какое понятие не связано с суммой ряда

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

Базовые тезисы

a k является общим или k –ым членом ряда.

Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

Мы доказали, что числовой ряд сходится.

Мы доказали, что числовой ряд расходится.

Ряд ∑ k = 1 ∞ b k знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.

Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

Приведем примеры для каждого случая соответственно:

Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

Знакочередующийся ряд ∑ k = 1 ∞ b k абсолютно сходится в том случае, когда ∑ k = 1 ∞ b k также считается сходящимся.

Подробно разберем несколько характерных вариантов

Знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается условно сходящимся в том случае, если ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, а ряд ∑ k = 1 ∞ b k считается сходящимся.

Особенности сходящихся рядов

Проанализируем свойства для определенных случаев

Разложим исходный вариант:

Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

Проверим исходное выражение на выполнение условия lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Как определить сходимость знакоположительного ряда.

Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

Как сравнивать ряды

Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

Первый признак

Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

Второй признак

Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 означается, что первоначальный вариант также сходится.

Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

Третий признак

Рассмотрим третий признак сравнения.

Признак Даламбера

Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

Определить, является ряд сходящимся или расходящимся ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k по признаку Даламбера.

Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = » open=» ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 ‘ 2 k ‘ = lim k → + ∞ 2 2 k · ln 2 = 2 + ∞ · ln 2 = 0

Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 ( k + 1 ) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 1 2 1

Ряд является сходящимся.

Следовательно, ряд является расходящимся.

Радикальный признак Коши

Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

Определить, является ли знакоположительный ряд ∑ k = 1 ∞ 1 ( 2 k + 1 ) k на сходящимся.

Интегральный признак Коши

, то в случае, если несобственный интеграл ∫ a + ∞ f ( x ) d x является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

Рассмотреть пример ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k на сходимость.

Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.

Признак Раабе

Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

Исследование на абсолютную сходимость

Расходимость знакопеременных рядов

Если ряд ∑ k = 1 ∞ b k – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд ∑ k = 1 ∞ b k либо расходящийся, либо условно сходящийся.

Признаки для условной сходимости

Признак Лейбница

Ряд условно сходится.

Признак Абеля-Дирихле

∑ k = 1 + ∞ u k · v k сходится в том случае, если < u k >не возрастает, а последовательность ∑ k = 1 + ∞ v k ограничена.

Источник

Какое понятие не связано с суммой ряда. Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

1.Числовые ряды: основные понятия, необходимые условия сходимости ряда. Остаток ряда.

2.Ряды с положительными членами и признаки их сходимости: признаки сравнения, Даламбера, Коши.

3. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.

1. Определение числового ряда. Сходимость

В математических приложениях, а также при решении некоторых задач в экономике, статистике и других областях рассматриваются суммы с бесконечным числом слагаемых. Здесь мы дадим определение того, что понимается под такими суммами.

Пусть задана бесконечная числовая последовательность

. (1.1)

Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления-го члена ряда по его номеру

(1.2)

(1.3)

Числовая последовательность при неограниченном возрастании номераможет:

1) иметь конечный предел;

2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).

В этом случае число называетсясуммой ряда (1.1) и пишется

Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.

Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.

Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.4. Доказать, что ряд

сходится, и найти его сумму.

Общий член ряда представим в виде.

Отсюда имеем: . Следовательно, данный ряд сходится и его сумма равна 1:

Для этого ряда

. Следовательно, данный ряд расходится.

Замечание. При ряд (1.6) представляет собой сумму бесконечного числа нулей и является, очевидно, сходящимся.

2. Основные свойства числовых рядов

Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7)

Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:

С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:

Сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Так их можно умножать на числа, почленно складывать и вычитать. У них можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые.

Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

Доказательство теоремы следует из того, что , и если

S – сумма ряда (1.1), то

Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…

Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его составляющие- членами ряда.

Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой ряда: Sn = u1+..+un

2 Геометрический и арифметический ряды

Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз. геометрическим:
или

a  0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда:

следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит от величины q

1 |q| 1
и предел суммы так же равен бесконечности

т. е. ряд расходится.

3 при q = 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn = na
ряд расходится

Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии:
u – первый член, d – разность. Сумма ряда

при любых u1 и d одновременно  0 и ряд всегда расходится.

3 С-ва сходящихся рядов

Пусть даны два ряда: u1+u2+…un =(1) иv1+v2+…vn = (2)

Произведением ряда (1) на число   R наз ряд: u1+u2+…un =(3)

Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:

Т1 Об общем множителе

Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для любого числа  ряд = тоже сходится и его суммаS’ = S Если ряд (1) расходится и   0, то и ряд тоже расходится. Т. е. общий множитель не влияет на расходимости ряда.

Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд:
тоже сходится и если его сумма, то  = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба ряда расходятся. то ихняя сумма (или разность)может как расходится (если un=vn) так и сходиться (если un=vn)

Для ряда (1) ряд
называетсяn – ным остатком ряда. Если нный остаток ряда сходится, то его сумму будем обозначать: r n =

Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма = частичная сумма ряда Sn + r n

Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не влияет на сходимость (расходимость) ряда.

4 Необходимый признак сходимости рядов

Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю:

Док-во:

Сей признак является только необходимым, но не является достаточным., т. е. если предел общегоь члена и равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд при этом сходился. Следовательно, вот сие условие при его невыполнении является зато достаточным условием расходимости ряда.

5 Интегральный признак сходимости ряда. Ряд Дирихле

Т1 Пущай дан рядт (1), члены которого неотрицательны, и не возрастают:u1>=u2>=u3…>=un

Если существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная и не возрастающая на такая, что f(n) = Un,  n  N, то для сходимости ряда (1) необходимо унд достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:
, а для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл наоборот расходился (ВАУ!).

Применим сей признак для исследования ряда Дирихле: Вот он: ,  R Сей ряд называют обобщенным гармоническим рядом, при  >0 общий член оного un=1/n  0 и убывает поэтому можно воспользоваться интегральным признаком, функцией здеся будет ф-ция f(x)=1/x  (x>=1)сия ф-ция удовлетворяет условиям теоремы 1 поэтому сходимость (расходимости) ряда Дирихле равнозначна сходимости расходимости интеграла:

Возможны три случая:

1  >1,

Интеграл а потому и ряд сходится.

Интеграл и ряд расходится

Интеграл и ряд расходится

При этом числа
будем называть членами ряда, аu n – общим членом ряда.

Определение. Суммы
,n = 1, 2, … называются частными (частичными) суммами ряда.

Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S 1 , S 2 , …, S n , …

Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы.

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда
и
, где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд
сходится и его сумма равна S , то ряд
тоже сходится, и его сумма равна С S . (C  0)

3) Рассмотрим два ряда
и
.Суммой или разностью этих рядов будет называться ряд
, где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды
и
сходятся и их суммы равны соответственно S и  , то ряд
тоже сходится и его сумма равна S +  .

Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.

(необходимые и достаточные условия сходимости ряда)

Для того, чтобы последовательность
была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал такой номер N , что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, выполнялось бы неравенство:

.

Пусть
, тогда для любого числа
найдется номер N такой, что неравенство

выполняется при n>N. При n>N и любом целом p>0 выполняется также неравенство
. Учитывая оба неравенства, получаем:

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

Сформулируем критерий Коши для ряда.

Для того, чтобы ряд
был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы для любого
существовал номер N такой, что при n > N и любом p >0 выполнялось бы неравенство

.

Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости:

1) Если ряд
сходится, то необходимо, чтобы общий член u n стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Найдем
— необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится.

2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена.

Однако, этот признак также не является достаточным.

Например, ряд 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что

Ряды с неотрицательными членами.

При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами.

Признак сравнения рядов с неотрицательными членами.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Т.к.
, а гармонический рядрасходится, то расходится и ряд
.

Пример.

Т.к.
, а ряд
сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд
тоже сходится.

Также используется следующий признак сходимости:

Теорема. Если
и существует предел
, где h – число, отличное от нуля, то ряды
и
ведут одинаково в смысле сходимости.

(Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)

Если для ряда
с положительными членами существует такое число q 1 – расходится. Если  = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Пример. Определить сходимость ряда .

Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда

Вывод: ряд сходится.

Признак Коши. (радикальный признак)

Если для ряда
с неотрицательными членами существует такое число q 1 ряд расходится.

Пример. Определить сходимость ряда
.

Вывод: ряд сходится.

Пример. Определить сходимость ряда
.

Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.

,

таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Интегральный признак Коши.

Если  (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке и
то интегралы
и
ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

где

Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины u i убывают
и общий член стремится к нулю
, то ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость рядов.

Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

(1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

(2)

Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:

По свойству абсолютных величин:

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

Пусть
— знакопеременный ряд.

Признак Даламбера. Если существует предел
, то при

Признак Коши. Если существует предел
, то при 1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.

2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.

Так как пределом каждой функции, входящей в область сходимости ряда, является некоторое число, то пределом функциональной последовательности будет являться некоторая функция:

выполняется при n>N.

Пример. Рассмотрим последовательность

Построим графики этой последовательности:

sinx

Определение. Частными (частичными) суммами функционального ряда
называются функции

Теорема. (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для равномерной сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы для любого числа  >0 существовал такой номер N ( ), что при n > N и любом целом p >0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [ a , b ].

Теорема. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)

(Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) – немецкий математик)

Ряд
сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [ a , b ], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами:

т.е. имеет место неравенство:

.

Еще говорят, что в этом случае функциональный ряд
мажорируется числовым рядом
.

Пример. Исследовать на сходимость ряд
.

Так как
всегда, то очевидно, что
.

При этом известно, что общегармонический ряд при=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Теорема о непрерывности суммы ряда.

Если члены ряда
— непрерывные на отрезке [ a , b ] функции и ряд сходится равномерно, то и его сумма S (x ) есть непрерывная функция на отрезке [ a , b ].

2) Теорема о почленном интегрировании ряда.

3) Теорема о почленном дифференцировании ряда.

Если члены ряда
сходящегося на отрезке [ a , b ] представляют собой непрерывные функции, имеющие непрерывные производные, и ряд, составленный из этих производных
сходится на этом отрезке равномерно, то и данный ряд сходится равномерно и его можно дифференцировать почленно.

На практике часто применяется разложение функций в степенной ряд.

Определение. Степенным рядом называется ряд вида

.

Для исследования на сходимость степенных рядов удобно использовать признак Даламбера.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Применяем признак Даламбера:

.

Получаем, что этот ряд сходится при
и расходится при
.

Теперь определим сходимость в граничных точках 1 и –1.

При х = 1:
ряд сходится по признаку Лейбница (см. Признак Лейбница. ).

(Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик)

Теорема. Если степенной ряд
сходится при x = x 1 , то он сходится и притом абсолютно для всех
.

Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то

Из этого неравенства видно, что при x

4. Признак Коши радикальный.

Если для знакоположительного ряда существует предел
(2), то ряд сходится, еслиq 1. Если q=1 то вопрос остается открытым.

5. Признак Коши интегральный.

Вспомним несобственные интегралы.

Если существует предел
. Это есть несобственный интеграл и обозначается
.

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.

Пусть ряд а 1 +а 2 +а 3 +…+а n +…=— знакоположительный ряд.

Обозначим a n =f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.

Если ряд конечен, то он сходится.

Как мы получили преобразованную сумму? показать\скрыть

Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:

Тогда выражение для частичной суммы примет вид:

Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:

Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.

Источник