Углы многоугольника что это

Углы многоугольника

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

где s — это сумма углов, 2d — два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n — количество сторон.

Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).

где s — это сумма внешних углов, 4d — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d), так как они являются смежными углами. Например, ∠1 и ∠2:

Источник

Многоугольник

Определение 1. Многоугольник − замкнутая ломаная линия.

Объединение многоугольника и ограниченной им части плоскости также называют многоугольником. Поэтому представим другое определение многоугольника:

Определение 2. Многоугольник − это геометрическая фигура, которая является частю плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью многоугольника, а другая внешней областью многоугольника.

Виды многоугольников

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с \( \small n \) вершинами называется \( \small n- \)угольником.

На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.

Обозначение многоугольника

Обозначают многоугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют многоугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рисунке 2 называют \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) или \( \small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 \).

Соседние вершины многоугольника

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

На рисунке 2 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)

Смежные стороны многоугольника

Стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.

На рисунке 2 стороны \( \small A_4A_5 \) и \( \small A_5A_6 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_5. \)

Простой многоугольник. Самопересекающийся многоугольник

Многоугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).

На рисунке 3 изображен простой многоугольник так как стороны многоугольника не имеют самопересечений. А на рисунке 4 многоугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой многоугольник называется самопересекающийся многоугольник.

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.

На рисунке 5 многоугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ l, \ p, \ q, \ r\) проходящих через стороны многоугольника.

На рисунке 6 прямая \( \small m\) делит многоугольник на две части, т.е. многоугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно многоугольник не является выпуклым.

Правильный многоугольник

Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.

На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.

Звездчатый многоугольник

Самопересекающийся многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны, называется звездчатым или звездчато-правильным.

На рисунке 9 представлен звездчатый пятиугольник поскольку все углы \( \small A_1, \ A_2, \ A_3, \ A_4, \ A_5 \) равны и равны все стороны: \( \small A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1. \)

Периметр многоугольника

Сумма всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Для многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) периметр вычисляется из формулы:

Угол многоугольника

Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами многоугольника, сходящимися к этой вершине. Если многоугольник выпуклый, то все углы многоугольника меньше 180°. Если же многоугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small A_3 \) на рисунке 2).

Внешний угол многоугольника

Внешним углом многоугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине.

На рисунке 10 угол 1 является внешним углом данного многоугольника при вершине \( \small E. \)

Диагональ многоугольника. Количество диагоналей

Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.

Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан \( \small n \)-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим \( \small n-1 \) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из \( \small n-1 \) вычтем 2. Получим \( \small n-3 \). Всего \( \small n \) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет \( \small n(n-3). \) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей \( \small n- \)мерного многоугольника:

Сумма углов выпуклого многоугольника

Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины \( \small A_1 \) все диагноали многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) (Рис.11):

Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно \( \small n-3 \). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на \( \small n-3+1=n-2 \) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: \( \small 180°(n-2). \)

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.

Угол правильного многоугольника

Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.

Источник

Многоугольники

Многоугольник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым.

Содержание:

Общее понятие многоугольника

На рисунке 2.111 изображена замкнутая ломаная L с произвольным числом звеньев; эта ломаная разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на две части. Их называют внутренней и внешней областями относительно этой ломаной. На рисунке 2.111 внутренняя область закрашена.

Две любые точки, лежащие в одной и той же области, можно соединить отрезком или ломаной, не пересекающей данную замкнутую ломаную (рис. 2.112). Для точек разных областей этого сделать нельзя.

Во внешней области найдется прямая, которая вся расположена в этой области. Во внутренней области такой прямой нет.

Определение. Объединение замкнутой ломаной и ее внутренней области называют многоугольником.

Саму ломаную называют границей многоугольника, а ее внутреннюю область — внутренней областью многоугольника. Звенья границы многоугольника называют сторонами многоугольника, а вершины — вершинами многоугольника.

Треугольник — это самый простой многоугольник, имеющий наименьшее число вершин и сторон — три. Далее идут четырехугольники. Они бывают различными (рис. 2.113).

Многоугольники с большим числом сторон (пятиугольники, шестиугольники и т.д.) уже не имеют столько разновидностей, как четырехугольники. Есть только различия в длинах их сторон и величине углов.

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называют его диагональю.

На рисунке 2.114 изображены диагонали АС и AD пятиугольника ABCDE.

В геометрии различают выпуклые и невыпуклые многоугольники.

Определение. Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.

На рисунке 2.115 изображен невыпуклый многоугольник, а на рисунке 2.116 — выпуклый многоугольник, исходя из данного определения.

Углы многоугольника

Пусть дан многоугольник. Рассмотрим его вершину А и два луча АВ и AD, выходящие из вершины А и содержащие стороны АВ и AD данного многоугольника (рис. 2.117). Два луча с общим началом, как известно, задают два угла.

Тот из углов, которому принадлежит сам многоугольник ABCD, называют его внутренним углом (рис. 2.118).

Для краткости внутренним углом многоугольника иногда называют и величину этого угла. Ясно, что у каждого -угольника есть внутренних углов (иногда слово «внутренний» опускают).

Можно доказать две теоремы о свойствах внутренних углов выпуклых многоугольников.

Теорема 24. У выпуклого многоугольника каждый угол меньше 180°.

Теорема 25. Сумма внутренних углов выпуклого -угольника равна ( — 2)180°.

Параллелограмм

Определение. Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

На рисунке 2.119 четырехугольник ABCD — параллелограмм, у него АВ || DC и ВС || AD.

Используя определение параллелограмма и другие знания, можно доказать свойства параллелограмма:

— сумма внутренних углов параллелограмма равна 4d;

— каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Можно доказать теорему о центре симметрии параллелограмма — еще одно свойство параллелограмма.

Теорема 26. Середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

Из теоремы 26 можно получить следующие следствия.

Следствие 1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.

Следствие 2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.

Признаки параллелограмма отвечают на вопрос: что надо знать о четырехугольнике, чтобы утверждать, что он является параллелограммом?

Теорема 27. Четырехугольник является параллелограммом, если он имеет две пары равных противоположных сторон.

Теорема 28. Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

Теорема 29. Четырехугольник является параллелограммом, если две его противоположные стороны равны и параллельны.

Используя свойства параллелограммов, можно доказать очень важную теорему геометрии — теорему Фалеса.

Теорема 30 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Используя теорему Фалеса, можно легко разделить любой отрезок на любое число равных отрезков.

Пример 1.

Периметр параллелограмма равен 122 см. Одна из его сторон больше другой на 25 см. Найдите стороны параллелограмма.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. ABCD — параллелограмм.

2. Периметр параллелограмма равен 122 см.

3. ВС больше CD на 25 см.

4. Найдите стороны параллелограмма.

При решении этой задачи может помочь так называемый алгебраический метод. Его суть в следующем.

5. Обозначим одну сторону параллелограмма х, другую — у.

6. Получим систему: (1, 2, 3, 5).

7. Решая эту систему, получим х = 43, у = 18.

8. Стороны параллелограмма равны 18 и 43 см (5, 7).

Пример 2.

Разделите отрезок OA на пять равных отрезков.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Отрезок OA (дан) (рис. 2.120).

2. Проведем через точку О луч и отложим на нем последовательно пять равных отрезков (рис. 2.121):

3. Проведем прямую и через точки — четыре прямые, параллельные этой прямой (рис. 2.122).

4. Эти прямые разделяют отрезок OA на пять равных отрезков (1, 2, 3, теорема 30).

Прямоугольник и квадрат

Определение. Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Определение. Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Прямоугольник обладает следующими свойствами:

— серединные перпендикуляры к сторонам прямоугольника являются его осями симметрии (рис. 2.123);

— у прямоугольника есть две оси симметрии (рис. 2.124);

— диагонали прямоугольника равны.

Справедлива следующая теорема:

Теорема 31. Около прямоугольника всегда можно описать окружность.

Так как квадрат является прямоугольником (по определению), то у него есть две оси симметрии — серединные перпендикуляры к его сторонам; можно также доказать, что диагонали квадрата также являются его осями симметрии (рис. 2.125).

Пример 1.

Сторона прямоугольника равна 4 см и образует с диагональю угол 60°. Найдите эту диагональ.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. ABCD — прямоугольник.

2. ВС = 4 см. (рис. 2.126)

3.

5. — прямоугольный, в нем катет ВС = 4 см, a По свойству катета, лежащего в прямоугольном треугольнике против угла 30°, (1, 2, 3).

Определение. Параллелограмм, все стороны которого равны, называют ромбом.

На рисунке 2.127 изображен параллелограмм ABCD, у которого АВ = ВС = CD = DA. По определению этот параллелограмм является ромбом.

Так как ромб — параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Кроме того, у ромба есть и другие свойства.

Теорема 32. Прямая, содержащая диагональ ромба, является его осью симметрии (рис. 2.128).

Используя теорему 32, можно доказать следующие следствия — свойства ромба.

Следствие 1. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Следствие 2. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Квадрат является ромбом, поэтому он обладает свойствами как прямоугольника, так и ромба.

Пример:

Найдите углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам.

Решение:

Из условия задачи имеем:

2. AKCD. (рис. 2.129)

4. Найдите углы ромба.

5. АВ = ВС = DC = DA (1, определение ромба).

Нужно использовать данные п. 2 и 3. Это подсказывает дополнительное построение:

6. Проведем диагональ ромба BD (рис. 2.130).

7. — равнобедренный с основанием BD (5, 6, определение равнобедренного треугольника).

8. — равнобедренный с основанием AD (2, 3, признак равнобедренного треугольника).

9. — равносторонний (7,8).

10. (9).

11. (1,10).

Трапеция

Определение. Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией.

На рисунке 2.131 изображена трапеция ABCD. Параллельные стороны трапеции называют ее основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами (на рис. 2.131 ВС и AD — основания, АВ и CD — боковые стороны).

Определение. Если боковые стороны трапеции равны, то трапеция называется равнобедренной.

На рисунке 2.132 АВ = CD, значит, трапеция равнобедренная.

Определение. Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной.

На рисунке 2.133 угол К прямой, значит, трапеция KLMN прямоугольная.

Определение. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

На рисунке 2.134 точки М и N — середины боковых сторон трапеции. Значит, MN — средняя линия ABCD.

Средняя линия трапеции обладает некоторыми свойствами: средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме длин оснований.

Пример:

Докажите, что середины сторон равнобедренной трапеции являются вершинами ромба.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. ABCD — равнобедренная трапеция, АВ = DC.

2. М, N, Р, К — середины сторон трапеции ABCD.

3. MNPK — четырехугольник.

4. MNPK — ромб (требуется доказать).

Чтобы доказать, что MNPK — ромб, нужно доказать, что MN || КР, МК || NP и что MN = NP =

= РК = КМ. Как это сделать? Помогает п. 2 и понятие средней линии треугольника.

5. Проведем диагонали АС и BD трапеции (построение) (рис. 2.136).

7. MN || AC, (5, теорема 7).

8. КР || AC, (5,теорема 7).

9. MN || КР и MN = КР (7, 8). Аналогично получаем, что МК || NP и МК = NP. Учитывая п. 6, задача решена.

Правильные многоугольники

Определение. Многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, называют правильным.

На рисунке 2.137 изображены правильные треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник и десятиугольник.

По теореме 25 о сумме внутренних углов многоугольников можно вычислить величину каждого угла правильных многоугольников: для правильного треугольника — 60°, для правильного четырехугольника (квадрата) — 90°, для правильного пятиугольника — 108°, для правильного шестиугольника — 120°.

Пользуясь этим методом, можно узнать величину каждого угла любого правильного -угольника при любом . Кроме того, можно решить и обратную задачу: зная сумму углов правильного многоугольника, можно найти число его сторон.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник