сколькими способами можно рассадить 2 х человек на 8 стульев
Сколькими способами можно разместить 8 человек за столом, у которого стоит 8 стульев?
Сколькими способами можно рассадить 6 человек за столом по кругу
Добрый день. Есть задача: Сколькими способами можно рассадить 6 человек за столом: а) в ряд; б) по.
В ряду зрительного зала 15 кресел. Сколькими способами можно разместить на них 15 человек?
В ряду зрительного зала 15 кресел. Сколькими способами можно разместить на них 15 человек?
Сколькими способами можно осуществить обивку стульев?
Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами.
Сколькими способами 6 человек разместиться за столом, если имеет значение, на каком месте сидеть?
3. Решить задачу, используя а) правило произведения: б) формулы комбинаторики: Сколькими способами.
Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 5 мужчин и 5 женщин?
Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 5 мужчин и 5 женщин: 1) чтобы никакие два.
Сколькими способами можно разместить
Сколькими способами можно разместить
Сколькими способами можно разместить N шаров по N ящикам
Сколькими способами можно разместить N шаров по N ящикам, включая те случаи когда несколько ящиков.
Волжский класс
Боковая колонка
Рубрики
Видео
Книжная полка
Малина для Админа
Боковая колонка
Опросы
Календарь
| Пн | Вт | Ср | Чт | Пт | Сб | Вс |
|---|---|---|---|---|---|---|
| « Окт | ||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
| 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
| 29 | 30 | |||||
6 класс. Математика. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 35
Отношения, пропорции, проценты
Задачи на перебор всех возможных вариантов
Ответы к стр. 35
152. У круглого стола поставили четыре стула. Сколькими способами можно рассадить на эти стулья:
а) четырёх детей; б) трёх детей; в) двух детей?
б) Первый ребёнок может сесть на любой из четырёх стульев, второй ребёнок может сесть на любой из трёх оставшихся стульев, третий ребёнок может сесть на любой из двух оставшихся стульев, один стул остаётся свободным, то есть имеется 4 • 3 • 2 = 24 возможных способа рассадить трёх детей на стулья.
в) Первый ребёнок может сесть на любой из четырёх стульев, второй ребёнок может сесть на любой из трёх оставшихся стульев, два стула остаются свободными, то есть имеется 4 • 3 = 12 возможных способа рассадить двух детей на стулья.
153. Мальчика и двух девочек надо рассадить за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не оказались рядом. Сколькими способами это можно сделать?
Чтобы девочки не оказались рядом, между ними, с одной стороны должен сидеть мальчик, а с другой стороны — находиться пустой стул.
Мальчик может сесть на любой из четырёх стульев, первая девочка может сесть на любой из двух оставшихся стульев рядом с мальчиком (но только не напротив него), вторая девочка может сесть на оставшийся стул рядом с мальчиком (но только не напротив него), то есть имеется 4 • 2 • 1 = 8 возможных способов рассадить детей.
154. Двух мальчиков и двух девочек надо рассадить за круглым столом с четырьмя стульями так, чтобы девочки не оказались рядом. Сколькими способами это можно сделать?
Чтобы девочки не оказались рядом, между ними, с одной стороны должен сидеть мальчик, и с другой стороны тоже сидеть мальчик.
Первая девочка может сесть на любой из четырёх стульев, первый мальчик может сесть на любой из двух оставшихся стульев рядом с девочкой (но только не напротив неё), вторая девочка может сесть на стул рядом с мальчиком и напротив первой девочки, второй мальчик может сесть на оставшийся стул, то есть имеется 4 • 2 • 1 • 1 = 8 возможных способов рассадить детей.
155. Бросили два игральных кубика. На первом выпало 3 очка, на втором — 6 очков. (рис. 14). Сколькими разными способами может выпасть сумма в 9 очков? Сколькими различными способами могут выпасть очки на этих кубиках?
Сумму 9 можно получить: 3 + 6 и 4 + 5. На первом кубике может выпасть любое из четырёх чисел (3, 4, 5 или 6), на втором кубике может выпасть только одно число, дополняющее число, выпавшее на первом кубике до суммы, равной 9 (3 + 6, 6 + 3, 4 + 5, 5 + 4), то есть имеется 4 • 1 = 4 возможных способа получить сумму в 9 очков.
На первом кубике может выпасть любое из шести чисел, на втором кубике может также выпасть любое из шести чисел, то есть имеется 6 • 6 = 36 возможных способов.
156. а) На окружности отметили 6 точек (рис. 15). Сколько получится отрезков, если соединить каждую точку с каждой?
б) Встретились шесть друзей (рис. 16), каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?
а) Из точки А выходит 5 отрезков. Из точки В выходит тоже 5 отрезков, но отрезок ВА — это тот же отрезок АВ. Если продолжить построение отрезков, то можно убедиться, что половина из них будет повторяться, следовательно, всего получится (6 • 5) : 2 = 15 отрезков.
157. Восемь друзей решили провести турнир по шашкам так, чтобы каждый сыграл с каждым одну партию. Сколько партий будет сыграно?
Всего 8 друзей, значит, каждый сыграет одну партию с каждым из семи оставшихся друзей. Но, например, если Витя сыграет с Лёшей и Лёша сыграет с Витей — это одна и та же партия. Если продолжить рассматривать количество сыгранных партий, то можно убедиться, что половина из них будет повторяться, следовательно, всего получится (8 • 7) : 2 = 28 партий.
Методическая разработка «УЧИМСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ»
УЧИМСЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же 
различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой 
Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все объектов.
Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?
Решение : используем формулу количества перестановок:
Ответ : 120 способами
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?
В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому, в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:
Сочетаниями называют различные комбинации из 
объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле 
.
В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?
В задаче речь идёт о выборке из 4-х деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:
способами можно взять 4 детали из ящика.
Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15-ти различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4-х деталей. То есть, каждая такая комбинация из 4-х деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.
Ответ : 1365 способами
Формуле необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: 
. Применительно к разобранной задаче:
– единственным способом можно взять ни одной детали;
способами можно взять 1 деталь (любую из 15-ти);
способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15-ти останется в ящике);
– единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.
Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)
Решение : здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:
способами можно раздать 3 карты игрокам.
Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:
способами можно извлечь 3 карты из колоды.
КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.
И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из 3-х карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали 
.
Найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:
способами можно сдать по одной карте 3-м игрокам.
В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?
Правило сложения и правило умножения комбинаций
Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?
Решение : в данном случае не годится подсчёт количества сочетаний 
, поскольку множество комбинаций из 2-х человек включает в себя и разнополые пары.
Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:
способами можно выбрать 2-х юношей;
способами можно выбрать 2-х девушек.
Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: 
способами.
Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?
Решение : для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***
Комбинации будем считать по разрядам – слева направо :
В разряд сотен можно записать любую из 
цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.
А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10-ти цифр: 
.
По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.
Итого, существует : 
трёхзначных чисел, которые делятся на 5.
При этом произведение 
расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в разряд единиц »
Или ещё проще: « каждая из 9-ти цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10-ти цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц ».
Методические указания для выполнения практической работы «Решение задач по комбинаторике».
Министерство образования и науки Самарской области
Государственное бюджетное образовательное
учреждение среднего профессионального образования
«Тольяттинский политехнический техникум»
Зам. директора по УР
__ _________ 20__ г.
для выполнения практической работы №1
«Решение задач по комбинаторике»
дисциплина Теория вероятностей и математическая статистика
специальностей: 09.02.06 Сетевое и системное администрирование
09.02.07 Информационные системы и программирование
от ___ _____20__ № ____
Руководитель УПО №2
________ Л.Г. Светличная
Методические указания разработаны Захаровой С.В. – преподавателем
математических дисциплин ГБПОУ СО «ТПК».
Методические указания предназначены для студентов второго курса дневного отделения специальностей 09.02.06 «Сетевое и системное администрирование», 09.02.07 «Информационные системы и программирование». Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой и могут быть использованы с целью формирования практических умений и навыков при изучении темы «Комбинаторика».
Практическая работа №1
Тема: «Решение задач по комбинаторике»
В результате выполнения практической работы студент должен:
Краткие теоретические сведения
1 а) Перестановки 
По определению, считают, что 0!=1,1!=1.
б) Перестановки с повторениями 
Пример 1. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове ГОРА?
1) Что делаем с буквами (меняем местами – значит перестановки)
2) Повторяются ли буквы (нет – значит перестановки без повторения)
Решение. 
Пример 2. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове ИНСТИТУТ?
1) Что делаем с буквами (меняем местами – значит перестановки)
2) Повторяются ли буквы (да – значит перестановки с повторениями)
2 а) Сочетания 
б) Сочетания с повторениями 
Пример 1. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
2) Порядок важен? (нет – значит сочетания)
3) Повторяться могу? (нет – значит сочетания без повторений)
Решение.
Пример 2. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и картошка. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
2) Порядок важен? (нет – значит сочетания)
3) Повторяться могу? (да – значит сочетания с повторениями)
3 а) Размещения 
б) Размещения с повторениями 
Пример 1. Сколько различных 3-х значных цифр можно составить из 2,4,6,8, если цифры не повторяются?
2) Порядок важен? (да – значит размещения)
3) Цифры повторяются (нет)
Решение. 
Пример 2. Сколько различных 3-х значных цифр можно составить из 2,4,6,8?
2) Порядок важен? (да – значит размещения)
3) Цифры повторяются (да – значит размещения с повторениями)
Решение. 
Образец решения задач
Перестановки, сочетания и размещения без повторения
1. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 1, 5, 7, 9? 
2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 1, 5, 7, 9, если цифры не повторяются?
3. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
4. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 1 даму и 2 туза?
5. Сколькими способами можно рассадить 6 человек за столом?
6. Сколькими способами можно рассадить 3 мальчика и 3 девочки за столом?
7. Сколькими способами можно рассадить в 2 ряда 3 мальчика и 3 девочки?
8. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?
9. У Васи дома живут 4 кота.
а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки 2-х котов (одного
на левую, другого – на правую)?
10. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую — 5 и в третью — 12. Сколькими способами это можно сделать.
11. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду? (2 мальчика точно входят, т.е. осталось выбрать 3 из 8)
12. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
13. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа?
14. Имеется 3 фрукта. Сколькими способами можно взять хотя бы один фрукт?
Перестановки, сочетания и размещения с повторениями
15. Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю – лёгкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?
16. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?
17. В кошельке находится достаточно большое количество рублей, 2-х, 5-ти и десятирублёвых монет. Сколькими способами можно извлечь три монеты из кошелька?
18. В коробке лежат шары трех цветов—красного, синего и зеленого. Шары одного цвета считаются одинаковыми. Вопрос: сколькими способами можно составить набор из двух шаров?
19. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?
1) 
2) 
20. Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?
Задания для самостоятельного решения
Практическая работа №1
Тема: «Решение задач по комбинаторике»
3. Сколькими способами можно разместить восемь пассажиров в три вагона?
4. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?
5. Сколько различных двузначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).
6. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 3, 7?
7. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?
8. Секретный замок состоит из 3 барабанов, на каждом из которых можно выбрать цифры от 0 до 9. Сколько различных вариантов выбора шифра существует?
10. В начале игры каждому игроку раздается 6 карт из колоды, в которой 36 различных карт. Сколько существует различных комбинаций карт, которые игрок может получить в начале игры?
11. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?
12. На прививку в медпункт отправились 7 друзей. Сколькими разными способами они могут встать в очередь у медицинского кабинета?
14. В лифт 12-этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со 2-го) этаже. Сколькими способами люди могут выйти на разных этажах?
15. Сколько нечетных трёхзначных чисел можно составить из цифр 3, 4, 8, 6? (Цифры в записи числа не могут повторяться).
1 Формулы комбинаторики: перестановки, размещения и сочетания с повторениями и без.