какое наибольшее количество различных натуральных чисел

Какое наибольшее количество различных натуральных чисел

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5120.

а) Может ли быть записано число 230?

б) Можно ли обойтись без числа 14?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

Нетрудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5120, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых есть 230, больше 5120, следовательно, числа 230 на доске быть не может.

б) Пусть на доске не записано число 14. В таком случае, минимально возможная сумма S чисел на доске будет состоять из двух сумм арифметических прогрессий: суммы первых 13 членов прогрессии с первым членом разностью (то есть ряда 1,2,3. 13) и суммы первых 87 членов прогрессии с первым членом разностью (то есть ряда 15,16,17. 101). Найдем эту сумму:

Нетрудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5120, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых нет 14, больше 5120, следовательно, без числа 14 на доске обойтись нельзя.

в) Допустим, что на доске выписаны все числа от 1 до 100. Тогда получается, что полученный ряд составляет арифметическую прогрессию с первым членом разностью По формуле для суммы арифметической прогрессии найдем сумму всех чисел на доске:

При дальнейшей замене чисел, кратных 14 на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться и не соответствовать условию задачи. Таким образом, наименьшее количество чисел, кратных 14 равно 4.

Приведем другое решение пункта в).

Приведем пример, когда на доске написано четыре числа, кратных 14 (14, 28, 42, 56):

Докажем, что не может быть трех чисел, кратных 14. Чтобы убрать максимальное количество чисел, кратных 14, необходимо, чтобы разности между новыми и старыми числами были минимальными. То есть заменять надо наибольшие числа, кратные 14, на наименьшие возможные, большие ста числа. Пусть количество чисел, кратных 14, равно 3. Тогда минимальная сумма записанных на доске чисел равна:

Полученная сумма больше, чем 5120. При дальнейшей замене чисел, кратных 14, на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться, значит, на доске не может быть меньше четырех чисел, кратных 14.

Источник

Задача №19 профильного ЕГЭ по математике

Лекцию читает: Лецко Владимир Александрович, кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики и физики ВГСПУ.

На доске написано несколько различных чисел, каждое из которых делится на 3 и оканчивается на 4.
а) Может ли сумма этих чисел равняться 282?
б) Может ли сумма этих чисел равняться 390?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если их сумма равна 2226?

В школьном живом уголке 4 ученика кормят кроликов. Каждый ученик насыпает нескольким кроликам (хотя бы одному, но не всем) порцию корма. 1-й ученик насыпает порции по 100 г, 2-й – по 200 г, 3-й – по 300 г, 4-й – по 400 г. Какие-то кролики могут остаться без корма.
а) может ли оказаться, что все кролики получили равное количество корма, если их было 15?
б) может ли оказаться, что все кролики получили разное количество корма, если их было 15?
в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если известно, что каждый школьник насыпал корм ровно 4-м кроликам и все кролики получили разное количество корма?

Все члeны последовательности натуральные числа. Каждый из них, кроме первого, в 14 больше или в 14 меньше предыдущего. А сумма всех равна 7424.
а) может ли в последовательности быть ровно 2 числа?
б) может ли в последовательности быть ровно 3 числа?
в) какое наибольшее количество чисел может быть в последовательности?

В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы 2 овоща различной массы, а средняя масса всех овощей 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г., равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г., равна 1030 г.
а) могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой больше 1000 г. и меньше 1000 г.?
б) могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых 1000 г.?
в) какую наибольшую массу может иметь овощ в этом ящике?

На доске было написано 30 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 4, но не превосходит 44. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 11. Вместо каждого из чисел на доске написали число в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 3 стерли с доски.
а) может ли оказаться среднее арифметическое оставшихся чисел больше 16?
б) может ли среднее арифметическое оставшихся чисел оказаться больше 14, но меньше 15?
в) найдите наибольшее возможное среднее арифметическое оставшихся чисел.

Каждый из 32 студентов писал или одну или обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух работ по отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший (единственный, если писал одну работу) из своих баллов. Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно S.
а) Привести пример, когда S

Источник

Какое наибольшее количество различных натуральных чисел

На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5120.

а) Может ли быть записано число 230?

б) Можно ли обойтись без числа 14?

в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 14, может быть на доске?

Сумма всех чисел на доске S будет равна:

Нетрудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5120, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых есть 230, больше 5120, следовательно, числа 230 на доске быть не может.

б) Пусть на доске не записано число 14. В таком случае, минимально возможная сумма S чисел на доске будет состоять из двух сумм арифметических прогрессий: суммы первых 13 членов прогрессии с первым членом разностью (то есть ряда 1,2,3. 13) и суммы первых 87 членов прогрессии с первым членом разностью (то есть ряда 15,16,17. 101). Найдем эту сумму:

Нетрудно заметить, что полученная сумма больше, чем 5120, а это значит, что и любая сумма 100 различных натуральных чисел, среди которых нет 14, больше 5120, следовательно, без числа 14 на доске обойтись нельзя.

в) Допустим, что на доске выписаны все числа от 1 до 100. Тогда получается, что полученный ряд составляет арифметическую прогрессию с первым членом разностью По формуле для суммы арифметической прогрессии найдем сумму всех чисел на доске:

При дальнейшей замене чисел, кратных 14 на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться и не соответствовать условию задачи. Таким образом, наименьшее количество чисел, кратных 14 равно 4.

Приведем другое решение пункта в).

Приведем пример, когда на доске написано четыре числа, кратных 14 (14, 28, 42, 56):

Докажем, что не может быть трех чисел, кратных 14. Чтобы убрать максимальное количество чисел, кратных 14, необходимо, чтобы разности между новыми и старыми числами были минимальными. То есть заменять надо наибольшие числа, кратные 14, на наименьшие возможные, большие ста числа. Пусть количество чисел, кратных 14, равно 3. Тогда минимальная сумма записанных на доске чисел равна:

Полученная сумма больше, чем 5120. При дальнейшей замене чисел, кратных 14, на числа, большие 100, сумма будет увеличиваться, значит, на доске не может быть меньше четырех чисел, кратных 14.

Источник

Какое наибольшее количество различных натуральных чисел

а) Приведите пример 5 различных натуральных чисел, расставленных по кругу так, что наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел равно 105.

б) Можно ли расставить по кругу 8 различных натуральных чисел так, чтобы наименьшее общее кратное двух соседних чисел равнялось 300, а наибольший общий делитель любых трёх подряд идущих чисел равнялся 1?

в) Какое наибольшее количество различных чисел можно расставить по кругу так, чтобы наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел было равно 60?

б) Нет. Каждое число в круге должно являться делителем числа 300. Поскольку делителей всего включая 1 и 300. Наименьшее общее кратное любых двух соседних чисел должно равняться 300, поэтому рядом с числом 1 может стоять только 300 и число 1 не может находиться в круге. Среди делителей числа 300 есть 6 делителей, кратных 2 и не кратных 4, 6 делителей, кратных 5 и не кратных 25, и 2 делителя, кратных 10 и не кратных 4 и 25. Поэтому 10 чисел среди делителей числа 300 кратны 2 или 5 и не кратны их квадратам. Среди 8 чисел, выписанных в круг, не будет числа 1, поэтому там будет хотя бы одно число, кратное 2 или 5 и не кратное их квадратам. Рядом с таким числом с обеих сторон будут стоять числа, кратные тому же простому числу (2 или 5), поэтому наибольший общий делитель этих трёх подряд идущих чисел будет больше 1.

в) Каждое число, выписанное в круг, обязано быть делителем числа 60. У числа всего 12 делителей, считая 60 и 1. Среди этих делителей есть простое число 2, на квадрат которого делится 60. Рядом с числом 2 может стоять только число 60, чтобы их наименьшее общее кратное равнялось 60 (число, стоящее рядом с 2, должно делиться и на 4, и на 3, и на 5), поэтому число 2 не может быть написано. Рядом с числами 5 и 10 могут быть написаны только числа 12 и 60, поэтому если в круге больше 4 чисел, то 5 и 10 не могут одновременно находиться в круге. Аналогично 3 и 6 не могут быть написаны одновременно, поскольку рядом с ними могут быть написаны только числа 20 и 60. Значит, всего может быть выписано в круг не более 8 чисел. Пример чисел 60; 6; 20; 30; 4; 15; 12; 10 показывает, что наибольшее искомое количество чисел равно 8.

Ответ: а) Например, 105; 3; 35; 21; 5; б) нет; в) 8.

Источник

19. Анализ математических моделей

Примеры ответов: 7 или здесьисейчас или 3514

На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

а) Чтобы произведение было больше 40, числа должны быть больше 6 (одно число может равняться 6, но остальные должны быть больше). Чтобы произведение было меньше 10, числа должны быть не больше 10. Подходит набор 6,7,8,9,10.

б) Для удобства будем считать, что числа написаны в порядке возрастания a

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Справа стоит число, которое делится на 5. Значит слева тоже должно стоять число, которое делится на 5, иначе уравнение не имеет решений в целых числах. Но для того, чтобы 3n делилось на 5, нужно, чтобы n делилось на 5. То есть, n — какое-то из чисел: 5, 10, 15 … 40, 45, 50, …. Единственное n, которое удовлетворяет условию 45 30 выполняется неравенство x (например, если y = 32, то x = 31), а при y y (например, если y = 28, то x = 29).

В третьем пункте нас просят найти максимально возможное количество отрицательных чисел. В пункте б) мы как раз получили те уравнения и неравенства из которого можно это оценить:

Подставим x из уравнения в неравенство:

$15+\displaystyle \frac<2>+y\leq 50$

$\displaystyle \frac<3><2>y\leq 35$

Видим, что наибольшее количество отрицательных чисел, которое подходит – это 22.

Натуральные числа от 1 до 20 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности найденных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Каково наименьшее возможное значение полученного результата?

в) Выразим число А явно через суммы:

В предыдущих пунктах было показано, что A≥ 3.

Попробуем следующее минимальное значение А = 4. Достаточно подобрать пример, когда это возможно:

20,19,13; 18,17,9,8; 16,15,14,5,3; 12,11,10,7,6,4,2,1 – такое разбиение подходит, А = 4.

Три числа назовем хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника.

Три числа назовем отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а) Даны 8 различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?

б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?

в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них?

а) Если числа равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и 128, то никакие три из них не образуют хорошую тройку.

Другой пример — последовательность чисел Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

б) Если одно из чисел является длиной гипотенузы для двух треугольников, какое-то из оставшихся трёх чисел является длиной катета для этих двух треугольников, а тогда треугольники окажутся равными по гипотенузе и катету. Значит, каждое число может быть длиной гипотенузы не более чем одного треугольника. При этом два самых маленьких числа не могут являться длиной гипотенузы треугольника. Значит, среди четырёх чисел можно найти не более двух отличных троек.

На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанных на доске заменяется на два числа: a + b и 2a − 1 или a + b и 2b − 1.

Пример: числа 2 и 3 заменяются на 3 и 5, на 5 и 5, соответственно.

а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел, написанных на доске, окажется числом 15.

б) Может ли после 50 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 100?

в) Сделали 2015 ходов, причём на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

а) Число 15 могло получиться в результате следующей последовательности ходов:

б) После первого хода на доске будет записано либо 3 и 5, либо 5 и 5. Заметим, что после каждого последующего хода каждое из двух чисел увеличивается хотя бы на 2. Значит, после 50 ходов меньшее из двух чисел будет не меньше 3 + 49 ∙ 2 = 101. Значит, после 50 ходов на доске не может оказаться число 100.

Изначально разность большего и меньшего чисел была равна 1, а после каждого хода её чётность меняется. Значит, после 2015 ходов разность должна быть чётной. Поэтому наименьшая возможная разность — это 2.

Например, если сначала сделать 1008 ходов, увеличивающих разность, а затем 1007 ходов, уменьшающих разность, то получится два числа, разность которых равна 2.

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор −6, −2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 отрицательных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх отрицательных чисел. Значит, отрицательное число одно, и это число — наименьшее число в наборе, то есть −6. Наибольшее число в наборе 11 является суммой двух положительных задуманных чисел. Из положительных выписанных чисел только 4 и 7 дают в сумме 11. Значит, были задуманы числа −6, 4 и 7.

б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы; три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совладают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.

Аналогично, если было задумано не более трёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более одного нуля. Значит, если было задумано не более четырёх различных чисел, среди которых есть нуль, то на доске окажется не более трёх нулей.

Если были задуманы числа −2; −1; 0; 1; 2, то на доске окажется ровно семь нулей. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.

в) Нет, не всегда. Пример-опровержение: для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Число S таково, что для любого представления S в виде суммы положительных слагаемых, каждое из которых не превосходит 1, эти слагаемые можно разделить на две группы так, что каждое слагаемое попадает только в одну группу и сумма слагаемых в каждой группе не превосходит 17.

а) Может ли число S быть равным 34?

в) Найдите максимально возможное значение S.

б) Поскольку S является суммой двух чисел, не больших 17, получаем S ≤ 34.

$\displaystyle \frac<35>\leq \displaystyle \frac<34> <35>&lt 1$

Можно считать, что слагаемые упорядочены по убыванию. Первую группу составим из k небольших слагаемых так, чтобы

Вторую группу составим из оставшихся слагаемых.

Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a > b > c > d.

а) Найдите числа a, b, c и d, если a + b + с + d = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19.

б) Может ли быть a + b + с + d = 23 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 23?

в) Пусть a + b + с + d = 1200 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 1200. Найдите количество возможных значений числа a.

а) Из условий = 15 и a 2 − b 2 + с 2 − d 2 = 19 получаем:

Так как все числа натуральные и в сумме дают 15, одно из слагаемых должно быть равно 0. Иначе в сумме получается число, которое больше 4. Получаем два случая:

Этот случай не реализуется, так как самое больше число а больше как минимум 3, а b>2.

б) Из условия получаем:

Поскольку a>b получаем, что то есть Аналогично, последнее равенство выполняется только при a=b+1 и c=d+1 Значит, 2b+2d+2=23 что невозможно, так как число 23 нечетное.

в) Из равенства a + b + с + d = a 2 − b 2 + с 2 − d 2

получаем: a=b+1 и c=d+1 как в прошлом пункте.

Значит, 2a+2d=1200, d=600-a

Получаем четвёрку чисел a,b=a-1,c=601-a,d=600-a

Поскольку b>c получаем: a-1>601-a;

Кроме того, d>0 откуда a

Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.

а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске.

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.

а) На доске выписан набор −11, −7, −5, −4, −1, 2, 6. Какие числа были задуманы?

б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?

в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?

а) Если было задумано 4 числа или более, то на доске должно быть записано не менее 15 чисел. Если было задумано 2 числа или меньше, то на доске должно быть записано не более 3 чисел. Значит, было задумано 3 числа. Если бы было задумано 2 положительных числа, то на доске было бы выписано не менее трёх положительных чисел. Значит, положительное число одно, и это число — наибольшее число в наборе, то есть 6. Наименьшее число в наборе −11 является суммой двух отрицательных задуманных чисел. Из отрицательных выписанных чисел только −7 и −4 дают в сумме −11. Значит, были задуманы числа −7, −4 и 6.

б) Рассмотрим различные задуманные числа, среди которых нет нуля. Пусть для этих чисел в наборе на доске оказалось ровно k нулей. Если добавить к задуманным числам нуль, то на доске окажется ровно 2k + 1 нулей: k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел, k нулей, получающихся как суммы ненулевых задуманных чисел и задуманного нуля, и задуманный нуль. Таким образом, если среди задуманных чисел есть нуль, то в наборе на доске окажется нечётное количество нулей.

Если на доске выписано ровно 4 нуля, то среди задуманных чисел нет нуля. Пусть задумано четыре или меньше ненулевых числа. Нуль получается тогда, когда сумма некоторого количества положительных чисел равна по модулю сумме некоторого количества отрицательных чисел. Одно задуманное число даёт одну сумму; два различных задуманных числа одного знака дают три различные суммы: три различных задуманных числа дают семь сумм, среди которых не более двух (задуманное число, наибольшее по модулю, и сумма двух других задуманных чисел) совпадают. Значит, среди сумм положительных и отрицательных чисел совпадают по модулю не более трёх. Таким образом, если было задумано не более четырёх различных ненулевых чисел, то на доске окажется не более трёх нулей.

Если были задуманы числа −2; −1; 1; 2; 3, то на доске окажется ровно четыре нуля. Значит, наименьшее количество задуманных чисел — 5.

в) Нет, не всегда. Например, для задуманных чисел −3, 1, 2 и −2, −1, 3 на доске будет выписан один и тот же набор −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.

Источник