какое наибольшее число последовательных натуральных чисел начиная с 1 можно сложить чтобы меньше 528
Алгебра. Урок 6. Задания. Часть 3.
Решение:
В последовательности натуральных чисел каждое следующее натуральное число больше предыдущего на единицу, данная последовательность будет арифметической прогрессией.
a 1 = 1 – первый член прогрессии,
a n = n – n-й член прогрессии,
d = 1 – разность прогрессии,
S n = a 1 + a n 2 ⋅ n – формула суммы первых n членов арифметической прогрессии.
Исходя из условий задачи, составляем следующее неравенство:
Решим сперва уравнение n 2 + n − 1056 = 0
a = 1, b = 1, c = − 1056
D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 1056 ) = 1 + 4224 = 4225
n 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 6225 2 ⋅ 1 = [ − 1 + 65 2 = 64 2 = 32 − 1 − 65 2 = − 33
Получили, что при сумма будет равна 528. Это значит, что наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, сумма которых меньше 528 равно 31.
№17. В геометрической прогрессии ( b n ) известно, что b 1 = 2, q = − 2. Найти пятый член этой прогрессии.
Решение:
Запишем формулу нахождения n-го члена геометрической прогрессии:
b 5 = b 1 ⋅ q 5 − 1 = 2 ⋅ ( − 2 ) 4 = 2 ⋅ 16 = 32
Решение:
b 4 = 2 ⋅ ( − 3 ) 4 − 1 = 2 ⋅ ( − 3 ) 3 = 8 ⋅ ( − 27 ) = − 54
Решение:
Запишем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:
S n = b 1 ⋅ ( q n − 1 ) q − 1
Подставим эти значения в формулу.
S 6 = − 3 4 ⋅ ( 2 6 − 1 ) 2 − 1 = − 3 4 ⋅ 63 1 = − 189 4 = − 47,25
№20. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.
В ответе перечислите через точку с запятой первый, второй и третий члены прогрессии.
Решение:
Выразим второй и третий члены геометрической прогрессии через первый.
Теперь составим систему.
Теперь найдем первые три члена данной геометрической прогрессии:
b 1 = 75 q + 1 = 75 2 + 1 = 75 3 = 25
b 2 = b 1 ⋅ q = 25 ⋅ 2 = 50
b 3 = b 2 ⋅ q = 50 ⋅ 2 = 100
Решение:
Воспользуемся свойством геометрической прогрессии:
b n 2 = b n − 1 ⋅ b n + 1
x 2 = 6 ⋅ 150 = 900 ⇒ x = ± 30
Так как прогрессия знакопостоянная, то выбираем 30.
Решение:
Воспользуемся свойством геометрической прогрессии:
b n 2 = b n − 1 ⋅ b n + 1
x 2 = 1,75 ⋅ 28 = 49 ⇒ x = ± 7
№23. Дана геометрическая прогрессия ( b n ), для которой b 5 = − 14, b 8 = 112. Найдите знаменатель прогрессии.
Решение:
b 8 = b 7 ⋅ q = ( b 6 ⋅ q ) q = ( ( b 5 ⋅ q ) ⋅ q ) q = b 5 ⋅ q 3
q 3 = b 8 b 5 = 112 − 14 = − 8
Решение:
Из заданного условия определяем, что q = 6.
S n = b 1 ⋅ ( q n − 1 ) q − 1 ⇒ S 4 = − 3 ⋅ ( 6 4 − 1 ) 6 − 1 = − 3 ⋅ ( 1296 − 1 ) 5 = − 3 ⋅ 1295 5 = − 3 ⋅ 259 = − 777