сколькими способами можно расположить четыре шайбы разных цветов если размещать их в стопку

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Источник

22. Варианты самостоятельных работ

1. Решить уравнение

2. Найти шестой член разложения .

Ответ: .

3. Сколькими способами можно составить колонну из десяти автобусов и трех легковых автомобилей, считая, что все автобусы и все автомобили одинаковых марок?

Ответ: .

4. В шахматном турнире участвуют шесть студентов и три школьника. Сколькими способами могут распределиться места, занятые в турнире школьники, если никакие два участника не набрали одинаковое число очков?

Ответ: .

5. Сколько делителей у числа 105?

Ответ: Разложим число 105 на простые множители . Тогда , или по формуле (7.3) получаем .

6. На вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары на танец?

Ответ: .

7. Сколько ожерелий можно составить из 7 бусинок различных размеров (надо использовать все бусинки)?

Ответ: Т. к. ожерелье остается неизменным при циклических перестановках бусинок и при переворачивании, то можно получить 7!/14=360 видов ожерелий.

8. В первой урне находятся 4 белых и 3 черных шара, во второй – 3 белых и 5 черных шаров. Из каждой урны случайным образом вынули по одному шару. Найти вероятность того, что все шары будут белые.

Ответ: .

9. 10 вариантов контрольной работы распределены среди 6 студентов. Найти вероятность того, что варианты с номерами 1 и 2 не будут использованы.

Ответ: .

10. Семь различных книг случайных образом расставляют на полке. Найти вероятность того, что книги трехтомника окажутся рядом в возрастающем порядке.

Ответ: .

11. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочнике соответственно равны 0,6, 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что формула содержится только в двух справочниках.

1. Решить уравнение .

2. В разложении вычислить член, не содержащий x.

Ответ: .

3. На плоскости проведены n прямых линий, из которых никакие две не являются параллельными и никакие три не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения имеют эти прямые?

Ответ: .

4. Сколькими способами можно разложить 12 различных марок между тремя мальчиками, если один берёт 6 марок, а остальные – по 3 марки?

Ответ: .

5. Сколько делителей у числа 360?

Ответ: Поскольку , то в соответствие с формулой (7.3) получаем (3+1)(2+1)(1+1)=24 делителей.

6. В избушке на курьих ножках собрались Баба-Яга, Кощей и Леший. У Бабы-Яги есть 4 чашечки, 5 блюдец и 6 чайных ложечки (все чашки, блюдца и ложечки отличаются друг от друга). Сколькими способами она может накрыть стол для чаепития (каждый получает одну чашку, одно блюдце и одну ложечку)?

Ответ: .

7. Шесть девушек водят хоровод. Сколькими способами они могут организовать хоровод?

Ответ: Т. к. хоровод остается неизменным при циклических перестановках девушек, то можно получить 6!/6=120 способов.

8. В урне находятся 5 белых и 3 черных шаров, из которой случайно по порядку с возвращением вынимаются 4 шара. Какова вероятность того, что первые два шара будут белые, а последние два черные.

Ответ: .

9. Студент пришел на экзамен, зная лишь 24 вопроса из 32 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент ответ на все вопросы?

Ответ: .

10. Случайным образом выписаны 3 цифры. Найти вероятность того, все цифры различные.

Ответ: .

11. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что для запуска двигателя потребуется включить зажигание не более двух раз.

1. Решить уравнение .

2. Раскрыть скобки в выражении .

Ответ: .

3. Сколькими способами можно составить шестизначное число, в запись которого входят четыре двойки и две пятёрки?

Ответ: .

4. На пять сотрудников университета выделены три путёвки на один курорт. Сколькими способами их можно распределить, если: а) все путёвки в различные санатории; б) все путёвки в один санаторий.

Ответ: а) , б) .

5. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды карт, содержащей 52 карты, по одной карте каждой масти? А ели среди вынутых карт нет ни одной пары одинаковых, т. е. двух королей, двух десяток и т. д.?

Ответ: Получаем размещения с повторениями из 13 карт по 4. Всего . Если среди карт не должно быть пар, то имеем размещения без повторений; их число .

6. Сколькими способами можно сделать трёхцветный флаг (с тремя горизонтальными полосами), если имеется материя пяти различных цветов, если цвета могут повторяться, но не рядом (полосы должны быть различными)?

Ответ: Осуществляя выбор сверху вниз, получаем способов.

7. Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду в составе 5 человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в неё вошло не более 3 юношей?

Ответ: .

8. Автобус должен сделать 8 остановок, в котором едут 5 пассажиров. Какова вероятность, что на каждой остановке выйдет не более одного пассажира, если предположить, что каждый пассажир имеет одинаковую вероятность выйти на любой остановке?

Ответ: .

9. На каждой из шести одинаковых карточках напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках, можно будет прочесть слово «трос».

Ответ: .

10. Собрание, на котором присутствуют 20 человек, в том числе 8 женщин, выбирают делегацию из 5 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут 3 женщины, считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой вероятностью.

Ответ: .

11. Вероятность для данного спортсмена улучшить свой предыдущий результат с одной попытки равна 0,6. Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки.

1. Решить уравнение .

Ответ: .

3. Пассажирский поезд состоит из трех багажных вагонов и восьми купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале?

Ответ: .

4. Из семи гвоздик и пяти тюльпанов надо составить букет, состоящий из трёх гвоздик и двух тюльпанов. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: .

5. На призывном пункте находится 15 призывников. Сколькими способами можно поставить в колонну по три человека?

Ответ: .

6. Сколькими способами можно выбрать 12 человек из 17, если определенные два человека из этих 17 не могут быть выбраны вместе?

Ответ: .

7. В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?

Ответ: .

8. 8 вариантов контрольной работы случайным образом распределены среди 6 студентов. Найти вероятность того, что варианты с номерами 7 и 8 не будут использованы?

Ответ: .

9. В первой урне находятся 5 оранжевых и 4 фиолетовых шара, во второй – 3 оранжевых и 7 фиолетовых шара. Из каждой урны случайным образом вынули по три шара. Найти вероятность того, что все шары будут одного цвета.

Ответ: .

10. В журнале из 20 страниц на каких-либо трех страницах помещают случайным образом одинаковую рекламу некоторой фирмы. Какова вероятность, что эта реклама будет размещена на страницах, идущих одна за другой?

Решение: В данной задаче порядок размещения рекламы неважен. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с сочетаниями. Общее число размещений рекламы в журнале . Если реклама будет размещена на страницах, идущих одна за другой, то эти страницы можно считать за одну. Тогда число страниц будет равно 18, следовательно, и число благоприятствующих исходов будет равно m=18. Таким образом, .

11. В ОТК поступают 4 детали. Вероятность того, что деталь бракованная равна 0,1. Проверка производится последовательно до обнаружения бракованной детали. Найти вероятность того, что будут проверены все 4 детали.

1. Уравнение .

Ответ: .

2. Найти показатель степени бинома , если его четвёртый член не зависит от a.

Ответ: .

3. На складе имеются 7 ящиков с различными фруктами и 5 ящика с различными овощами. Сколькими способами можно каждой из трёх овощных палаток выдать по одному ящику с фруктами и овощами?

Ответ: .

4. Сколькими способами 6 одинаковых монет могут распределить между собой Буратино, лиса Алиса и кот Базилио?

Ответ: .

5. В команду должны быть отобраны 4 спортсмена из имеющихся 10. Сколькими способами это можно сделать, если два определенных спортсмена должны войти в команду?

Ответ: .

6. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях будет ровно один туз?

Ответ: .

7. Пассажирский поезд состоит из четырех багажных вагонов и десяти купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале или конце?

Ответ:

8. Собрание, на котором присутствуют 12 человек, в том числе 7 женщин, выбирают председателя, его первого и второго заместителя. Найти вероятность того, что председатель и его заместители будут женщинами, считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой вероятностью.

Ответ: .

9. В урне находятся 5 зелёных и 3 жёлтых шара. Из урны случайным образом вынули три шара. Найти вероятность того, что все шары будут одного цвета.

Ответ: .

10. 10 вариантов контрольной работы распределяется среди случайным образом среди 10 студентов, сидящих в один ряд. Найти вероятность того, что варианты с номерами 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам.

Ответ: .

11. Два охотника одновременно и независимо друг от друга стреляют по зайцу. Найти вероятность того, что попадёт только один из охотников, если вероятность попадания для первого охотника равна 0,8, а для второго – 0,7.

Ответ: .

1. Уравнение .

Ответ: .

2. Найти средний член разложения .

Ответ: .

3. В пространстве даны 7 точек, причем никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти 7 точек?

Ответ: .

4. Эллочка Людоедка решила расставить семь различных книг на полке. Сколькими способами она может это сделать, если две наиболее красивые книги (по её мнению) в красном переплёте должны стоять по краям?

Ответ: .

5. В первенстве края по футболу участвуют 12 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 3 определенные команды?

Ответ: .

6. Сколькими способами декан может раздать 7 поручений 4 студентам?

Ответ: .

7. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белое и черное поля, не лежащее на одной вертикали или горизонтали?

Ответ: .

8. Для проведения тестирования группу студентов, состоящую из 18 человек, случайным образом разбивают на две подгруппы из 12 и 6 человек. Какова вероятность, что две подружки, Оля и Тяня, окажутся в одной подгруппе?

Решение: В данной задаче порядок неважен, т. е. не принимается во внимание порядок отбора студентов в группу. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с сочетаниями. Для того чтобы разбить 18 студентов на две подгруппы достаточно выбрать, например, 12 студентов в одну подгруппу, тогда остальные образуют другую подгруппу. Таким образом, общее число разбиений студентов на две подгруппы будет равно . Для того, чтобы разбить команды на две подгруппы с указанными условиями, можно к Оле и Тане добавить либо 10 студентов из оставшихся 16 (это можно сделать способами ), либо добавить 4 студентов из 16 ( способов). Оставшиеся студенты будут образовывать другую подгруппу. Таким образом, число благоприятствующих исходов будет равно . В результате, получаем .

9. В газете из 16 страниц на каких-либо трех страницах помещают случайным образом разные объявления. Какова вероятность, что эти объявления будут размещены на страницах, идущих одна за другой?

Ответ: .

10. В одной урне 3 зелёных и 4 жёлтых шаров, в другой – 6 зелёных и 2 жёлтых шара. Из каждой урны взяли по два шара. Какова вероятность того, что все шары будут одного цвета?

Ответ: .

11. Студент знает 5 вопросов из 12. Какова вероятность того, что он получит зачет, если нужно ответить на все три задаваемых вопроса?

Ответ: .

1. Решить уравнение .

2. Найти член разложения , содержащий x–1.

Ответ: .

3. Сколько диагоналей можно провести в выпуклом восьмиугольнике?

Ответ: .

4. Сколько различных «слов» можно составить, переставляя буквы слова «парабола»?

Ответ: .

5. Труппа состоит из 10 человек. Сколькими способами можно выбирать из неё в течение двух вечеров по 6 человек для участия в спектаклях так, чтобы эти составы не совпадали друг с другом?

Ответ: .

6. Сколькими способами Буратино, лиса Алиса и кот Базилио могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет и 2 разных брильянтовых ожерелья?

Ответ: .

7. Сколькими способами можно разложить 9 книг по 3 бандеролям по 3 книги в каждой (порядок бандеролей не принимать во внимание)?

Ответ: .

8. Для проведения тестирования группу студентов, состоящую из 18 человек, случайным образом разбивают на две подгруппы из 12 и 6 человек. Какова вероятность, что две подружки, Оля и Таня, окажутся в разных подгруппах?

Ответ: Решается аналогично задаче 8 предыдущего варианта .

9. Три охотника стреляют по 7 уткам. Каждый из охотников выбирает себе цель наудачу независимо от остальных. Найти вероятность того, что все охотники выстрелят по разным уткам.

Ответ: .

10. На каждой из шести одинаковых карточках напечатана одна из следующих букв: м, м, а, а. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вытянутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках, можно будет прочесть слово «мама».

Ответ:

11. Вероятность боя стеклянной тары при погрузке на автомашины равна 0,03, а при транспортировке – 0,07. Какова вероятность боя стеклянной тары?

Ответ: .

Источник