Осевая и центральная симметрия
Что такое симметрия
Симметрия — это соразмерность, пропорциональность частей чего-либо, расположенных по обе стороны от центра. Говоря проще, если обе части от центра одинаковы, то это симметрия.
Ось симметрии фигуры — это прямая, которая делит фигуру на две симметричные части. Чтобы наглядно понять, что такое ось симметрии, внимательно рассмотрите рисунок.
Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии.
Вернемся к рисунку: на нем мы видим фигуры, имеющие ось и центр симметрии.
Рассмотрите фигуры с осевой и центральной симметрией.
Витрувианский человек да Винчи — хрестоматийный пример симметрии. Принято считать, что, чем предмет симметричнее, тем он красивее. Хотя, по секрету, в природе нет ничего абсолютно симметричного, так уж задумано. Вся идеальная симметрия — дело рук человека.
Осевая симметрия
Вот как звучит определение осевой симметрии:
Осевой симметрией называется симметрия, проведенная относительно прямой. При осевой симметрии любой точке, расположенной по одну сторону прямой, всегда соответствует другая точка на второй стороне этой прямой.
При этом отрезки, соединяющие эти точки, перпендикулярны оси симметрии.
Осевая симметрия часто встречается в повседневной жизни. К сожалению, не на фото в паспорте и не в стрелках на глазах. Но её вполне себе можно встретить в половинках авокадо, на морде кота или в зданиях вокруг. Осевая симметрия — неотъемлемая часть архитектуры. Оглядитесь и поищите примеры осевой симметрии вокруг вас.
В геометрии есть фигуры, обладающие осевой симметрией: квадрат, треугольник, ромб, прямоугольник.
Давайте разберемся, как построить фигуру, симметричную данной относительно прямой.
Пример 2. Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно прямой d.
Пример 3. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно прямой l.
Центральная симметрия
Теперь поговорим о центральной симметрии — вот ее определение:
Центральной симметрией называется симметрия относительно точки.
Фигуры с центральной симметрией, как и фигуры с осевой симметрией, окружают нас повсюду. Центральную симметрию можно заметить в живой природе, в разрезе фруктов и в цветах на 8 марта.
Давайте разберемся, как построить центральную симметрию и рассмотрим алгоритм построения фигур с центральной симметрией.
Пример 2. Постройте треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).
Пример 3. Построить отрезок A1B1, симметричный отрезку AB относительно центра (точки О).
Задачи на самопроверку
В 8 классе геометрия — сплошная симметрия: центральная, осевая, зеркальная да какая угодно. Чтобы во всем этом не поплыть, больше тренируйтесь. Чертите и приглядывайтесь, угадывайте вид симметрии и решайте больше задачек. Вот несколько упражнений для тренировки. Мы в вас очень верим!
Задачка 1. Рассмотрите симметричные геометрические рисунки и назовите вид симметрии.
Мы рассмотрели примеры осевой и центральной симметрии и знаем, что:
Симметрия относительно прямой — осевая
Симметрия относительно точки — центральная
Задачка 2. Пусть M и N какие-либо точки, l — ось симметрии. М1 и N1 — точки,
симметричные точкам M и N относительно прямой l. Докажите, что MN = М1N1.
Подсказка: опустите перпендикуляры из точек N и N1 на прямую MМ1.
Задачка 3. Постройте фигуру, симметричную данной относительно прямой a.
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Какое отображение плоскости называется: а) осевой симметрией ; б) центральной симметрией?
Центральная и осевая симметрии
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА1 (рис. 1). Точка О считается симметричной самой себе.
Пример центральной симметрии
Точки А и А1 – симметричные относительно точки О
Рис. 1
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.
Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм (рис. 2).
Центральная симметрия
Фигуры, обладающие центральной симметрией
Рис. 2
Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма — точка пересечения его диагоналей. Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии (точка О на рис. 2), у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является ее центром симметрии.
Осевая симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (рис. 3). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.
Осевая симметрия
Точки А и А1 — симметричные относительно прямой а
Рис. 3
Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры.
Примеры таких фигур и их оси симметрии изображены на рисунке 4.
Осевая симметрия
Рис. 4
Заметим, что у окружности любая прямая, проходящая через ее центр, является осью симметрии.
Сравнение симметрий
Центральная и осевая симметрии
Построение треугольника (а) симметрично относительно оси (б) и точки (в)
Рис. 5
Что такое осевая симметрия? Само слово «симметрия» имеет греческие корни и говорит о существующем определенном порядке расположения частей некого предмета, а также о его соразмерности.
Под симметрией понимается такое качество предметов, что их можно совместить друг с другом при некоторых преобразованиях.
Что такое симметрия
Наиболее часто это понятие встречается в геометрии. Объект считается симметричным, если после некоторых геометрических преобразований он смог сохранить свои первоначальные свойства.
В качестве примера стоит рассмотреть обычный круг. Если его вращать вокруг условного центра, он сохранит свою форму и первоначальные характеристики. Поэтому этот геометрический предмет смело можно назвать симметричным.
Виды симметрии определяются возможными преобразованиями для данного объекта и его свойствами, которые в результате проведенных манипуляций должны сохраниться. В случае, когда это условие не соблюдается, можно утверждать о наличии асимметрии.
Рис. 1 Фигуры, обладающие симметричностью
Центральная симметрия
Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.
Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром.
Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.
Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.
Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии
Осевая симметрия
Это симметрия относительно прямой. В данном классе две точки симметричны относительно некой прямой, если она пересекает центр отрезка, соединяющего эти две точки и является перпендикуляром к нему. Любая точка прямой симметрична сама себе.
Рис. 3 Наглядное представление осевой симметрии
В качестве наглядно примера можно взять обычный бумажный лист, если его сложить пополам. Если через линию сгиба провести прямую – это и будет центром.
Определенная точка одной половины листы имеет такую же симметричную точку на другой его части, расположенную на перпендикуляре на таком же расстоянии от осевой линии. Одна часть листа тетради является по сути зеркальным отображением другой.
Рис. 4 Примеры осевой симметрии
Фигуры, имеющие несколько осей симметрии
Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.
Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.
То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.
Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.
Рис. 5 Оси симметрии ромба
Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.
Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника
В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики.
Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.
Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.
Геометрия. 11 класс
Конспект урока
Геометрия, 11 класс
Урок №4. Движения в пространстве
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.
Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.
Потоскуев Е.В., Звавич Л. И., Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-63.
Открытые электронные ресурсы:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Определение движения в пространстве
Преобразованием пространства называется взаимно-однозначное отображение пространства на себя.
Два преобразования называются равными, если образы любой точки при этих преобразованиях совпадают.
Точка А называется неподвижной точкой при некотором преобразовании f, если при этом преобразовании она отображается на себя.
Фигура F называется неподвижной фигурой при некотором преобразовании f, если при этом преобразовании она отображается на себя.
Преобразование пространства, которое каждую точку отображает на себя, называется тождественным преобразованием. Оно обычно обозначается Е. При тождественном преобразовании все точки и все фигуры пространства являются неподвижными.
Для любых двух преобразований можно рассмотреть третье, которое получается последовательным применением этих преобразований. Например, если преобразование f отображает точку М на точку М’, а преобразование g отображает точку М’ на точку M», то преобразование f°g отображает точку М на точку M»: f°g(М)=g(f(M))=M».
Под движением пространства понимается отображение пространства на себя, при котором любые две точки A и B переходят (отображаются) в некие точки A1 и B1 так, что |AB|=|A1B1|.
Иными словами, движение пространства — это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками. Так же, как и для движения на плоскости, можно доказать, что при движении в пространстве
— прямые переходят в прямые,
— полупрямые — в полупрямые,
— отрезки — в отрезки,
— сохраняются углы между прямыми.
Новое свойство движения в пространстве: движение переводит плоскости в плоскости.
В пространстве, так же как и на плоскости, две фигуры называются равными, если они совмещаются движением.
Можно доказать, что композиция двух движений пространства есть движение.
Центральная симметрия в пространстве задается и определяется так же, как и на плоскости
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно точки O, называется центральной симметрией пространства относительно точки O. При этом точка O отображается на себя и называется центром симметрии.
Рисунок 1 – Центральная симметрия
На рисунке точка О – центр симметрии, АО=А1О, ВО=В1О, СО=С1О, DО=D1О (по определению точки, симметричной данной).
Центральная симметрия имеет только одну неподвижную точку – центр симметрии.
Сформулируем некоторые свойства центральной симметрии:
1) Прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
2) Прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую.
3) Плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя (то есть является неподвижной плоскостью этой центральной симметрии).
4) Плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость.
3. Осевая симметрия (симметрия относительно прямой):
Точка M’ пространства, не лежащая на прямой m, называется симметричной точке М относительно прямой m, если отрезок ММ’ перпендикулярен этой прямой и делится ею пополам.
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно прямой m, называется осевой симметрией пространства относительно прямой m. Прямая m отображается на себя и называется осью симметрии.
Рисунок 2 – Осевая симметрия
Неподвижные прямые осевой симметрии:
2) любая прямая, перпендикулярная прямой m
Неподвижные плоскости осевой симметрии:
1) любая плоскость, проходящая через прямую m
2) любая плоскость, перпендикулярная прямой m.
Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости):
Точка M’ пространства, не лежащая на плоскости α, называется симметричной точке М относительно плоскости α, если отрезок ММ’ перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам.
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно плоскости α, называется зеркальной симметрией пространства относительно плоскости α. Плоскость α отображается на себя и называется плоскостью симметрии.
Рисунок 3 – Зеркальная симметрия
Неподвижные прямые зеркальной симметрии:
1) любая прямая плоскости α
2) любая прямая, перпендикулярная плоскости α
Неподвижные плоскости зеркальной симметрии:
1) сама плоскость α
2) любая плоскость, перпендикулярная плоскости α.
Параллельный перенос (точки переносятся на данный вектор):
Рисунок 4 – параллельный перенос
Пусть дан вектор 
.
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства M, отображается на такую точку M’, что выполняется равенство 
, называется параллельным переносом на вектор 
.
Перенос на нулевой вектор 
является тождественным преобразованием.
Параллельный перенос отображает прямую на параллельную ей прямую либо на себя; плоскость на параллельную ей плоскость либо на себя.
Неподвижных точек параллельный перенос на ненулевой вектор не имеет.
Неподвижными прямыми при параллельном переносе на вектор 
являются прямые, параллельные этому вектору.
Неподвижными плоскостями при параллельном переносе на вектор 
являются плоскости, параллельные этому вектору.
Поворот на данный угол вокруг данной оси:
Поворотом пространства на угол φ вокруг прямой n называется такое преобразование пространства, при котором любая точка прямой остается неподвижной и в любой плоскости, перпендикулярной прямой n, осуществляется поворот этой плоскости на угол φ вокруг точки ее пересечения с прямой n.
Рисунок 5 – Поворот вокруг прямой
Неподвижными точками являются любая точка оси вращения.
Неподвижной прямой является ось поворота.
Неподвижной плоскостью является любая плоскость, перпендикулярная оси поворота.
Поворот вокруг оси на угол 180 0 является осевой симметрией.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Дан треугольника АВС: А(3,- 2, 4), В (4, 6, 0), С (2, 2, 2)
В какую точку перейдет центр О пересечения медиан данного треугольника при:
Симметрия относительно начала координат
Симметрия относительно координатной плоскости ZOY
Поворот на угол 180 0 относительно координатной оси OZ
Симметрия относительно плоскости х=2
Найдем точку пересечения медиант данного треугольника.
М (
); М(3; 4; 1)
Так как медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то можем найти координаты точки О, зная координаты А и М:
Теперь найдем координаты образа точки О при каждом из преобразований:.
. То есть координаты образа: (5; 0; 5)
(ордината и аппликата точки остаются такими же, а абсцисса меняет знак). То есть координаты образа: (-3; 2; 2).
Эта плоскость параллельная плоскости ZOY, поэтому ордината и аппликата точки остаются такими же. Так как абсцисса токи О хо =3, то расстояние от точки до плоскости α равно 1. Точка, симметричная точке О относительно плоскости α, будет иметь абсциссу, равную хо’ =1.
Что называется осевой симметрией
Что такое осевая симметрия в геометрии
Симметрия – это свойство геометрических фигур отражаться. Симметрия относительно точки называется центральной. Осевая симметрия – это симметрия относительно прямой.
Если точка A и точка B симметричны относительно прямой n, то прямая называется осью симметрии n и проходит через середину отрезка AB. Обозначение осевой симметрии – Sn, таким образом симметрия точек A и B обозначается так:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Другое название осевой симметрии – вращательная – применяется в естественных науках. Данное понятие означает отражение предметов касательно поворотов вокруг прямой.
Свойства осевой симметрии
Теорема и доказательство
Осевая симметрия – это движение, то есть при преобразовании осевой симметрии расстояние между точками сохраняется.
Если отрезок MN симметричен отрезку M1N1 относительно прямой a, то MN = M1N1.
Чтобы доказать, что MN = M1N1, сделаем дополнительные построения:
Докажем, что прямоугольные треугольники MNK и M1N1K1 равны. Стороны MN и M1N1 являются гипотенузами данных треугольников, поэтому, нужно доказать равенство катетов.
Точка N отобразилась в точку N1, значит:
Итак, треугольники равны по двум катетам, следовательно, их гипотенузы равны, то есть MN = M1N1, что и требовалось доказать.
Фигуры, обладающие симметрией
Осевой симметрией обладает угол, а биссектриса является осью симметрии.
Из произвольной точки одной стороны угла опустим перпендикуляр к биссектрисе и продлим его до другой стороны угла:
Рассмотрим Δ KAO и Δ MAO:
Отсюда следует, что KO = OM, поэтому точки K и M симметричны касательно биссектрисы угла.
Следовательно, равнобедренный треугольник тоже симметричен относительно биссектрисы, проведенной к основанию.
Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии – биссектрисы, медианы, высоты каждого угла:
У прямоугольника две оси симметрии. Каждая из них проходит через середины противоположных сторон.
Ромб обладает двумя осями симметрии – это прямые, содержащие его диагонали.
Квадрат имеет 4 оси симметрии, так как он одновременно и ромб, и прямоугольник.
У окружности бесконечное множество осей симметрии – это все прямые, проведенные через центр круга.
Симметрия в повседневной жизни
Симметрия стала частью жизни человека уже в древние времена. Орнаменты с признаками зеркального отражения встречаются на античных зданиях, древнегреческих вазах. Свойство пропорционального расположения заимствовано в науку из природы.
Зеркальное отражение часто встречается в живой и неживой природе. Этой характеристикой обладают снежинки. В растительном мире одинаково расположены противоположные элементы растений: большинство листьев зеркально отражаются сравнительно среднего стебля. В животном мире законы симметрии проявляются в наличии у животных правой и левой сторон. Большинство представителей фауны обладает парными частями тела: уши, лапы, глаза, крылья, рога. Ярким образцом зеркальной симметрии считается бабочка. Прямая, условно проведенная вдоль туловища насекомого по центру, является осью симметрии.
Поскольку человек – это часть природы, в своем творчестве он использует принцип симметрии. В искусстве свойство отражения применяется для создания красоты и гармонии. В архитектуре пропорциональность выполняет практическую функцию – придает зданиям устойчивость и надежность. В предметах быта можно встретить одинаковость в расположении частей узоров на коврах, принтов на ткани, рисунков обоев.
Стремление к созданию симметричного, предположительно, связано с притяжением Земли – гравитацией. Человек интуитивно считает симметрию формулой устойчивости. Принцип зеркального отражения играет важную роль в человеческой жизни. Тяга к гармонии и красоте побуждает человечество придерживаться правил пропорциональности.
