сколько всего пятизначных чисел которые можно превратить в палиндром переставив в них цифры местами

Задания Восьмой Олимпиады по математике Зима 2021 8 класс

На данной страницы размещены олимпиадные задания с решением для 8 класса.
Олимпиада по математике прошла 31 января 2021 года

Cкачать задание в формате Pdf

Посмотреть ответы на все задания олимпиады

Задача №1

Делится ли число 10 2021 + 2021 на 3?

Задача №2

Перед вами торт в форме параллелепипеда (кирпича). Разрешается делать разрезы параллельно любой из граней.
Какое наименьшее число разрезов нужно сделать, чтобы разделить торт на 2021 кусок?

Задача №3

Найдите все решения уравнения:

Задача №4

Сколько всего пятизначных чисел, которые можно превратить в палиндром, переставив в них цифры местами?
(Палиндром-число, которое читается слева направо и справа налево одинаково.)

Задача №5

Вася делил все конфеты, которые ему подарили на Новый год.
Четверть конфет он сразу съел.
Одну пятую оставшихся конфет он отдал старшему брату.
После этого одну шестую оставшихся конфет он отдал среднему брату.
После этого одну седьмую оставшихся конфет он отдал младшему брату.
Какое наименьшее число конфет могло быть у Васи изначально, если каждому брату он отдал целое число конфет?

Задача №6

В магазине два ноутбука стоили одинаково.
На первый ноутбук сначала сделали скидку 10%,
потом сделали скидку 20% от новой цены,
а потом сделали скидку 30% от новой цены.
А на второй ноутбук сделали сразу скидку 50%
Какой ноутбук в итоге стал стоить дешевле?

Задача №7

Докажите, что число 13512966 не является квадратом

Задача №8

Имеется нарисованная прямоугольная сетка 1х1.
На этой сетке нарисовали пятно, площадь которого меньше 1.
Всегда ли можно сдвинуть и повернуть сетку так, чтобы все
ее узловые точки не были накрыты пятном?
(Форма пятна может быть любой, в том числе она может состоять из любого числа отдельных частей. При перемещении сетки клякса остаётся на месте)

Задача №9

В числе 2021! начали зачеркивать все нули с конца (т.е. от младших разрядов) пока не встретилась первая ненулевая цифра.
Какая?

Источник

Сколько всего пятизначных чисел которые можно превратить в палиндром переставив в них цифры местами

Назовем натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифра,вторая и предпоследняя, и т. д.). Например числа 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 10 и 953953 не являются палиндромами.

а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.

б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?

в) Найдите 37-е по порядку число-палиндром, которое делится на 15.

а) Пример числа-палиндрома:

б) Пятизначное число-палиндром, кратное 15, обязательно делится на 5, и поэтому имеет вид Будем теперь для каждого возможного подбирать так, чтобы сумма цифр числа делилась на 3. Если то (т. е. получается вариантов), если то (т. е. получается вариантов), если то (т. е. получается вариантов). Всего варианта.

в) Двузначных палиндромов, делящихся на 15, нет. Трехзначные обязаны заканчиваться (а значит и начинаться) на 5, их всего три штуки (525, 555, 585). Четырехзначных аналогично еще три: 5115, 5445, 5775.

Значит всего не более чем пятизначных палиндромов штук, при этом 39-е число это 59895 (выбираем максимально возможную вторую цифру), 38-е 59595, 37-е 59295.

Источник

Сколько всего пятизначных чисел которые можно превратить в палиндром переставив в них цифры местами

Назовем исходное число и число с переставленными в обратном порядке цифрами взаимно обратными.

Выяснено, что сложение некоторых взаимно обратных чисел приводит к образованию числа-палиндрома. Но для многих взаимно обратных чисел такое число палиндром при сложении не образуется. А что будет, если в этом случае сложить результат сложения с его взаимно обратным числом?

Задание:

Как зависит результат сложения от суммы цифр исходного числа?

Ответ можешь посмотреть здесь.

Примерами являются все однозначные числа, двузначные вида αα, такие как 11 и 99, трехзначные числа вида αβα, например 535 и так далее.

Слово палиндром произошло от греческого слова palindromos ( palнndromos ) , обозначающего “вновь бегущий назад”. Палиндромами могут быть не только числа, но также и слова, предложения и даже тексты. Примером может служить слова ротор, радар или известная фраза “А роза упала на лапу Азора”, которые читаются одинаково как слева направо, так и справа налево. В английском языке это слова «Radar», «I», «Eve», «Deed, «Redivider» и фразы «Madam, I’m Adam, «A man, a plan, a canal. Panama «. Примеры палиндромов встречаются и в природе – молекула ДНК, например, имеющая комплиментарные основания. В ДНК есть отрезки, имеющие одинаковую нуклеотидную последовательность при чтении по обеим цепям спирали в одинаковом направлении. Общее число таких «перевертышей» в геноме человека оценено от 100 тыс. до 1 млн. При этом они относительно равномерно распределены по ДНК.

Греческие поэты еще в 300 году до н.э. начали употреблять палиндромы.

Источник

Урок алгебры в 10 классе на тему: Решение задачи единого государственного экзамена с использованием чисел-палиндром

Урок алгебры в 10 классе на тему:

«Решение задачи единого государственного экзамена с использованием чисел-палиндромов»

Автор: учитель математики Полякова Наталья Валерьевна

Организация: МБОУ лицей с.Хлевное Хлевенского муниципального района Липецкой области

Цель урока : 1. Познакомить учащихся с числами –палиндромами.

2. На примере решения задачи единого государственного экзамена высокого уровня сложности учить применять поисковый метод решения задач, развивать логическое мышление.

3. Воспитывать настойчивость, аккуратность, трудолюбие.

Оргмомент. Сообщение темы, целей урока, постановка проблемы.

Учитель «Добрый день! Предлагаю вашему вниманию задачу из пособия для подготовки к ЕГЭ «ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов» под редакцией И.В. Ященко. – М.:Издательство «Национальное образование», 2015.

«а)Приведите пример числа – палиндрома, которое делится на 55. Б) Сколько существует пятизначных чисел – палиндромов, делящихся на 55? в) Найдите 13-е по величине число – палиндром, которое делится на 55».

Как выдумаете, что нужно знать и уметь, чтобы решить эту задачу?

Давайте сформулируем тему и цель (для учащихся) урока.»

Цель нашей совместной работы – выяснить, какие числа называются палиндромами, узнать их свойства и попытаться решить задачу.

Основной этап – поиск решения проблемы.

Числовой палиндром — это натуральное число, которое читается слева направо и справа налево одинаково. Иначе говоря, отличается симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным.

Попробуем решить задачу.

А) Первое число –палиндром, делящееся на 55, несомненно, само 55. Другие палиндромы нужно искать среди кратных ему чисел.

Найдем кратное – палиндром перебором, будем умножать число 55 на различные множители. При этом учтем, что при умножении на четное число мы получим число, оканчивающееся 0, которое не может быть палиндромом, так как с 0 числа не начинаются, значит, четные множители не подходят, а также, что число, делящееся на 5, оканчивается на 5. Значит, палиндром должен начинаться с 5.

Среди трехзначных таких числе нет, т.к. единственное число, кратное 55 и начинающееся в 5, это 550.

Теперь займемся пятизначными числами. Ищем число вида 5хух5, которое делится на 55. Если будем искать числа, перебирая все возможные произведения 55 на п, где п от 909 до 1090, то нам придется составить 181 произведение. Этот метод не подойдет.

Попробуем воспользоваться признаками делимости. Число 55=5*11. Поэтому искомые числа должны делиться на 11. Применим признак делимости на11: «Число делится на11, если сумма цифр, стоящих на нечетных местах равняется сумме цифр, стоящих на четных местах или отличается от нее на11».

Имеем: 5+у+5=х+х или 5+у+5=х+х+11. Получим:

10+у=2х – решением этого уравнения являются пары чисел: (5;0), ( 6, 2), (7, 4), (8, 6), (9, 8).

10+у=2х+11 – решением этого уравнения являются пары чисел (0,1), (1,3), (2,5), (3,7), (4,9).

Получим 10 чисел – палиндромов:

Таким образом, среди пятизначных чисел ровно 10 палиндромов.

Мы ответили на задания а) и б) исследуемой задачи. Теперь можем ответить и на вопрос в) назовите 13 –е по счету число-палиндром, которое делится на 55.

Если ряд палиндромов начать с числа 55, то тринадцатым будет 51315.

Закрепление и обобщение знаний.

Учитель: «Перечислите факты, знание которых нам потребовалось для решения задачи. А теперь давайте сформулируем умения, которыми необходимо владеть для решения подобных задач.

Применялись ли какие-либо особые методы? Попробуйте самостоятельно решить аналогичную задачу. «а) Приведите пример числа –палиндрома, который делится на 15. Б) Сколько существует чисел –палиндромов, делящихся на 15?, в) Найдите 37 –е по величине число –палиндром, которое делится на 15.» Ответ: а) 5115, б) 33, в) 59295».

Учитель «Вам понравилось решать эту задачу? С каким настроением вы идете с урока? Спасибо за урок, до свидания!».

Источник

Задача про числа-палиндромы

И снова приветствую всех тех, кто серьёзно готовится к профильному ЕГЭ и всерьёз претендует на решение самых сложных задач 19 (они же С6)! Как и обещал, продолжаем разбирать самые разнообразные и необычные задачи на теорию чисел и способы успешно расправляться с такими монстрами. Хотя для подготовленного ученика в задачах 19 страшного особо ничего и нету.)

Использование признаков делимости и перебора на ограниченном множестве. Задача про числа-палиндромы.

В данном материале я хотел бы разобрать очередную необычную и не самую сложную задачку про так называемые числа-палиндромы. Для начала, что это вообще за зверь такой (для тех, кто не в курсе)?

Палиндром — это слово, число или даже целый текст, одинаково читающееся в обоих направлениях. Как слева направо, так и справа налево.

Число 12321, слово «ротор», красивое женское имя Анна, словосочетание «искать такси», а также всем известная бородатая фраза «А роза упала на лапу Азора». В общем, идея понятна, я думаю. 🙂

В нашей задаче, разумеется, речь пойдёт о числах. Что ж, давайте теперь посмотрим на саму задачу.

Вот такая вот задачка. Как к ней подступиться? Ну, во-первых, в каждом из пунктов речь идёт о делимости на 15. Стало быть, нашей отправной точкой будут признаки делимости чисел нацело. Это тема 6-го класса средней школы. Других вариантов просто нет. И какие же это признаки, спросите вы?

Вспоминаем 6-й класс, ищем там признак делимости на 15 и… вы правы! Такого признака нету. Но! Зато есть признаки делимости чисел на 3 и на 5. А что такое 15? Это не что иное, как 3·5! Элементарно, Ватсон! 🙂 Стало быть, если какое-либо натуральное число одновременно делится нацело на тройку и пятёрку, то автоматически оно будет делиться и на пятнадцать. Поэтому давайте-ка быстренько освежим в памяти признаки делимости чисел на 3 и на 5. Вот они:

Признак делимости на 3

Скажем, число 12384 точно поделится на 3, так как сумма его цифр 1+2+3+8+4 = 18 делится на 3. А вот 23576 даже и пытаться не стоит, так как его сумма цифр 2+3+5+7+6 = 23 не делится на 3.

Признак делимости на 5

Например, на 5 делится число 12345, так как оно заканчивается на пятёрку. Или 1234567890, так как оно заканчивается нулём. Ну, в общем, вы поняли. Признак очень простой.

Значит, натуральное число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 3 (по сумме цифр) и на 5 (по последней цифре). Что ж, теоретическая база подготовлена, пора приступать к разбору нашей задачи. Итак,

а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.

Прежде чем что-то решать, давайте посмотрим, как вообще устроены числа-палиндромы:

Здесь a, b, c и так далее — цифры натурального числа. В общем случае — различные. Черта сверху ставится для того, чтобы обозначить тот факт, что перед нами именно цифры, а не произведение типа a·b·c.

означает трёхзначное натуральное число, которое в десятичной форме запишется так:

Что ж, давайте теперь искать числа-палиндромы, делящиеся на 15. Для начала поищем их среди двузначных чисел. Это числа 11, 22, 33, 44 и так далее до 99. Можно заметить, что все они делятся на простое число 11:

Что ж, поехали шерстить трёхзначные числа. 🙂 Трёхзначное число-палиндром имеет вид

Раз оно делится на 15, то должно делиться как на 5 (по последней цифре), так и на 3 (по сумме цифр).

Значит, согласно признаку делимости на 5, последняя цифра (a) может быть только 0 или 5. Третьего не дано. 🙂

А теперь прикинем. Если a = 0, то наше число имеет вид

Поэтому трёхзначные числа-палиндромы, делящиеся на 5, имеют вид:

Что ж, кое-чего уже проясняется. 🙂

А теперь в игру дополнительно вступает признак делимости на 3. Составляем сумму цифр:

где b, будучи цифрой числа, принимает значения 0, 1, 2, 3, …, 9.

Теперь понятно, как расправиться с пунктом а). Подберём число b так, чтобы выражение для суммы цифр 10 + b делилось бы на 3. Например, при b = 2 получим:

10+b = 10+2 = 12 — делится на 3.

Всё, этого вполне достаточно для ответа на вопрос пункта а).

Ответ: Например, 525.

Переходим к пункту б).

б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?

Все пятизначные числа-палиндромы имеют вид:

Здесь снова рулят признаки делимости чисел на пятёрку и на тройку. Как и в предыдущем пункте, начнём с признака делимости на 5. Это означает, что последняя цифра в нашем числе (т.е. а) может быть равна либо нулю, либо пятёрке.

Нулём цифра а быть никак не может, поскольку в таком случае наше число примет вид

и попросту не будет пятизначным. Значит, а = 5 (и только 5).

Итак, наши пятизначные кандидаты предварительно обретают вот такой вид:

Теперь снова подключаем признак делимости чисел на 3 по сумме цифр. В нашем случае:

5 + b + c + b + 5 = 10 + 2b + c — должно делиться на 3.

В предыдущем пункте мы варьировали только одну единственную цифру b, добиваясь делимости на 3 суммы цифр (напомню, это было выражение 10+b). Здесь же нам надо варьировать уже две цифры — b и c. И как нам теперь быть? Ведь число всевозможных вариантов стало гораздо больше! Да, не спорю, больше. На первый взгляд может показаться, что вариантов и вправду довольно много и перебирать их все очень долго и муторно. Но давайте подумаем: ведь b и с — не просто числа, а цифры натурального числа. Которые могут принимать очень ограниченные значения — 0, 1, 2, 3, …, 9. Поэтому, если мы как-то зафиксируем b, последовательно придавая ему значения от 0 до 9, то в каждом из случаев варьировать уже придётся только одну цифру c. Давайте посмотрим, как это делается. Первый случай я разберу подробно, а остальные — кратко.

Итак, первый вариант b = 0. Тогда сумма цифр 10 + 2b + c нашего числа будет равна:

Когда выражение 10+c делится на 3? Очевидно, в трёх ситуациях:

10+c = 12 (тогда c = 2),

10+c = 15 (тогда c = 5),

10+c = 18 (тогда c = 2).

Всё. Больше, чем 8 (например, 11) число с быть уже никак не может. Ещё раз напоминаю, что наши буковки — это на самом деле циферки. 🙂 То есть, 0, 1, 2, …, 9. Этот случай дал нам три пятизначных числа-палиндрома делящихся на 15. Какие же это числа? Пожалуйста, вот они:

50205, 50505 и 50805 (3 числа).

Пусть теперь b = 1. В этом случае сумма цифр нашего числа будет такая:

Уловили закономерность? 🙂 Да! Надо разобрать оставшиеся 8 случаев. Не так уж и много, по большому счёту. Добрый вечер! Буду краток. 🙂

Подобная процедура в целочисленных задачах называется перебор на ограниченном множестве. Суть метода заключается в том, что, если число всевозможных вариантов не очень большое (в нашем случае — всего 10), то мы просто перебираем все-все возможные случаи и отбираем всё то, что нас устраивает. 🙂

А теперь подсчитываем наших цыплят палиндромов:

3 + 4 + 3 + 3 + 4 + 3 + 3 + 4 + 3 + 3 = 33

Итого тридцать три коровы пятизначных числа-палиндрома, делящихся на 15! 🙂

Теперь, когда проведено столь масштабное исследование, самый сложный пункт в) многим ученикам может показаться совсем пустяковым. 🙂 Сейчас всё увидите!

в) Найдите 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15.

Для ответа на вопрос сначала подсчитаем все трёхзначные и четырёхзначные числа-палиндромы.

Одно из трёхзначных (самое первое вообще среди таких чисел) мы уже нашли — это 525. Давайте найдём все остальные. Для этого снова обратимся к нашей сумме цифр (см. пункт а)):

10 + b – делится на 3.

Тогда b = — три трёхзначных числа-палиндрома (т.е. 525, 555 и 585).

Разбираемся теперь с четырёхзначными числами-палиндромами. Здесь всё аналогично. Они имеют вот такую запись:

По признаку делимости на 5, последняя (и первая) цифры могут быть равны 0 или 5. Сразу, по понятным причинам, отметаем ноль и получаем:

По признаку делимости на 3 составляем сумму цифр:

5 + b + b + 5 = 10 + 2b.

Чтобы эта штука делилась на 3, цифра b должна принимать лишь одно из трёх значений: b = <1; 4; 7>. Итого получаем три четырёхзначных числа-палиндрома (5115, 5445 и 5775).

Тогда получается, что всего трёх-, четырёх- и пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15, будет:

3 (трёхзначные)+3 (четырёхзначные)+33 (пятизначные) = 39 чисел.

Тогда очевидно, что искомое 37-е число-палиндром — пятизначное. Гуд.) Идём дальше.

А теперь смотрим на результаты нашего исследования пятизначных чисел в пункте б). Я не стал для каждого случая выписывать их все, но зато можно заметить, что при росте b все наши получаемые числа располагаются в порядке возрастания. Это значит, что самое последнее, 39-е число будет соответствовать случаю b=9, c=8. Тогда искомое 37-е по величине число-палиндром, делящееся на 15, будет соответствовать случаю b=9, c=2, т.е. 59295.

Как видите, ничего сложного. Если знать пару признаков делимости и понимать суть задания (что такое число-палиндром и немного что такое десятичная запись числа). Да, в пункте б) надо разбирать 10 случаев, но все они совсем простые и решаются фактически в уме. Главное — не бояться!

Источник