по какой формуле можно определить работу

Формула работы

Определение и формула работы

В том случае, если под воздействием силы происходит изменение модуля скорости движения тела, то говорят о том, что сила совершает работу. Считают, что если скорость увеличивается, то работа является положительной, если скорость уменьшается, то работа, которую совершает сила – отрицательна. Изменение кинетической энергии материальной точки в ходе ее движения между двумя положениями равно работе, которую совершает сила:

Действие силы на материальную точку можно охарактеризовать не только с помощью изменения скорости движения тела, но при помощи величины перемещения, которое совершает рассматриваемое тело под действием силы ($\bar$).

Элементарная работа

$$\delta A=\bar \cdot d \bar=F \cdot d s \cdot \cos \alpha(2)$$

В декартовых координатах формула (2) имеет вид:

$$\delta A=F_ d x+F_ d y+F_ d z(3)$$

При рассмотрении работы силы, приложенной к материальной точке можно использовать формулу:

$$\delta A=\bar \bar d t=\bar d \bar

(4)$$

Если на тело (механическую систему) действуют несколько сил одновременно, то элементарная работа, которую совершают эти силы над системой, равна:

Результирующая работа внутренних сил, даже если твердое тело движется, равна нулю.

Работа силы на конечном участке траектории

Если сила выполняет работу по перемещению тела на конечном участке траектории его движения, то работа может быть найдена как:

В том случае, если вектор силы – величина постоянная на всем отрезке перемещения, то:

Единицы измерения работы

Основной единицей измерения момента работы в системе СИ является: [A]=Дж=Н•м

Примеры решения задач

Решение. За основу решения задачи примем формулу расчёта работы вида:

Формула работы не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Решение. В качестве основы для решения задачи используем формулу:

Зная зависимость скорости от времени найдем связь тангенциальной составляющей ускорения и времени:

Нормальная составляющая ускорения будет иметь вид:

При движении по окружности нормальная составляющая ускорения будет всегда перпендикулярна вектору скорости, следовательно, вклад в произведение силы на скорость будет вносить только тангенциальная составляющая, то есть выражение (2.1) преобразуется к виду:

Выражение для работы найдем как:

$$A=C \int_<0>^t \cdot t^ <2>d t \sim t^<4>$$

Источник

Механическая работа – это одна из основных скалярных величин в физике. В рамках стандартной школьной программы она изучается в седьмом классе в разделе механики. Механическая работа – один из способов изменения внутренней энергии тела или субстанции (например, газа или жидкости) наряду с такими формами теплопередачи, как теплопроводность, конвекция и излучение, которые изучаются в разделе тепловых явлений.

Что такое работа в физике – определение и формула

Механическая работа – это количество энергии, которое нужно затратить для того, чтобы тело начало равномерно замедляющееся движение и прошло некоторую дистанцию.

В физике механической работой называется произведение силы, которая действует на некоторое тело, на расстояние, которое оно проходит под ее воздействием:

В более сложных случаях в формуле появляется и третья величина – косинус угла, под которым друг к другу расположены векторы движения и приложенной силы. Найти ее значение можно по формуле:

В чем измеряется работа

Физические единицы, в которых выражается механическая работа, – Джоули.

Существуют разные способы для ее практического измерения, которые зависят от типа произведенного движения. При этом в формулу работы подставляют значение силы в Ньютонах и расстояния в метрах. Угол между векторами измеряют в математических единицах – градусах.

Работа силы трения

При условиях, существующих на Земле, на любое движущееся тело оказывает воздействие сила трения, замедляющая его движение. Чаще всего это трение поверхности, по которой движется объект. Это очевидно из того факта, что при воздействии постоянной силы на тело его скорость окажется переменной.

Следовательно, должна быть и другая сила, противодействующая ей – и это сила трения. Если система координат выбрана по направлению движения тела, то ее числовое значение будет отрицательным.

Положительная и отрицательная работа

Числовое значение работы, которую совершает сила, может становиться отрицательным в случае если ее вектор противоположен вектору скорости.

Иными словами, сила может не только придавать телу скорость для совершения движения, но и препятствовать уже совершаемому перемещению. В таком случае она будет называться противодействующей.

Полезная или затраченная работа

У тела, совершающего одно и то же действие, есть два значения работы. Первая из них, полезная, вычисляется по обычной формуле.

Вторая, затраченная, по своему понятию не имеет общей формулы для вычисления и измеряется практически. Эта разница между совершенной в реальности работой и той, которая должна была быть совершена в теории, равна коэффициенту полезного действия – КПД. Он вычисляется так:

КПД = А полезная / А затраченная,

и выражается в процентах. КПД всегда меньше 100.

Мощность

Среднее количество работы, совершаемой за единицу времени (секунду), характеризует такую величину, как мощность. Формула для ее вычисления выглядит так:

В качестве работы можно подставить люблю известную формулу для ее вычисления в зависимости от ситуации. Ответ будет выражен в Ваттах.

Однако при равномерном движении можно использовать и другую формулу:

Подставив вместо обычной скорости мгновенную, можно получить значение мгновенной мощности.

Примеры решения задач

Рассмотрим несколько простых задач на нахождение механической работы.

Задача 1

Какую работу совершает подъемный механизм, поднимающий десятикилограммовый блок на высоту 50 метров.

Для того, чтобы поднять тело, необходимо преодолеть действующую на него силу тяжести. То есть F, с которой поднимают блок, равна той, с которой он притягивается к земле. Так как последняя равна m * g, то для нахождения конечного результата понадобится только одна измененная версия стандартной формулы, упомянутой выше: A = S * m * g.

При помощи простой математики найдем числовой ответ:

A = 50 м * 10 кг * 10 Н/кг;

Впрочем, не всегда речь идет о силе тяжести.

Задача 2

Какая работа совершается силой упругости, когда пружина с жесткостью 10 Н/м, сжатая на 20 см, возвращается в исходное состояние? Система замкнута, нет никаких внешних сил, воздействующих на пружину.

Для начала нужно найти саму F упругости, которая совершает работу. Ее формула – F = x * |k|, где x – это длина, на которую сжимается или растягивается пружина, а k – коэффициент ее жесткости. Перемещение пружины равно ее деформации, и следовательно, конечная формула в этом случае будет выглядеть так: A = S * x * k = x * x * k = x^2 * k.

Далее при помощи элементарных вычислений рассчитаем ответ:

A = (0,2 м)^2 * 10 Н/м = 0,04 * 10 = 0,4 Дж.

Но во всех задачах по данной теме траектория движения тела прямая.

Задача 3

Рассчитайте, какова сила, действующая на колесо, если на то, чтобы совершить полный оборот, ему требуется 10 кДж. Диаметр диска равен 40 см, а толщина шины – 10 см.

В этом случае нам нужно найти не А, а F, но сделать это можно при помощи все той же формулы. Возьмем точку на поверхности колеса. Предположим, что при вращательном движении ее вектор будет противоположен вектору приложения силы, а значит косинусом в формуле вновь можно пренебречь. Таким образом, за один оборот колеса точка пройдет расстояние, равное длине окружности, которую можно вычислить как 2πr или πd. Диаметр окружности можно найти из предоставленных данных: он равен сумме диаметра диска и удвоенной толщины шины, то есть 40 см + 2 * 10 см = 40 см + 20 см = 60 см = 0,6 м.

Теперь, когда мы можем вычислить расстояние, у нас есть все данные для того, чтобы приступить к нахождению силы.

Формула работы для этого случая будет такой: A = F * π * d, то силу, соответственно, можно будет выразить как F = A / (π * d).

F = 10 кДж / (3,14 * 0,6 м) = 10000 Дж / 1,884 м =

В завершение решим самый сложный вариант задачи, включающий в себя все, о чем говорилось выше.

Задача 4

Автомобиль Фольксваген весом 2500 кг заезжает на гору. Какова должна быть его минимальная скорость, чтобы удержаться на горе, если сила тяги равна 10 кН, время работы двигателя – 10 с, КПД – 30%, а угол наклона горы – 60 градусов. Трением и прочими силами пренебречь.

На первый взгляд задача может показаться сложной, но для ее решения используются только простые известные формулы.

Запишем условие в более наглядном виде.

угол A = 150 0 (60+90, т. к. сила тяжести приложена под углом 90 к горизонтали);

Шаг 1. По условию A1 (силы тяжести) = А2 (тяги).

То есть mg = P * t / КПД.

Шаг 2. P = F * V * cosA.

Шаг 3. Общая формула: mg = F * V * cosA * t / КПД.

V = (m * g * КПД) / (F * t * cosA).

V = (2500 кг * 10 Н/кг * 30%) / (10000 H * 10 с * cos150);

V = (2500 кг * 10 Н/кг * 0,3) / (10000 H * 10 с * cos60);

Источник

Работа, мощность, КПД

Сила, перемещающая тело, совершает работу. Работа – это разность энергии тела в начале процесса и в его конце. А мощность – это работа за одну секунду. Коэффициент полезного действия (КПД) – это дробное число. Максимальный КПД равен единице, однако, часто, КПД меньше единицы.

Работы силы, формула

Сила, приложенная к телу и перемещающая его, совершает работу (рис. 1).

Работа силы — это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения.

Работу, совершаемую силой, можно посчитать, используя векторный или скалярный вид записи такой формулы:

Векторный вид записи

Для решения задач правую часть этой формулы удобно записывать в скалярном виде:

\[ \large \boxed < A = \left| \vec\right| \cdot \left| \vec \right| \cdot cos(\alpha) >\]

\( F \left( H \right) \) – сила, перемещающая тело;

\( S \left( \text <м>\right) \) – перемещение тела под действием силы;

\( \alpha \) – угол между вектором силы и вектором перемещения тела;

Работу обозначают символом \(A\) и измеряют в Джоулях. Работа – это скалярная величина.

В случае, когда сила постоянная, формула позволяет рассчитать работу, совершенную силой за полное время ее действия.

Если сила изменяется со временем, то в каждый конкретный момент времени будем получать мгновенную работу. Эти, мгновенные значения для разных моментов времени будут различаться.

Рассмотрим несколько случаев, следующих из формулы:

Работа — разность кинетической энергии

Работу можно рассчитать еще одним способом — измеряя кинетическую энергию тела в начале и в конце процесса движения. Рассмотрим такой пример. Пусть автомобиль, движется по горизонтальной прямой и, при этом увеличивает свою скорость (рис. 2). Масса автомобиля 1000 кг. В начале его скорость равнялась 1 м/с. После разгона скорость автомобиля равна 10 метрам в секунду. Найдем работу, которую пришлось проделать, чтобы ускорить этот автомобиль.

Для этого посчитаем энергию движения автомобиля в начале и в конце разгона.

\( E_ \left(\text <Дж>\right) \) – начальная кинетическая энергия машины;

\( E_ \left(\text <Дж>\right) \) – конечная кинетическая энергия машины;

\( m \left( \text<кг>\right) \) – масса автомобиля;

\( \displaystyle v \left( \frac<\text<м>>\right) \) – скорость, с которой машина движется.

Кинетическую энергию будем вычислять, используя формулу:

\[ \large E_ = 1000 \cdot \frac<1^<2>> <2>= 500 \left(\text <Дж>\right) \]

\[ \large E_ = 1000 \cdot \frac<10^<2>> <2>= 50000 \left(\text <Дж>\right) \]

Теперь найдем разницу кинетической энергии в конце и вначале разгона.

\[ \large \Delta E_ = E_ — E_ \]

\[ \large \Delta E_ = 50000 – 500 = 49500 \left(\text <Дж>\right) \]

Значит, работа, которую потребовалось совершить, чтобы разогнать машину массой 1000 кг от скорости 1 м/с до скорости 10 м/с, равняется 49500 Джоулям.

Примечание: Работа – это разность энергии в конце процесса и в его начале. Можно находить разность кинетической энергии, а можно — разность энергии потенциальной.

Работа силы тяжести — разность потенциальной энергии

Рассмотрим теперь следующий пример. Яблоко массой 0,2 кг упало на садовый стол с ветки, находящейся на высоте 3 метра от поверхности земли. Столешница располагается на высоте 1 метр от поверхности (рис. 3). Найдем работу силы тяжести в этом процессе.

Посчитаем потенциальную энергию яблока до его падения и энергию яблока на столешнице.

\( E_ \left(\text <Дж>\right) \) – начальная потенциальная энергия яблока;

\( E_ \left(\text <Дж>\right) \) – конечная потенциальная энергия яблока;

Примечание: Работу можно рассчитать через разность потенциальной энергии тела.

Потенциальную энергию будем вычислять, используя формулу:

\[ \large E_

= m \cdot g \cdot h\]

\( m \left( \text<кг>\right) \) – масса яблока;

\( h \left( \text<м>\right) \) – высота, на которой находится яблоко относительно поверхности земли.

Начальная высота яблока над поверхностью земли равна 3 метрам

\[ \large E_ = 0,2 \cdot 10 \cdot 3 = 6 \left(\text <Дж>\right) \]

Потенциальная энергия яблока на столе

\[ \large E_ = 0,2 \cdot 10 \cdot 1 = 2 \left(\text <Дж>\right) \]

Теперь найдем разницу потенциальной энергии яблока в конце падения и перед его началом.

\[ \large \Delta E_

= E_ — E_ \]

\[ \large \Delta E_

= 2 – 6 = — 4 \left(\text <Дж>\right) \]

Важно помнить: Когда тело падает на землю, его потенциальная энергия уменьшается. Сила тяжести при этом совершает положительную работу!

Чтобы работа получилась положительной, в правой части формулы перед \( \Delta E_

\) дополнительно допишем знак «минус».

Значит, работа, которую потребовалось совершить силе тяжести, чтобы яблоко массой 0,2 кг упало с высоты 3 м на высоту 1 метр, равняется 4 Джоулям.

Примечания:

Рисунок 4 иллюстрирует факт, что для силы \(\displaystyle F_<\text<тяж>>\) работа зависит только от разности высот и не зависит от траектории, по которой тело двигалось.

Мощность

В механике мощность часто обозначают символами N или P и измеряют в Ваттах в честь шотландского изобретателя Джеймса Уатта.

Примечание: Символ \(\vec\) используется для обозначения силы реакции опоры — она измеряется в Ньютонах и является векторной величиной. Чтобы не возникло путаницы, мощность вместо N будем обозначать символом P. Символ P – первая буква в английском слове power – мощность.

Мощность – это работа, совершенная за одну секунду (энергия, затраченная за 1 сек).

Расчет работы осуществляем, используя любую из формул:

\[ \large A = F \cdot S \cdot cos(\alpha) \]

Разделив эту работу на время, в течение которого она совершалась, получим мощность.

Если работа совершалась равными частями за одинаковые интервалы времени – мощность будет постоянной величиной.

Мощность переменная, когда в некоторые интервалы времени совершалось больше работы.

Еще одна формула для расчета мощности

Есть еще один способ расчета мощности, когда сила перемещает тело и при этом скорость тела не меняется:

\[ \large P = \left( \vec , \vec \right) \]

Формулу можно записать в скалярном виде:

\[ \large P = \left| \vec \right| \cdot \left| \vec \right| \cdot cos(\alpha) \]

\( F \left( H \right) \) – сила, перемещающая тело;

\( \displaystyle v \left( \frac<\text<м>> \right) \) – скорость тела;

\( \alpha \) – угол между вектором силы и вектором скорости тела;

Когда векторы \(\vec\) и \(\vec\) параллельны, запись формулы упрощается:

Примечание: Такую формулу для расчета мощности можно получить из выражения для работы силы, разделив обе части этого выражения на время, в течение которого работа совершалась (а если точнее, найдя производную обеих частей уравнения).

КПД – коэффициент полезного действия. Обычно обозначают греческим символом \(\eta\) «эта». Единиц измерения не имеет, выражается либо десятичной дробью, либо в процентах.

Примечания:

Вычисляют коэффициент \(\eta\) для какого-либо устройства, механизма или процесса.

\( \large A_<\text<полезная>> \left(\text <Дж>\right)\) – полезная работа;

\(\large A_<\text<вся>> \left(\text <Дж>\right)\) – вся затраченная для выполнения работы энергия;

Примечание: КПД часто меньше единицы, так как всегда есть потери энергии. Коэффициент полезного действия не может быть больше единицы, так как это противоречит закону сохранения энергии.

Величина \(\eta\) является дробной величиной. Если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, полученная дробь будет равна исходной. Используя этот факт, можно вычислять КПД, используя мощности:

Источник

Работа постоянной силы. Мощность. КПД

§1. Работа постоянной силы

Работа постоянной силы F при прямолинейном движении точки ее приложения равна произведению модуля силы F на перемещение S и на косинус угла между направлением силы F и перемещения S: A=F·S·Cos α

Если угол острый, то работа положительна. В частности, при элементарная работа A=FS.

тупой, то работа отрицательна. В частности, при элементарная работа A=-FS.

Положительную силу F (α> 90°) называют движущей, а отрицательную (α> 90°) – силой сопротивления.

Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж= 1 Н∙м). 1 Дж – работа, совершаемая силой 1 Н на 1 м пути.

§2. Консервативные силы

Силы, действующие на тело, могут быть консервативными и неконсервативными. Сила называется консервативной или потенциальной, если работа, совершаемая этой силой при перемещении материальной точки из одного положения в другое, не зависит от вида траектории (формы пути) и определяется только начальным и конечным положениями тела (рис.1): А_1В2 = А_1С2 = А₁₂.

Рис.1. Работа консервативной силы

В случае, если тело движется в обратном направлении А₁₂= –А₂₁, т.е. изменение направления движения по траектории на противоположное вызывает изменение знака работы. Следовательно, при движении материальной точки по замкнутой траектории работа консервативной силы равна нулю (например, поднятие и опускание груза):

Консервативными силами являются силы гравитационного взаимодействия, силы упругости, электростатические силы. Силы, не удовлетворяющие условию (1), называются неконсервативными. К неконсервативным силам относят силы трения и сопротивления. Поле, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным.

§3. Мощность

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность: P=A/t, где t — время, в течение которого произведена работа A. В общем случае мощность рассчитывается: P=FV

Следовательно, мощность равна произведению силы на скорость движения.

Единицей измерения мощности в системе СИ является Ватт (1 вт=1 дж/сек). В технике за единицу мощности часто принимается 1 лошадиная сила, равная 736 Вт.

Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы: A=P·t

Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт-час (1 кВт-ч = 3,6∙10 6 Дж).

Из равенства P=FV видно, что у двигателя, имеющего дан­ную мощность P сила F тяги будет тем больше, чем меньше ско­рость движения V. Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяю­щие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и раз­вивать большую силу тяги.

§4. Коэффициент полезного действия

Создавая механизм, важно не только обеспечить движение рабочих органов машины, удовлетворяющих заданному технологическому процессу, но необходимо чтобы машина обладала высоким коэффициентом полезного действия (КПД).

При наличии сил трения и сопротивления воздуха не вся затраченная работа А_з используется в машинах. Полезная работа Ап всегда меньше затраченной, т.е. А_п

Источник

Работа электрического тока: что это такое, формулы, примеры задач

В этой статье я объясню, что такое работа электрического тока, какие единицы измерения для нее используются и какие важные формулы необходимо знать.

Что такое работа электрического тока?

Давайте рассмотрим обычную батарейку. По сути, батарейка преобразует химическую энергию в электрическую энергию электронов. Если теперь подключить её в электрическую цепь, то электроны могут совершать работу, используя свою электрическую энергию, например, зажигать лампочку.

Если вы хотите узнать, сколько электрической энергии было преобразовано в другой вид энергии, то вам нужно рассчитать работу электрического тока.

Определение понятия «электрическая работа» и её единицы измерения.

Работа электрического тока [A] позволяет определить, сколько электрической энергии было или может быть преобразовано в другие виды энергии.

Когда вы рассчитываете работу электрического тока, вы знаете, сколько электрической энергии было преобразовано в другие формы энергии. А уже какие другие формы энергии могут быть — это зависит от ситуации (несколько примеров в списке ниже):

Другой важной единицей измерения является киловатт-час [кВт·ч]. Один киловатт-час равен 3 600 000 ватт-секунд или джоулей.

1 кВт·ч = 1 * 10 3 Вт·ч = 1 * 10 3 * 3600 Вт·с = 3,6 * 10 6 Вт·с = 3,6 * 10 6 Дж.

Полезный факт: а вы знали, что именно электрическую работу измеряют электросчётчики установленные в наших домах и квартирах! Электросчётчики измеряют работу электрического тока в кВт·ч.

По какой формуле вычисляется работа электрического тока?

Работа электрического тока на участке цепи равна произведению напряжения на концах этого участка на силу тока и на время, в течение которого совершалась работа.

Чуть ниже в статье мы разберем два практических примера, которые покажут применение данных формул. Однако перед этим мы кратко рассмотрим еще несколько важных формул.

Примечание: Вы обязательно должны запомнить первые две формулы. Следующие ниже формулы менее важны, но могут быть полезны для вас при решении тех или иных задач.

Другие формулы для определения работы электрического тока.

Закон Ома для участка цепи связывает напряжение U и ток I. Это позволяет нам рассчитать электрическую работу A другим способом.

Тогда вы можете подставить эти формулы в A = U * I * t. В итоге получатся другие формулы для нахождения работы электрического тока:

Примеры задач

У вас есть батарея, подающая постоянное напряжение 12 В и ток 2,3 А. Вы используете эту батарею для освещения лампочки в течение 1 часа. Теперь вы хотите знать, какая работа электрического тока была произведена.

Мы знаем формулу для определения работы электрического тока: A = U * I * q, тогда получаем:

Чтобы дать вам представление о единицах измерения, давайте переведем результат в ватт-секунды и джоули

27,6 Вт·ч = 27,6 * 3600 Вт·с = 99360 Вт·с = 99360 Дж.

Мы знаем формулу для определения работы электрического тока: A = U * q, тогда q = A / U. Подставляя значения в формулу получаем:

Источник