сколькими разными вариантами можно разместить 3 одинаковых объекта на 5 местах программирование
Раздел 1_РЕД_2. I. основы теории множеств. Системы счисления комбинаторика
Пусть на n местах располагают n объектов, которые, в отличие от обычных перестановок, образуют s групп одинаковых объектов. В каждой группе i ( 1 £ i £ s) число объектов обозначим ki. При этом ki ³ 1, k1 + k2 + … + ks = n). С качественной точки зрения перемена местами одинаковых объектов не изменяет набор объектов.
Формула для подсчета общего количества N(C( А )) вариантов всех различных получаемых комбинаторных множеств C( А ) может быть получена следующим образом. Вначале предполагаем, что все объекты для размещения различны. При этом получаем: . Затем применяем s раз правило учета сходства и различия к группам одинаковых объектов. После деления N(C( А )) на факториалы чисел k1, k2, …, ks, получим итоговую расчетную формулу:
Пример 1. В финал соревнований вышли 6 участников. Определить число всех различных возможных вариантов победителей олимпиады, если организаторы планируют присудить 1 первое, 2 вторых и 3 третьих места. Порядок участников, занявших одинаковое место, не важен.
Решение. Задача сводится к определению количеств перестановок, в которых есть группы одинаковых объектов – участники, занявшие одинаковое (с точки зрения награды) место. Ее параметры:
s = 3 (по результатам финала будут выделены 3 различных группы участников): k1 = 1 (первое место), k2 = 2 (второе место), k3 = 3 (третье место),
По общей формуле число возможных вариантов победителей и призеров:
Пример 2. Определить число всех различных возможных сообщений длиной в 8 букв, в которых содержатся 3 буквы «a», 2 буквы «б», 2 буквы «и», 1 буква «р».
Если число размещаемых объектов k меньше числа мест n (k 8 пронумерованных лунках размещают 2 одинаковых белых и 3 одинаковых черных шара. Найти общее число вариантов размещения.
Сочетаниями из n по k называют расположения k одинаковых объектов на n различных местах, когда на одно место можно поместить только один объект. Общее количество N(C( А )) всех таких возможных попарно различных сочетаний обозначают как C(n, k) либо .
Расчетная формула для сочетаний из n по k выводится из формулы для размещений без повторения с использованием правила учета сходства–различия. Используя в качестве промежуточной формулу
для размещений без повторений и обратную схему (рис. 5.6) для правила учета сходства-различия, получим схему на рис. 5.9:
Рис. 5.9. Расчетная схема для расчета числа сочетаний из n по k
Замечание. Все формулы для подсчета чисел основных случаев расположения k объектов в п. 5.3–5.6 выведены при условии, что все n мест, отведенных для размещения объектов, различны. Однако если это условие не выполняется и все n мест одинаковы, то для фиксированного набора объектов при k n число мест не имеет значения и вариант размещения данного набора только один.
Например, необходимо подсчитать яблоки. Для этого их в произвольном порядке высыпают на стол. С точки зрения решаемой задачи не важно, в какое место стола, какое яблоко попадает, важны лишь свойства размещаемого набора – в данном случае количественные. Для задачи подсчета яблок вариант их расположения на столе один.
Пример 1. Найти, сколькими вариантами можно разместить 4 одинаковых шара на 7 местах в случаях, когда: 1) все места различны; 2) все места неразличимы между собой.
Решение. В случае 1) получаем подсчета общего числа сочетаний для 4 одинаковых шаров на 7 различных местах:
5.7. Понятие вероятности
Для полного набора вероятностей <p1, p2,…, pn> справедливо условие нормирования:
Если все значения величины a имеют одинаковые объемы в общей выборке (k1 = k2 = … = kn), а соответственно и одинаковые вероятности р 1 = р 2 = … = р n = 1 / n, то данные значения называют равновероятными.
Пример 1. Счетчик элементарных частиц регистрирует образование легких частиц в полтора раза чаще тяжелых. Определить вероятности появления легких частиц и тяжелых частиц.
Вопросы для проверки знаний.
1. Какую математическую дисциплину называют комбинаторикой?
2. В чем заключается основная задача комбинаторики?
3. Укажите основные характеристики комбинаторных задач, существенные для подсчета числа вариантов всех комбинаторных объектов, что называют в комбинаторике объемом выборки?
4. Что понимают под сходством-различием размещаемых объектов и выделенных для них мест?
5. Поясните правило сложения.
6. Поясните правило умножения.
7. Поясните правило учета сходства и различия объектов и мест для их расположения при подсчете элементов в комбинаторных множествах.
9. Какой способ порождения комбинаторных множеств называют размещением, по какой формуле производится расчет общего числа различных вариантов размещений из n по m?
10. Какой способ порождения комбинаторных множеств называют перестановкой длины n?
11. Какой способ порождения комбинаторных множеств называют размещением без повторений из n по k?
12. В чем заключается отличие размещений от перестановок и размещений без повторений?
13. По каким формулам производится расчет общего числа различных вариантов перестановок и размещений без повторений?
14. Каким образом может быть применена формула для расчета общего количества размещения без повторения в случае, когда объектов больше, чем мест?
15. Какие способы порождения комбинаторных множеств называют перестановками и размещениями без повторений групп одинаковых объектов?
16. Каким образом могут быть получены расчетные формулы для общего числа комбинаторных объектов в случае перестановок без повторений групп одинаковых объектов?
17. Каким образом могут быть получены расчетные формулы для общего числа комбинаторных объектов в случае размещений без повторений групп одинаковых объектов?
18. Какой способ порождения комбинаторных множеств называют сочетанием, по какой формуле производится расчет общего числа различных вариантов сочетаний, и каким образом она может быть выведена?
19. Какая задача рассматривается при определении вероятности, и каким образом она вводится?
21. Какие значения случайной величины называют равновероятными?
1. Автомат случайно с одинаковыми вероятностями генерирует трехзначные десятичные числа, у которых первая цифра выбирается из набора <7 , 8 , 9 >, вторая независимо – из набора <4 , 5 , 6 >, третья независимо – из набора <0 , 1 , 2 , 3 , 7 , 8 , 9 >. Найти вероятности появления каждого из таких чисел.
2. На цветовом табло 3 различных позиции. В каждой из них можно использовать один из цветов: красный, синий, зеленый или желтый. Сколько существует различных вариантов заполнения табло при условиях:
б) цвета в различных позициях должны обязательно различаться.
3. Сколько существует всего трехзначных целых чисел в системе счисления с основанием 7, у которых в записях присутствуют только нечетные цифры?
5. Сколькими способами можно разместить 5 шаров в 8 различных лунках при условии, что 1) все шары одинаковы; 2) все шары различны?
6. На 8 различных местах располагают 3 одинаковых кубика и 5 одинаковых шариков. Сколько существует различных вариантов их расположения?
7. Целочисленная величина принимает четные значения в 3 раза чаще, чем нечетные. Определить вероятность выпадения четных величин и вероятность выпадения нечетных величин.
8. Найти максимальное число мест n, при котором общее число вариантов расположения на них 4 одинаковых объектов не превышает 1000.
9. Найти максимальное число мест n, при котором число вариантов расположения на них (n – 2) различных одинаковых объектов менее 600.
10. Рассчитать максимальное число попарно различных объектов, размещаемых на 4 различных местах не более чем 1300 различными способами.
11. В 2n пронумерованных проточках кольцевой детали устанавливают поочередно детали типов А и В. Число деталей А равно n, деталей B – также n. Найти общее число вариантов их размещения, если детали А попарно различны, а детали типа В одинаковы.
12. Решить задачу 11 в предположении, что все детали В также попарно различны.
13. Сколько различных слов (в том числе – не имеющих смысла) можно получить путем всех возможных перестановок букв в слове «комбинаторика»?
14. Алгоритм обрабатывает пары множеств (порядок в паре не имеет значения) из набора, содержащего 3 одинаковых и 5 попарно различных множеств. Найти общее количество различных способов выбора пар множеств.
15. Множество содержит 4 одинаковых объекта и 4 различных. Сколько существует всех возможных вариантов выборок из данного множества по 6 объектов? Порядок вхождения объектов в выборку не имеет значения.
16. В цехе необходимо расставить 7 новых станков, их которых
3 одинаковы, остальные – различны. Найти общее количество различных вариантов их расстановки на выделенных для этого 8 различных местах.
17. В спортивном состязании присуждается одно первое место, одно второе и два третьих (порядок третьих призеров не имеет различия). Найти общее число вариантов ранжирования призеров при 10 участниках.
18. Сколько существует различных шестизначных чисел в десятичной системе счисления, у которых в записи:
а) ровно две одинаковых цифры,
б) ровно три одинаковых цифры,
в) не менее четырех одинаковых цифр,
г) не более трех одинаковых цифр?
Ответы дать в виде формул.
а) средневероятный вес вектора инверсий перестановок
и (d) равен n(n-1)/4;
г) вероятность того, что максимальная компонента вектора инверсий перестановки равна k, выражается числом
а) число всевозможных частичных перестановок длины k, имеющих ровно один нуль в векторе инверсий, равно
;
б) число всевозможных частичных перестановок длины k, имеющих ровно k – 1 нулей в векторе инверсий, равно
в) общее число нулей в векторах инверсий всех частичных перестановок длины k < k n> равно
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ
Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения.
Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения.
Определение: Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов .
Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д.
Комбинаторные задачи делятся на: задачи на перестановки , задачи на размещение, задачи на сочетание
Определение: Факториал – это произведение всех натуральных чисел от 1 до n.
Пример: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
Задачи на перестановки
Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?
Это задача на перестановки.
Решение: Выбираем одну из 3-х книг и ставим на первое место. Это можно сделать 3-мя способами.
Вторую книгу мы можем выбрать из 2-х оставшихся двумя способами, получаем 3·2 способов.
Третью книгу мы можем выбрать 1 способом.
Получится 3·2·1=6 способов.
Определение: Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов.
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно переставить n объектов?»
Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на восьми беговых дорожках?
Решение: P 8 = 8!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 = 40320.
Пример 2. Сколькими способами можно составить расписание на один день, если в этот день предусмотрено 6 уроков по 6 разным предметам?
Решение: P 6 = 6!=1 ∙2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720.
Пример 3. Сколькими различными способами можно разместить на скамейке 10 человек?
Решение: P 8 = 8!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 = 3628800.
Пример 4. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора?
Решение: P 4 = 4!=1 ∙2 ∙ 3 ∙ 4 = 24.
Пример 5. Сколько различных шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что цифры в числе не повторяются?
Решение: Чтобы число было кратным 5, цифра 5 должна стоять на последнем месте. Остальные цифры могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое количество шестизначных чисел, кратных 5, равно числу перестановок из 5 элементов, т.е.
P 5 = 5!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120.
Задачи на размещения
Имеется 5 книг и одна полка, такая что на ней вмещается лишь 3 книги.
Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?
Это задача на размещение.
Решение: Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это можно сделать 5-ю способами.
Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых.
Таких пар может быть 5·4.
Третью книгу мы можем выбрать 3-мя способами.
Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.
Определение: Размещением из n элементов по k ( k ≤ n ) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов и в каждой выборке переставить их местами?»
Пример 1. Учащиеся второго класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?
Пример 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 6, 7, 9?
Пример 3. В соревнованиях высшей лиги по футболу участвуют 18 команд. Борьба идет за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами могут быть распределены медали между командами?
Пример 4. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?
Пример 5. Боря, Дима и Володя сели играть в карты. Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)
– способами можно раздать 3 карты игрокам.
Пример 6. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
– способами можно рассадить в поезде 4 человека.
Задачи на сочетания
Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5 книг?
Это задача на сочетания.
Решение: Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.
123 124 125 134 135 145
Определение: Сочетанием из n элементов по k ( k n ) называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов (не имеет значения, в каком порядке указаны элементы).
Типичная смысловая нагрузка: «Сколькими способами можно выбрать k объектов из n ?»
Пример 1. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Пример 2. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может быть организовано тренером разных стартовых пятерок?
Пример 3. В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?
Пример 4. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
Пример 5. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?
Решение: Т.к. двое мальчиков войдут в команду, то остается отобрать 3 из 8. Для выборки важен только состав (по условию все члены команды не различаются по ролям).
Пример 6. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
Решение: В одной игре участвуют 2 человека, следовательно, нужно вычислить, сколькими способами можно отобрать 2-х человек из 15, причем порядок в таких парах не важен.
Пример 7. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?
Решение: Различных дробей из 6 чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17 можно составить
штук ( способами выбираем два числа из 6, и двумя способами составляем из них дробь, сначала одно число – числитель, другое – знаменатель и наоборот).
Из этих 30 дробей 15 будут правильные.
Пример 8. Боря, Дима и Володя сели играть в карты. Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)
Правило сложения комбинаций
Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ.
Задача. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?
Решение: Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек:
– способами можно выбрать 2-х юношей;
– способами можно выбрать 2-х девушек;
Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.
Пример 1. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
Решение: Не менее 2-х человек, т.е. 2+7 или 3+6 или 4+5 человек (5+4, 6+3, 7+2 – те же самые комбинации).
В каждой выборке важен только состав, т.е. члены подгруппы не различаются по ролям, т.е. выборки – сочетания из n различных элементов по m элементов.
Число выборов из 2-х человек:
Число выборов из 3-х человек:
Число выборов из 4-х человек:
Применяем правило сложения: способов.
Правило умножения комбинаций
Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.
Задача. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?
– способами можно выбрать 1 юношу;
– способами можно выбрать 1 девушку.
Таким образом, 1-го юношу и 1 девушку можно выбрать: способами.
Пример 1. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой – 6 мужчинам, по третьей – 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
Решение: Имеем 14 претендентов и 13 рабочих мест. Сначала выберем работников на первую специальность, то есть 4 женщин из 6:
Далее выберем мужчин на вторую специальность:
Осталось 2 женщины, 2 мужчин и 3 вакантных места, которые, по условию, могут занять любые из четырех оставшихся человек.
Это может быть сделано 2 вариантами:
1 женщина и 2 мужчин (выбираем женщину способами)
1 мужчина и 2 женщины (выбираем мужчину способами).
В итоге получаем 15 · 28 · (2+2)=1680.
Пример 2. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую – 5 и в третью – 12. Сколькими способами это можно сделать.
Решение: Создавая первую бригаду, отбирают 3 человека из 20, создавая вторую – 5 из оставшихся 17, создавая третью – 12 из оставшихся 12. Для выборок важен только состав (роли членов бригады не различаются).
Создавая сложную выборку (из 3-х бригад), воспользуемся правилом умножения:
Пример 3. Сколькими способами может быть сдана выигрышная комбинация из 2-х карт при игре в «очко»?
Для тех, кто не знает: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и будем считать выигрышной комбинацию из 2-х тузов.
способами может быть сдана десятка и туз («каждая десятка с каждым тузом»);
способами может быть сдана пара тузов.
Итого: выигрышные комбинации.
Пример 4. Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?
В разряде сотен можно записать любую из цифр.
В разряде десятков можно выбрать любую из 10 цифр:
По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.
Итого, существует: трёхзначных чисел, которые делятся на 5.
Перестановки с повторениями
У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
Решение:Имеем набор <я, я, г, г, г>. Всего перестановок пятиэлементного множества 5!, но мы не должны учитывать перестановки, в которых объекты одного типа меняются местами несколько раз, поэтому нужно поделить на возможное число таких перестановок: 2! · 3!.
Пример 1: Сколько различных буквосочетаний можно получить перестанов-кой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?
Решение: Всего: 11 карточек, среди которых буква:
К – повторяется 3 раза;
О – повторяется 3 раза;
Л – повторяется 2 раза;
Ь – повторяется 1 раз;
Ч – повторяется 1 раз;
И – повторяется 1 раз.
По формуле количества перестановок с повторениями:
Пример 2: Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Институт?
Решение: В слове «институт» 8 букв, из них две буквы «и», три буквы «т» и по одной букве «н», «с» и «у». Поэтому всего можно получить перестановками букв различных слов.
Пример 3: Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю – лёгкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?
Решение: По формуле количества перестановок с повторениями:
способами можно составить расписание занятий на неделю.
Пример 4: Сколько чисел, больших 3000000, можно составить из цифр 3, 2, 2, 1, 1, 1, 0.
Решение: На первом месте обязательно должна стоять тройка. Оставшиеся 6 цифр образуют перестановку с повторениями:.
Сочетания с повторениями
В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков?
Решение ( I способ.) :Обратите внимание на критерий сочетаний с повторениями – по условию на выбор предложено не множество объектов как таковое, а различные виды объектов; при этом предполагается, что в продаже есть не менее пяти хот-догов, 5 ватрушек и 5 пончиков.
Что может быть в выборке?
Варианты: 5 хот-догов, 5 ватрушек, 5 пончиков, 3 хот-дога + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 ватрушки + 2 пончика и т.д. Всего 21 способ.
Типичная смысловая нагрузка: «Для выбора предложено n множеств, каждое из которых состоит из одинаковых объектов. Сколькими способами можно выбрать m объектов?»
Используя формулу количества сочетаний с повторениями, получаем
способом можно приобрести 5 пирожков.
Пример 1: В кошельке находится достаточно большое количество рублей, 2-х, 5-ти и десятирублёвых монет. Сколькими способами можно извлечь три монеты из кошелька?
Решение: Используя формулу количества сочетаний с повторениями, получаем
способами можно выбрать 3 монеты из кошелька.
Пример 2: В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить 12 открыток для поздравлений?
Размещения с повторениями
Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?
Решение:Для решения задачи достаточно знаний правил комбинаторики:
способами можно выбрать первую цифру пин-кода и способами – вторую цифру пин кода и столькими же способами – третью и столькими же – четвёртую. Таким образом, по правилу умножения комбинаций, четырёхзначный пин-код можно составить: способами.
Типичная смысловая нагрузка: «Дано множество, состоящее из n объектов, при этом любой объект можно выбирать неоднократно. Сколькими способами можно выбрать m объектов, если важен порядок их расположения в выборке?
В частности, возможен случай, когда из n имеющихся объектов m раз будет выбран какой-то один объект».
Пример 1: Согласно государственному стандарту, автомобильный номерной знак состоит из 3 цифр и 3 букв. При этом недопустим номер с тремя нулями, а буквы выбираются из набора А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (используются только те буквы кириллицы, написание которых совпадает с латинскими буквами).
Сколько различных номерных знаков можно составить для региона?
– способами можно составить цифровую комбинацию автомобильного номера, при этом одну из них (000) следует исключить
– способами можно составить буквенную комбинацию автомобильного номера.
По правилу умножения комбинаций, всего можно составить
Пример 2: Человек, пришедший в гости, забыл код, открывающий дверь подъезда, но помнил, что он составлен из нулей и единиц и всего имеет четыре цифры. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придётся перебрать, чтобы открыть дверь?
Пример 3: Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?
Решение: Подсчитаем количество чисел от 1 до 999999 в записи которых нет единиц. Каждую цифру можно выбрать 9 способами (любая цифра кроме 1), поэтому все 6 цифр можно выбрать 9 6 способами. При этом один вариант (000000) нужно убрать, так как число 0 не рассматривается. Получаем всего 9 6 −1=531440 чисел. Так как всего чисел 1 000 000, то видно, что чисел без единицы среди чисел от 1 до 1 000 000 больше, чем тех, в записи которых единица есть.
Ответ: чисел без единицы больше.
(разработка + презентация) на тему «Комбинаторика для школьников любого возраста»