Уравнение менделеева клапейрона для чего
Уравнение состояния идеального газа
теория по физике 🧲 молекулярная физика, МКТ, газовые законы
Уравнение состояния идеального газа было открыто экспериментально. Оно носит название уравнения Клапейрона — Менделеева. Это уравнение устанавливает математическую зависимость между параметрами идеального газа, находящегося в одном состоянии. Математически его можно записать следующими способами:
Уравнение состояния идеального газа
Внимание! При решении задач важно все единицы измерения переводить в СИ.
Пример №1. Кислород находится в сосуде вместимостью 0,4 м 3 под давлением 8,3∙10 5 Па и при температуре 320 К. Чему равна масса кислорода? Молярная масса кислорода равна 0,032 кг/моль.
Из основного уравнения состояния идеального газа выразим массу:
Уравнение состояния идеального газа следует использовать, если газ переходит из одного состояния в другое и при этом изменяется его масса (количество вещества, число молекул) или молярная масса. В этом случае необходимо составить уравнение Клапейрона — Менделеева отдельно для каждого состояния. Решая систему уравнений, легко найти недостающий параметр.
Подсказки к задачам
| Давление возросло на 15% | p2 = 1,15p1 |
| Объем увеличился на 2% | V2 = 1,02V1 |
| Масса увеличилась в 3 раза | m2 = 3m1 |
| Газ нагрелся до 25 о С | T2 = 25 + 273 = 298 (К) |
| Температура уменьшилась на 15 К (15 о С) | T2 = T1 – 15 |
| Температура уменьшилась в 2 раза |  |
| Масса уменьшилась на 20% | m2 = 0,8m1 |
| Выпущено 0,7 начальной массы | |
| Какую массу следует удалить из баллона? | Нужно найти разность начальной и конечной массы: |
| Газ потерял половину молекул |  |
| Молекулы двухатомного газа (например, водорода), диссоциируют на атомы |  |
| Озон (трехатомный кислород) при нагревании превращается в кислород (двухатомный газ) | M (O3) = 3Ar (O)∙10 –3 кг/моль M (O2) = 2Ar (O)∙10 –3 кг/моль |
| Открытый сосуд | Объем V и атмосферное давление pатм остаются постоянными |
| Закрытый сосуд | Масса m, молярная масса M, количество вещества ν, объем V, число N и концентрация n частиц, плотность ρ— постоянные величины |
| Нормальные условия | Температура T0 = 273 К Давление p0 = 10 5 Па |
| Единицы измерения давления | 1 атм = 10 5 Па |
Пример №2. В баллоне содержится газ под давлением 2,8 МПа при температуре 280 К. Удалив половину молекул, баллон перенесли в помещение с другой температурой. Определите конечную температуру газа, если давление уменьшилось до 1,5 МПа.
Так как половина молекул была выпущена, m2 = 0,5m1. Объем остается постоянным, как и молярная масса. Учитывая это, запишем уравнение состояния идеального газа для начального и конечного случая:
Преобразим уравнения и получим:
Приравняем правые части и выразим искомую величину:
На графике представлена зависимость объёма постоянного количества молей одноатомного идеального газа от средней кинетической энергии теплового движения молекул газа. Опишите, как изменяются температура и давление газа в процессах 1−2 и 2−3. Укажите, какие закономерности Вы использовали для объяснения.
Алгоритм решения
Решение
График построен в координатах (V;Ek). Процесс 1–2 представляет собой прямую линию, исходящую из начала координат. Это значит, что при увеличении объема растет средняя кинетическая энергия молекул. Но из основного уравнения МКТ идеального газа следует, что мерой кинетической энергии молекул является температура:
Следовательно, когда кинетическая энергия молекул растет, температура тоже растет.
Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона:
Так как количество вещества одинаковое для обоих состояния 1 и 2, запишем:
Мы уже выяснили, что объем и температура увеличиваются пропорционально. Следовательно, давление в состояниях 1 и 2 равны. Поэтому процесс 1–2 является изобарным, давление во время него не меняется.
Процесс 2–3 имеет график в виде прямой линии, перпендикулярной кинетической энергии. Так как температуры прямо пропорциональна кинетической энергии, она остается постоянной вместе с этой энергией. Следовательно, процесс 2–3 является изотермическим, температура во время него не меняется. Мы видим, что объем при этом процессе уменьшается. Но так как объем и давление — обратно пропорциональные величины, то давление на участке 2–3 увеличивается.
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить
На высоте 200 км давление воздуха составляет примерно 10 –9 от нормального атмосферного давления, а температура воздуха Т – примерно 1200 К. Оцените плотность воздуха на этой высоте.
Уравнение Клапейрона-Менделеева
Что такое уравнение Клапейрона-Менделеева
Идеальный газ — это газ, в котором пренебрегают взаимодействием молекул газа между собой.
Идеальными считают разреженные газы. Особенно близкими к идеальным считают гелий и водород.
Идеальный газ — это упрощенная математическая модель, которая широко применяется для описания свойств и поведения реальных газов при атмосферном давлении и комнатной температуре.
Давление, объем и температура — это основные параметры состояния системы, и они связаны друг с другом. Соотношение, при котором определяется данная связь, называется уравнением состояния данного газа.
Существует эквивалентная макроскопическая формулировка идеального газа — это такой газ, который одновременно будет подчиняться закону Бойля-Мариотта и Гей-Люссака, то есть:
В представленном выше уравнении состоянии газа под const подразумевается количество молей.
Свойства классического и квазиклассического идеального газа описываются уравнением состояния идеального газа, которое называется уравнением Менделеева-Клапейрона, ниже представлена формула Менделеева-Клапейрона.
Таким образом давление и объем прямо пропорциональны количеству молей и температуре.
Также уравнение Клапейрона-Менделеева можно записать в ином виде:
Какое значение имеет универсальная газовая постоянная
Универсальная газовая постоянная (R) — это величина, которая является константой, численно равная работе расширения одного моля идеального газа в изобарном процессе при увеличении температуры на 1 K.
Постоянную Больцмана используют в формулах, описывающих изучаемое явление или поведение рассматриваемого объекта с микроскопической точки зрения, тогда как универсальная газовая постоянная более удобна при расчетах, касающихся макроскопических систем, когда число частиц задано в молях.
Связь с другими законами состояния идеального газа
С помощью уравнения состояния идеального газа можно исследовать процессы, в которых масса и один трех макропараметров (давление, температура или объем) — остаются неизменными.
Количественные зависимости между двумя параметрами газа при фиксированном третьем параметре называют газовыми законами, которые связывают эти параметры.
Изопроцессы — это термодинамические процессы, во время протекания которых количество вещества и один из макропараметров состояния: давление, объем, температура или энтропия — остается неизменным.
В зависимости от того, какой параметр остается неизменным различают разные процессы, которые выражаются законами, являющимися следствием уравнения состояния газа:
Изотермический процесс (T=const)
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянной температуре называют изотермическим.
Для поддержания температуры газа постоянной необходимо, чтобы он мог обмениваться теплотой с большой системой — термостатом. Им может служить атмосферный воздух, если температура его заметно не меняется на протяжении всего процесса.
Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, в любом состоянии с неизменной температурой произведение давления газа на объем одно и то же, то есть постоянно:
Этот закон был открыт экспериментально английским ученым Бойлем и несколько позднее французским ученым Мариоттом. Именно поэтому он называется закон Бойля-Мариотта.
Закон Бойля-Мариотта справедлив для любых газов, а также для смеси газов (например, для воздуха).
Зависимость давления газа от объема при постоянной температуре изображается графической кривой — изотермой. Изотерма для различных температур представлена в координатах pV на рис.1. и представляет собой гиперболу.
Рис.1. Изотерма в pV — координатах.
Изохорный процесс (V=const)
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном объеме называют изохорным.
Из уравнения состояния следует, что отношение давлений газа данной массы при постоянно объеме равно отношению его абсолютных температур:
Газовый закон был установлен экспериментально в 1787 г. французским физиком Ж. Шарлем и носит название закона Шарля: давление данной массы газа при постоянном объеме прямо пропорционально абсолютной температуре.
Так, если в качестве одного из состояний газа выбрать состояние газа при нормальных условиях, тогда
p = p 0 T T 0 = p 0 γ T
Коэффициент γ называют температурным коэффициентом давления газа. Он одинаков для всех газов.
Зависимость давления газа от температуры при постоянном объеме изображается графически прямой, которая называется изохорой (Рис.2).
Рис.2 Изображение изохоры в pT-координатах.
Изобарный процесс (p=const)
Процесс изменения состояния термодинамической системы при постоянном давлении называют изобарным.
Из уравнения Клапейрона-Менделеева вытекает, что отношение объемов газа данной массы при постоянном давлении равно отношению его абсолютных температур.
Если в качестве второго состояния газа выбрать состояние при нормальных условиях (нормальном атмосферном давлении, температуре таяния льда) следует:
V = V 0 T T 0 = V 0 α T
Этот газовый закон был установлен экспериментально в 1802 г французским ученым Гей-Люссаком.
Закон Гей-Люссака: объем данной массы газа при постоянном давлении прямо пропорционален абсолютной температуре.
Коэффициент α называют температурным коэффициентом объемного расширения газов.
Зависимость объема газа от температуры при постоянном давлении изображается графической прямой, которая называется изобарой (Рис.3).
Рис. 3. Изобара в VT-координатах.
Использование универсального уравнения для решения задачи
В реальности проводятся различные физико-химические процессы. Рассмотрим каким образом уравнение состояния идеального газа и законы, связанные с ним находят применение для решения физических и химических задач.
Так как в уравнении даны объем и температура — два из трех макроскопических параметров, а третий (давление) нужно определить, то мы можем использовать уравнение Клапейрона-Менделеева:
p V = n R T = m M R T
Не забываем перевести температуру в Кельвины:
T = t + 273 = 27 + 273 = 300 K
Молярная масса кислорода известна из таблицы Менделеева:
Выразим из уравнения состояния давления и поставим все имеющиеся данные:
Используем уравнение Менделеева-Клапейрона, из которого выражаем объем кислорода, который нужно найти:
p = n R T V = m R T M V
Молярная масса кислорода предполагается равной:
M ( O 2 ) = 2 * 16 = 32 г / м 3
Не забываем перевести температуру в Кельвины:
T = t + 273 = 20 + 273 = 293 K
Переводим давление: p = 15680000 Па
Выражаем из уравнения Клапейрона-Менделеева объем и подставляем значения, данные в условиях задачи:
Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона:
p = n R T V = m R T M V
Плотность — это величина, характеризующая массу некоторого объема и находится по формуле:
ρ = m V и л и V = m ρ
Тогда p m ρ = n R T = m R T M
Откуда выражаем плотность газа:
Для водорода эта формула запишется следующим образом:
ρ H 2 = p M H 2 R T
По условию задачи водород и любой другой газ находятся при одинаковых условиях, откуда следует, что:
ρ H 2 M H 2 = p R T
Поставим последнее выражение в выражение для плотности любого газа:
Молярная масса водорода, исходя из таблицы Менделеева равна 2 г/моль и тогда. Молекулярная масса численно равная молярной и представляет собой массу молекулы в атомных единицах, поэтому в дальнейшем мы совершили переход к молекулярной массе.
Рассмотрим несколько задач на законы, связанные с уравнение Клапейрона-Менделеева, то есть на изотермические, изохорные, изобарные процессы.
При уменьшении давления газа в 2,5 раза его объем увеличился на 12 л. Какой объем занимал газ в начальном состоянии, если температура на протяжении всего процесса оставалась постоянной?
По условию задачи температура в ходе всего процесса оставалась постоянной, откуда следует, что у нас изотермический процесс, и мы можем воспользоваться для решения законом Бойля-Мариотта.
Откуда можем найти начальный объем:
Ответ: первоначальный объем газа был равен 8 л.
Газ находится в баллоне при температуре 400 К. До какой температуры нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?
Так как нагревание газа по условиям данной задачи происходит при постоянном объеме, значит перед нами изохорный процесс.
При изохорном процессе:
При 27°C объем газа равен 600 мл. Какой объем займет газ при 57°C, если давление будет оставаться постоянным?
Так как давление по условию остается постоянным, то можем использовать закон Гей-Люссака.
V_2 – искомый объем
Для правильного расчета необходимо перевести температуры из Цельсий в Кельвины:
T 1 = 273 + 27 = 300 K
T 2 = 273 + 57 = 330 K
V 2 = ( 600 * 330 ) / 300 = 660 м л
Так как по условию задания давления газа не изменяется, значит перед нами изобарный процесс. Для решения воспользуемся законом Гей-Люссака:
Перейдем к абсолютной температуре:
T 1 = 1150 + 273 = 1423 K
T 2 = 200 + 273 = 473 K
Масса газа: m = ρ 1 V 1 = ρ 2 V 2
Использование этих формул приводит к следующему:
Уравнение менделеева клапейрона для чего
где NА — число Авогадро, k — постоянная Больцмана.
Такие процессы называют изопроцессами. Законы, описывающие изопроцессы, были открыты задолго до теоретического вывода уравнения состояния идеального газа.
V= const => p/T = const — закон Шарля
Сначала найдем, сколько альфа-частиц (то есть атомов гелия) образовалось за один год. Обозначим это число как N атомов:
N = 3,7·10 10 · 0,5 г · 60 сек · 60 мин · 24 час · 365 дней = 5,83·10 17 атомов.
Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева PV = nRT и заметим, что число молей гелия n = N/NA. Отсюда:
В начале XX века этот способ определения постоянной Авогадро был самым точным. Но почему так долго (в течение года) длился эксперимент? Дело в том, что радий добывается очень трудно. При его малом количестве (0,5 г) радиоактивный распад этого элемента дает очень мало гелия. А чем меньше газа в замкнутом сосуде, тем меньшее он создаст давление и тем большей будет ошибка измерения. Понятно, что ощутимое количество гелия может образоваться из радия только за достаточно долгое время.
Содержание:
Уравнение состояния идеального газа:
Уравнения Клапейрона и Менделеева — клапейрона; законы Шарля, Гей-Люссака, Бойля — Мариотта, Авогадро, Дальтона, — пожалуй, такого количества «именных» законов нет ни в одном разделе физики. за каждым из них — кропотливая работа в лабораториях, тщательные измерения, длительные аналитические размышления и точные расчеты. нам намного проще. Мы уже знаем основные положения теории, и «открыть» все вышеупомянутые законы нам не составит труда.
Уравнение состояния идеального газа
Давление газа полностью определяется его температурой и концентрацией молекул: p=nkT. Запишем данное уравнение в виде: pV = NkT. Если состав и масса газа известны, число молекул газа можно найти из соотношения 
Произведение числа Авогадро 
на постоянную Больцмана k называют универсальной газовой постоянной (R): R=
k 8,31 Дж/ (моль⋅К). Заменив в уравнении (*) 
k на R, получим уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона):
Обратите внимание! Состояние данного газа некоторой массы однозначно определяется двумя его макроскопическими параметрами; третий параметр можно найти из уравнения Менделеева — Клапейрона.
Уравнение Клапейрона
С помощью уравнения Менделеева — Клапейрона можно установить связь между макроскопическими параметрами газа при его переходе из одного состояния в другое. Пусть газ, имеющий массу m и молярную массу М, переходит из состояния (
) в состояние (
) (рис. 30.1).
Для каждого состояния запишем уравнение Менделеева — Клапейрона: 
Разделив обе части первого уравнения на 
, а второго — на 
, получим: 
. Правые части этих уравнений равны; приравняв левые части, получим уравнение Клапейрона:
Для данного газа некоторой массы отношение произведения давления на объем к температуре газа является неизменным.
Изопроцессы
Процесс, при котором один из макроскопических параметров данного газа некоторой массы остается неизменным, называют изопроцессом. Поскольку состояние газа характеризуется тремя макроскопическими параметрами, возможных изопроцессов тоже три: происходящий при неизменной температуре; происходящий при неизменном давлении; происходящий при неизменном объеме. Рассмотрим их.
Какой процесс называют изотермическим. Закон Бойля — Мариотта
Пузырек воздуха, поднимаясь со дна глубокого водоема, может увеличиться в объеме в несколько раз, при этом давление внутри пузырька падает, поскольку вследствие дополнительного гидростатического давления воды (
) давление на глубине больше атмосферного. Температура же внутри пузырька практически не изменяется. В данном случае имеем дело с процессом изотермического расширения.
Рис. 30.2. Изотермическое сжатие газа. Если медленно опускать поршень, температура газа под поршнем будет оставаться неизменной и равной температуре окружающей среды. Давление газа при этом будет увеличиваться
Изотермический процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменной температуре.
Пусть некий газ переходит из состояния (
) в состояние (
T), то есть температура газа остается неизменной (рис. 30.2). Тогда согласно уравнению Клапейрона имеет место равенство p
. После сокращения на T получим: 
.
Закон Бойля — Мариотта:
Для данного газа некоторой массы произведение давления газа на его объем остается постоянным, если температура газа не изменяется:
Графики изотермических процессов называют изотермами. Как следует из закона Бойля — Мариотта, при неизменной температуре давление газа данной массы обратно пропорционально его объему: 
. Эту зависимость в координатах p, V можно представить в виде гиперболы (рис. 30.3, а). Поскольку при изотермическом процессе температура газа не изменяется, в координатах p, T и V, T изотермы перпендикулярны оси температур (рис. 30.3, б, в).
Какой процесс называют изобарным. Закон Гей-Люссака
Изобарный процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменном давлении.
Пусть некий газ переходит из состояния (
) в состояние (
), то есть давление газа остается неизменным (рис. 30.4). Тогда имеет место равенство 
. После сокращения на p получим: 
Рис. 30.4. Изобарное расширение газа. Если газ находится под тяжелым поршнем массой M и площадью S, который может перемещаться практически без трения, то при увеличении температуры объем газа будет увеличиваться, а давление газа будет оставаться неизменным и равным p
Закон Гей-Люссака
Для данного газа некоторой массы отношение объема газа к температуре остается постоянным, если давление газа не изменяется:
Графики изобарных процессов называют изобарами. Как следует из закона Гей-Люссака, при неизменном давлении объем газа данной массы прямо пропорционален его температуре: V = const⋅T. График данной зависимости — прямая, проходящая через начало координат (рис. 30.5, а). По графику видно, что с приближением к абсолютному нулю объем идеального газа должен уменьшиться до нуля. Понятно, что это невозможно, поскольку реальные газы при низких температурах превращаются в жидкости. В координатах p, V и p, T изобары перпендикулярны оси давления (рис. 30.5, б, в).
Изохорный процесс. Закон Шарля
Если газовый баллон сильно нагреется на солнце, давление в нем повысится настолько, что баллон может взорваться. В данном случае имеем дело с изохорным нагреванием.
Изохорный процесс — процесс изменения состояния данного газа некоторой массы, протекающий при неизменном объеме.
Пусть некий газ переходит из состояния (
) в состояние (
), то есть объем газа не изменяется (рис. 30.6). В этом случае имеет место равенство 
. После сокращения на V получим: 
Рис. 30.6. Изохорное нагревание газа. Если газ находится в цилиндре под закрепленным поршнем, то с увеличением температуры давление газа тоже будет увеличиваться. Опыт показывает, что в любой момент времени отношение давления газа к его температуре неизменно: 
Закон Шарля
Для данного газа некоторой массы отношение давления газа к его температуре остается постоянным, если объем газа не изменяется:
Пример №1
В вертикальной цилиндрической емкости под легкоподвижным поршнем находится 2 моль гелия и 1 моль молекулярного водорода. Температуру смеси увеличили в 2 раза, и весь водород распался на атомы. Во сколько раз увеличился объем смеси газов?
Анализ физической проблемы. Смесь газов находится под легкоподвижным поршнем, поэтому давление смеси не изменяется:
, но использовать закон Бойля — Мариотта нельзя, так как вследствие диссоциации (распада) молярная масса и число молей водорода увеличились в 2 раза: 
Решение:
Воспользуемся уравнением состояния идеального газа: pV = νRT. Запишем это уравнение для состояний смеси газов до и после распада: 
Разделив уравнение (2) на уравнение (1) и учитывая, что получим: 
где 
Найдем значение искомой величины: 
Ответ: примерно в 2,7 раза.
Пример №2
На рис. 1 представлен график изменения состояния идеального газа неизменной массы в координатах V, T. Представьте график данного процесса в координатах p, V и p, T.
Решение:
1. Выясним, какой изопроцесс соответствует каждому участку графика (рис. 1).
2. Учитывая, что точки 1 и 2 лежат на одной изотерме, точки 1 и 3 — на одной изобаре, а точки 2 и 3 на одной изохоре, и используя результаты анализа, построим график процесса в координатах p, V и p, T (рис. 2)
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.