какое тело образуется если равносторонний треугольник вращать вокруг биссектрисы
Какое тело образуется, если равносторонний треугольник вращать вокруг биссектрисы?
Цилиндр
Ни одно из данных тел
Ответы 10
Я думаю это шар, так же это можно проверить на бумаге в виде чертежа.
4.Ни одно из данных тел
ответ: Образуется конус
вариант 90 градусов
это правильно проверено в онлайн мектеп и билимленд
К сожалению, к задаче не приложен чертёж, но в любом случае ответ будет 27 см.
На отрезок РК приходится одна сторона от каждого равностороннего треугольника, а на ломаную – две стороны. Поэтому, длина отрезка будет в два раза меньше длины ломаной.
Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.
Определение равностороннего треугольника
Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.
Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.
Свойство 2
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.
CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.
Свойство 3
В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.
Свойство 4
Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.
Свойство 5
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.
Свойство 6
В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:
1. Высоту/медиану/биссектрису:
2. Радиус вписанной окружности:
3. Радиус описанной окружности:
4. Периметр:
5. Площадь:
Пример задачи
Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.
Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:
Свойства биссектрисы равностороннего треугольника
В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равностороннего треугольника, а также разберем пример решения задачи по данной теме.
Примечание: напомним, что равносторонним называется треугольник, в котором равны как все стороны, так и все углы.
Свойства биссектрисы равностороннего треугольника
Свойство 1
Любая биссектриса равностороннего треугольника одновременно является и медианой, и высотой, и серединным перпендикуляром.
BD – биссектриса угла ABC, которая также является:
Свойство 2
Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.
Свойство 3
Биссектрисы равностороннего треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Свойство 4
Точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника является центром описанной и вписанной окружностей.
Свойство 5
Биссектриса равностороннего треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) прямоугольных треугольника.
Примечание: Три биссектрисы равностороннего треугольника делят его на 6 равновеликих прямоугольных треугольников.
Свойство 6
Любая из внешних биссектрис угла равностороннего треугольника параллельна стороне, лежащей напротив данного угла.
Свойство 7
Длину биссектрисы ( la ) равностороннего треугольника можно выразить через его сторону.
где a – сторона треугольника.
Пример задачи
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 4 см. Найдите длину его стороны.
Решение
Согласно Свойствам 3 и 4, рассмотренным выше, радиус вписанной окружности составляет 1/3 часть от биссектрисы равностороннего треугольника. Следовательно, вся ее длина равняется 12 см (4 см ⋅ 3).
Теперь мы можем найти сторону треугольника с помощью формулы ниже (получена из Свойства 7):
Какое тело образуется вращением равносторон. треугольника вокруг медианы?
Какое тело образуется, если равносторонний треугольник вращать вокруг медианы?
Образуется конус. На картинке будет понятнее)
Определение длинны медианы.
На основании рисунка имеем:
h₁ = МВ/ctg 60⁰ = (1/2)/(1/√3) = √3/2,
m₁ = h₂ = h₁* cos 45⁰ = (√3/2)* (√2/2) = √6/4,
Раньше за меня медиану множества искал Excel, но тут озаботился теорией. Оказывается, не все так просто. Если в множестве нечетное количество чисел, то достаточно отсортировать это множество по возрастанию или убыванию, и число, которое будет в середине списка и будет медианой. А вот если чисел в множестве четное количество, то тут есть тонкость. Надо также отсортировать числа по возрастанию или по убыванию и найти теперь уже два числа, которые будут в середине списка (их количество же четное). Найдя эти два числа необходимо найти их среднее арифметическое. Это и будет искомая нами медиана множества.
Есть ещё и другие свойства, которые можно в справочниках посмотреть, но они реже используются при решении задач.
Например, на этом чертеже отрезки AF, СЕ и BD являются медианами треугольника ABC. Они делят каждую сторону пополам, что показано с помощью одинаковых штрихов.
Точка О является центром тяжести треугольника. Она делит каждую медиану на отрезки, длины которых относятся в отношении 2:1, считая от вершин.
Равносторонний треугольник (ЕГЭ 2022)
И вот мы снова изучаем треугольники. Это всё больше похоже на заговор…
Не волнуйся: после прочтения этой статьи тайн не останется, ведь ты будешь знать всё о равностороннем треугольнике!
Тема простая, но очень важная!
Равносторонний треугольник — коротко о главном
Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны. \(AB=BC=AC=a\)
В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \(<<60>^
>\).
В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины;
Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.
Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка \(O\);
В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны \(a\):
Определение равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны.
Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \(<<60>^
>\)
Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме \(<<180>^
Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).
Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.
Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.
Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!
В равностороннем треугольнике оказалось не \(12\) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!
Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.
Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. \(R=2\cdot r\)
Уже должно быть очевидно, отчего так.
Посмотри на рисунок: точка\( O\) – центр треугольника.
Значит, \(OB\) – радиус описанной окружности (обозначили его \(R\)), а \(OK\) – радиус вписанной окружности (обозначим \(r\)).
Но ведь точка \(O\) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.
Поэтому \(OB=2\cdot OK\), то есть \(R=2\cdot r\).
Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.
Давай удостоверимся в этом.
Высота равностороннего треугольника
Рассмотрим \(\Delta ABK\) – он прямоугольный.
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника
Это уже теперь должно быть совсем ясно:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Бонус 1. Статьи о других треугольниках
Подробная информация о других треугольниках в следующих статьях:
А в нашем учебнике по подготовке к ЕГЭ по математике вы найдете подробную информацию о других разделах математики:
Бонус 2: Вебинары о треугольниках, чтобы набить руку в решении задач
А в этих видео из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике вы можете потренироваться, решая задачи вместе с нашим репетитором Алексеем Шевчуком.
Это не просто вебинары, «бла-бла-бла» о теории математики. Это разбор задач в режиме реального времени.
Вы точно научитесь решать любые задачи на эти темы, если их прослушаете.
Хотите получить максимум от этих вебинаров? Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.
ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия
Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.
Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.
Но в этом видео мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.
На этом уроке мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.
ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник
В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. Убедимся в утверждении из прошлого урока — очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.
ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство
Итак, задача 16 профильного ЕГЭ. Подобие треугольников. Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ.
Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников! Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.
Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.
В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.
Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.
Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.
Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике
К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете.
Если у вас с этим сложности, приходите к нам.
И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы:
Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».
Поговорим о тебе?
Равносторонний треугольник, как ты заметил, находится в очень удобной позиции!
С одной стороны, для него выполняются все свойства равнобедренного треугольника. С другой стороны, он очень интересен как правильная фигура (а интересна она связью с окружностями!).
Но сейчас не об этом… Расскажи нам, как тебе статья? Понравилась?
Напиши в комментариях!
А еще пиши, если есть вопросы. Мы обязательно тебе ответим.
Добавить комментарий Отменить ответ
Один комментарий
Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Gabit
18 сентября 2019
Спасибо большое, хоть дочка и учится в школе с другим языком обучения, символы в математике едины и Ваша статья ей помогла.