какое высказывание не относится к понятию компланарности трех векторов

Какое высказывание не относится к понятию компланарности трех векторов

Определение. Три вектора, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными.

Пусть три вектора а, b, с компланарны. Не ограничивая общности, можно считать, что эти векторы лежат в одной плоскости.

В этом случае вектор будет перпендикулярен этой плоскости и, следовательно, перпендикулярен вектору с, поэтому скалярное произведение

Следовательно, смешанное произведение компланарных векторов равно нулю.

Обратно, если смешанное произведение , то векторы а, b, с компланарны.

Действительно, если бы эти векторы были бы не компланарны, то на них можно было бы построить параллелепипед с объемом . Но так как , то отсюда следовало бы, вопреки предположению, что .

Итак, для того чтобы три вектора а, b, с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю, т. е.

Рассмотрим теперь примеры на применение смешанного произведения векторов.

Пример 1. Показать, что векторы компланарны.

Решение. Составляем смешанное произведение этих векторов:

Так как смешанное произведение оказалось равным нулю, то, следовательно, векторы компланарны.

Пример 2. Вычислить объем пирамиды с вершинами в точках .

Решение. Рассмотрим векторы

Из элементарной геометрии известно, что объем пирамиды, построенной на ребрах ОЛ, ОВ и ОС, равен объема параллелепипеда, построенного на тех же ребрах.

(при вычислении определителя мы воспользовались разложением по элементам третьего столбца).

Источник

Компланарность векторов. Условия компланарности векторов.

рис. 1

Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.

Условия компланарности векторов

Примеры задач на компланарность векторов

Решение: найдем смешанное произведение векторов

Ответ: вектора не компланарны так, как их смешанное произведение не равно нулю.

Решение: найдем смешанное произведение векторов

Ответ: вектора компланарны так, как их смешанное произведение равно нулю.

Решение: найдем количество линейно независимых векторов, для этого запишем значения векторов в матрицу, и выполним над ней элементарные преобразования

	1	1	1
	1	2	0
	0	-1	1
	3	3	3

из 2-рой строки вычтем 1-вую; из 4-той строки вычтем 1-вую умноженную на 3

111111

к 3-тей строке добавим 2-рую

111

Так как осталось две ненулевые строки, то среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Ответ: вектора компланарны так, как среди приведенных векторов лишь два линейно независимых вектора.

Источник

Компланарные векторы и условие компланарности

В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:

Определение компланарных векторов

Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости.

Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.

Условия компланарности векторов

Примеры решения задач на компланарность векторов

Исследуем на компланарность векторы

Как решить?

Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:

Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.

Ответ: векторы не являются компланарными.

Докажем, что три вектора

Как решить?

Находим смешанное произведение данных векторов:

Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.

Ответ: векторы являются компланарными.

Проверим, компланарны ли векторы

Как решить?

Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:

К 3-ей строке прибавляем 2-ю:

Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.

Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора.

Источник

Онлайн калькулятор. Компланарность векторов.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто проверить являются ли три вектора компланарными.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на проверку компланарности трех векторов и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для проверки компланарности векторов

Ввод данных в калькулятор для проверки компланарности векторов

Из имеющихся у вас данных введите значения трех векторов которые будут проверяться на компланарность. После нажатия кнопки «Проверить компланарны ли три вектора» вы получите детальное решение задачи.

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для проверки компланарности векторов

Теория. Компланарность векторов

Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Какие векторы называют компланарными

Компланарные векторы – это векторы, которые лежат в одной плоскости, или параллельны какой-либо плоскости.

Рассмотрим три вектора в трехмерном пространстве. Любые два из них будут компланарными всегда. Поэтому, компланарность проверяют минимум для трех векторов.

Почему любые два вектора всегда компланарны

Поясним факт, что любые два вектора будут компланарными.

Для начала вспомним, какие векторы называют равными. Равны векторы, у которых совпадают три характеристики: длина, направление, соответственные координаты.

При параллельном переносе вектор не поворачивается. Этот новый вектор \( \vec> \) будет иметь те же длину, направление и координаты, что и начальный вектор до сдвига. Другими словами, с помощью параллельного переноса можно получить вектор, равный данному вектору.
\[ \vec = \vec> \]

Если два вектора равны, то вместо одного из них мы сможем использовать второй, когда это будет удобным для нас.

Проделаем теперь те же операции с каким-либо другим вектором \( \vec \). В результате получим вектор \( \vec> \), равный вектору \( \vec \).

Любые два вектора можно параллельным переносом сдвинуть так, чтобы совместить их начальные, или конечные точки. Значит, через эти векторы можно провести пересекающиеся прямые. А такие прямые будут лежать в одной плоскости.

Таким образом, любые два вектора всегда компланарны.

Например, любые два орта Декартовой прямоугольной системы координат компланарны, а тройка ортов – некомпланарные векторы. Подробнее об ортах тут (откроется в новой вкладке).

Условие компланарности

Найдем смешанное произведение трех векторов.

Если такое произведение будет равно нулю, то три вектора компланарные.

Условие компланарности векторов:
\[\large \boxed < \left( \vec, \vec , \vec \right) = 0 >\]

Как вычислить смешанное произведение

Смешанное произведение можно обозначить еще одним способом:

Результат смешанного произведения – это число. Если число равно нулю, то векторы компланарны.

Как применять смешанное произведение

Если три вектора не компланарны, то на них, как на сторонах, можно построить параллелепипед, или пирамиду.

С помощью смешанного произведения можно рассчитывать объемы параллелепипедов или треугольных пирамид, построенных на трех некомпланарных векторах.

Примечание:
Определитель может быть равен отрицательному числу. А объем может быть либо нулевым, либо положительным. Поэтому, если при вычислении объема определитель будет равен отрицательному числу, знак минус не учитываем.

Рисунок 2 поясняет, как с помощью векторов на ребрах параллелепипеда можно рассчитать его объем

Рисунок 3 поясняет, как с помощью векторов на ребрах пирамиды можно рассчитать ее объем

Смешанное произведение векторов в физике — работа вращающей силы

Пусть цилиндрическое тело вращается под действием силы. Ось вращения проходит через ось симметрии тела.

Работа вращающей силы – это смешанное произведение векторов \( \vec <\omega>\), \(\vec < r>\) и \(\vec < F>\)

\[ \large \boxed < dA = \left( \vec\left[ \vec <\omega>, \vec \right] \right)\cdot dt >\]

Пояснения:

Линейная скорость – это векторное произведение радиуса окружности на угловую скорость:

Расстояние, \( \vec\) которое проходит точка при повороте на небольшой угол — – это произведение вектора линейной скорости на скалярную величину – время:
\[ \vec = v \cdot dt \]

Небольшая работа dA – это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения
\[ dA = \left( \vec \cdot \vec \right)\]

Источник