какое множество называют подмножеством данного множества
Множество и его элементы. Подмножества
Понятие множества
Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».
Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».
Приведём примеры множеств:
Множество людей в салоне самолёта
Множество деревьев в парке
Множество планет Солнечной системы
Множество электронов в атоме
Множество натуральных чисел
Множество «синих-синих презелёных красных шаров»
Конечное, бесконечное и пустое множества
Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.
С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.
Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.
Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.
Помидоры на грядке
Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)
Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]
Полосатые летающие слоны
Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости
Способы задания множеств
1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.
Множество всех континентов Земли:
Множество букв слова «математика»:
Множество натуральных чисел меньших 5:
2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.
D =
3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)
Подмножества
Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.
Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.
Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.
Примеры
Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:
Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:
Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:
Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения
(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:
Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:
а) Множество всех натуральных чисел меньше 10
б) Множество всех действительных чисел, кроме 0
в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1
Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:
Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:
Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:
Множества
Множество — это совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита — от A до Z.
Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:
N — множество натуральных чисел,
Z — множество целых чисел.
Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество — множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество — множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.
Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись
означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.
Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.
Подмножество
Подмножество — это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.
Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера — это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.
Рассмотрим два множества:
Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :
Рассмотрим два множества:
Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.
Пересечение и объединение множеств
Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.
При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:
Презентация по алгебре на тему «Множество. Подмножество данного множества» (8 класс)
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Понятие множества. Подмножество данного множества (по учебнику Мерзляка А.Г., Полякова В.М. Алгебра. 8 класс. (углубленное изучение)) Автор: Пряжникова Светлана Юрьевна, учитель математики МАОУ Лицей №13 г. Химки (АКЛ) Московской области
Цель: Познакомить учащихся с понятием «множество», «элемент множества», «подмножество», «собственное подмножество»; формировать умение задавать конечные и бесконечные множества; формировать умение распознавать равные множества.
Планируемые результаты: Учащиеся научатся приводить примеры множеств и подмножеств; учащиеся научатся обозначать множество и его элементы; учащиеся научатся задавать конечные множества; Учащиеся научаться распознавать равные множества; учащиеся получат возможность научиться задавать конечные множества.
В повседневной жизни часто приходится группировать предметы по особым свойствам. Птицы лесов Подмосковья; Призеры и победители Всероссийской олимпиады школьников по астрономии; Растения Красной книги России. Для таких групп в математике существует синоним множество.
Под множеством будем понимать набор, группу, коллекцию, совокупность элементов, обладающих каким-нибудь общим для всех свойством или признаком. Приведите свои примеры множеств.
Для некоторых числовых множеств используются специальные обозначения: Название числового множества Обозначение Множество всех натуральных чисел N Множество всех целых чисел Z Множество всех рациональных чисел Q
Самостоятельная работа по темам: «Свойства степени. Формулы сокращенного умножения» 1 вариант 2 вариант К какому числовому множеству относятся значения данных выражений?
Применение на практике Прочитайте записи. Объясните записи.
Чаще всего множество задают одним из двух способов. Ответ: A = <0 >.
Чаще всего множество задают одним из двух способов. Ответ: B = <1 >.
Задайте с помощью перечисления элементов множество корней уравнения
Чаще всего множество задают одним из двух способов.
Подмножество Множество B называют подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A. Пустое множество считают подмножеством любого множества.
Применение на практике Выполните самостоятельно №1.11 из учебника Алгебра.8 класс/Мерзляк А.Г., Поляков В.М. (углублённое изучение)) нора картина ордината Проверьте себя
Подведем итоги Как обозначают множества и его элементы? Как обозначают множество натуральных чисел? целых чисел? рациональных чисел? Какие существуют способы задания множеств? Какое множество называют подмножеством данного множества? Какое множество является подмножеством любого множества? Какое множество называют собственным подмножеством данного множества?
Домашнее задание Параграф 1, ответить на вопросы после параграфа; №1.4, №1.5, №1.12.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-1305952
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Минпросвещения планирует прекратить прием в колледжи по 43 профессиям
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
«Спутник» объявили словом года в России
Время чтения: 2 минуты
Гинцбург анонсировал регистрацию детской вакцины от COVID-19
Время чтения: 1 минута
Российские педагоги чаще всего жалуются на излишнюю отчетность и низкую зарплату
Время чтения: 2 минуты
Рособрнадзор открыл горячую линию по вопросам контрольных в школах
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Как найти все подмножества множеств
На простом примере напомним, что называется подмножеством, какие бывают подмножества (собственные и несобственные), формулу нахождения числа всех подмножеств, а также калькулятор, который выдает множество всех подмножеств.
Пример 1. Дано множество А = <а, с, р, о>. Выпишите все подмножества
данного множества.
Решение:
Несобственные: <а, с, р, о>, Ø.
Всего: 16 подмножеств.
Пояснение. Множество A является подмножеством множества B если каждый элемент множества A содержится также в B.
• пустое множество ∅ является подмножеством любого множества, называется несобственным;
• любое множество является подмножеством самого себя, также называется несобственным;
• У любого n-элементного множества ровно 2 n подмножеств.
Последнее утверждение является формулой для нахождения числа всех подмножеств без перечисления каждого.
Для математиков сформулируем теорему и приведем строгое доказательство.
1. Для n = 1 (база индукции) (и даже для n = 2, 3) теорема доказана.
Следовательно, всех подмножеств множества B: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 штук.
Теорема доказана.
В примере 1 множество А = состоит из четырех элементов, n=4, следовательно, число всех подмножеств равно 2 4 =16.
Если вам необходимо выписать все подмножества, или составить программу для написания множества всех подмножеств, то имеется алгоритма для решения: представлять возможные комбинации в виде двоичных чисел. Поясним на примере.
Калькулятор множества всех подмножеств.
Множества,их элементы,поджмножества
Вы будете перенаправлены на Автор24
В математике совокупности объектов, объединяющие ряд объектов называют множество. Данное понятие является первичным, значит, к более простым понятиям оно не сводится.
Термин множество употребляется тогда, когда речь идет о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек на координатной прямой, о множестве прямых, проходящих через точку.
Виды множеств
Множества могут быть конечными и бесконечными, пустыми.
Конечным называют множество, состоящее из конечного числа элементов, но при этом конечное множество может иметь любое количество элементов.
Среди конечных множеств выделяют множество, не имеющее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством.
Множество, не являющееся конечным, называют бесконечным множеством.
Подмножества
Если некоторое множество не является пустым, то из него можно выделить другие множества, которые будут являться его частями.
Например, из множества натуральных чисел можно выделить множество четных.
Обозначение множеств, подмножеств и их элементов
Готовые работы на аналогичную тему
\[38\notin А, 74\notin А,934\notin А ; 12\in A,\ <\rm :\ >54\in A.\]
Способы задания множеств
Существует два глобально различных способа задания множеств.
Первый заключается в том, что множество задается указанием всех его элементов. В таком случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов или списком своих элементов. Перечислением элементов можно задать только конечные множества и при небольшом количестве элементов, входящих в него
При таком способе задания множеств говорят, что множество задано перечислением его элементов.
Равенство множеств
Множества равны в том случае, если равны их элементы. При этом если множества состоят из одних и тех же элементов, но записанных в разном порядке то эти множества различны, хотя и равны.
Например, рассмотрим множества
Эти множества будут, состоят из равных элементов, значит, они будут равны, но при этом элементы расположены в разном порядке, т.е. множества различны
Пересечение множеств
Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств.
Например, рассмотрим два множества:
Объединение множеств
Математически это можно обозначить так:$\ А\ \cup B$