какое выражение называется целым
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.
Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены этих многочленов.
Разность двух многочленов – это сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.
Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и каждого члена многочлена.
Правило приведения многочлена к стандартному виду:
1)каждый член многочлена привести к стандартному виду;
2)привести подобные члены.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Перед нами несколько выражений, можно ли из них составить общее выражение, соединяя их знаками сложения, вычитания и умножения?
Безусловно. Данные действия мы научились выполнять на предыдущих занятиях.
Одно из выражений, которое может быть получено: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у)
Мы узнаем, как называется полученное выражение, и научимся упрощать подобные выражения.
Начнём с определения.
Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.
Например, полученное при выполнении задания выражение является целым, т.к. многочлены соединены знаками сложения, вычитания и умножения:
(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) – целое выражение.
Выражение, которое содержит многочлены, соединённые знаком деления, не будет являться целым.
Например, выражение (7 + 14а) + (23 – с) : (х + у) – не является целым.
8х + 12 – целое выражение.
Целые выражения можно упрощать, используя правила сложения, вычитания и умножения многочленов.
Во-первых, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена одного многочлена и каждого члена другого многочлена Т.е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.
Например, так выполняется умножение многочленов.
(а + с)(х + у) = ах + ау + сх +су
Во-вторых, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.
Например, так находится сумма многочленов:
(а + с) + (к + х) = а + с + к + х
И, наконец, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.
Например, так находится разность двух многочленов.
(а + с) – (к + х) = а + с – к – х
Выражение, полученное в результате выполнения этих действий, нужно приводить к стандартному виду.
Любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.
Рассмотрим, как упрощать целое выражение.
Упростите выражение: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у).
Сначала выполним умножение двух первых многочленов, затем раскроем скобки у оставшихся многочленов. Т.к. перед третьей скобкой стоит знак минус, то знаки членов данного многочлена поменяются на противоположные.
(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) = 17 · 16а + 17·(-15)х + 16ас +(-15)сх – 3 – 4ас + х+ у =
Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду
= 272а – 255х + 16ас – 15сх – 3 – 4ас + х + у = 272а – 254х + 12ас –15сх + у –3
Итак, сегодня мы получили представление о том, что такое целое выражение, научились его упрощать.
Рассмотрим дополнительно, как доказать, что целое выражение является нулевым многочленом.
Докажите, что целое выражение является нулевым многочленом.
(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к 2 + у 2 – 8х 2 )
Для доказательства этого утверждения упростим выражение.
Для этого раскроем скобки и приведем к стандартному виду полученное выражение.
Полученный многочлен является нулевым, что и требовалось доказать.
Разбор заданий тренировочного модуля.
Составьте целое выражение по тексту задачи.
Найдите площадь прямоугольника со сторонами (а + с) и (к + х).
Для решения задачи, нужно вспомнить, что площадь прямоугольника находят как произведение двух его смежных сторон. Исходя из условия задачи, площадь находим как (а + с)(к + х). Это и есть искомый ответ.
2. Упростите целое выражение и найдите его степень: 3 · (х + 3)(х – 6) – 5х 2
Вначале упростим целое выражение, используя свойства умножения многочлена на многочлен и одночлена на многочлен. Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду, а затем найдём степень полученного многочлена.
Алгебра. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.
Сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены этих многочленов.
Разность двух многочленов – это сумма уменьшаемого и многочлена, противоположного вычитаемому.
Произведение одночлена и многочлена равно многочлену, членами которого являются произведения этого одночлена и каждого члена многочлена.
Правило приведения многочлена к стандартному виду:
1)каждый член многочлена привести к стандартному виду;
2)привести подобные члены.
1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.
1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.
2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.
3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Перед нами несколько выражений, можно ли из них составить общее выражение, соединяя их знаками сложения, вычитания и умножения?
Безусловно. Данные действия мы научились выполнять на предыдущих занятиях.
Одно из выражений, которое может быть получено: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у)
Мы узнаем, как называется полученное выражение, и научимся упрощать подобные выражения.
Начнём с определения.
Алгебраическое выражение, в котором несколько многочленов соединены знаками сложения, вычитания и умножения, называется целым выражением.
Например, полученное при выполнении задания выражение является целым, т.к. многочлены соединены знаками сложения, вычитания и умножения:
(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) – целое выражение.
Выражение, которое содержит многочлены, соединённые знаком деления, не будет являться целым.
Например, выражение (7 + 14а) + (23 – с) : (х + у) – не является целым.
8х + 12 – целое выражение.
Целые выражения можно упрощать, используя правила сложения, вычитания и умножения многочленов.
Во-первых, произведение многочленов равно многочлену, членами которого являются произведения каждого члена одного многочлена и каждого члена другого многочлена Т.е. чтобы найти произведение многочленов, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена, а полученные одночлены сложить.
Например, так выполняется умножение многочленов.
(а + с)(х + у) = ах + ау + сх +су
Во-вторых, сумма многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены данных многочленов.
Например, так находится сумма многочленов:
(а + с) + (к + х) = а + с + к + х
И, наконец, разность двух многочленов равна многочлену, членами которого являются все члены уменьшаемого и, взятые с противоположными знаками, все члены вычитаемого.
Например, так находится разность двух многочленов.
(а + с) – (к + х) = а + с – к – х
Выражение, полученное в результате выполнения этих действий, нужно приводить к стандартному виду.
Любое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида.
Рассмотрим, как упрощать целое выражение.
Упростите выражение: (17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у).
Сначала выполним умножение двух первых многочленов, затем раскроем скобки у оставшихся многочленов. Т.к. перед третьей скобкой стоит знак минус, то знаки членов данного многочлена поменяются на противоположные.
(17 + с)(16а – 15х) – (3 + 4ас) + (х + у) = 17 · 16а + 17·(-15)х + 16ас +(-15)сх – 3 – 4ас + х+ у =
Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду
= 272а – 255х + 16ас – 15сх – 3 – 4ас + х + у = 272а – 254х + 12ас –15сх + у –3
Итак, сегодня мы получили представление о том, что такое целое выражение, научились его упрощать.
Рассмотрим дополнительно, как доказать, что целое выражение является нулевым многочленом.
Докажите, что целое выражение является нулевым многочленом.
(2х + у)(2х – у) – ( к + 2х)(к – 2х) + (к 2 + у 2 – 8х 2 )
Для доказательства этого утверждения упростим выражение.
Для этого раскроем скобки и приведем к стандартному виду полученное выражение.
Полученный многочлен является нулевым, что и требовалось доказать.
Разбор заданий тренировочного модуля.
Составьте целое выражение по тексту задачи.
Найдите площадь прямоугольника со сторонами (а + с) и (к + х).
Для решения задачи, нужно вспомнить, что площадь прямоугольника находят как произведение двух его смежных сторон. Исходя из условия задачи, площадь находим как (а + с)(к + х). Это и есть искомый ответ.
2. Упростите целое выражение и найдите его степень: 3 · (х + 3)(х – 6) – 5х 2
Вначале упростим целое выражение, используя свойства умножения многочлена на многочлен и одночлена на многочлен. Далее приведём полученный многочлен к стандартному виду, а затем найдём степень полученного многочлена.
Алгебра. 8 класс
Целые выражения – это такие выражения, которые состоят из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля. 
Дробные выражения – это выражения, которые помимо действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля, содержат деление на выражение с переменными. 
Целые и дробные выражения вместе называют рациональными выражениями.
Дробь – это выражение вида 
.
Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, потому что действия для нахождения значения целого выражения, всегда возможны.
Дробное выражение при некоторых значениях переменной может не иметь смысла.
- •
не имеет смысла при x = 0. •
не имеет смысла при x = y. Дробные выражения имеют смысл при любых значениях входящих в них переменных, кроме тех, что обращают знаменатель в нуль.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями.
Рациональная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой многочлены.
Примеры 
В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.
Чтобы найти допустимые значения переменных в дроби, необходимо:
- • Приравнять знаменатель, содержащий переменные, к нулю.
• Решить полученное уравнение. Корни этого уравнения будут являться теми значениями переменных, которые обращают знаменатель в нуль.
• Исключить эти значения из всех действительных чисел.
Пример 1.
Найти допустимые значения переменной в дроби 
.
1) x(x + 1) = 0
2) x = 0 или x + 1 = 0
x = 0 или x = –1.
Корни уравнения 0 и – 1.
3) Допустимыми значениями x являются все числа, кроме 0 и –1.
Пример 2.
Найти значения x, при которых дробь 
равна нулю.
, когда x 2 – 1 = 0 и x + 1 ≠ 0.
1) x 2 – 1 = 0
2) (x – 1)(x + 1) = 0
x = ±1
3) x + 1 ≠ 0
x ≠ –1.
при x = 1.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Виды рациональных выражений
Целое выражение – это математическое выражение, составленное из чисел и буквенных переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения. Также к целым относятся выражения, которые имеют в своем составе деление на какое либо число, отличное от нуля.
Примеры целого выражения
Ниже представлены несколько примеров целых выражений:
Дробные выражения
Если же в выражении присутствует деление на переменную или на другое выражение содержащее переменную, то такое выражение не является целым. Такое выражение называется дробным. Дадим полное определение дробного выражения.
Примеры дробных выражений:
Дробные и целые выражения составляют два больших множества математических выражений. Если эти множества объединить, то получим новое множество, которое называется рациональными выражениями. То есть рациональные выражения это все целый и дробные выражения.
Нам известно, что целые выражения имеют смысл при любых значениях переменных, которые в него входят. Это следует из того, что для нахождения значения целого выражения необходимо выполнять действия, которые всегда возможны: сложение, вычитание, умножение, деление на число отличное от нуля.
Дробные же выражения, в отличии от целых, могут и не иметь смысла. Так как присутствует операция деления на переменную или выражение содержащее переменные, и это выражение может обратится в нуль, а делить на нуль нельзя. Значения переменных, при которых дробное выражение будет иметь смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Рациональная дробь
Одним из частных случаев рациональных выражений будет являться дробь, числитель и знаменатель которой многочлены. Для такой дроби в математике тоже существует свое название – рациональная дробь.
Рациональная дробь будет иметь смысл в том случае, если её знаменатель не равен нулю. То есть допустимыми будут являться все значения переменных, при которых знаменатель дроби отличен от нуля.
Рациональные выражения
Урок 1. Алгебра 8 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Рациональные выражения»
На этом уроке мы вспомним, какие выражения называют целыми и дробными. Познакомимся с рациональными выражениями. Узнаем, какие значения называют допустимыми. А также научимся находить допустимые значения выражения.
Вы уже знакомы с целыми и дробными выражениями. Давайте вспомним их определения.
Целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных, содержащие действия сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.
В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.
Рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.
Напомним, что целые выражения имеют смысл при любых значениях переменных. Чтобы найти значение целого выражения, нужно подставить указанное значение переменной и выполнить все действия.
Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла.
Чтобы найти значение рационального выражения, надо:
1) подставить числовое значение переменной в данное выражение;
2) выполнить все действия.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Множество всех допустимых значений переменных называется областью допустимых значений (коротко ОДЗ) или областью определения выражения.
Как вы уже знаете, выражение вида 
называется дробью.
Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют рациональной дробью.
Найдите значение дроби.
Найдите допустимые значения переменной в выражениях:
Целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных, содержащие действия сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.
В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.
Рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.
Чтобы найти значение рационального выражения, надо:
1) Подставить числовое значение переменной в данное выражение;
2) Выполнить все действия.
Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.
Множество всех допустимых значений переменных называется областью допустимых значений или областью определения выражения.