признак четырехугольника в который можно вписать окружность

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

откуда вытекает равенство:

(1)

Источник

Вписанный четырехугольник и его свойства (ЕГЭ 2022)

Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. Вот так:

Вопрос: а можно ли получить вписанный четырехугольник?

Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Сейчас мы это выясним!

Вписанный четырехугольник — коротко о главном

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

\( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Вписанный четырехугольник — определения и теоремы

Вот оказывается, что это неправда!

НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность.

Есть очень важное условие:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

На нашем рисунке: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \)

Посмотри, углы \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)? Они вроде бы тоже противоположные?

Можно ли вместо углов \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) взять углы \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)?

Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме \( \displaystyle 180<>^\circ \). Не веришь? Давай убедимся.

Пусть \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, \( \displaystyle 360<>^\circ \).

То есть \( \displaystyle \alpha +\beta +\varphi +\psi =360<>^\circ \) — всегда! \( \displaystyle 180<>^\circ \)

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна \( \displaystyle 180<>^\circ \), то такой четырехугольник вписанный.

Доказательство смотри чуть дальше.

А пока давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?

Вписанный параллелограмм

Попробуем сперва «методом научного тыка»:

Вот как-то не получается. Теперь применим знание:

Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм \( \displaystyle ABCD\) окружность. Тогда непременно должно быть: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \), то есть \( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть \( \displaystyle \angle B = \angle D\).

У нас получилось, что

\( \displaystyle \left\< \begin\angle B=\angle D\\\angle B+\angle D=180<>^\circ \end \right.\) → \( \displaystyle \left\< \begin\angle B=90<>^\circ \\\angle D=90<>^\circ \end \right.\)

А что же углы \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\)?

Ну, то же самое конечно.

\( \displaystyle ABCD\) – вписанный → \( \displaystyle \angle A+\angle C=180<>^\circ \) → \( \displaystyle \angle A=90<>^\circ \)

\( \displaystyle ABCD\) — параллелограмм→ \( \displaystyle \angle A=\angle C\) → \( \displaystyle \angle C=90<>^\circ \)

Источник

Можно ли вписать четырёхугольник в окружность? Когда можно вписать?

Содержание:

Почти в любой четырехугольник можно вписать окружность. Трапеция, прямоугольник и квадрат для этого подходят всегда, тогда как сложные геометрические фигуры с четырьмя углами вписываются в круг избирательно. Рассмотрим условия, при которых 4-угольник может касаться точек на окружности всеми вершинами.

Вписанный

Вписанной называется фигура, вершины которой располагаются на окружности. Все треугольники и правильные 4-угольники, вроде квадрата и прямоугольника, размещаются внутри круга, причём их вершины совмещаются с точками на окружности. Вокруг неправильной фигуры с четырьмя углами не всегда можно описать круг. Разбираемся, какие условия нужно выполнить для решения проблемы.

У квадрата и прямоугольника все углы прямые – равны 90°, но это не ключ к разгадке. Случай с параллелограммом тому подтверждение. Чем примечательны прямоугольные 4-угольники? Может дело в сумме углов?

Трапеция в круг вписывается, но только равнобедренная. Одно из её свойств – сумма внутренних углов равна 360°, а соседних – 180°. Получается, что четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов равняется 180°. Проверим на практике.

Помните: правило применимо только для выпуклых фигур, расположенных по одну сторону от проходящих через все стороны прямых.

Выпуклый дельтоид вписывается в круг, когда имеет пару прямых углов – называется прямоугольным.

Задача

Известны величины двух соседних углов вписанного четырёхугольника: 65° и 83°. Вычислить размеры сразу большего, затем – меньшего из оставшихся.

Известно, что сумма противоположных углов указанной геометрической фигуры равняется 180°. Отнимем от значения сначала большую цифру, затем – меньшую, чтобы выполнить условия задачи – найти неизвестные значения в указанном порядке.

180 – 65 = 115° – больший угол, 180 – 83 = 97° – меньший.

В какой четырехугольник можно вписать окружность

Описанным называют 4-угольник, стороны которого касаются круга. Существует теорема, показывающая, когда в четырехугольник можно вписать окружность: сумма его противоположных сторон должна быть одинаковой: AB + CD = BC + AD. В случае с прямоугольником условие не выполняется.

Правило работает для дельтоида, квадрата и даже неправильного выпуклого 4-угольника, подпадающего под теорему.

В параллелограмм вписывается круг в случае, если он является ромбом.

Задача

Стороны описанной фигуры относятся как 1:2:3. Найти длину четвёртой, если периметр равняется 32 см.

Составим уравнение. Зная, что суммы противоположных сторон 4-угольника равны:

Периметр равняется суме сторон: P = AB + ВС + AD + BC либо x + 2x + 2x + 3x = 32.

Источник

Описанные четырехугольники

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Следовательно, справедливы равенства

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

Фигура	Рисунок	Утверждение
Ромб		В любой ромб можно вписать окружность
Квадрат		В любой квадрат можно вписать окружность
Прямоугольник		В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
Параллелограмм		В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
Дельтоид		В любой дельтоид можно вписать окружность
Трапеция		В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

В любой квадрат можно вписать окружность

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Источник

• ← Федеральный судья чем занимается
• 4 автор стихотворения лесной царь →