сколькими способами можно расставить на книжной полке пятитомник лермонтова
Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник А?
Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник А.
С. Пушкина, располагая их так, чтобы 1, 3 и 5 тома стояли рядом (в любом порядке)?
Первая полка : 1, 3, 5, 7, 9
вторая полка : 2, 4, 6, 8, 10.
Сколькими способами можно расставить на шахматной доске черного и белого королей так, чтобы они не были друг друга(не стояли на соседних клетках)?
Сколькими способами можно расставить на шахматной доске черного и белого королей так, чтобы они не были друг друга(не стояли на соседних клетках)?
Все в порядке стих расставить падежи?
Все в порядке стих расставить падежи.
ИМЕННО КОЛИЧЕСТВО СПОСОБОВ!
Почему пушкин любил осень?
Почему пушкин любил осень.
На книжной полке среди 35 стоят 7 учебников?
На книжной полке среди 35 стоят 7 учебников.
Артем берет наугад одну из книг.
Найдите вероятность того, что ему попадется учебник.
Презентация на тему моя книжная полка?
Презентация на тему моя книжная полка.
Расставь слова в правильном порядке?
Расставь слова в правильном порядке.
Сколько минут способами можно расставить томики стихов Пушкина (П), Лермонтова (Л), Некрасова (Н) и Тютчева, чтобы Пушкин стоял на первом месте, а Некрасов и Тютчева стояли рядом?
Сколько минут способами можно расставить томики стихов Пушкина (П), Лермонтова (Л), Некрасова (Н) и Тютчева, чтобы Пушкин стоял на первом месте, а Некрасов и Тютчева стояли рядом?
Покажи с помощью букв все варианты расстановки книг.
Алгебраические действия над событиями.
Суммой событий 
и 
называется событие 
, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий и (то есть или , или , или оба вместе, знак + читается или).
Из определения следует, что А + В = В + А.
Справедливо также и сочетательное свойство. Однако А+ А = А (но не 2А, как в алгебре).
Произведением событий и называется событие 
, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события и (знак умножения читается как союз и).
На рисунке 3 пересечение событий А и Bизображено в виде заштрихованной области. В условиях приведенного выше примера событие A•B заключается в том, что в мишень попали оба стрелка.
Из определения следует, что АВ = ВА. Справедливы также сочетательный и дистрибутивный законы. Однако
Элементы комбинаторики.
Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов.
Размещением из n элементов по k 
называется любое упорядоченное подмножество данного множества, содержащее k элементов.
Два размещения различны, если они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Число размещений из n элементов по k обозначают символом 
и вычисляют по формуле:
где 
причем 
Пример 1. Составить различные размещения по два элемента из элементов множества А= и подсчитать их число.
Решение. Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: 
. Таким образом, всего их шесть. Однако число размещений можно посчитать и по формуле (1.1):
.
Пример 2. Сколькими способами 3 награды (за 1-е, 2-е и 3-е места) могут быть распределены между 10 участниками соревнований?
Решение. Будем считать, что каждый участник соревнований может получить не более одной награды. Выбрать 3-х участников из 10 можно следующим образом 
, так как «призовые тройки» отличаются друг от друга либо составом участников, либо порядком их следования.
Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов. Число перестановок обозначается символом Pn и вычисляется по формуле: 
Таким образом, указать ту или иную перестановку из n элементов значит выбрать определенный порядок этих элементов. Поэтому любые две перестановки отличаются друг от друга только порядком следования элементов.
Пример 3. Сколькими способами можно расставить на книжной полке десятитомник Д. Лондона, располагая их: 1) в произвольном порядке; 2) так, чтобы 1, 5 и 9 тома стояли рядом.
Решение. 1) Число способов расстановки 10 книг равно числу перестановок из 10 элементов, то есть 
;
2) Мысленно связав 1, 5 и 9 тома в одну связку, получим 8 «книг», то есть 7 книг и одну связку книг. Их можно расставить на полке 
. Каждому из этих способов расстановки соответствуют 
способов расстановки книг, находящихся в связке. Таким образом, число возможных расстановок 10 книг, чтобы три определенные книги стояли рядом (1, 5 и 9) равно: 
.
Сочетанием из n элементов по k называется любое подмножество данного множества, содержащее k элементов.
Любые два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (то есть отличаются только составом элементов). Число сочетаний из n элементов по k обозначается символом 
и вычисляется по формуле: 
Для чисел справедливы следующие тождества:
Пример 4. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее: 1) 3 гвоздики; 2) 6 гвоздик одного цвета; 3) 4 красных и 3 розовых гвоздики.
Решение. 1) Так как порядок выбора цветов не имеет значения, то выбрать 3 гвоздики из вазы, в которой стоят 16 гвоздик, можно 
способами;
2) Выбрать 6 гвоздик красного цвета можно 
способами, а выбрать 6 гвоздик розового цвета можно 
способами. По правилу сложения выбрать 6 гвоздик одного цвета (красных или розовых) можно 
способом;
3) Выбрать 4 красных гвоздик из 9 имеющихся можно 
способами, а 3 розовых из имеющихся 7 можно 
способами. Поэтому букет из 4 красных и 3 розовых гвоздик можно составить по правилу умножения 
способами.
.4. Классическое и статистическое определение вероятности.
Пусть производится опыт с n равновозможными исходами, образующими полную группу несовместных событий. Такие исходы называются элементарными событиями. Случай, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным этому событию.
Вероятностью события А называется отношение числа mисходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу n исходов:
Из классического определения вероятности следуют следующие свойства:
1) вероятность достоверного события равна единице, то есть все исходы являются благоприятными (m = n): 
;
2) вероятность невозможного события равна нулю (m =0): 
;
3) вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: 
.
Статистическое определение вероятности связывает понятие вероятности с эмпирическим (опытным) понятием относительной частоты случайного события W ( A ), которая находится по результатам серии опытов.
Относительной частотой случайного события А называется отношение числа опытов, в которых появилось данное событие na, к общему числу фактически произведенных опытов n: 
.
Статистической вероятностью события А называется постоянное число, к которому приближаются значения частоты этого события по мере увеличения числа опытов: 
Пример 5.В городе имеется одиннадцать различных коммерческих банков. Господин «N» открыл по одному счету в пяти различных банках. Позднее четыре банка из одиннадцати изменили ставки процентов по вкладам. Найти вероятность того, что по двум вкладам господина ставки остались неизменными.
Решение. Господин выбирал банки случайным образом. Испытание – выбор пяти банков из имеющихся одиннадцати. A – событие, состоящее в том, что по двум вкладам господина, из имеющихся пяти, ставки остались неизменными, и, следовательно, по трем другим изменились.
, где 
— число всех исходов испытания (несовместимых, единственно возможных и равновозможных); 
— число исходов, связанных с наступлением события А ( 
— число вариантов выбора двух банков, из имеющихся семи, не изменивших ставки процентов, 
— число вариантов выбора трех банков, из имеющихся четырех, изменивших ставки процентов).
Таким образом, 
.
Элементы комбинаторики
Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р.
Занятие №1. Элементы комбинаторики
Практический материал.
1.(6.1.44. Л) Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0; 1; 2; 3; 4 если:
а) цифры не могут повторяться;
б) цифры могут повториться;
в) числа должны быть четными (цифры могут повторяться);
г) число должно делиться на 5 (цифры не могут повторяться)
(Ответ: а) 48; б) 100; в) 60; г) 12)
2. (6.1.2.) Сколько чисел, содержащих не менее трех различных цифр, можно составить из цифр 3; 4; 5; 6; 7? (Ответ: 300.)
3. (6.1.39) Сколько можно составить четырехзначных чисел так, чтобы любые две соседние цифры были различными? (Ответ: 6561)
px;»> 
» width=»115
» alt=»\[A_n^k=\frac
Практический материал.
4. (6.1.9 Л.) Составить различные размещения по два элемента из элементов множества A= <3,4,5>и подсчитать их число. (Ответ: 6)
5. (6.1.3 Л) Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся? (Ответ: 3360)
6. (6.1.11. Л) Сколько имеется пятизначных чисел, все цифры у которых различны? Указание: учесть тот факт, что цифры вида 02345, 09782 и т.д. не считаем пятизначными. (Ответ: 27 216)
7. (6.1.12.Л.) Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три горизонтальных полосы), если имеется материя 5 различных цветов? (Ответ: 60.)
px;»> 
» width=»129
» alt=»\[C_n^k=\frac
Практический материал.
8.(6.1.20.) Составить различные сочетания по два элемента из элементов множества A= <3,4,5>и подсчитать их число. (Ответ: 3.)
9. (6.1.25.) Группа туристов из 12 юношей и 7 девушек выбирает по жребию 5 человек для приготовления ужина. Сколько существует способов при которых в эту «пятерку» попадут:
а) одни девушки; б) 3 юноши и 2 девушки;
в) 1 юноша и 4 девушки; г) 5 юношей; д) туристы одного пола.
(Ответ: а) 21; б) 4620; в) 420; г) 792; д) 813.)
px;»> 
» width=»105
» alt=»\[P_n=A_n^n=n!\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
10.(6.1.14.Л) Составить различные перестановки из элементов множества A=<5;8;9>. (Ответ: 6)
12. (1.6.16.Л.) В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей? 3 гостя? (Ответ: 5040; 210)
Схема выбора с возвращением.
px;»> 
» width=»69
» alt=»\[\bar A_n^k=n^k.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
px;»> 
» width=»102
» alt=»\[\bar C_n^k=C^k_
13.(6.1.29.) Из элементов (цифр) 2, 4, 5 составить все размещения и сочетания с повторениями по два элемента. (Ответ: 9; 6)
15. (6.1.59.Л.) В кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколькими способами можно приобрести в ней: а) 3 пирожных одного вида; б) 5 пирожных? (Ответ: а) 7; б) 462)
px;»> 
» width=»143
» alt=»\[P_3/P_2 =3!/2!=3.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
px;»> 
» width=»438
» alt=»\[P_ <11>(1,4,4,2)=\frac<11!><1!4!4!2!>=\frac<5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11><1\cdot 24\cdot 2>=34 650.\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>
17.(6.1.38.Л.) Сколько существует различных перестановок букв в слове ТРАКТАТ? А в «слове» АААУУАУУУУ? (Ответ: 420; 210)
Презентация к уроку «Элементы комбинаторики в задачах по теории вероятности»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Элементы комбинаторики в задачах по теории вероятности Выполнила учитель математики МБОУ Большемурашкинская СШ Козлова Е.Е.
Задача 3. Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии 30-ти книг? Задача 4. Сколькими способами можно расставить 30 книг на двух полках, если на каждой из них помещается только по 15 томов? Применение размещений
Задача 5. На книжной полке находится собрание сочинений одного автора в 6 томах. Книги одинакового формата расположены в произвольном порядке. Читатель, не глядя, берет 3 книги. Какова вероятность того, что он взял первые три тома? Применение размещений
Задача 6. Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 30-ти книг? Задача 7. Сколькими способами можно расставить 30 внешне неразличимых книг на двух полках, если на каждой из них помещается только по 15 томов? Применение сочетаний
Задача 8. На книжной полке находится собрание сочинений одного автора в 6 томах. Книги одинаково оформлены и расположены в произвольном порядке. Читатель берет наугад 3 книги. Какова вероятность того, что он взял первые три тома? Применение сочетаний
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Номер материала: ДБ-1053406
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов
Время чтения: 2 минуты
Шойгу предложил включить географию в число вступительных экзаменов в вузы
Время чтения: 1 минута
В России выбрали топ-10 вузов по работе со СМИ и контентом
Время чтения: 3 минуты
Попова предложила изменить школьную программу по биологии
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.