какое допущение постулируется в модели леонтьева многоотраслевой экономики

Какое допущение постулируется в модели леонтьева многоотраслевой экономики

Балансовый анализ преследует цель увеличения эффективности ведения многоотраслевого хозяйства, отвечает на вопрос, какой объем продукции должна производить каждая из n отраслей, чтобы этот объем удовлетворял все потребности в производимой продукции. В макроэкономике это достаточно сложная проблема, если учитывать тот факт, что каждая отрасль выступает и в роли производителя, и в роли потребителя продукции, произведенной и в своей отрасли, и в других отраслях. Для решения этой задачи существуют таблицы межотраслевого баланса. И только в 1936 году Василием Васильевичем Леонтьевым, знаменитым американским экономистом, была создана математическая модель, позволяющая анализировать эти таблицы, – модель многоотраслевой экономики.

Допустим, что рассматривается конечное количество n отраслей, и каждая производит свой определенный товар. Часть произведенного идет на удовлетворение внутренних потребностей отрасли и внутрипроизводственного потребления другими отраслями, а часть – на личное и общественное потребление вне производственной сферы.

Пусть xi– это валовой (общий) объем продукции, производимый i-й отраслью, xij– это объем продукции, произведенной i-й отраслью и потребляемой j-й отраслью при производстве продукции объемом xj, а yi – это объем продукции, произведенной i-й отраслью для непроизводственного потребления (продукт конечного потребления).

Так, балансовый принцип связи отраслей производства заключается в том, что количество продукции, произведенной i-й отраслью, должно быть равно количеству продукции, потребляемой в производственной и непроизводственной сферах в сумме.Из-за этого уравнение соотношения баланса в форме простого сложения (гипотеза линейности) выглядит так:

xi= xi1+ xi2+ … + xin+ yi,

Далее Леонтьев замечает, что отношение xij к xj меняется мало из-за того, что технология производства не меняется, то есть отношение потребляемого j-й отраслью объема продукции в процессе производства к объему произведенной ею продукции является технологической константой, обозначаемой aij и называемой коэффициентом прямых затрат:

,

Следовательно: , где i, j = 1, 2, …, n.

Тогда это уравнение мы можем записать в виде системы уравнений для n конечного количества отраслей:

.

Введем к рассмотрению матрицы, где X – вектор валового (общего) производства, Y – вектор конечного потребления, а A – матрица прямых затрат:

.

Тогда система уравнений принимает вид:

где S – матрица полных затрат, а sij – объем валового (общего) производства i-ой отраслью, необходимый для производства единицы конечного продукта j-й отрасли.

И тогда цель межотраслевого баланса заключается в нахождении вектора валового (общего) производства X при известных постоянных значениях прямых затрат A и определенном необходимом векторе конечного потребления Y.

Но модель Леонтьева считается продуктивной только тогда, когда матрица A является продуктивной. Матрица Aявляется продуктивнойтогда и только тогда, когда матрица S существует и ее элементы неотрицательны. Также матрица A считается продуктивной, если все ее элементы неотрицательны и сумма элементов любого ее ряда не превышает 1.

Рассмотрим модель Леонтьева на простом примере, где n=2 (две отрасли производства). В таблице приведены данные.

Источник

Вопросы с ответами по дисциплине «математические методы в экономике»

1. Что является объектом и языком исследования в экономико-математическом моделировании:

A) различные типы производственного оборудования и методы его конструирования;

B) экономические процессы и специальные математические методы;

C) компьютерные программы и языки программирования.

2. Какое матричное уравнение описывает замкнутую экономическую модель Леонтьева:

3. Какое допущение постулируется в модели Леонтьева многоотраслевой экономики:

A) выпуклость множества допустимых решений;

B) нелинейность существующих технологий;

C) линейность существующих технологий.

4. Какое уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А:

5. Множество n – мерного арифметического точечного пространства называется выпуклым, если:

A) вместе с любыми двумя точками А и В оно содержит и весь отрезок АВ;

B) счетно и замкнуто;

C) равно объединению нескольких конечных множеств.

6. Какая задача является задачей линейного программирования:

A) управления запасами;

B) составление диеты;

C) формирование календарного плана реализации проекта.

7. Задача линейного программирования называется канонической, если система ограничений включает в себя:

A) только неравенства;

B) равенства и неравенства;

C) только равенства.

8. Тривиальными ограничениями задачи линейного программирования называются условия:

A) ограниченности и монотонности целевой функции;

B) не отрицательности всех переменных;

C) не пустоты допустимого множества.

9. Если в задаче линейного программирования допустимое множество не пусто и целевая функция ограничена, то:

A) допустимое множество не ограничено;

B) оптимальное решение не существует;

C) существует хотя бы одно оптимальное решение.

10. Симплекс-метод предназначен для решения задачи линейного программирования:

A) в стандартном виде;

B) в каноническом виде;

C) в тривиальном виде.

11. Неизвестные в допустимом виде системы ограничений задачи линейного программирования, которые выражены через остальные неизвестные, называются:

12. Правильным отсечением в задаче целочисленного программирования называется дополнительное ограничение, обладающее свойством:

A) оно должно быть линейным;

B) оно должно отсекать хотя бы одно целочисленное решение;

C) оно не должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план.

13. Какой из методов целочисленного программирования является комбинированным:

C) метод ветвей и границ.

14. Какую особенность имеет динамическое программирование как многошаговый метод оптимизации управления:

A) отсутствие последействия;

B) наличие обратной связи;

C) управление зависит от бесконечного числа переменных.

15. Вычислительная схема метода динамического программирования:

A) зависит от способов задания функций;

B) зависит от способов задания ограничений;

C) связана с принципом оптимальности Беллмана.

16. Какую задачу можно решить методом динамического программирования:

A) транспортную задачу;

B) задачу о замене оборудования;

C) принятия решения в конфликтной ситуации.

17. Метод скорейшего спуска является:

A) методом множителей Лагранжа;

B) градиентным методом;

C) методом кусочно-линейной аппроксимации.

18. Множители Лагранжа в экономическом смысле характеризуют:

A) доход, соответствующий плану;

B) издержки ресурсов;

C) цену (оценку) ресурсов.

19. Функция нескольких переменных называется сепарабельной, если она может быть представлена в виде:

A) суммы функций одной переменной;

B) произведения функций нескольких переменных;

C) суммы выпуклых функций.

20. Платежной матрицей называется матрица, элементами которой являются:

A) годовые прибыли отраслевых предприятий;

B) выигрыши, соответствующие стратегиям игроков;

C) налоговые платежи предприятий.

21. Верхней ценой парной игры является:

A) гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В;

B) гарантированный выигрыш игрока В;

C) гарантированный проигрыш игрока В.

22. Чистой ценой игры называется:

A) верхняя цена игры;

B) нижняя цена игры;

C) общее значение верхней и нижней ценой игры.

23. Возможно ли привести матричную игру к задаче линейного программирования:

C) возможно, если платежная матрица единичная.

24. Кооперативные игры – это игры:

A) с нулевой суммой;

B) со смешанными стратегиями;

C) допускающие договоренности игроков.

25. Какие математические методы можно применять для принятия хозяйственных решений в условиях неопределенности:

A) линейного программирования;

B) массового обслуживания;

C) динамического программирования.

26. Главными элементами сетевой модели являются:

A) игровые ситуации и стратегии;

B) состояния и допустимые управления;

C) события и работы.

27. В сетевой модели не должно быть:

A) контуров и петель;

B) собственных векторов;

28. Критическим путем в сетевом графике называется:

A) самый короткий путь;

B) самый длинный путь;

29. Математической основой методов сетевого планирования является:

A) аналитическая геометрия;

B) теория электрических цепей;

30. Какая из данных экономико-математичеких моделей является однофакторной:

A) модель материализованного технического прогресса;

Источник

Сетевая модель многоотраслевой экономики. Модель Леонтьева «затраты-выпуск»

Рубрика: Экономика и управление

Дата публикации: 02.01.2015 2015-01-02

Статья просмотрена: 1080 раз

Библиографическое описание:

Соломонова, Е. В. Сетевая модель многоотраслевой экономики. Модель Леонтьева «затраты-выпуск» / Е. В. Соломонова, А. Л. Лелес. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2015. — № 1 (81). — С. 292-294. — URL: https://moluch.ru/archive/81/14792/ (дата обращения: 29.10.2021).

В данной работе было проведено сравнение простого метода и метода декомпозиции для расчета межотраслевого баланса, а также прогнозирование изменения уровня цен под воздействием различных факторов с помощью тензорного метода.

Модель разрабатывалась в 80-х годах 20-го века и её основной целью было уменьшить объем расчетов, так как в то время компьютеры были намного менее производительны, чем сейчас. Модель же позволяет проводить параллельные вычисления.

При данном подходе вся экономика разбивается на ряд отраслей, между которыми движутся потоки ресурсов, промежуточной и готовой продукции. Последствия изменений в конечном спросе или в условиях производства в одной отрасли изучаются через прослеживание количественной реакции всех взаимосвязанных отраслей.

Основные предпосылки анализа:

— В экономической системе производятся, потребляются и инвестируются n типов продуктов (товаров).

— Каждая отрасль является «чистой», т. е. производит только один тип продукта. Различные отрасли производят различные типы продуктов. Таким образом, n отраслей и n типов продуктов находятся во взаимно однозначном соответствии.

— Основным элементом модели является квадратная матрица технологических элементов (или матрица прямых затрат) размерности nхn: А = . Числа показывают сколько продукции отрасли i необходимо затратить для производства единицы продукции отрасли j.

Основное допущение модели заключается в том, что технологические коэффициенты (прямые затраты) остаются постоянным вне зависимости от масштаба производства, т. е. предполагается постоянная эффективность от укрупнения масштаба производства. Кроме того, в процессе производства исключается взаимозаменяемость ресурсов, они должны находиться в строгой пропорции (производственная функция Леонтьева).

Пусть — выпуск i-го продукта в единицу времени, например, за год. Эта величина представляет собой валовой выпуск (валовой продукт). Он распадается на две части:

— производственное потребление во всех отраслях;

— конечное (непроизводственное) потребление.

Производственное потребление i-го продукта всеми отраслями равно:

Тогда конечное потребление i-го продукта, которое мы будем обозначать , составит:

, i = 1. n. (1)

Полученная система уравнений и представляет собой модель Леонтьева. Модель Леонтьева можно представить в матричной форме. Для этого введем следующие обозначения: х- вектор валового выпуска; y — вектор конечного потребления (чистого выпуска); А — матрица прямых затрат.

Тогда можно записать:

Величины x_i, a_ij и y_i могут быть представлены в натуральных или стоимостных единицах измерения, в соответствии с этим различают натуральный или стоимостной межотраслевые балансы. Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного потребления y. По очевидным экономическим соображениям и коэффициенты, и переменные модели Леонтьева должны быть неотрицательными. Разрешимость системы в неотрицательных величинах означает работоспособность или продуктивность модели Леонтьева.

Данная работа представляет собой расчет выпуска отраслей в целом по экономике с применением двух методов: простого метода расчета и метода декомпозиции. Простой метод расчета описывается следующим образом:

š ;

š ;

š , где — элементы матрицы прямых затрат, — отношение использования ресурсов отрасли на выпуск отрасли, А — матрица прямых затрат, (Е — А) — единичная матрица, B — матрица полных затрат, Y — вектор конечного потребления, Х — вектор выпуска отраслей.

В соответствии с методом декомпозиции, экономику можно поделить на подсети (к примеру, подсеть промышленности, подсеть торговли, подсеть добычи полезных ископаемых). Главная цель метода — сократить время вычисления МОБ. Разделив матрицу на подсети, мы можем проводить параллельные вычисления (расчет каждой подсети на отдельном компьютере). Разделив матрицу на подсети, у нас есть 2 способа расчета МОБ — простой и сложный. В данной работе был использован простой метод. Данный метод позволяет уменьшить время расчета МОБ, так как после разделения матрицы на подсети, каждая сеть считается по отдельности. После разделения матрицы на подсети проводятся параллельные вычисления для каждой подсети. Данный метод произведен в двух этапах.

Полученные данные расчетов выпуска отраслей при использовании метода декомпозиции показали, что результаты отклонений от отчетных данных выпуска отраслей в первом и во втором случаях значительны в расхождениях. При использовании второго этапа расчета выпуска отраслей значения отклонений малы (1,66 %), с первым этапом (12,57 %).

Представленная работа оснащена также и построением двойственной задачи к полученной модели «Затраты-Выпуск».

Двойственную задачу можно записать следующим образом:

, j = 1, …, n. (2)

где p_j — цена на единицу продукции вида j; v_j — добавленная стоимость на единицу выпуска j-й отрасли. Или в матричной форме

Добавленная стоимость включает в себя оплату труда работников, валовую прибыль, валовой смешанный доход, чистые налоги на производство. С этой целью производится нахождение доли ВДС (ВДС/всего использовано отечественных товаров и услуг).

Автором были рассмотрены несколько ситуаций, которые поспособствовали тому, что было проанализировано изменение цены при изменении величины ВДС.

Первая ситуация, а она же стандартная, учитывает налоги и субсидии. На основании полученных результатов получен вывод о том, что при данных существующей матрицы и уровня ВДС принимается индекс цен, равный 1. То есть, в данном случае цены не изменились, считается также, что данная ситуация является отчетной.

Моделируется следующая ситуация, в которой не учитываются субсидии, например, в сельском хозяйстве и жкх. Итог: цены на с/х вырастут на 8,5 %, на жкх — 14,5 %. Также цены изменятся и на те отрасли, которые каким-либо образом связаны с определяемыми отраслями. Это связано с тем, что существует значительная корреляция данной отрасли с отраслью с/х.

Для третьей ситуации происходит искусственное увеличение уровня ОТР на 20 %. В наибольшей степени изменятся цены в таких отраслях, как образование, здравоохранение и предоставление социальных услуг, и предоставление коммунальных, социальных и персональных услуг. В наименьшей степени увеличение цен коснется следующих отраслей: добыча полезных ископаемых, кроме топливно-энергетических и производства транспортных средств и оборудования.

Для этой ситуации можно, к примеру, определить изменение цены при уменьшении ОТР на 10 %. Итого: при изменении уровня ОТР на 10 % в сторону понижения, наблюдается картина следующего понижения цены: в таких отраслях, как здравоохранение и предоставление социальных услуг, образование, государственное управление, цены снизятся на максимальные значения — 9,2 %, 8,9 %, 7,4 % соответственно. В следующих отраслях, рыболовство, рыбоводство и предоставление услуг в этих отраслях, добыча топливно-энергетических полезных ископаемых, химическое производство и некоторых других, будет получено минимальное изменение уровня цен.

Использование метода декомпозиции показало, что в соответствии с моделью «Затраты-Выпуск», экономика делится на подсети: промышленность, сельское хозяйство, строительство, транспорт, розничная торговля. Суть состоит в том, что экономику можно поделить на подсети, в каждой подсети отрасли сильно взаимосвязаны, а взаимодействие подсетей представляет сеть пресечений.

В соответствии с А. Петровым в экономике отрасли не сильно связаны между собой: «В задачах, где рассматриваются десятки и сотни, а тем более тысячи отраслей (предприятий), экономическая матрица весьма слабо заполнена ненулевыми элементами, т. е. немногие отрасли связаны между собой» [1, с. 45].

В этом и состоит сложность. А. Е. Петров утверждает, что отрасли в экономике слабо связаны между собой, но в данном случае почти каждая отрасль использует продукт другой отрасли. Таким образом, все отрасли тесным образом связаны между собой, а не только в своей подсети. В соответствии с Петровым сеть пересечений должна быть примерно такого же размера, что и подсети. В проведенном же расчете, сеть пересечений по размерности не отличалась от исходной матрицы. Уменьшение матрицы было бы возможно только в том случае, если бы продукт какой-нибудь отрасли использовался только внутри подсети, и между собой подсети были бы связаны только через некоторые отрасли, однако все отрасли связаны между собой.

Однако это не значит, что данный метод неправилен. В цитате А. Е. Петрова речь идет о сотнях или даже тысячах отраслях. В данной работе приведены только 30 отраслей, так как именно столько отраслей в своих сборниках предлагает Белорусский статистический комитет. Если бы происходило большее дробление на отрасли, то, возможно, матрица бы сильнее заполнялась нулевыми элементами, сеть пересечений бы уменьшалась, расчеты бы больше соответствовали настоящим.

Метод дает преимущество только для больших экономик: Россия, США, Китай.

Обобщение полученных выводов по нахождению корреляционных отношений цен на товары и услуги и различных уровней ВДС, позволяет утверждать, что данная модель позволяет получить достаточно достоверные прогнозные значения для возможной ситуации экономического характера. Моделирование и анализ потенциально-существующих случаев изменения того или иного показателя способствует формированию направленной на погашение негативных последствий данных изменений экономической политики.

1. Крон Г. «Тензорный анализ сетей» — под. Ред. Л. Т. Кузина, П. Г. Кузнецова. М: Сов. Радио, 1978. — 720 с.

2. А. Е. Петров Сетевые методы планирования производства: учебно-методическое пособие — М.: МГГУ, 2011. — 148 с.

3. Эконометрика: учебник/ И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Т. В. Костеева и др.; под ред. И. И. Елисеевой. — 2-е изд., перераб. — М: Финансы и статистика, 2007. — 576 с.

4. В. И. Степанов, А. Ф. Терпугов: Экономико-математическое моделирование. — М.: Академия, 2009. — 112 с.

Источник

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемhse.ru

Похожие презентации

Презентация на тему: » Тема 6. «Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Модель затраты-выпуск» Основные понятия: 1.В.В. ЛеонтьевЛеонтьев 2.Постановка задачиПостановка 3.Основные.» — Транскрипт:

1 Тема 6. «Модель Леонтьева многоотраслевой экономики. Модель затраты-выпуск» Основные понятия: 1.В.В. ЛеонтьевЛеонтьев 2.Постановка задачиПостановка 3.Основные характеристикихарактеристики 4.Математическая модель задачимодель 5.Методы решенияМетоды завершить

2 Василий Васильевич Леонтьев ( ) Американский экономист 1936 г. Впервые сформулирована проблема расчета связи между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида г. «Структура Американской экономики, » 1953 г. «Исследования структуры американской экономики » 1966 г. «Экономическая теория затраты-выпуск» 1977 г. «Будущее мировой экономики» 1977 г. «Очерки по экономике» 1973 г. Нобелевская премия назад назад

3 2. Постановка задачи Рассмотрим производственную сферу хозяйства, состоящую из n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). назад 2 отрасль 1 отрасль n отрасль

4 3. Основные характеристики общий объем продукции i-й отрасли (валовой выпуск, валовой объем); объем продукции i-й отрасли, потребляемый j-й отраслью при производстве объема своей продукции (межотраслевые поставки); объем продукции i-й отрасли, предназначенный для потребления в непроизводственной сфере (продукт конечного потребления). далее

5 Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности: валовой выпуск i-й отрасли должен быть равным сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. далее

6 Величины в течение длительного времени меняются очень слабо и могут рассматриваться как постоянные числа, т.к. технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объем потребления j-й отраслью продукции i-й отрасли при производстве своей продукции объема есть технологическая константа. коэффициенты прямых затрат матрица прямых затрат далее

7 Наряду с коэффициентами прямых затрат рассматривают коэффициенты косвенных затрат. Так, например, j-я отрасль использует продукцию i-й отрасли непосредственно (прямые затраты) и опосредованно, потребляя ранее произведенную свою продукцию и продукцию других отраслей, для производства которых была использована продукция i-й отрасли. Эти опосредованные один раз затраты называются косвенными затратами первого порядка. Коэффициенты косвенных затрат первого порядка образуют матрицу далее

8 Матрица называется матрицей полных затрат, элементы которой показывают величину валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимой для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли. Чистой продукцией отрасли называется разность между валовой продукцией этой отрасли и затратами продукции всех отраслей на производство этой отрасли. назад

9 4. Математическая модель задачи Согласно гипотезе линейностисистема (*) примет вид далее

11 Уравнение межотраслевого баланса используется: 1)Необходимо рассчитать объем конечного потребления по известному объему валового выпуска 2)Необходимо рассчитать объем валового выпуска по известному объему конечного потребления назад

12 5. Методы решения 1)Метод последовательного исключения неизвестных (Метод Гаусса) 2)Метод Крамера (с помощью определителей) 3)Метод обратной матрицыобратной матрицы назад

13 Метод обратной матрицы Рассмотрим СЛУ (**) в матричном виде: ПримерПример. назад

14 Пример. Имеются две отрасли: далеедалее назадназад Отрасли Потребление Валовой выпуск 1-я отрасль 2-я отрасль Произ- водство 1-я отрасль 26 ед.164 ед.260 ед. 2-я отрасль 208 ед.82 ед.410 ед.

15 Необходимо: 1)определить прямые затраты,прямые затраты 2)определить объем конечной продукции,объем конечной продукции 3)определить матрицу полных затрат,матрицу полных затрат 4)найти объем валового выпуска каждой отрасли, если в плановом периоде выпуск конечной продукции должен повысится в 1-ой отрасли на 50%, во 2-ой отрасли на 20%,объем валового выпуска 5)найти межотраслевые поставки в плановом периоде,межотраслевые поставки 6)составить межотраслевой баланс в плановом периоде,межотраслевой баланс 7)определить объем чистой продукции в плановом периоде,объем чистой продукции 8)определить матрицу косвенных затрат 1-го порядка.матрицу косвенных затрат 1-го порядка назад

16 1) Решение: (определить прямые затраты): Для нахождения матрицы прямых затрат воспользуемся гипотезой линейности, тогда далеедалее назадназад

17 Матрица прямых затрат имеет вид: Матрица А продуктивна. назад

18 2) Решение: (определить объем конечной продукции): Чтобы рассчитать объем конечного потребления по известному объему валового выпуска необходимо вычислить: Следовательно, конечный продукт 1-ой отрасли составит 70 ед., 2-отрасли 120 ед. назад

19 3) Решение: (определить матрицу полных затрат): По определению матрица полных затрат: назад

20 4) Решение: (найти объем валового выпуска каждой отрасли, если в плановом периоде выпуск конечной продукции должен повысится в 1-ой отрасли на 50%, во 2-ой отрасли на 20%): По условию Для нахождения объема валового выпуска по известному объему конечного потребления необходимо вычислить: Следовательно, объем валового выпуска 1-ой отрасли составит 354 ед., 2-отрасли 534 ед. назад

21 5) Решение: (найти межотраслевые поставки в плановом периоде): Для нахождения межотраслевых поставок воспользуемся гипотезой линейности, тогда назад

22 6) Решение: (составить межотраслевой баланс в плановом периоде): назад Отрасли ПотреблениеКонеч- ный продукт Валовой выпуск 1-я отрасль 2-я отрасль Произ- водство 1-я отрасль 35,4213, я отрасль 283,2106,

23 7) Решение: (определить объем чистой продукции в плановом периоде): назад Отрасли ПотреблениеКонеч- ный продукт Валовой выпуск 1-я отрасль 2-я отрасль Произ- водство 1-я отрасль 35,4213, я отрасль 283,2106, Чистая продукция 35,4213,6

24 8) Решение: (определить матрицу косвенных затрат 1-го порядка): Матрица косвенных затрат первого порядка равна назад

25 Спасибо за внимание! Не забывайте готовиться к лекциям и семинарам! (Тема следующей лекции «Собственные значения и собственные векторы») Удачи!

Источник