какое логическое выражение эквивалентно выражению avb c

Логические выражения

Теория к заданию 23 из ЕГЭ по информатике

Алгебра логики

Алгебра логики

Алгебра логики (англ. algebra of logic) — один из основных разделов математической логики, в котором методы алгебры используются в логических преобразованиях.

Основоположником алгебры логики является английский математик и логик Дж. Буль (1815–1864), положивший в основу своего логического учения аналогию между алгеброй и логикой. Любое высказывание он записывал с помощью символов разработанного им языка и получал «уравнения», истинность или ложность которых можно было доказать, исходя из определенных логических законов, таких как законы коммутативности, дистрибутивности, ассоциативности и др.

Современная алгебра логики является разделом математической логики и изучает логические операции над высказываниями с точки зрения их истинностного значения (истина, ложь). Высказывания могут быть истинными, ложными или содержать истину и ложь в разных соотношениях.

Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно утверждать, что его содержание истинно или ложно.

Например, «3 умножить на 3 равно 9», «Архангельск севернее Вологды» — истинные высказывания, а «Пять меньше трех», «Марс — звезда» — ложные.

Очевидно, что не всякое предложение может быть логическим высказыванием, т. к. не всегда есть смысл говорить о его ложности или истинности. Например, высказывание «Информатика — интересный предмет» неопределенно и требует дополнительных сведений, а высказывание «Для ученика 10-А класса Иванова А. А. информатика — интересный предмет» в зависимости от интересов Иванова А. А. может принимать значение «истина» или «ложь».

Кроме двузначной алгебры высказываний, в которой принимаются только два значения — «истинно» и «ложно», существует многозначная алгебра высказываний. В такой алгебре, кроме значений «истинно» и «ложно», употребляются такие истинностные значения, как «вероятно», «возможно», «невозможно» и т. д.

В алгебре логики различаются простые (элементарные) высказывания, обозначаемые латинскими буквами (A, B, C, D, …), и сложные (составные), составленные из нескольких простых с помощью логических связок, например таких, как «не», «и», «или», «тогда и только тогда», «если … то». Истинность или ложность получаемых таким образом сложных высказываний определяется значением простых высказываний.

Обозначим как А высказывание «Алгебра логики успешно применяется в теории электрических схем», а через В — «Алгебра логики применяется при синтезе релейно-контактных схем».

Тогда составное высказывание «Алгебра логики успешно применяется в теории электрических цепей и при синтезе релейно-контактных схем» можно кратко записать как А и В; здесь «и» — логическая связка. Очевидно, что поскольку элементарные высказывания А и В истинны, то истинно и составное высказывание А и В.

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение.

Логических значений всего два: истина (TRUE) и ложь (FALSE). Это соответствует цифровому представлению — 1 и 0. Результаты каждой логической операции можно записать в виде таблицы. Такие таблицы называют таблицами истинности.

Основные операции алгебры логики

1. Логическое отрицание, инверсия (лат. inversion — переворачивание) — логическая операция, в результате которой из данного высказывания (например, А) получается новое высказывание (не А), которое называется отрицанием исходного высказывания, обозначается символически чертой сверху ($A↖<->$) или такими условными обозначениями, как ¬, ‘not’, и читается: «не А», «А ложно», «неверно, что А», «отрицание А». Например, «Марс — планета Солнечной системы» (высказывание А); «Марс — не планета Солнечной системы» ($A↖<->$); высказывание «10 — простое число» (высказывание В) ложно; высказывание «10 — не простое число» (высказывание B ) истинно.

Операция, используемая относительно одной величины, называется унарной. Таблица значений данной операции имеет вид

2. Конъюнкция (лат. conjunctio — соединение) — логическое умножение, операция, требующая как минимум двух логических величин (операндов) и соединяющая два или более высказываний при помощи связки «и» (например, «А и В»), которая символически обозначается с помощью знака ∧ (А ∧ В) и читается: «А и В». Для обозначения конъюнкции применяются также следующие знаки: А ∙ В; А & В, А and В, а иногда между высказываниями не ставится никакого знака: АВ. Пример логического умножения: «Этот треугольник равнобедренный и прямоугольный». Данное высказывание может быть истинным только в том случае, если выполняются оба условия, в противном случае высказывание ложно.

Таблица истинности операции имеет вид

Высказывание А ∧ В истинно только тогда, когда оба высказывания — А и В истинны.

Геометрически конъюнкцию можно представить следующим образом: если А, В — это некоторые множества точек, то А ∧ В есть пересечение множеств А и В.

3. Дизъюнкция (лат. disjunction — разделение) — логическое сложение, операция, соединяющая два или более высказываний при помощи связки «или» (например, «А или В»), которая символически обозначается с помощью знака ∨ (А ∨ В) и читается: «А или В». Для обозначения дизъюнкции применяются также следующие знаки: А + В; А or В; А | B. Пример логического сложения: «Число x делится на 3 или на 5». Это высказывание будет истинным, если выполняются оба условия или хотя бы одно из условий.

Таблица истинности операции имеет вид

Высказывание А ∨ В ложно только тогда, когда оба высказывания — А и В ложны.

Геометрически логическое сложение можно представить следующим образом: если А, В — это некоторые множества точек, то А ∨ В — это объединение множеств А и В, т. е. фигура, объединяющая и квадрат, и круг.

4. Дизъюнкция строго-разделительная, сложение по модулю два — логическая операция, соединяющая два высказывания при помощи связки «или», употребленной в исключающем смысле, которая символически обозначается с помощью знаков ∨ ∨ или ⊕ (А ∨ ∨ В, А ⊕ В) и читается: «либо А, либо В». Пример сложения по модулю два — высказывание «Этот треугольник тупоугольный или остроугольный». Высказывание истинно, если выполняется какое-то одно из условий.

Таблица истинности операции имеет вид

Высказывание А ⊕ В истинно только тогда, когда высказывания А и В имеют различные значения.

5. Импликация (лат. implisito — тесно связываю) — логическая операция, соединяющая два высказывания при помощи связки «если. то» в сложное высказывание, которое символически обозначается с помощью знака → (А → В) и читается: «если А, то В», «А влечет В», «из А следует В», «А имплицирует В». Для обозначения импликации применяется также знак ⊃ (A ⊃ B). Пример импликации: «Если полученный четырехугольник квадрат, то около него можно описать окружность». Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием. Результат операции ложен только тогда, когда предпосылка есть истина, а следствие — ложь. Например, «Если 3 * 3 = 9 (А), то Солнце — планета (В)», результат импликации А → В — ложь.

Таблица истинности операции имеет вид

Для операции импликации справедливо утверждение, что из лжи может следовать все что угодно, а из истины — только истина.

6. Эквивалентность, двойная импликация, равнозначность (лат. aequalis — равный и valentis — имеющий силу) — логическая операция, позволяющая из двух высказываний А и В получить новое высказывание А ≡ В, которое читается: «А эквивалентно B». Для обозначения эквивалентности применяются также следующие знаки: ⇔, ∼. Эта операция может быть выражена связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «равносильно». Примером эквивалентности является высказывание: «Треугольник будет прямоугольным тогда и только тогда, когда один из углов равен 90 градусам».

Таблица истинности операции эквивалентности имеет вид

Операция эквивалентности противоположна сложению по модулю два и имеет результат «истина» тогда и только тогда, когда значения переменных совпадают.

Зная значения простых высказываний, можно на основании таблиц истинности определить значения сложных высказываний. При этом важно знать, что для представления любой функции алгебры логики достаточно трех операций: конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Приоритет выполнения логических операций следующий: отрицание («не») имеет самый высокий приоритет, затем выполняется конъюнкция («и»), после конъюнкции — дизъюнкция («или»).

С помощью логических переменных и логических операций любое логическое высказывание можно формализовать, т. е. заменить логической формулой. При этом элементарные высказывания, образующие составное высказывание, могут быть абсолютно не связаны по смыслу, но это не мешает определять истинность или ложность составного высказывания. Например, высказывание «Если пять больше двух (А), то вторник всегда наступает после понедельника (В)» — импликация А → В, и результат операции в данном случае — «истина». В логических операциях смысл высказываний не учитывается, рассматривается только их истинность или ложность.

Рассмотрим, например, построение составного высказывания из высказываний А и В, которое было бы ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. В таблице истинности для операции сложения по модулю два находим: 1 ⊕ 1 = 0. А высказывание может быть, например, таким: «Этот мяч полностью красный или полностью синий». Следовательно, если утверждение А «Этот мяч полностью красный» — истина, и утверждение В «Этот мяч полностью синий» — истина, то составное утверждение — ложь, т. к. одновременно и красным, и синим мяч быть не может.

Примеры решения задач

Пример 3. Для каких из приведенных слов ложно высказывание ¬(первая буква гласная ∧ третья буква гласная) ⇔ строка из 4 символов? 1) асса; 2) куку; 3) кукуруза; 4) ошибка; 5) силач.

Решение. Рассмотрим последовательно все предложенные слова:

1) для слова асса получим: ¬(1 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — высказывание истинно;

2) для слова куку получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 1 — высказывание истинно;

3) для слова кукуруза получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 0, 1 ⇔ 0 — высказывание ложно;

4) для слова ошибка получим: ¬ (1 ∧ 1) ⇔ 0, 0 ⇔ 0 — высказывание истинно;

5) для слова силач получим: ¬ (0 ∧ 0) ⇔ 1, 1 ⇔ 0 — высказывание ложно.

Логические выражения и их преобразование

Под логическим выражением следует понимать такую запись, которая может принимать логическое значение «истина» или «ложь». При таком определении среди логических выражений необходимо различать:

Логические выражения могут включать в себя функции, алгебраические операции, операции сравнения и логические операции. В этом случае приоритет выполнения действий следующий:

В логическом выражении могут использоваться скобки, которые изменяют порядок выполнения операций.

Пример. Найти значение выражения:

Решение. Порядок подсчета значений:

1) b a + a b > a + b, после подстановки получим: 3 2 + 2 3 > 2 + 3, т. е. 17 > 2 + 3 = истина;

2) A ∧ B = истина ∧ ложь = ложь.

Следовательно, выражение в скобках равно (b a + a b > a + b ∨ A ∧ B) = истина ∨ ложь = истина;

3) 1≤ a = 1 ≤ 2 = истина;

Из логических элементов составляются электронные логические схемы, выполняющие более сложные логические операции. Набор логических элементов, состоящий из элементов НЕ, ИЛИ, И, с помощью которых можно построить логическую структуру любой сложности, называется функционально полным.

Построение таблиц истинности логических выражений

Для логической формулы всегда можно записать таблицу истинности, т. е. представить заданную логическую функцию в табличном виде. В этом случае таблица должна содержать все возможные комбинации аргументов функции (формулы) и соответствующие значения функции (результаты формулы на заданном наборе значений).

Если функция принимает значение 1 при всех наборах значений переменных, она является тождественно-истинной; если при всех наборах входных значений функция принимает значение 0, она является тождественно-ложной; если набор выходных значений содержит как 0, так и 1, функция называется выполнимой. Приведенный выше пример является примером тождественно-истинной функции.

Зная аналитическую форму логической функции, всегда можно перейти к табличной форме логических функций. С помощью заданной таблицы истинности можно решить обратную задачу, а именно: для заданной таблицы построить аналитическую формулу логической функции. Различают две формы построения аналитической зависимости логической функции по таблично заданной функции.

1. Дизъюнктивно нормальная форма (ДНФ) — сумма произведений, образованных из переменных и их отрицаний для ложных значений.

Алгоритм построения ДНФ следующий:

Пример. Построить функцию, определяющую, что первое число равно второму, используя метод ДНФ. Таблица истинности функции имеет вид

Решение. Выбираем наборы значений аргументов, в которых функция равна 1. Это первая и четвертая строки таблицы (строку заголовка при нумерации не учитываем).

2. Конъюнктивно нормальная форма (КНФ) — произведение сумм, образованных из переменных и их отрицаний для истинных значений.

Алгоритм построения КНФ следующий:

Примеры решения задач

Пример 1. Рассмотрим предыдущий пример, т. е. построим функцию, определяющую, что первое число равно второму, используя метод КНФ. Для заданной функции ее таблица истинности имеет вид

Решение. Выбираем наборы значений аргументов, в которых функция равна 0. Это вторая и третья строки (строку заголовка при нумерации не учитываем).

Таким образом, получена запись логической функции в КНФ.

Пример 2. Построить логическую функцию для заданной таблицы истинности:

Решение. Используем алгоритм ДНФ для построения исходной функции:

Пример 3. Для приведенной таблицы истинности построить логическую функцию, используя метод ДНФ.

Формула достаточно громоздка, и ее следует упростить:

Таблицы истинности для решения логических задач

Составление таблиц истинности — один из способов решения логических задач. При использовании такого способа решения, условия, которые содержит задача, фиксируются с помощью специально составленных таблиц.

Примеры решения задач

Пример 1. Составить таблицу истинности для охранного устройства, которое использует три датчика и срабатывает при замыкании только двух из них.

Решение. Очевидно, что результатом решения будет таблица, в которой искомая функция Y(X1, X2, X3) будет иметь значение «истина», если какие-либо две переменные имеют значение «истина».

Пример 2. Составить расписание уроков на день, учитывая, что урок информатики может быть только первым или вторым, урок математики — первым или третьим, а физики — вторым или третьим. Возможно ли составить расписание, удовлетворив всем требованиям? Сколько существует вариантов расписания?

Решение. Задача легко решается, если составить соответствующую таблицу:

Из таблицы видно, что существуют два варианта искомого расписания:

Пример 3. В спортивный лагерь приехали трое друзей — Петр, Борис и Алексей. Каждый из них увлекается двумя видами спорта. Известно, что таких видов спорта шесть: футбол, хоккей, лыжи, плавание, теннис, бадминтон. Также известно, что:

Какими видами спорта увлекается каждый из мальчиков?

Решение. Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.

Так как видов спорта шесть, получается, что все мальчики увлекаются разными видами спорта.

Из условия 4 следует, что Борис не увлекается ни лыжами, ни теннисом, а из условий 3 и 5, что Петр не умеет играть в футбол, хоккей, теннис и бадминтон. Следовательно, любимые виды спорта Петра — лыжи и плавание. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов «Лыжи» и «Плавание» заполним нулями.

Из таблицы видно, что в теннис может играть только Алексей.

Из условий 1 и 2 следует, что Борис не футболист. Таким образом, в футбол играет Алексей. Продолжим заполнять таблицу. Внесем в пустые ячейки строки «Алексей» нули.

Окончательно получаем, что Борис увлекается хоккеем и бадминтоном. Итоговая таблица будет выглядеть следующим образом:

Ответ: Петр увлекается лыжами и плаванием, Борис играет в хоккей и бадминтон, а Алексей занимается футболом и теннисом.

Источник

Какое логическое выражение эквивалентно выражению avb c

Логическая функция F задаётся выражением (x ∨ ¬y) ∧ ¬(w ≡ z) ∧ w.

Дан частично заполненный фрагмент, содержащий неповторяющиеся строки таблицы истинности функции F.

Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и фрагмент таблицы истинности:

Тогда первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.

Рассмотрим данное выражение. Преобразуем логическое выражение (x ∨ ¬y) ∧ ¬(w ≡ z) ∧ w и получим систему, при которой оно истинно:

Значение выражения ложно только тогда, когда переменная w равна 0, следовательно, столбцы, в которых содержится ноль, не могут соответствовать переменной w, то есть переменной w соответствует первый столбец.

Значения переменных w и z не могут быть равны. Из второй строки заключаем, что столбец четыре не может соответствовать переменным z и y. Следовательно, четвёртый столбец соответствует переменной x.

Рассмотрим первую строку таблицы. Переменная x равна 0, значит, для истинности выражения переменная y должна принимать значение 0. Переменная w равна 1, значит, для истинности выражения переменная z должна принимать значение 0. Следовательно, во втором столбце в первой строке должен быть 0.

Поскольку строки в таблице не повторяются, в третьей строке в третьем и четвёртом столбцах могут стоять значения 10 и 11. Поскольку переменная w не должна быть равна z, переменная z соответствует второму столбцу. Следовательно, переменная y соответствует третьему столбцу.

Таким образом, ответ: wzyx.

Приведем другое решение.

Составим таблицу истинности для выражения (x ∨ ¬y) ∧ ¬(w ≡ z) ∧ w и выпишем те наборы переменных, при которых данное выражение равно 1. В наборах переменные запишем в порядке х, y, z, w. Получим следующие наборы:

Сопоставим эти наборы с приведенным в задании фрагментом таблицы истинности.

Во всех наборах переменная w принимает значение 1, следовательно, переменной w соответствует первый столбец таблицы.

Вторая строка таблицы соответствует набору (1, 0, 0, 1), в котором единичное значение принимает переменная x, следовательно, переменной x соответствует четвертый столбец таблицы.

Набору (1, 1, 0, 1) может соответствовать только третья строка таблицы. В этом наборе нулевое значение принимает переменная z, следовательно, ей соответствует второй столбец таблицы, тогда переменной y соответствует третий столбец.

Логическая функция F задаётся выражением (¬x ∨ ¬y) ∧ ¬(x ≡ z) ∧ w.

Дан частично заполненный фрагмент, содержащий неповторяющиеся строки таблицы истинности функции F.

Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и фрагмент таблицы истинности:

Тогда первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.

Рассмотрим данное выражение. Преобразуем логическое выражение (¬x ∨ ¬y) ∧ ¬(x ≡ z) ∧ w и получим систему, при которой оно истинно:

Заметим, что переменная w должна принимать значение 1, иначе выражение будет ложным. Значит, переменная w соответствует первому столбцу.

Значения переменных x и z не могут быть равны. Из второй строки заключаем, что столбец четыре не может соответствовать переменным x и y. Следовательно, четвёртый столбец соответствует переменной z.

Рассмотрим первую строку таблицы. Переменная z равна 0, значит, для истинности выражения переменная x должна принимать значение 1. Следовательно, во втором столбце в первой строке должен быть 0.

Поскольку строки в таблице не повторяются, в третьей строке в третьем и четвёртом столбцах могут стоять значения 10 и 11. Поскольку переменная x не должна быть равна z, переменная x соответствует второму столбцу. Следовательно, переменная y соответствует третьему столбцу.

Таким образом, ответ: wxyz.

Приведем другое решение.

Составим таблицу истинности для выражения (¬x ∨ ¬y) ∧ ¬(x ≡ z) ∧ w и выпишем те наборы переменных, при которых данное выражение равно 0. В наборах переменные запишем в порядке х, y, z, w. Получим следующие наборы:

Сопоставим эти наборы с приведенным в задании фрагментом таблицы истинности.

Во всех наборах переменная w равна 1, следовательно, первый столбец соответствует переменной w. В первой и второй строках таблицы как минимум по две переменные принимают нулевые значения, следовательно, им соответствую наборы (0, 0, 1, 1) и (1, 0, 0, 1), тогда третьей строке соответствует набор (0, 1, 1, 1), следовательно, второй столбец — это переменная x, которая в этом наборе принимает значение 0.

Тогда вторая строка таблицы соответствует набору (0, 0, 1, 1), и третий столбец — это переменная у, принимающая в данном наборе нулевое значение, а четвертый столбец — это переменная z, принимающая в этом наборе единичное значение.

Приведем программу Михаила Глинского для построения таблицы истинности.

Программа на языке Паскаль выводит на экран наборы переменных, при которых значение заданного выражения равно 1.

for var x:=false to true do

for var y:=false ro true do

for var z:=false to true do

for var w:=false to true do

if (not(x) or not(y)) and (x<>z) and w then writeln(ord(x), ord(y), ord(z), ord(w));

— Логическая функция F задаётся выражением (x ≡ ¬y) → (z ≡ (y ∨ w)).

Дан частично заполненный фрагмент, содержащий неповторяющиеся строки таблицы истинности функции F.

Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и фрагмент таблицы истинности:

Тогда первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.

Рассмотрим данное выражение. Преобразуем логическое выражение (x ≡ ¬y) → (z ≡ (y ∨ w)) и получим систему, при которой оно ложно:

Заметим, что третий и четвёртый столбцы таблицы истинности это y и x. Из условия следует, что первому столбцу таблицы истинности соответствует переменная z. Следовательно, второму столбцу таблицы истинности соответствует w.

Приведем другое решение.

Составим таблицу истинности для выражения (x ≡ ¬y) → (z ≡ (y ∨ w)) и выпишем те наборы переменных, при которых данное выражение равно 0. В наборах переменные запишем в порядке х, y, z. Получим следующие наборы:

Сопоставим эти наборы с приведенным в задании фрагментом таблицы истинности.

Вторая строка таблицы может соответствовать только набору (0, 1, 0, 0), следовательно, третий столбец соответствует переменной y, которая в этом наборе принимает единичное значение.

Заметим, что переменная z принимает нулевое значение в трех из имеющихся четырех наборах, а остальные переменные — только в двух, следовательно, первый столбец таблицы соответствует переменной z.

Первая строка таблицы может соответствовать только набору (1, 0, 0, 1), где переменные y и z принимают нулевые значения, следовательно, третья строка соответствует набору (0, 1, 0, 1), в котором нулевое значение принимает переменная x. Тогда x — это четвертый столбец, а w — второй столбец.

Логическая функция F задаётся выражением (x ∧ ¬y) ∨ (y ≡ z) ∨ ¬w.

Дан частично заполненный фрагмент, содержащий неповторяющиеся строки таблицы истинности функции F.

Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и фрагмент таблицы истинности:

Тогда первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.

Рассмотрим данное выражение. Преобразуем логическое выражение (x ∧ ¬y) ∨ (y ≡ z ) ∨ ¬w и получим систему, при которой оно ложно:

Заметим, что второй столбец таблицы истинности это w. Из условия следует, что переменные z и y соответствуют третьему и четвёртому столбцам таблицы истинности. Следовательно, первому столбцу таблицы истинности соответствует переменная x.

Примечание. Вариант xwyz не подходит, поскольку в третьей строке таблицы истинности функция F будет истинной, что не удовлетворяет условию задания.

Приведем другое решение.

Составим таблицу истинности для выражения (x ∧ ¬y) ∨ (y ≡ z) ∨ ¬w и выпишем те наборы переменных, при которых данное выражение равно 0. В наборах переменные запишем в порядке х, y, z, w. Получим следующие наборы:

Сопоставим эти наборы с приведенным в задании фрагментом таблицы истинности.

Во всех наборах переменная w принимает значение 1, следовательно, переменная w соответствует второму столбцу таблицы.

Вторая строка таблицы соответствует набору (0, 1, 0, 1), следовательно, четвертый столбец таблицы соответствует переменной у.

В первой строке таблицы переменная у принимает значение 0, следовательно, эта строка соответствует набору (0, 0, 1, 1). Тогда первый столбец соответствует переменой х, а третий столбец — переменной z.

Логическая функция F задаётся выражением (x ∨ y) ∧ ¬(y ≡ z) ∧ ¬w. На рисунке приведён частично заполненный фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий неповторяющиеся строки. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и фрагмент таблицы истинности:

Тогда первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.

Рассмотрим данное выражение. Преобразуем логическое выражение (x ∨ y) ∧ ¬(y ≡ z) ∧ ¬w и получим систему, при которой оно истинно:

Значение выражения всегда ложно тогда, когда переменная w равна 1, следовательно, столбцы, в которых содержится единица, не могут соответствовать переменной w, то есть переменной w соответствует четвёртый столбец.

Значения переменных y и z не могут быть равны. Из второй строки заключаем, что столбец один не может соответствовать переменным y и z. Следовательно, первый столбец соответствует переменной x.

Рассмотрим вторую строку таблицы. Переменная x равна 0, значит, для истинности выражения переменная y должна принимать значение 1. Следовательно, третий столбец соответствует переменной y. Тогда второй столбец соответствует переменной z.

Таким образом, ответ: xzyw.

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n.

Для какого наибольшего целого числа А формула

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной x)?

Преобразуем выражение по законам алгебры логики:

Х + (Y → Z) = Х + (¬Y + Z) = Х + Z + ¬Y = Y → (X + Z) = (Y → X) + (Y → Z).

Далее применяем обозначения и реализуем способ решения, изложенный К. Ю. Поляковым в теоретических материалах (см., например, раздел «Теория» на нашем сайте), без дополнительных пояснений.

Заметим, что первое слагаемое логической суммы является импликацией Z₄₁ → Z₅₁, которая не является истинной для всех х (см. ниже). Тогда необходимо и достаточно, чтобы второе слагаемое логической суммы было тождественно истинным.

Действительно, например, для х = 2 поразрядная конъюнкция с числом 41 дает 0, а с числом 51 дает 2. Поэтому импликация (2&41) → (2&51) принимает вид 1 → 0 — ложь.

2&41: 000000, то есть 2&41 = 0. Высказывание 2&41 = 0 истинно.

2&51: 000010 = 2, то есть 2&51 = 2. Высказывание 2&51 = 0 ложно.

Итак, импликация Z₄₁ → Z_A должна быть тождественно истинной. Запишем число 41 в двоичной системе счисления: 41₁₀ = 101001₂. Единичные биты, стоящие в правой части, должны являться единичными битами левой. Поэтому в правой части единичными битами независимо друг от друга могут быть (а могут не быть) только нулевой, третий и пятый биты (как обычно, считая справа налево, начиная с нуля).

Тем самым, наибольшее А = 101001₂ = 41₁₀.

Ответ 45 не подходит. Пусть A = 45, а x = 22₁₀ = 10110₂, тогда:

51&22: 010010₂, т.е. высказывание 22&51 = 0 ложно.

41&22: 000000₂, т.е. высказывание 22&41 ≠ 0 ложно.

51&22: 000100₂, т.е. высказывание 22&45 = 0 ложно.

Следовательно, при x = 22 и A = 45 логическое выражение ложно.

Приведем другое решение.

Выражение x&51 = 0 ∨ (x&41 = 0 → x&А = 0) должно быть истинным для любого х. Возьмем такое х, в котором установлены все биты, кроме тех, которые установлены в числе 41, например, для однобайтового представления х = 11010110₂.

Выражение x&51 = 0 будет ложно, поскольку и в числе х, и в числе 51 установлен первый бит (биты считаем справа налево, начиная с нуля).

Следовательно, истинной должна быть импликация во второй скобке. Но левая часть импликации x&41 = 0 истинна, поскольку ни один из битов, установленных в числе 41, в числе х не установлен.

Тогда истинной должна быть и правая часть импликации x&А = 0. Следовательно, в числе А могут быть установлены только те биты, которые не установлены в числе х, то есть нулевой, третий и пятый биты. Таким образом, наибольшее А = 101001₂ = 41₁₀.

При таком А левая и правая части импликации одинаковы, следовательно, импликация в правой скобке истинна, а значит, истинно и все выражение.

Приведём другое решение.

Решим задание с помощью языка программирования PascalABC методом перебора:

for A := 0 to 63 do begin

if not (((x and 51) = 0) or ((x and 41) <> 0) or ((x and (63-A)) = 0)) then

Приведём аналогичное решение на языке Python.

Заметим, что можно не перебирать числа, большие 63, поскольку для записи чисел 41 и 51 хватит шести разрядов. Программа выведет ответ 41.

Логическая функция F задаётся выражением (x ≡ ( w ∨ y)) ∨ ((w → z ) ∧ (y → w)).

Дан частично заполненный фрагмент, содержащий неповторяющиеся строки таблицы истинности функции F.

Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и фрагмент таблицы истинности:

Тогда первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.

Рассмотрим данное выражение. Преобразуем логическое выражение (x ≡ ( w ∨ y)) ∨ ((w → z ) ∧ (y → w)) и получим систему, при которой оно ложно:

Заметим, что первый и четвёртый столбцы таблицы истинности это y и w. Из условия следует, что переменная x соответствует второму столбцу таблицы истинности. Следовательно, третьему столбцу соответствует переменная z.

Приведем другое решение.

Составим таблицу истинности для выражения (x ≡ ( w ∨ y)) ∨ ((w → z ) ∧ (y → w)) и выпишем те наборы переменных, при которых данное выражение равно 0. В наборах переменные будем записывать в порядке х, y, z, w. Получим следующие наборы: (0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 1, 0).

Сопоставим эти наборы с приведенным в задании фрагментом таблицы истинности.

Первая строка таблицы (как минимум две единицы) может соответствовать либо набору (0, 1, 0, 1), либо набору (0, 1, 1, 0).

Третья строка таблицы также может соответствовать одному из этих двух наборов.

Заметим, что в каждом из этих двух наборах переменная y принимает значение 1, следовательно, ей соответствует первый столбец таблицы.

В данных наборах единичные значения принимают также переменные z и w. Заметим, что переменная z принимает единичное значение в единственном наборе переменных, следовательно, ей не может соответствовать четвертый столбец. Тогда переменной z соответствует третий столбец, а переменной w — четвертый столбец.

Следовательно, переменной х соответствует второй столбец.

Логическая функция F задаётся выражением ((x → y ) ≡ (z → w)) ∨ (x ∧ w).

Дан частично заполненный фрагмент, содержащий неповторяющиеся строки таблицы истинности функции F.

Определите, какому столбцу таблицы истинности соответствует каждая из переменных x, y, z, w.

В ответе напишите буквы x, y, z, w в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая первому столбцу; затем — буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение x → y, зависящее от двух переменных x и y, и фрагмент таблицы истинности:

Тогда первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу соответствует переменная x. В ответе нужно написать: yx.

Рассмотрим данное выражение. Преобразуем логическое выражение ((x → y ) ≡ (z → w)) ∨ (x ∧ w) и получим систему, при которой оно ложно:

Заметим, что четвёртый столбец таблицы истинности это w, тогда первый столбец таблицы истинности это переменная z. Из условия следует, что переменная x соответствует третьему столбцу таблицы истинности, а переменная y соответствует второму столбцу таблицы истинности.

Приведем другое решение.

Составим таблицу истинности для выражения ((x → y ) ≡ (z → w)) ∨ (x ∧ w) и выпишем те наборы переменных, при которых данное выражение равно 0. В наборах будем записывать переменные в порядке х, y, z, w. Получим следующие наборы: (0, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 0) и (1, 1, 1, 0).

Сопоставим эти наборы с приведенным в задании фрагментом таблицы истинности.

Заметим, что вторая строка таблицы (как минимум две единицы) может соответствовать только набору (0, 1, 1, 0), следовательно, первые два столбца соответствуют переменным у и z, тогда третий столбец соответствует переменной х.

Первая строка таблицы может соответствовать одному из оставшихся наборов, в котором переменная y или z принимает единичное значение. Такой набор — (0, 0, 1, 0), в нем единичное значение принимает переменная z, следовательно, первый столбец соответствует переменной z, тогда второй столбец соответствует переменной у.

Источник

• ← Фингал под глазом что делать
• какое блюдо было принято подавать к столу на рождество поле чудес →