перегруппировку можно осуществлять методом

Расчет численности групп на основе метода долевой перегруппировки

Таблица 3.3

Рис. 3.1. Схема долевой перегруппировки

Таблица 3.2

Таблица 3.1

Вторичная группировка, ее виды

Группировки, построенные за один и тот же период времени, но для разных регионов или, наоборот, для одного региона, но за два разных периода времени, могут оказаться несопоставимыми из-за различного числа выделенных групп или неодинаковости границ интервалов. Для того чтобы привести такие группировки к сопоставимому виду с целью сравнительного анализа, используется вторичная группировка, суть которой состоит в перегруппировке единиц объекта без обращения к первичным данным.

Вторичная группировка – это операция по образованию новых групп на основе ранее построенной группировки.

Выделяют два метода вторичной перегруппировки: 1) объединение первоначальных интервалов и 2) долевая перегруппировка (применение метода предполагает равномерное или близкое к нему распределение единиц внутри групп).

Пример 3.1. Имеются следующие данные о доходах населения за два года.

Доходы населения условной территории (1 год)

№ п/п	Группы населения по уровню доходов (руб.)	% к итогу
1.	до 1000	15,4
2.	от 1000 до 3000	35,7
3.	от 3000 до 7000	30,4
4.	от 7000 до 10000	14,1
5.	10000 и более	4,4
ИТОГО

Доходы населения условной территории (2 год)

№ п/п	Группы населения по уровню доходов (руб.)	% к итогу
1.	до 1000	14,8
2.	от 1000 до 1500	20,4
3.	от 1500 до 3000	19,2
4.	от 3000 до 4000	20,6
5.	от 4000 до 5500	7,8
6.	от 5500 до 7500	5,3
7.	от 7500 до 10000	5,1
8.	10000 и более	6,8
ИТОГО

Приведем группировки к сопоставимому виду используя метод долевой перегруппировки. Для удобства построим схему вторичной группировки.

Источник

Сводка и группировка статистических данных

3.2. Метод группировок в статистике

Под статистической группировкой понимается распределение единиц наблюдения по группам по одному или нескольким признакам. Эти признаки называются группировочными. В зависимости от задач исследования строят типологические, структурные и аналитические группировки.

Таблица 3.1. Распределение предприятий и организаций по формам собственности на 1 января 2006 г.

Форма собственности	Число предприятий и организаций, тыс.
Государственная	160
Муниципальная	252
Собственность общественных и религиозных объединений (организаций)	252
Частная	3 838
Прочие формы собственности, включая смешанную российскую, иностранную, совместную российскую и иностранную	265
Всего	4 767

Источник: Россия в цифрах. 2006: Крат. стат. сб. / Росстат. М., 2006. С. 167.

При структурной группировке разделение единиц однородной совокупности на группы происходит с целью выявления ее структуры по одному из признаков. Например, распределение наемных работников по полу, возрасту; распределение предприятий по численности работающих и т.д. Примером структурной группировки являются данные табл. 3.2.

Таблица 3.2. Структура работников по стажу работы на предприятии

Стаж работы, лет	Число работников	Число работников в процентах к итогу
До 2	10	5
2-4	20	10
4-6	30	15
6-8	80	40
8 и более	60	30
Итого	200	100

При построении аналитической группировки в качестве группировочного признака всегда выбирают факторный признак. В каждой выделенной группе рассчитывают среднее значение результативного признака. Например, в табл. 3.3 компании сгруппированы по величине затрат на рекламу. В каждой группе определен средний размер товарооборота. Из таблицы видно, что чем больше внимания компании уделяют рекламе, тем значительнее результаты их деятельности, выражающиеся в объеме товарооборота.

Таблица 3.3. Распределение компаний по затратам на рекламу и объему товарооборота

Затраты на рекламу в год, млн руб.	Число компаний	Объем товарооборота в среднем на одну компанию, млн руб.
До 3	5	300
3-5	20	305
5-7	15	315
7 и более	10	320
Итого	50	311

Таблица 3.4. Распределение учащихся на потоке по полу и возрасту

Возраст, лет	Пол	Итого
мужчины	женщины
До 14	10	8	18
15	8	9	17
16	12	13	25
17 и более	11	10	21
Итого	41	40	81

Вторичная группировка данных. На практике часто возникают ситуации, когда по имеющимся сгруппированным данным требуется построить новую группировку. При этом, как правило, массив первичных данных оказывается недоступным. Тогда прибегают к методам вторичной группировки данных.

Вторичной группировкой называется перегруппировка уже сгруппированных данных без обращения к массиву первичных данных. Для этой цели применяются два подхода: объединение первоначальных интервалов, если границы новых и старых групп совпадают, и долевая перегруппировка данных при несовпадении границ.

Метод объединения первоначальных интервалов продемонстрируем на следующем примере. Предположим, что исходные данные представляют собой ряд, приведенный в табл. 3.5.

Таблица 3.5. Распределение работников фирмы по размеру заработной платы

Номер интервала	Заработная плата, руб.	Численность работающих, чел.
1	2 000-3 000	16
2	3 000-4 000	40
3	4 000-5 000	65
4	5 000-6 000	58
5	6 000-7 000	44
6	7 000 и выше	17
Итого	—	240

Таблица 3.6. Распределение работников фирмы по размеру заработной платы (вторичная группировка)

Номер интервала	Заработная плата, руб.	Численность работающих, чел.
1	2 000-4 000	56
2	4 000-6 000	123
3	6 000 и выше	61
Итого	—	240

Долевая перегруппировка базируется на принципе равномерности распределения единиц наблюдения внутри границ интервальных групп. В результате ее проведения рассчитывают, какая часть единиц наблюдения перейдет из старой интервальной группы в новую.

Пример 3.1. «Перегруппируем данные табл. 3.5 и образуем новые интервалы: «2000-3400»; «3400-4800»; «4800-6200»; «6200 и выше». Распределим единицы совокупности по новым интервалам.

В первый новый интервал войдут из исходной группировки все единицы первого интервала и часть единиц из второго интервала. Эту часть мы определяем следующим образом. Новая граница «3400» разбивает второй интервал на два отрезка: «3000-3400» и «3400-4000». Находим, какую долю составляет длина отрезка «3000-3400» от длины второго интервала. Она равна Значит, от 40 единиц, находившихся во втором интервале исходной группировки, следует взять для нового первого интервала 16 единиц Тогда первый новый интервал будет содержать 32 единицы (16 + 16).

При проверке правильности расчетов видим, что сумма единиц совокупности осталась равной 240.

Результаты вторичной группировки приведены в следующей таблице.

Источник

14. Группировка данных. Виды группировок.
Перегруппировка

Эта статья условно открывает вторую часть курса Математической статистики, и начнём мы с простенького материала, который вполне бы мог войти в 1-й урок, но оказался там немного не в тему, поскольку сам открывает большую тему 🙂

Рассмотрим некоторую статистическую совокупность, например, множество студентов ВУЗа. Очевидно, это множество можно исследовать как единое целое – подсчитать общее количество студентов, вычислить их средний возраст, среднюю успеваемость и др. характеристики. Благо, статистических данных – море. Но всё это общие характеристики. Во многих случаях совокупность целесообразно разделить на группы, то есть выполнить группировку.

Группировка – это разделение статистической совокупности (не важно, генеральной или выборочной) на группы по одному или бОльшему количеству признаков.

И разделить её можно по-разному. Во-первых, выделить качественно однородные группы. Например, разделить студентов ВУЗа на лиц М и Ж пола. Такая группировка называется типологической. Или, как вы любите говорить, «типа логической» 🙂 Кстати, студенты уже по факту разделены на факультеты – и это тоже пример типологической группировки, но уже по другому признаку.

Итак, типологическая группировка – это разделение неоднородной статистической совокупности на качественно однородные группы.

Само собой полученные группы исследуются по отдельности и сравниваются – как между собой, так и с общими показателями. При этом проводится структурная группировка – это разделение качественно однородной совокупности по какому-либо вариационному признаку. По росту, весу, уровню IQ, скорости движения, периоду полураспада и так далее. Признаков – тьма.

Да будет свет! – в качестве простейшего условного примера рассмотрим среднюю успеваемость студентов ВУЗа: (общая средняя). Но это не слишком информативный показатель.

Гораздо интереснее провести типологическую группировку, например, разделить всех студентов на «физиков» и «лириков», и подсчитать групповые средние: . Ну вот, теперь прекрасно видно, кому в универе жить хорошо 🙂 Или рассчитать групповые средние по факультетам: . И выяснить, почему это на 2-м факультете такая низкая успеваемость по сравнению со средней успеваемостью по ВУЗу.

Довольно часто грань между типологической и структурной группировкой стирается. Приведу избитый, но показательный пример с банками. Все банки можно разделить на мелкие, средние и крупные (типологическая группировка). Но с другой стороны, эти категории основаны на количественном показателе, мелкие – меньше одного литра, средние – от одного до трёх, и крупные – больше трёх литров. То есть, это одновременно и структурная группировка.

Следует отметить, что при кажущейся простоте провести подобную группировку бывает не так-то просто. Трудность состоит в том, чтобы грамотно выделить различные категории (типы), и для этого, порой, исследуют целый комплекс показателей. Эксперты Центробанки гарантируют 🙂

Кроме того, существуют и другие виды группировок, в частности, аналитическая группировка и комбинационная группировка. Но о них позже, после практической разминки.

Ранее мы уже неоднократно проводили группировку данных, давайте вспомним пару примеров:

По результатам выборочного исследования рабочих цеха были установлены их квалификационные разряды: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3.
…
В этой задаче была проведена структурная группировка рабочих цеха по их разряду и получен дискретный вариационный ряд:

где – разряды, а – количество рабочих того или иного разряда

По результатам исследования цены некоторого товара в различных торговых точках города, получены следующие данные (в некоторых денежных единицах):

…

В этом примере мы тоже провели структурную группировку (товаров по их цене) и получили интервальный вариационный ряд:

где – количество товаров из того или иного ценового интервала.

И сейчас мы продолжим группировать данные. Студентам чаще всего предлагают провести структурную и аналитическую группировку; разберём их по порядку. Затем потренируемся в комбинационной группировке, ну а группировку типологическую я оставлю за кадром, полагаю, разделить совокупность на кошек и собак ни у кого не вызовет трудностей.

Суровая задача местного Политеха для студентов около- и машиностроительных специальностей:

В результате выборочного исследования 30 станков рассчитаны их относительные показатели металлоёмкости (т/кВт):

а) вычислить общую среднюю;

б) выполнить структурную равноинтервальную группировку;

в) выполнить структурную равнонаполненную группировку;

г) выбрать наиболее удачную группировку и вычислить выборочные средние; результаты оформить в виде групповой таблицы;

д) по выбранной группировке построить интервальный вариационный ряд;

Но прежде немного о содержании. Согласно автору методички, относительная металлоемкость – это частное от деления веса станка на мощность его двигателя (тонн на киловатт). Разделили, например, 5 тонн на 2 кВт и получили 2,5 тонны на один кВт. Эти значения и представлены в таблице. Правильность и достоверность перечисленных фактов в который раз оставлю на совести автора, да и, в конце концов, нам требуется обработать числа, а уж что это такое – не особо важно, хоть объём талии пчёлок. …И всё-таки математика немного шизофреническая наука 🙂

Решение:

Ну, с пунктом а) справится даже неподготовленный человек. Очевидно, что для нахождения общей средней нужно просуммировать все значения и разделить полученный результат на объём выборки:
т/кВт (не забываем указать размерность)

Эти и другие вычисления легко выполняются в Экселе, и чуть ниже будет ролик о том, как быстро выполнить все пункты задания. Ибо на калькуляторе щёлкать 30 слагаемых муторно (хотя, вариант вполне рабочий).

б) Выполним структурную равноинтервальную группировку. Пугаться не нужно, это задание уже было – нам нужно построить обычный интервальный вариационный ряд с равными интервалами, и я кратко повторю алгоритм.

В условии ничего не сказано о количестве интервалов, и поэтому для определения их оптимального количества используем формулу Стерджеса:
интервалов (результат округляем влево).

Найдём минимальное и максимальное значения и вычислим размах вариации: т/кВт. Таким образом, длина каждого интервала составит: т/кВт. Теперь «нарезаем» интервалы и подсчитываем количество станков в каждом из них:

Контроль: , что и требовалось проверить.

И уже сейчас мы видим, что построенный вариационный ряд не слишком хорош – по той причине, что в трёх последних интервалах слишком мало станков, и считать по ним средние значения и другие показатели не вполне корректно.

Во избежание этого недостатка используют разные методы, и один из них состоит в том, что использовать:

в) равнонаполненную группировку. Это разбиение совокупности на группы с одинаковым (или примерно одинаковым) количеством объектов, станков в данном случае. Но интервалы здесь получатся разной длины.
Отсортируем числа по возрастанию и выделим 5 групп по станков в каждой:

Формально всё выглядит тип-топ (и можно оставить так), но некоторые значения логичнее перенести в соседние группы. Так, значение 0,5789 (верхняя строка) явно ближе к 1-й группе, а значение 2,6667 – к предпоследней группе; туда их и перенесём:

г) Очевидно, что равнонаполненная группировка более удачна, с ней и работаем. По каждой группе подсчитаем суммы, количество станков и выборочные средние. Результаты представим в виде групповой таблицы:

И на всякий пожарный примеры расчёта групповых средних:
т/кВт;
т/кВт;
и так далее. Вычисления удобно проводить опять же в Экселе (см. ролик ниже).

Да, кстати, не забываем предварительно проконтролировать объём выборки:
, что и требовалось проверить.

д) Построим интервальный вариационный ряд по равнонаполненной группировке. Границы интервалов можно брать как средние арифметические «стыковых» значений, например: (граница между 1-м и 2-м интервалом). Но вполне допустимо (и даже лучше) разметить интервалы «на глазок», выбирая удобные «круглые» значения:

Полученный интервальный ряд имеет разную длину интервалов, но для него точно так же можно построить гистограмму, полигон и эмпирическую функцию распределения, а также рассчитать различные характеристики. Правда, с модой проблема будет и для её нахождения таки лучше использовать равноинтервальную группировку (пункт б).

Теперь смотрим ролик по быстрому и эффективному выполнению задания:

Как выполнить структурную группировку и вычислить средние? (Ютуб)

Выражаясь научно, мы выполнили статистическую сводку. Статистическая сводка – это комплекс действий по обработке статистических данных с целью анализа спастической совокупности. Причём, в пункте а) была простая статическая сводка (подсчёт общих показателей), которая переросла в сводку сложную, включающую в себя группировку данных, расчёт групповых характеристик и сведение результатов в групповую таблицу.

е) Я не случайно выделил этот пункт. Довольно часто в заданиях подобного типа требуется сделать краткие выводы – в них нужно отразить основные результаты выполненных действий и особенности исследуемой совокупности.

И мы сделаем простенькие выводы. Сказать здесь можно следующее. В результате исследования рассчитана средняя металлоёмкость т/кВт по выборке и средние значения по группам равнонаполненной (наиболее удачной) группировки. Большинство станков (18 шт. в первых трёх группах) имеют показатель металлоёмкости меньший, чем средняя металлоёмкость по выборке. Пять станков (группа 5) обладают значительно бОльшей металлоёмкостью, чем остальные, и причины этого требуют отдельного анализа (возможно, станки морально устарели).

Несколько строчек вполне достаточно, даже многовато получилось.

Следующее задание для самостоятельного решения:

По результатам выборочного исследования 50 предприятий получены данные об их квартальной прибыли (числа в экселевском файле), млн. руб. Требуется: 1) вычислить среднюю прибыль, 2) провести равнонаполненную группировку и вычислить групповые средние, 3) построить соответствующий вариационный ряд, 4) сделать выводы.

Вообще, здесь удобно разбить выборку на 5 интервалов (и такой вариант вполне себе неплох), но от греха подальше лучше использовать формулу Стерджеса, что я и сделал в образце решения, который, как обычно, находится внизу страницы. Ваш вариант решения может немного отличаться от моей версии.

Теперь вернёмся к пункту «бэ» Примера 55, где была выполнена не слишком удачная равноинтервальная группировка, скопирую табличку сверху:

Как вы помните, от «куцых» интервалов мы избавились, выполнив равнонаполненную группировку. Но есть и другой метод «лечения», который называется перегруппировкой.

Перегруппировка – это вторичная группировка, которая состоит в преобразовании уже построенного вариационного ряда. И одним из инструментов перегруппировки является укрупнение интервалов. В данном случае можно просто объединить три последних интервала, и, коль скоро, нам известны первичные (исходные) данные, то заодно подкорректируем границы всех интервалов до удобных значений:

Не так, конечно, получилось подробно, как в равнонаполненной группировке, но тоже вполне наглядно. При желании, к слову, первый интервал легко измельчить, получив нечто близкое или даже совпадающее с этой группировкой. Благо, исходные числа в нашем распоряжении.

Но что делать, если первичные данные не известны?

Перегруппируйте следующие данные о численности работающих на 55 предприятиях, образовав следующие группы: до 400, 400-1000, 1000-3000, 3000-6000, свыше 6000:

В этой задаче мы не знаем исходные варианты (конкретную численность рабочих по предприятиям), но решение есть! Для удобства оформлю его по пунктам, ВНИМАТЕЛЬНО вникайте в суть:

1) Выделим новый промежуток «до 400» (красный цвет на рисунке ниже). В него, понятно, войдёт интервал «до 100» (4 предприятия) и часть интервала «100-500», а именно часть 100-400, выделенная коричневым цветом:

Теперь длину коричневой части нужно сопоставить с длиной интервала «100-500» (с ):
– таким образом, три четверти предприятий интервала «100-500» следует отнести в пользу промежутка «до 400»: .
Итого в промежутке «до 400» оказывается предприятий.

…вроде всё просто, а объяснить было довольно сложно 🙂 Соответственно, на кусок «400-500» останется предприятия. Выражаясь кратко, этот принцип можно называть выделением пропорциональных долей. Доли выделяются пропорционально длинам частей интервала.

2) Выделим новый промежуток «400-1000». В него войдёт оставшийся старый «кусок» «400-500» с двумя предприятиями и старый интервал «500-1000» с 5 предприятиями:

Итого на промежутке «400-1000» оказалось предприятий.

3) Выделим новый промежуток «1000-3000». В него полностью войдёт старый интервал «1000-2000» с 14 предприятиями и одна треть интервала с «2000-5000» с предприятиями:

Нужную долю (одну треть) мы нашли как отношение длины коричневого интервала к длине интервала «2000-5000» :

Таким образом, в промежуток «1000-3000» вошло предприятий.

4) В новый промежуток «3000-6000» входят две трети старого интервала «2000-5000» (см. рис. выше), что составляет предприятий (или ), и, кроме того, одна пятая старого интервала «5000-10000», к которой относится предприятие:

Одна пятая найдена как отношение длины коричневого интервала «5000-6000» к длине интервала «5000-10000»:

Таким образом, в промежуток «3000-6000» вошло предприятий.

5) И, наконец, в последний новый промежуток «свыше 6000» входят четыре пятых старого интервала «5000-10000» (см. рис. выше) или предприятия, а также 3 предприятия старого интервала «10000-20000» и 1 предприятие интервала «свыше 20000».

Итого: предприятий.

Перегруппировка завершена, новый вариационный ряд построен:

И обязательно проконтролируем объем выборки, мало ли что-то потерялось или мы где-то обсчитались:
, в чём и требовалось убедиться.

Следует отметить, что метод выделения долей, строго говоря, не точен, и если в нашем распоряжении есть первичные данные, то, конечно же, ориентируемся на них – в результате с высокой вероятностью получатся немного другие частоты по группам. Но для выборочной совокупности годится и долевая перегруппировка, поскольку от выборки к выборке мы всё равно будем получать разные значения и строить похожие, но всё же разные вариационные ряды.

Перегруппировка часто применятся для того чтобы сопоставить «родственные» совокупности с разными интервалами:

По результатам выборочного исследования двух банок банков получены данные о заработной плате их служащих:

Сравнить уровень заработной платы банков, выделив интервалы: до 500, 500-1000,
1000-2000, 2000-3000, 3000-4000, 4000-5000, свыше 5000, и рассчитав относительные частоты по каждому банку. Результаты представить в виде общей таблицы, сделать выводы.

Для удобства я заготовил для вас Эксель-шаблон, не ленимся! Если трудно, то можно использовать рисунки с разметкой интервалов (по образцу предыдущего примера), в образце я ограничился аналитическим решением.

И я жду вас на следующем уроке, который посвящён дисперсиям, коль скоро, были средние, то где-то рядом нас поджидают и дисперсии.

Пример 56. Решение:

1) вычислим среднюю квартальную прибыль предприятий:
млн. руб.

2) Проведём равнонаполненную группировку с равным или примерно равным количеством предприятий в каждой группе.

Оптимальное количество интервалов определим по формуле Стерджеса:
и, округляя влево, получаем 6 интервалов. Таким образом, в каждом интервале будет содержаться – от 7 до 9 предприятий.

Упорядочим совокупность по возрастанию и выделим в ней следующие группы; в групповой таблице вычислим суммы и групповые средние:

Промежуточный контроль: , ч.т.п.

3) Построим интервальный вариационный ряд:

4) Средняя прибыль предприятий за квартал составила млн. руб. Прибыль варьируется в пределах от 82 до 124 млн. руб. и равнонаполненная группировка показала, что распределение предприятий по данному показателю близкО к равномерному. То есть, практически нет предприятий со слишком большой или слишком малой прибылью.

З.Ы. Возможно, вы заметили что-то ещё! 😉

Пример 58. Решение: 1) выполним перегруппировку по 1-му банку:

– В новый промежуток «до 500» войдут интервалы «до 100» и «100-500»:
чел.

– Новые промежутки «500-1000, 1000-2000» совпадают со старыми интервалами.

– Новые промежутки «2000-3000, 3000-4000, 4000-5000» полностью входят в старый интервал «2000-5000». Делим частоту этого интервала на 3:
– в каждый новый промежуток.
В промежутки «2000-3000, 3000-4000» относим по 11 человек, а в промежуток «4000-5000» – 10 человек (предполагая то, что людей с бОльшей заработной платой – меньше)

– Новый промежуток «5000 и более» совпадает со старым интервалом.

2) Выполним перегруппировку второго вариационного ряда:

– Старый интервал «до 1000» разобьём на два новых равных промежутка, при этом в промежуток «до 500» отнесём 5 человек, а в промежуток «500-1000» – 6 человек (предполагая, что людей с более низкой з/п – чуть меньше)

– В новый промежуток «1000-2000» входит интервал «1000-1500» и половина интервала «1500-2500», в людях это составит:
чел.

– В новый промежуток «2000-3000» входит половина интервала «1500-2500» и интервала «2500-4200», в людях это составляет:
чел.

– В новый промежуток «3000-4000» входит интервала «2500-4200», в людях это составляет:
чел.

– В новый промежуток «4000-5000» входит интервала «2500-4200» и интервала «4200-6000», в людях это составит:

чел.

– И в новый промежуток «свыше 5000» входит интервала «4200-6000» и интервал «свыше 6000», в людях это составит:
чел.

Результаты сведём в единую таблицу, при этом рассчитаем относительные частоты по каждому банку:

Краткие выводы: Для обоих банков характерна зарплата от 1000 до 2000 у.е., однако в 1-м банке чуть более высокий уровень заработной платы – значительное количество сотрудников получает более 2000 у.е. Но, скорее всего, основная их масса имеет з/п в диапазоне 2000-3000, здесь требуется дополнительное исследование первичных данных, поскольку формальное разбиение интервала «2000-5000» на три равных интервала не очень удачно.

З.Ы. Возможно, вы заметили что-то ещё! 😉

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник