора скорости (рис. 2).
Можно также описать поле скоростей компонентами скорости: 
Также скорость в точке может зависеть от времени, но давайте будем считать, что этой зависимости нет. В этом случае течение называется стационарным. 
Рис. 2. Поле скоростей
занимает одинаковый объем. Это также значит, что плотность жидкости — число молекул в единице объема — везде одинакова и неизменна во времени. Кстати, термин «несжимаемость» означает также и нерастяжимость. Иными словами, жидкость не может увеличиваться в объеме. Рассмотрим небольшую кубическую ячейку, заданную условиями: 
Несжимаемость подразумевает, что число точек жидкости в каждой такой ячейке постоянно. Это также означает, что суммарный поток жидкости, входящий в ячейку (в единицу времени), должен быть нулевым. (Сколько точек потока входит, столько же и выходит.) Рассмотрим число молекул, проходящих в единицу времени через поверхность ячейки x = x0. Оно будет пропорционально скорости потока на этой поверхности vx(x0).
Если скорость vx одинакова в x0 и в x0 + dx, то поток в ячейку через x = x0 будет таким же, как поток из нее через x = x0 + dx. Но если vx меняется на протяжении ячейки, то эти два потока окажутся несбалансированными. Совокупный поток, идущий в ячейку через эти две грани, будет пропорционален 
Точно такие же рассуждения применимы к граням y0 и y0 + dy, а также z0 и z0 + dz. Если все их сложить, то суммарный поток молекул внутрь ячейки (приток минус отток) составит 
Комбинация производных в скобках носит название дивергенции векторного поля
и обозначается 
Дивергенция отражает степень рассеяния молекул, или увеличения занимаемого ими объема. Если жидкость несжимаема, этот объем не должен меняться, а значит, дивергенция должна быть равна нулю.
Один из способов понимания несжимаемости состоит в том, чтобы представлять себе каждую молекулу или точку как занимающую объем, который не может быть изменен. Их нельзя сжать в меньший объем, они не исчезают и не появляются ниоткуда. Немного подумав, можно увидеть, как похожи несжимаемость и обратимость. В примерах, которые мы разбирали в лекции 1, стрелки тоже определяли своего рода поток. И по сути этот поток был несжимаемым, по крайней мере если он был обратим. Естественный вопрос, который отсюда вытекает: является ли поток в фазовом пространстве обратимым? Ответ — да, если система удовлетворяет уравнениям Гамильтона. И теорема, выражающая эту несжимаемость, называется теоремой Лиувилля.
Вернемся к потоку жидкости в фазовом пространстве и рассмотрим компоненты скорости жидкости в каждой точке фазового пространства. Нет надобности говорить, что фазовая жидкость не является трехмерной в координатах x, y, z. Она является 2N-мерной жидкостью в координатах pi, qi.
Таким образом, имеется 2N компонент поля скоростей — по одной для каждой координаты q и каждой координаты p. Обозначим их 
Понятие дивергенции, выраженное уравнением (4), легко обобщается на любое число измерений. В трех измерениях — это сумма производных от компонент скорости по соответствующим направлениям. Точно так же она определяется для любого числа измерений. В случае фазового пространства дивергенция потока — это сумма 2N членов: 
Если жидкость несжимаема, то это выражение должно быть равно нулю. Чтобы вычислить его, нужно знать компоненты поля скоростей — они, конечно, не что иное, как скорости частиц фазовой жидкости.
Вектор течения в данной точке идентифицируется со скоростью воображаемой частицы в этой точке. Иными словами,
Причем 
— это как раз те величины, которые входят в уравнения Гамильтона (1): 
Все, что нужно сделать, — это подставить уравнения (6) в формулу (5) и получить 
Вспомнив, что вторая производная вида 
не зависит от порядка дифференцирования, мы поймем, что члены уравнения (7) попарно в точности уничтожают друг друга: 
Итак, фазовая жидкость несжимаема. В классической механике несжимаемость фазовой жидкости называется теоремой Лиувилля, хотя она не имеет почти никакого отношения к французскому математику Джозефу Лиувиллю. Первым в 1903 году ее опубликовал великий американский физик Джозайя Уиллард Гиббс, и она также известна как теорема Гиббса—Лиувилля.
Мы определили несжимаемость жидкости, потребовав, чтобы общее количество жидкости, входящей в любую малую ячейку, было равно нулю. Существует другое строго эквивалентное определение. Представим себе объем жидкости в некоторый момент времени. Этот объем может иметь любую форму: сферическую, кубическую, каплеобразную — какую угодно. Теперь проследим за движением всех точек этого объема. Спустя некоторое время капля жидкости будет находиться в другом месте и иметь другую форму. Но если жидкость несжимаема, объем капли останется таким же, каким он был первоначально. Так что можно переформулировать теорему Лиувилля: объем, занимаемый каплей фазовой жидкости, сохраняется во времени.
Рассмотрим пример гармонического осциллятора, в котором жидкость вращается вокруг начала отсчета. Очевидно, что капля сохраняет объем, поскольку все ее движение сводится к твердотельному вращению. Форма капли остается неизменной, но это имеет место именно для гармонического осциллятора. Рассмотрим другой пример. Допустим, гамильтониан имеет вид H = pq.
Возможно, это покажется вам непохожим на гамильтониан, хотя он совершенно корректный. Выведем уравнения движения: 
Согласно этим уравнениям, q экспоненциально возрастает со временем, а p с такой же скоростью экспоненциально убывает. Другими словами, поток прижимает жидкость к оси p, одновременно и в той же степени расширяя ее вдоль оси q. Любая капля растягивается вдоль q и сжимается вдоль p. Очевидно, что капля испытывает колоссальные деформации, но ее фазовый объем не меняется.
Теорема Лиувилля — это ближайший вообразимый аналог того типа необратимости, который мы обсуждали в лекции 1. В квантовой механике теорема Лиувилля заменяется квантовой версией, которая называется унитарностью. Унитарность еще больше похожа на то, что мы обсуждали в лекции 1, но это тема следующего выпуска «Теоретического минимума».
Для читателей данного блога скидка 20% по купону — Теоретический минимум
10 научных законов и теорий, которые должен знать каждый
Ученые с планеты Земля используют массу инструментов, пытаясь описать то, как работает природа и вселенная в целом. Что они приходят к законам и теориям. В чем разница? Научный закон можно зачастую свести к математическому утверждению, вроде E = mc²; это утверждение базируется на эмпирических данных и его истинность, как правило, ограничивается определенным набором условий. В случае E = mc² — скорость света в вакууме.
Научная теория зачастую стремится синтезировать ряд фактов или наблюдений за конкретными явлениями. И в целом (но не всегда) выходит четкое и проверяемое утверждение относительно того, как функционирует природа. Совсем не обязательно сводить научную теорию к уравнению, но она на самом деле представляет собой нечто фундаментальное о работе природы.
Как законы, так и теории зависят от основных элементов научного метода, например, создании гипотез, проведения экспериментов, нахождения (или не нахождения) эмпирических данных и заключение выводов. В конце концов, ученые должны быть в состоянии повторить результаты, если эксперименту суждено стать основой для общепринятного закона или теории.
В этой статье мы рассмотрим десять научных законов и теорий, которые вы можете освежить в памяти, даже если вы, к примеру, не так часто обращаетесь к сканирующему электронному микроскопу. Начнем со взрыва и закончим неопределенностью.
Теория Большого Взрыва
Если и стоит знать хотя бы одну научную теорию, то пусть она объяснит, как вселенная достигла нынешнего своего состояния (или не достигла, если опровергнут). На основании исследований, проведенных Эдвином Хабблом, Жоржем Леметром и Альбертом Эйнштейном, теория Большого Взрыва постулирует, что Вселенная началась 14 миллиардов лет назад с массивного расширения. В какой-то момент Вселенная была заключена в одной точке и охватывала всю материю нынешней вселенной. Это движение продолжается и по сей день, а сама вселенная постоянно расширяется.
Закон космического расширения Хаббла
Давайте на секунду задержим Эдвина Хаббла. В то время как в 1920-х годах бушевала Великая депрессия, Хаббл выступал с новаторским астрономическим исследованием. Он не только доказал, что были и другие галактики помимо Млечного Пути, но также обнаружил, что эти галактики несутся прочь от нашей собственной, и это движение он назвал разбеганием.
Для того, чтобы количественно оценить скорость этого галактического движения, Хаббл предложил закон космического расширения, он же закон Хаббла. Уравнение выглядит так: скорость = H0 x расстояние. Скорость представляет собой скорость разбегания галактик; H0 — это постоянная Хаббла, или параметр, который показывает скорость расширения вселенной; расстояние — это расстояние одной галактики до той, с которой происходит сравнение.
Постоянная Хаббла рассчитывалась при разных значениях в течение достаточно долгого времени, однако в настоящее время она замерла на точке 70 км/с на мегапарсек. Для нас это не так важно. Важно то, что закон представляет собой удобный способ измерения скорости галактики относительно нашей собственной. И еще важно то, что закон установил, что Вселенная состоит из многих галактик, движение которых прослеживается до Большого Взрыва.
Законы планетарного движения Кеплера
На протяжении веков ученые сражались друг с другом и с религиозными лидерами за орбиты планет, особенно за то, вращаются ли они вокруг Солнца. В 16 веке Коперник выдвинул свою спорную концепцию гелиоцентрической Солнечной системы, в которой планеты вращаются вокруг Солнца, а не Земли. Однако только с Иоганном Кеплером, который опирался на работы Тихо Браге и других астрономов, появилась четкая научная основа для движения планет.
Три закона планетарного движения Кеплера, сложившиеся в начале 17 века, описывают движение планет вокруг Солнца. Первый закон, который иногда называют законом орбит, утверждает, что планеты вращаются вокруг Солнца по эллиптической орбите. Второй закон, закон площадей, говорит, что линия, соединяющая планету с солнцем, образует равные площади через равные промежутки времени. Другими словами, если вы измеряете площадь, созданную нарисованной линией от Земли от Солнца, и отслеживаете движение Земли на протяжении 30 дней, площадь будет одинаковой, вне зависимости от положения Земли касательно начала отсчета.
Третий закон, закон периодов, позволяет установить четкую взаимосвязь между орбитальным периодом планеты и расстоянием до Солнца. Благодаря этому закону, мы знаем, что планета, которая относительно близка к Солнцу, вроде Венеры, имеет гораздо более краткий орбитальный период, чем далекие планеты, вроде Нептуна.
Универсальный закон тяготения
Сегодня это может быть в порядке вещей, но более чем 300 лет назад сэр Исаак Ньютон предложил революционную идею: два любых объекта, независимо от их массы, оказывают гравитационное притяжение друг на друга. Этот закон представлен уравнением, с которым многие школьники сталкиваются в старших классах физико-математического профиля.
F = G × [(m1m2)/r²]
Преимущество универсального закона тяготения в том, что он позволяет вычислить гравитационное притяжение между двумя любыми объектами. Эта способность крайне полезна, когда ученые, например, запускают спутник на орбиту или определяют курс Луны.
Законы Ньютона
Раз уж мы заговорили об одном из величайших ученых, когда-либо живущих на Земле, давайте поговорим о других знаменитых законах Ньютона. Его три закона движения составляют существенную часть современной физики. И как и многие другие законы физики, они элегантны в своей простоте.
Первый из трех законов утверждает, что объект в движении остается в движении, если на него не действует внешняя сила. Для шарика, который катится по полу, внешней силой может быть трение между шаром и полом, или же мальчик, который бьет по шарику в другом направлении.
Второй закон устанавливает связь между массой объекта (m) и его ускорением (a) в виде уравнения F = m x a. F представляет собой силу, измеряемую в ньютонах. Также это вектор, то есть у него есть направленный компонент. Благодаря ускорению, мяч, который катится по полу, обладает особым вектором в направлении его движения, и это учитывается при расчете силы.
Третий закон довольно содержательный и должен быть вам знаком: для каждого действия есть равное противодействие. То есть для каждой силы, приложенной к объекту на поверхности, объект отталкивается с такой же силой.
Законы термодинамики
Британский физик и писатель Ч. П. Сноу однажды сказал, что неученый, который не знал второго закона термодинамики, был как ученый, который никогда не читал Шекспира. Нынче известное заявление Сноу подчеркивало важность термодинамики и необходимость даже людям, далеким от науки, знать его.
Термодинамика — это наука о том, как энергия работает в системе, будь то двигатель или ядро Земли. Ее можно свести к нескольким базовым законам, которые Сноу обозначил следующим образом:
Давайте немного разберемся с этим. Говоря, что вы не можете выиграть, Сноу имел в виду то, что поскольку материя и энергия сохраняются, вы не можете получить одно, не потеряв второе (то есть E=mc²). Также это означает, что для работы двигателя вам нужно поставлять тепло, однако в отсутствии идеально замкнутой системы некоторое количество тепла неизбежно будет уходить в открытый мир, что приведет ко второму закону.
Второй закон — убытки неизбежны — означает, что в связи с возрастающей энтропией, вы не можете вернуться к прежнему энергетическому состоянию. Энергия, сконцентрированная в одном месте, всегда будет стремиться к местам более низкой концентрации.
Наконец, третий закон — вы не можете выйти из игры — относится к абсолютному нулю, самой низкой теоретически возможной температуре — минус 273,15 градуса Цельсия. Когда система достигает абсолютного нуля, движение молекул останавливается, а значит энтропия достигнет самого низкого значения и не будет даже кинетической энергии. Но в реальном мире достичь абсолютного нуля невозможно — только очень близко к нему подойти.
Сила Архимеда
После того как древний грек Архимед открыл свой принцип плавучести, он якобы крикнул «Эврика!» (Нашел!) и побежал голышом по Сиракузам. Так гласит легенда. Открытие было вот настолько важным. Также легенда гласит, что Архимед обнаружил принцип, когда заметил, что вода в ванной поднимается при погружении в него тела.
Согласно принципу плавучести Архимеда, сила, действующая на погруженный или частично погруженный объект, равна массе жидкости, которую смещает объект. Этот принцип имеет важнейшее значение в расчетах плотности, а также проектировании подлодок и других океанических судов.
Эвoлюция и естественный отбор
Теперь, когда мы установили некоторые из основных понятий о том, с чего началась Вселенная и как физические законы влияют на нашу повседневную жизнь, давайте обратим внимание на человеческую форму и выясним, как мы дошли до такого. По мнению большинства ученых, вся жизнь на Земле имеет общего предка. Но для того, чтобы образовалась такая огромная разница между всеми живыми организмами, некоторые из них должны были превратиться в отдельный вид.
В общем смысле, эта дифференциация произошла в процессе эволюции. Популяции организмов и их черты прошли через такие механизмы, как мутации. Те, у кого черты были более выгодными для выживания, вроде коричневых лягушек, которые отлично маскируются в болоте, были естественным образом избраны для выживания. Вот откуда взял начало термин естественный отбор.
Можно умножить две этих теории на много-много времени, и собственно это сделал Дарвин в 19 веке. Эволюция и естественный отбор объясняют огромное разнообразие жизни на Земле.
Общая теория относительности
Общая теория относительности Альберта Эйнштейна была и остается важнейшим открытием, которое навсегда изменила наш взгляд на вселенную. Главным прорывом Эйнштейна было заявление о том, что пространство и время не являются абсолютными, а гравитация — это не просто сила, приложенная к объекту или массе. Скорее гравитация связана с тем, что масса искривляет само пространство и время (пространство-время).
Чтобы осмыслить это, представьте, что вы едете через всю Землю по прямой линии в восточном направлении, скажем, из северного полушария. Через некоторое время, если кто-то захочет точно определить ваше местоположение вы будете гораздо южнее и восточнее своего исходного положения. Это потому что Земля изогнута. Чтобы ехать прямо на восток, вам нужно учитывать форму Земли и ехать под углом немного на север. Сравните круглый шарик и лист бумаги.
Пространство — это в значительной мере то же самое. К примеру, для пассажиров ракеты, летящей вокруг Земли, будет очевидно, что они летят по прямой в пространстве. Но на самом деле, пространство-время вокруг них изгибается под действием силы тяжести Земли, заставляя их одновременно двигаться вперед и оставаться на орбите Земли.
Теория Эйнштейна оказала огромное влияние на будущее астрофизики и космологии. Она объяснила небольшую и неожиданную аномалию орбиты Меркурия, показала, как изгибается свет звезд и заложила теоретические основы для черных дыр.
Принцип неопределенности Гейзенберга
Расширение теории относительности Эйнштейна рассказало нам больше о том, как работает Вселенная, и помогло заложить основу для квантовой физики, что привело к совершенно неожиданному конфузу теоретической науки. В 1927 году осознание того, что все законы вселенной в определенном контексте являются гибкими, привело к ошеломительному открытию немецкого ученого Вернера Гейзенберга.
Постулируя свой принцип неопределенности, Гейзенберг понял, что невозможно одновременно знать с высоким уровнем точности два свойства частицы. Вы можете знать положение электрона с высокой степенью точности, но не его импульс, и наоборот.
Позже Нильс Бор сделал открытие, которое помогло объяснить принцип Гейзенберга. Бор выяснил, что электрон обладает качествами как частицы, так и волны. Концепция стала известна как корпускулярно-волновой дуализм и легла в основу квантовой физики. Поэтому, когда мы измеряем положение электрона, мы определяем его как частицу в определенной точке пространства с неопределенной длиной волны. Когда мы измеряем импульс, мы рассматриваем электрон как волну, а значит можем знать амплитуду ее длины, но не положение.