признак четырехугольника в который можно вписать окружность
Вписанная в четырехугольник окружность
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.
Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?
В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.
В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если
И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:
то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.
Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.
O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.
AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,
то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.
3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.
AM=AN,
5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
где p — полупериметр четырехугольника.
Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.
Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и
Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен
Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
Вписанные четырёхугольники и их свойства
Теорема 1 доказана.
Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.
Теорема 2 доказана.
Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.
Фигура | Рисунок | Свойство | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около параллелограмма | Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около ромба | Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около трапеции | Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник |
Окружность, описанная около параллелограмма | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. | |||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около ромба | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около трапеции | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |||||||||||||||||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник | |||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около ромба | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом. | |||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около трапеции | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией. | |||||||||||||||||||||||
Окружность, описанная около дельтоида | |||||||||||||||||||||||
Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников. | |||||||||||||||||||||||
Произвольный вписанный четырёхугольник | |||||||||||||||||||||||
Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты: где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, Теорема ПтолемеяДокажем, что справедливо равенство: Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4). откуда вытекает равенство:
Вписанный четырехугольник и его свойства (ЕГЭ 2022)Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность. Вот так: Вопрос: а можно ли получить вписанный четырехугольник? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника? Сейчас мы это выясним! Вписанный четырехугольник — коротко о главном
\( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \).
Вписанный четырехугольник — определения и теоремыВот оказывается, что это неправда! НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:
На нашем рисунке: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \) Посмотри, углы \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)? Они вроде бы тоже противоположные? Можно ли вместо углов \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) взять углы \( \displaystyle \varphi \) и \( \displaystyle \psi \)? Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет \( \displaystyle 180<>^\circ \). Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме \( \displaystyle 180<>^\circ \). Не веришь? Давай убедимся. Пусть \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, \( \displaystyle 360<>^\circ \). То есть \( \displaystyle \alpha +\beta +\varphi +\psi =360<>^\circ \) — всегда! \( \displaystyle 180<>^\circ \) Так что запомни крепко-накрепко:
Доказательство смотри чуть дальше. А пока давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \). Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма? Вписанный параллелограммПопробуем сперва «методом научного тыка»: Вот как-то не получается. Теперь применим знание: Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм \( \displaystyle ABCD\) окружность. Тогда непременно должно быть: \( \displaystyle \alpha +\beta =180<>^\circ \), то есть \( \displaystyle \angle B+\angle D=180<>^\circ \). А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны. То есть \( \displaystyle \angle B = \angle D\). У нас получилось, что \( \displaystyle \left\< \begin А что же углы \( \displaystyle A\) и \( \displaystyle C\)? Ну, то же самое конечно. \( \displaystyle ABCD\) – вписанный → \( \displaystyle \angle A+\angle C=180<>^\circ \) → \( \displaystyle \angle A=90<>^\circ \) \( \displaystyle ABCD\) — параллелограмм→ \( \displaystyle \angle A=\angle C\) → \( \displaystyle \angle C=90<>^\circ \) Можно ли вписать четырёхугольник в окружность? Когда можно вписать?Содержание:Почти в любой четырехугольник можно вписать окружность. Трапеция, прямоугольник и квадрат для этого подходят всегда, тогда как сложные геометрические фигуры с четырьмя углами вписываются в круг избирательно. Рассмотрим условия, при которых 4-угольник может касаться точек на окружности всеми вершинами. ВписанныйВписанной называется фигура, вершины которой располагаются на окружности. Все треугольники и правильные 4-угольники, вроде квадрата и прямоугольника, размещаются внутри круга, причём их вершины совмещаются с точками на окружности. Вокруг неправильной фигуры с четырьмя углами не всегда можно описать круг. Разбираемся, какие условия нужно выполнить для решения проблемы. У квадрата и прямоугольника все углы прямые – равны 90°, но это не ключ к разгадке. Случай с параллелограммом тому подтверждение. Чем примечательны прямоугольные 4-угольники? Может дело в сумме углов? Трапеция в круг вписывается, но только равнобедренная. Одно из её свойств – сумма внутренних углов равна 360°, а соседних – 180°. Получается, что четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов равняется 180°. Проверим на практике. Помните: правило применимо только для выпуклых фигур, расположенных по одну сторону от проходящих через все стороны прямых. Выпуклый дельтоид вписывается в круг, когда имеет пару прямых углов – называется прямоугольным. ЗадачаИзвестны величины двух соседних углов вписанного четырёхугольника: 65° и 83°. Вычислить размеры сразу большего, затем – меньшего из оставшихся. Известно, что сумма противоположных углов указанной геометрической фигуры равняется 180°. Отнимем от значения сначала большую цифру, затем – меньшую, чтобы выполнить условия задачи – найти неизвестные значения в указанном порядке. 180 – 65 = 115° – больший угол, 180 – 83 = 97° – меньший. В какой четырехугольник можно вписать окружностьОписанным называют 4-угольник, стороны которого касаются круга. Существует теорема, показывающая, когда в четырехугольник можно вписать окружность: сумма его противоположных сторон должна быть одинаковой: AB + CD = BC + AD. В случае с прямоугольником условие не выполняется. Правило работает для дельтоида, квадрата и даже неправильного выпуклого 4-угольника, подпадающего под теорему. В параллелограмм вписывается круг в случае, если он является ромбом. ЗадачаСтороны описанной фигуры относятся как 1:2:3. Найти длину четвёртой, если периметр равняется 32 см. Составим уравнение. Зная, что суммы противоположных сторон 4-угольника равны: Периметр равняется суме сторон: P = AB + ВС + AD + BC либо x + 2x + 2x + 3x = 32. Описанные четырехугольникиAH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG, Складывая эти равенства, получим: AH + BF + CF + DH = то справедливо равенство что и требовалось доказать. Следовательно, справедливы равенства Окружность касается касается стороны BC (рис.4). В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана. Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства: Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен. Итак, возможен и реализуется лишь случай 1. Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений. Примеры описанных четырёхугольников
| |||||||||||||||||||||||
Квадрат | |||||||||||||||||||||||
В любой квадрат можно вписать окружность | |||||||||||||||||||||||
Прямоугольник | |||||||||||||||||||||||
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом | |||||||||||||||||||||||
Параллелограмм | |||||||||||||||||||||||
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом | |||||||||||||||||||||||
Дельтоид | |||||||||||||||||||||||
Трапеция | |||||||||||||||||||||||
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
|