подумайте где можно применить теорию чисел

Теория чисел

Раздел математики занимающийся изучением целых чисел и их свойств называется теория чисел или высшая арифметика.

Среди целых чисел особое место занимают натуральные числа, которые можно разделить на два класса: простые и составные. К первому классу относятся числа, имеющие своими делителями два числа: единицу и само себя. Ко второму классу относятся все остальные числа.

Простые числа, их свойства и связь со всеми натуральными числами изучались Евклидом (3 век до нашей эры). Он считал, что любое число натурального ряда может быть единственным образом представлено как произведение простых чисел. В «Началах» Евклид указал способ нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел, следствием из которого является теорема об однозначном разложении натуральных чисел на простые сомножители. С понятием наименьшего общего делителя двух чисел связано понятие их наименьшего общего кратного (НОК).

Большой вклад в развитие теории чисел внес Пьер Ферма (1601-1665), которому принадлежат открытия связанные с теорией делимости целых чисел, и теорией диофантовых уравнений. Им было сформулировано утверждение о «невозможности» — Великая теорема Ферма, доказана Малая теорема Ферма, которая в дальнейшем была обобщена Л. Эйлером. В феврале 1657 года Ферма предложил найти общее правило решение уравнения Пелля ax 2 + 1 = y 2 в целых числах. Решение этого уравнения для a = 2 было описано Евклидом в «Началах», а полное решение найдено Эйлером в 1759 году.

В 18 веке Л. Эйлер (1707-1783) первым из математиков стал создавать общие методы и применять другие разделы математики к решению задач теории чисел. Применение методов математического анализа положили начало аналитической теории чисел, в которой важное место занимают методы тригонометрических сумм, позволяющие оценивать число решений уравнений или систем уравнений в целых числах.

В аналитической теории чисел так же применяется комплексный анализ для доказательства теоремы о распределении простых чисел. Однако остается открытым вопрос, существует ли бесконечно много пар «простых близнецов», т. е. простых чисел разность, между которыми равна двум, например, 17 и 19 или 101 и 103.

Алгебраическая теория чисел расширяет понятие числа. Здесь рассматриваются алгебраические целые числа, корни многочленов с рациональными коэффициентами и старшим членом равным единице.

Элементарная теория чисел изучает целые числа без использования методов других разделов математике. Здесь рассматриваются такие вопросы как делимость целых чисел, числа Фибоначчи, построение магических квадратов, алгоритм нахождения наименьшего общего делителя и наибольшего общего кратного, малая теорема Ферма.

Многие вопросы теории чисел легко сформулировать, но трудно доказать, а ряд вопросов остаются открытыми, например, еще не найдена формулы по которой выводятся все простые числа. Великая теорема Ферма, сформулированная в 1637 году, оставалась без доказательства более 3 столетий и была доказана Уалсом в 1995 году.

Источник

Подумайте где можно применить теорию чисел

это не мои слова. Но все-таки:)))
Прочитайте, не пожалеете:))))

Теория чисел — раздел математики, занимающийся изучением чисел непосредственно как таковых, их свойств и поведения в различных ситуациях. Упаси Боже меня давать здесь точное определение понятия «Теория чисел», так как, во-первых, я его не знаю, а во-вторых, даже если вы поместите в одну e-окрестность двух учёных-профессионалов, работающих по их мнению в теории чисел, то они могут подраться между собой, так и не прийдя к единому мнению из чего же состоит «Теория чисел». Я надеюсь, что читатели тоже будут иметь своё мнение по этому вопросу после окончания процесса понимания хотя бы одного учебника или (скромно так) этой книжки по теории чисел.

В головах многих математиков, как профессионалов, так и любителей, паразитирует мнение, что теория чисел — это наиболее абстрактная и отдаленная от практических применений математическая теория, пусть красивая и стройная сама по себе ( эдакая «Вещь в себе», по Канту ), но совершенно бесполезная с точки зрения народного хозяйства.

Более того, некоторые теоретики-числовики даже гордятся такой точкой зрения, считая себя богемными представителями «чистого искусства», которое неприменимо, например, для создания атомной бомбы или чего-нибудь еще в этом роде. Они задирают нос, освобождают себя от моральных страданий Оппенгеймера и Эйнштейна, они творят красоту и только красоту, выше которой идет мудрость уже божественная, океан слепящего, непостижимого света.

Бедолаги. Их богемность разбивается уже фразой Пифагора «Все есть число!» и изучая числа, они неизбежно изучают окружающий нас мир, и себя в том числе (каламбур). Но кроме этого философского замечания о практической применимости «чистой» теории чисел, которое вряд ли будет понятно тупому дяденьке, дыхнувшему на вас перегаром в трамвае, я расскажу вам одну правдивую историю. Эта история убедит любого эстета от математики в том, что теория чисел не просто красивейшая и стройнейшая область чистой науки, но и серьезная народохозяйственная структура. Правда, не уверен, что она убедит дяденьку из трамвая, но такого дяденьку вообще уже вряд ли что убедит, ибо он убежден сам по себе, причем с утра. В дальнейшем договоримся обозначать убежденные с утра и им подобные объекты латинской буквой х и исключать их из области объектов, на которых рассчитано наше повествование.

В начале семидесятых годов нашего двадцатого века американское космическое агентство NASA, получив от Конгресса США несколько миллиардов долларов, решило осуществить запуск исследовательского спутника на Юпитер. Спутник склепали, напичкали дорогостоящей аппаратурой, назвали «Пионер» (лектору в этом месте рекомендуется характерный жест правой рукой наискосок об лоб), и запустили вверх. Для успешного управления дальнейшим полетом увороченного агрегата, ежику понятно, необходимо было постоянно перерасчитывать его траекторию, корректируя ее от случайных возмущений и целя в Юпитер, который, между прочим, хоть и большой, но летает от нас на расстоянии более 100 миллионов километров, поэтому попасть в него ужасно трудно.

Знатоки знают, что для расчета подобных траекторий нужно решать систему дифференциальных уравнений, которую не то что решать, а даже и писать-то не хочется, настолько она сложна и огромна. Но Пионер-то уже летит, как фанера над Парижем, а Конгресс внимательно следит за расходом средств налогоплательщиков, поэтому специалисты NASA вынуждены считать эти чертовы многомерные интегралы, причем в режиме реального времени. «В режиме реального времени» – это означает, что интеграл надо успеть посчитать до того, как спутник улетит вместо Юпитера в деревню Пропадайлово.

Знатоки опять знают, что единственный известный сегодня быстрый способ вычисления таких интегралов с использованием ЭВМ — это метод Монте-Карло (а это такой город, в отличие от Бойля-Мариотта). Далее буду краток. Монте-Карлу нужно многократное случайное бросание точки в многомерную область. Электронная машина не

Источник

Нумерология: никакого гадания, только теория чисел

В данной статье речь пойдёт о таких понятиях теории чисел, как цифровой корень и ведический квадрат.

Данная статья ничего не говорит о нумерологии, кроме того, что это псевдонаучная концепция.

Цель данной статьи: показать математические закономерности вокруг вычисления цифрового корня и его связь с циклическими числами.

Введение

Несколько дней назад я решил написать незатейливую статью про нумерологическое сложение. Моей целью было показать, что даже такая незамысловатая операция может иметь большое количество интересных закономерностей. Многие из этих закономерностей я нашёл ещё в школьное время, когда скучал на уроках географии. При внимательном рассмотрении я нашёл больше закономерностей, чем ожидал, и это привело меня назад к моей любимой теме full reptend prime.

После я внимательно изучил то, что нашёл, узнал, что многие из этих понятий уже существуют, и решил переписать статью заново, чтобы опираться на общеизвестные понятия. Помимо известных понятий я добавил собственные визуализации, чтобы сделать чтение немного более увлекательным.

Сумма цифр и цифровой корень

Аддитивная стойкость натурального числа — это количество итераций, на которых нужно применить операцию суммы цифр, для того чтобы получить цифровой корень.

Пример: Цифровая сумма числа 142857 равна 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27

Цифровая сумма числа 27 равна 2 + 7 = 9

Как следствие, цифровой корень числа 142857 = 9, аддитивная стойкость 142857 = 2.

Код для вычисления цифрового корня в произвольной системе счисления на языке Python:

Применение цифровой суммы

Цифровые суммы применялись при расчёте контрольных сумм для проверки арифметических операций ранних компьютеров. Ранее, в эпоху ручного счета, Фрэнсис Исидор Эджуорт предложил использовать суммы 50 цифр, взятых из математических таблиц логарифмов, в качестве формы генерации случайных чисел; если предположить, что каждая цифра случайна, то по центральной предельной теореме эти цифровые суммы будут иметь случайное распределение, близкое к гауссову распределению.

Цифровая сумма двоичного представления числа известна как вес Хэмминга или численность населения. Алгоритмы выполнения этой операции были изучены, и она была включена в качестве встроенной операции в некоторые компьютерные архитектуры и некоторые языки программирования. Эти операции используются в вычислительных приложениях, включая криптографию, теорию кодирования и компьютерные шахматы.

Улучшение алгоритма вычисления цифрового корня

Свойства цифрового корня

Операция сложения

Сделаем небольшую таблицу, для того чтобы изучить закономерности, каким образом вычисляется цифровой корень суммы двух чисел:

Таблица для анализа операции цифрового корня суммы двух чисел.

Код для построения таблицы суммы:

Как можно увидеть, цифровой корень суммы чисел равен цифровому корню суммы цифровых корней этих чисел:

Операция вычитания

Формула похожа на предыдущую, однако совпадает не полностью.

Операция умножения

Выведем вариацию таблицы умножения, для того чтобы исследовать эту операцию:

Расчет цифрового корня от двух множителей

Код для вывода таблицы умножения:

Запишем значения для каждого множителя:

1) [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

2) [2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7, 9]

3) [3, 6, 9, 3, 6, 9, 3, 6, 9]

4) [4, 8, 3, 7, 2, 6, 1, 5, 9]

5) [5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4, 9]

6) [6, 3, 9, 6, 3, 9, 6, 3, 9]

7) [7, 5, 3, 1, 8, 6, 4, 2, 9]

8) [8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 9]

9) [9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9]

Последовательности для множителей 1, 2, 3, 4. Они же являются зеркальными для 8, 7, 6, 5.

Для нахождения последовательности любой линии можно записать формулу:

Если записать эти значения как множество пересечений всех множителей, мы получим в результате ведический квадрат.

Ведический квадрат для десятичной системы счисления.

Приведение ведического квадрата к латинскому квадрату в десятичной системе счисления.

В результате мы получим:

Подмножество ведического квадрата, составляющее латинский квадрат в десятичной системе счисления.

Если переставить некоторые из его строчек местами, мы получим последовательность циклических чисел. О том, каким образом должны быть осуществлены перестановки строчек, будет рассказано ниже при исследовании других операций с цифровым корнем.

Ведические квадраты для систем счисления 100 и 1000.

Теперь вернемся к произведению. Цифровой корень произведения одиночных цифр в заданной системе счисления вычисляется при помощи соответствующего ведического квадрата.

Для вычисления цифрового корня произведения двух чисел, которые содержат больше одной цифры, для начала нужно вычислить цифровой корень каждой из этих цифр, и после этого воспользоваться ведической площадью.

Операция деления

Рассмотрим те числа, которые дают при делении непериодические дроби, это 2, 5, 4, 8.

Для того чтобы быть уверенными, что мы не допускаем ошибок, воспользуемся уже выведенными правилами и умножим результат деления на 1000; так как цифровой корень 1000 равен 1, то произведение будет иметь тот же самый цифровой корень.

Таблица деления для делителей, которые взаимно просты с десятичной системой счисления.

Тут бросаются в глаза несколько закономерностей. Число 9 не только при умножении, но и при делении приводит к значению цифрового корня, равному 9. Интересное происходит также с числами 3 и 6, эти числа как при умножении, так и при делении дают абсолютно одинаковые значения цифрового корня.

Запишем в таблицу череду делений:

Операция деления для цифрового корня определена только для делителей, которые не являются взаимно простыми с основанием системы счисления.

Операция возведения в степень

Таблица возведения в степень:

Таблица возведения в степень в десятичной системе счисления.

Здесь мы можем наблюдать цикличность.

Рассмотрим систему счисления 8, череда его значений будет равна [1, 3, 2, 6, 4, 5]. Именно такие же остатки от деления мы получаем при делении числа в десятичной системе счисления.

Деление 1 на 7 в столбик. Здесь мы можем наблюдать остатки от деления [1, 3, 2, 6, 4, 5]. Последовательность полученная при возведении в степень, в восьмеричной системе счисления.

Это свойство связано с тем, что вычисление цифрового корня можно осуществить при помощи альтернативной формулы расчета цифрового корня:

Ещё визуализации

Остатки от деления, найденные в 6 системе счисления, связанные с числом 5. Остатки от деления, найденные в 10 системе счисления, связанные с квадратом числа 3. Остатки от деления, найденные в 12 системе счисления, связанные с числом 11. Остатки от деления, найденные в 14 системе счисления, связанные с числом 13. Остатки от деления, найденные в 18 системе счисления, связанные с числом 17. Остатки от деления, найденные в 20 системе счисления, связанные с числом 19. Остатки от деления, найденные в 26 системе счисления, связанные с квадратом числа 5. Остатки от деления, найденные в 28 системе счисления, связанные с кубом числа 3.

Теперь приведём несколько картинок из ведических квадратов, принцип их формирования очень прост, потому ограничимся небольшим количеством:

Замкнутая фигура из 6 системы счисления, связана с числом 5. Замкнутые фигуры из 8 системы счисления, связанные с числом 7. Замкнутые фигуры из 12 системы счисления, связанные с числом 11.

Образование циклических чисел при помощи ведической площади и остатков от деления

После того как мы получили латинский квадрат из ведического квадрата, пронумеруем его строки последовательно:

Пронумерованный латинский квадрат.

Теперь мы можем переставить строки на основании череды остатков от деления, таким образом мы получим последовательность циклических чисел. Напомню, остатки от деления были равны [1, 3, 2, 6, 4, 5]. В результате у нас получится следующая картина:

Перестановки в пронумерованном латинском квадрате, в результате мы получили циклическое число.

Как можно наблюдать, первый столбец теперь представляет собой циклическое число 142857.

Выводы

Несмотря на плохую репутацию нумерологии, операции суммы цифр и цифрового корня имеют пусть не широкое, но всё же практическое применение.

Например, с помощью цифрового корня можно сформировать множество замкнутых n-вершинных звезд, многие из которых очень любят современные рок\метал группы 🙂

Как можно видеть, многие метал группы тоже любят теорию чисел!

Но лично я для своей метал группы решил выбрать анимированный логотип, составленный из одновременной визуализации периодических дробей, образованных из 90 рациональных дробей 1/91..90/91:

Почему я выбрал число 91, которое является произведением 7 и 13? Речь об этом пойдет в следующей статье 🙂

Если у кого-то есть дополнительная информация об описанных выше понятиях, пожалуйста присылайте её в комментарии, я буду очень благодарен!

Надеюсь, что вам было интересно, большое спасибо за внимание!

Источник

Теория чисел

Теория чисел, или высшая арифметика — раздел математики, изучающий целые числа и сходные объекты. В теории чисел в широком смысле рассматриваются как алгебраические, так и трансцендентные числа, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.

Содержание

Элементарная теория чисел

В элементарной теории чисел целые числа изучаются без использования методов других разделов математики. Такие вопросы, как делимость целых чисел, алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, разложение числа на простые множители, построение магических квадратов, совершенные числа, числа Фибоначчи, малая теорема Ферма, теорема Эйлера, задача о четырёх кубах относятся к этому разделу.

Аналитическая теория чисел

В аналитической теории чисел для вывода и доказательства утверждений о числах и числовых функциях используется мощный аппарат математического анализа. Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида

, где — натуральные числа,

Эйлер построил производяшую функцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при ) и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом

, где — число решений изучаемого уравнения.

Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:

,

Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что

,

Чебышев показал, что число простых чисел, не превосходяших , обозначенное как , стремится к бесконечности по следующему закону:

Другим направлением аналитической теории чисел является применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.

Алгебраическая теория чисел

В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть единственности разложения на простые множители.

Теория алгебраических чисел обязана своим появлением попыткам доказать теорему Ферма. Куммеру принадлежит равенство

, где — корни степени из единицы.

Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теорию дивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета- и L-функции Дирихле, когомологии групп и многое другое.

Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p-адических чисел).

Исторический очерк

Теория чисел в древнем мире

Весомый вклад в становление теории чисел оказали пифагорейцы, Евклид и Диофант.

Теория чисел в Средние века

Дальнейшее развитие теории чисел

Вместе с тем, в теории чисел существует большое количество открытых проблем.

Источник