около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну доказательство

Математика

Урок 1: Окружность, описанная около правильного многоугольника и вписанная в правильный многоугольник

Тема 33

Окружность, описанная около правильного многоугольника и вписанная в правильный многоугольник.

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины многоугольника лежат на этой окружности.

Теорема

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство

Итак, OA₁ = OA₂ =…= OA_n, т.е. точка O равноудалена от всех вершин многоугольника. Значит, окружность с центром O и радиусом OA₁ является описанной около многоугольника.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например A₁, A₂, A₂. Так как через три точки проходит только одна окружность, то около многоугольника A₁A₂…A_n можно описать только одну окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности

Теорема

В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствие 1

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех сторон многоугольника в их серединах.

Следствие 2

Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник

Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен 150°

Значит, правильный многоугольник имеет 12 сторон.

Источник

Геометрия. 9 класс

Пусть A₁ A₂ A₃ … A_n – правильный многоугольник, О – точка пересечения биссектрис углов A₃ и A₂.
Докажем, что отрезок OA₁ равен OA₂ равен OA₃ и так далее равен OA_n. Так как многоугольник правильный, то угол A₂ равен углу A₃, а значит, угол 1 равен углу 3. Отсюда следует, что треугольник OA₂ A₃ равнобедренный, и, следовательно, равны отрезки OA₃ и OA₂.
Треугольники OA₂ A₃ и треугольник OA₂ A₁ равны по двум сторонам и углу между ними (A₂ A₃ = A₁ A₃, A₂ O – общая сторона и угол 3 равен углу 4, следовательно, OA₃ = OA₁.
Аналогично можно доказать, что OA₄ = OA₂, OA₅ = OA₃ и так далее. Таким образом, доказали, что точка О равноудалена от всех вершин многоугольника, поэтому окружность с центром в точке О и радиусом OA₁ является описанной около многоугольника.
Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Пусть A₁ A₂ A₃ … A_n – правильный многоугольник, О – центр описанной окружности.

В ходе доказательства предыдущей теоремы мы установили, что равны треугольники OA₂ A₃, OA₁ A₂ … OA₁ A_n. Поэтому высоты этих треугольников, проведённые из вершины О, также равны, то есть OH₁ = OH₂ = ⋯OH_n. Отсюда следует, что окружность с центром О и радиусом OH₁ проходит через точки H₁, H₂, … H_n и касается сторон многоугольника в этих точках, то есть эта окружность вписана в данный правильный многоугольник.
Докажем теперь единственность окружности. Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом OH₁ есть и другая окружность, вписанная в данный многоугольник. Тогда её центр O₁ равноудален от сторон многоугольника, то есть точка O₁ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника, и следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, то есть равен OH₁. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана.
Так как в равнобедренных треугольниках OA₂ A₃, OA₁ A₂ … OA₁ A_n проведенные высоты OH₁, OH₂, … OH_n являются и медианами, то имеет место следствие 1: окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.
При доказательстве теоремы о вписанной в правильный многоугольник окружности было установлено следствие 2: центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник. Эта точка называется центром правильного многоугольника.
Докажем теперь единственность окружности. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например, A₁, A₂, A₃. Так как через эти три точки проходит только одна окружность, то около многоугольника A₁ A₂ A₃ … A_n можно описать только одну окружность. Теорема доказана.
Рассмотрим задание из открытого банка ОГЭ.
ABCDEFGHI — правильный девятиугольник. Найдите угол EAI. Ответ дайте в градусах.

Источник

§ 1. Правильные многоугольники

Правильный многоугольник

Вы знаете, как измеряются отрезки и как измеряются площади многоугольников. Вам известны формулы, по которым можно вычислить площади треугольника и некоторых четырёхугольников. А как вычислить длину окружности и площадь круга, если известен их радиус? Ответ на этот вопрос вы найдёте в этой главе. Но сначала нам предстоит познакомиться с красивыми геометрическими фигурами — правильными многоугольниками, вывести для них важные формулы, а затем уже с их помощью мы получим формулы длины окружности и площади круга.

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Примерами правильных многоугольников являются равносторонний треугольник и квадрат. На рисунке 306 изображены правильные пятиугольник, семиугольник и восьмиугольник.

Окружность, описанная около правильного многоугольника

Напомним, что окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности. Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Пусть А₁А₂А₃. А_n — правильный многоугольник, О — точка пересечения биссектрис углов А₁ и А₂ (рис. 307).

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А₁, А₂, А₃. Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника A₁A₂A₃. A_n можно описать только одну окружность. Теорема доказана.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Напомним, что окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Докажем теорему об окружности, вписанной в правильный многоугольник.

Докажем теперь, что вписанная окружность только одна.

Предположим, что наряду с окружностью с центром О и радиусом ОН₁ есть и другая окружность, вписанная в многоугольник А₁А₂. А_n. Тогда её центр О₁ равноудалён от сторон многоугольника, т. е. точка О₁ лежит на каждой из биссектрис углов многоугольника и, следовательно, совпадает с точкой О пересечения этих биссектрис. Радиус этой окружности равен расстоянию от точки О до сторон многоугольника, т. е. равен ОН₁. Таким образом, вторая окружность совпадает с первой. Теорема доказана.

Эта точка называется центром правильного многоугольника.

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

Пусть S — площадь правильного n-угольника, а_n — его сторона, Р — периметр, а r и R — радиусы соответственно вписанной и описанной окружностей. Докажем сначала, что

Соединим центр данного многоугольника с его вершинами (см. рис. 308). Тогда многоугольник разобьётся на n равных треугольников, площадь каждого из которых будет равна Следовательно,

Выведем далее формулы:

Для вывода этих формул воспользуемся рисунком 308. В прямоугольном треугольнике А₁Н₁О

Полагая в формуле (2) n = 3, 4 и 6, получим выражения для сторон правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:

Построение правильных многоугольников

Рассмотрим способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Построения правильного треугольника и правильного четырёхугольника, т. е. квадрата, рассматривались ранее. Для построения правильных п-угольников при n > 4 обычно используется окружность, описанная около многоугольника.

Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

Для решения задачи воспользуемся формулой (4). Пусть PQ — данный отрезок. Построим окружность радиуса PQ и отметим на ней произвольную точку А₁ (рис. 309). Затем, не меняя раствора циркуля, построим на этой окружности точки А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ так, чтобы выполнялись равенства А₁А₂ = А₂А₃ = А₃А₄ = А₄А₅ = А₅А₆. Соединяя последовательно построенные точки отрезками, получим искомый правильный шестиугольник А₁А₂А₃А₄А₅А₆.

Для построения правильных многоугольников часто используется следующая задача:

Дан правильный n-угольник. Построить правильный 2n-угольник.

Пусть A₁A₂. A_n — данный правильный n-угольник. Опишем около него окружность. Для этого построим биссектрисы углов А₁ и А₂ и обозначим буквой О точку их пересечения. Затем проведём окружность с центром О радиуса ОА₁ (см. рис. 307).

Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Оказывается, однако, что не все правильные многоугольники допускают такое построение. Доказано, например, что правильный семиугольник не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Любопытно, что с помощью этих инструментов можно построить правильный семнадцатиугольник.

Задачи

1078. Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным? Ответ обоснуйте.

1079. Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник является правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) треугольник является правильным, если все его углы равны; в) любой равносторонний треугольник является правильным; г) любой четырёхугольник с равными сторонами является правильным? Ответ обоснуйте.

1080. Докажите, что любой правильный четырёхугольник является квадратом.

1081. Найдите углы правильного n-угольника, если: а) n = 3; б) n = 5; в) n = 6; г) n = 10; д) n = 18.

1082 Чему равна сумма внешних углов правильного n-угольника, если при каждой вершине взято по одному внешнему углу?

1083. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135°; г) 150°?

1084. Сколько сторон имеет правильный вписанный многоугольник, если дуга описанной окружности, которую стягивает его сторона, равна: а) 60°; б) 30°; в) 90°; г) 36°; д) 18°; е) 72°?

1085. Докажите, что серединные перпендикуляры к любым двум сторонам правильного многоугольника либо пересекаются, либо совпадают.

1086. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы любых двух углов правильного многоугольника, либо пересекаются, либо совпадают.

1087. На рисунке 311, а изображён квадрат, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а4 — сторона квадрата, Р — периметр квадрата, S — его площадь, г — радиус вписанной окружности).

1088. На рисунке 311,6 изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (а₃ — сторона треугольника, Р — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).

1089. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.

1090. Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?

1091. Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска.

1092. Около окружности описаны квадрат и правильный шестиугольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шестиугольника равен 48 см.

1093. Около правильного треугольника описана окружность радиуса R. Докажите, что R = 2r, где r — радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1094. Найдите площадь S правильного га-угольника, если: а) n = 4, R = 3√2 см; б) n = 3, Р = 24см; в) n = 6, r = 9см; г) n = 8, r = 5√3 см.

1095. Расстояние между параллельными гранями шестигранной головки болта, основание которого имеет форму правильного шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.

1096. Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения площадей этих многоугольников.

1097. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё.

1098. Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности.

1099. Правильный восьмиугольник A₁A₂. A₈ вписан в окружность радиуса R. Докажите, что четырёхугольник А₃А₄А₇А₈ является прямоугольником, и выразите его площадь через R.

1100. С помощью циркуля и линейки в данную окружность впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный треугольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник.

Ответы к задачам

1081. а) 60°; б) 108°; в) 120°; г) 144°; д) 160°.

1082. 360°. 1083. а) 3; б) 4; в) 8; г) 12.

1084. а) 6; б) 12; в) 4; г) 10; д) 20; е) 5.

1085. Указание. Воспользоваться тем, что серединный перпендикуляр к любой стороне правильного многоугольника проходит через центр описанной окружности.

1086. Указание. Воспользоваться тем, что биссектриса любого угла правильного многоугольника проходит через центр вписанной окружности.

1087.
1) R=3√2, r = 3, Р = 24, S = 36;
2) R = 2√2, а₄ = 4, Р = 16, S = 16;
3) r = 2√2, а₄ = 4√2, Р = 16√2, S = 32;
4) R = 3,5√2, r = 3,5, а₄ = 7, S = 49;
5) R = 2√2, r = 2, а₄ = 4, Р = 16.

1088.
1) r = 1,5, а₃ = 3√3, Р = 9√3,
2)
3) R = 4, а₃ = 4√3, Р = 12√3, S = 12√3;
4)
5), а₃ = 2, S = √3.

1095.

1098. a) 2√3r, 6√3r, 3√3r 2 ; б) √3R, 3√3R,

1100. в), г) Указание. Воспользоваться задачей 2, п. 113.

Источник