На страницах нашего онлайн портала alivahotel.ru мы расскажем много самого интересного и познавательного, полезного и увлекательного для наших постоянных читателей.
Около четырехугольника можно описать окружность если
Здравствуйте! Около четырехугольника можно описать окружность если ЧТО?? Помогите ответить на вопрос, пожалуйста!! Спасибо!
Вписанный в окружность четырехугольник – это четырехугольник, все вершины которого лежат на этой окружности. В этом случае окружность называют описанной вокруг четырехугольника. Если взять произвольный четырехугольник, то вокруг него не всегда можно описать окружность, а лишь при выполнении определенных свойств. Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов будет равна 180 градусов. То есть для данного рисунка можно записать, что: Угол BAD + угол BCD = 180 градусов.
Среди четырехугольников, относящихся к параллелограммам, окружность можно описать лишь вокруг квадрата и прямоугольника. Вокруг трапеции может быть описана окружность только в том случае, если эта трапеция является равнобокой (равнобедренной). Рассмотрим пример использования данного свойства.
Задача. Известны два угла четырехугольника, вписанного в окружность, которые равны 82 градуса и 58 градусов. Найти размер большего из неизвестных углов.
Решение. Воспользуемся свойством вписанных четырехугольников в окружность и найдем угол, который лежит против угла, равного 82 градусам: 180 – 82 = 98 градусов. Найдем угол, противолежащий углу 58 градусов: 180 – 58 = 122 градуса.
Сумма противолежащих углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
Дано: ABCD вписан в окр. (O; R)
∠A — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.
∠C — вписанный угол, опирающийся на дугу DAB.
Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то
Что и требовалось доказать.
Теорема (признак вписанного четырёхугольника)
Около четырёхугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов равна 180°.
Дано: ABCD — четырёхугольник,
Доказать: ABCD можно вписать в окружность
Опишем окружность около треугольника ABC и докажем, что точка D лежит на этой окружности.
Доказательство будем вести методом от противного.
Предположим, что точка D не лежит на описанной около треугольника ABD окружности. Тогда D лежит либо внутри этой окружности, либо вне её.
Пусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.
В этом случае четырёхугольник ABCE — вписанный, и сумма его противолежащих углов равна 180°: ∠B+∠E=180°.
По условию, ∠B+∠D=180°. Отсюда следует, что ∠D=∠E.
Но угол D — внешний угол треугольника DCE при вершине D.
Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов, то
∠ADC=∠DEC+∠DCE, то есть угол D не может быть равным углу E. Пришли к противоречию. А значит, точка D не может лежать внутри окружности, описанной около треугольника ABC.
Предположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.
Луч AD пересекает окружность в точке E.
Тогда ABCE — вписанный четырёхугольник и ∠B+∠E=180°.
По условию, ∠B+∠D=180°. Получаем, что ∠D=∠E.
Но угол E — внешний угол треугольника ECD при вершине E. А значит,
∠AEC=∠EDC+∠DCE, то есть углы D и E не могут быть равными. Противоречие получили потому, что предположили, что точка D лежит вне окружности.
Так как точка D не может лежать внутри либо вне описанной около треугольника ABC окружности, то D лежит на этой окружности. Это значит, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
Что и требовалось доказать.
На основании свойства и признака вписанного четырёхугольника сформулируем необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника.
Теорема(Необходимое и достаточное условие вписанного четырёхугольника)
Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма уго противолежащих углов равна 180°.
Многоугольник. Свойства четырехугольников вписанных в окружность.
Если все вершины какого-нибудь многоугольника(ABCDE) лежат на окружности, то говорят, что этот многоугольник вписан в окружность, или что окружность описана около него.
Теорема.
В выпуклом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d).
Обратная теорема:
Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна двум прямым углам (2d), то около него можно описать окружность.
Необходимо обосновать, что около такого четырехугольника можно описать окружность. Через какие-нибудь три его вершины, например, A,B,С прочертим окружность (что всегда можно сделать).
Четвертая вершина D должна располагаться на этой окружности, потому что в противном случае угол D лежал бы своей вершиной или внутри круга, или вне его, и тогда этот угол не измерялся бы половиной дугиABС, поэтому сумма B+D не измерялась бы полусуммой дуг ADС и ABС, т.е. сумма B+D не равнялась бы 2d, что противоречит условию.
Следствия.
1. Из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность.
2. Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобедренная.
AH + BF + CF + DH = = AD + BC, AE + BE + CG + DG = = AB + CD,
то справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Следовательно, справедливы равенства
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
Фигура
Рисунок
Утверждение
Ромб
В любой ромб можно вписать окружность
Квадрат
В любой квадрат можно вписать окружность
Прямоугольник
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
Параллелограмм
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
Дельтоид
В любой дельтоид можно вписать окружность
Трапеция
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Квадрат
В любой квадрат можно вписать окружность
Прямоугольник
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
Параллелограмм
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
Дельтоид
Трапеция
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Дано: ABCD вписан в окр. (O; R)
Пусть точка D лежит внутри окружности и луч AD пересекает окружность в точке E.
Предположим, что точка D лежит вне описанной около треугольника ABC окружности.
