Физика что такое погрешность измерений

Точность и погрешность измерений

Содержание

Одна из самых быстрых машин, которую можно встретить на городской дороге, — BMW M8 Competition, — согласно тестированиям автопроизводителя способна разгоняться до 100 км/ч за впечатляющие 2.5 с.

Иными словами, вы успеете моргнуть лишь единожды прежде, чем спидометр стильного немецкого купе выдаст отметку «100» и, озорно светя задними габаритными огнями, улетит в закат.

Рисунок 1: Панель приборов автомобиля. Спидометр располагается справа.

Физические величины различного рода и их измерения так или иначе окружают нас везде.

К примеру, та же вышеупомянутая динамика разгона, то есть время, за которое транспортное средство разгоняется до определенной скорости, является важным параметром для любого автомобилиста, приобретающего новенький спорткар в салоне.

В жару мы то и дело поглядываем на отметку термометра и ужасаемся, когда температура на отметке безжалостно приближается к 40 °C. Если опаздываем, то обязательно держим под рукой часы и проверяем время по минутам.

Если худеем, то каждое утро начинаем со взвешивания и фиксируем массу своего тела в килограммах. Если растем, то периодически интересуемся, сколько на этот раз метров и сантиметров покажет настенная линейка.

Правда несмотря на то, что физика относится к наукам точным, как бы удивительно ни было, ни одна ее величина — ни время, ни длина, ни скорость, ни что-либо еще — не может быть выражена с предельной точностью.

Ведь вряд ли вы весите, скажем, ровно 60 килограмм без единого лишнего миллиграмма или имеете рост ровно 170 сантиметров. Точно так же, как и BMW M8 Competition не разгоняется до 100 км/ч абсолютно ровно за две с половиной секунды.

Что такое точность?

Точность измерений характеризует близость результата измерения к фактическому значению измеряемой величины. Строго говоря, ни одна физическая величина не может быть измерена с абсолютной точностью — так, чтобы данные измерительного прибора отображали истинное значение.

Мир и его явления, на самом деле, практически всегда имеют отношение к иррациональным числам, таким, как, к примеру, результат деления десяти на три: наберите данную операцию на калькуляторе и посмотрите на то, как неэстетично в реальности выглядят данные — с кучей знаков после запятой, за которыми не угнаться.

Однако иррациональность чисел не удивляет, да и слишком абстрактна, дабы уловить суть. Что есть деление десяти на три? Тогда, для конкретности, стоит покуситься на святое — на время. Казалось бы, что может быть точнее времени, показываемого самыми точными на свете часами — атомными часами?

И тем не менее, даже если вы зайдете на онлайн-ресурс, официально регистрирующий международное атомное время с точностью до миллисекунд, действительного точного измерения времени там вы не найдете.

Всегда есть условности: задержка передачи данных между сетевыми элементами; ваш мозг, регистрирующий и обрабатывающий информацию, поступающую через органы чувств и т. д. Все это отдаляет нас, хоть и несущественно, от фактического значения величины.

Именно поэтому в физике одним из важнейших понятий является понятие погрешности.

Что такое погрешность?

Представьте, что вас отправили в магазин купить сахар, но вот незадача: фасованный в пачках как раз закончился и остался только на развес. Что делать, вы просите продавца тогда отмерить вам ровно килограмм. Продавец взял лопатку, наполнил пакет, положил его на весы, и они выдают значение — 1.000 кг.

Как удачно положили.

Вы рассчитываетесь и счастливым возвращаетесь домой. А теперь представим, что по необыкновенной случайности у вас дома имеются весы, показывающие массу с точностью до миллиграмма. Вы решаете интереса ради перевесить пакет, чтобы посмотреть, действительно ли его масса равна строго килограмму.

И какого же удивление, когда более точные весы показывают массу не в 1.000 кг, а в 0.999990 кг. Иными словами, вас обсчитали. Обсчитали, между прочим, на десять миллиграмм!

Чем меньше цена деления прибора, тем точнее измерение. Ваши весы с учетом массы до миллиграмма оказались точнее магазинных «граммовых» весов. Однако и это не предел, ведь существуют фармакологические весы, определяющие массу до микрограмма — одной миллиардной килограмма. Так можно продолжать до бесконечности, пока у нас не закончатся технологические возможности сконструировать еще более точные весы.

Однако все измерительные приборы, пусть и самые точные, несовершенны. Несовершенно даже само то, как мы видим, слышим и ощущаем мир вокруг. Это, наряду с прочими факторами, приводит к тому, что при измерении величины получается ее приближенное значение, не истинное.

Разница между приближенным и истинным значениями и называется погрешностью.

Важно. Погрешность не равно ошибке. В обычном, бытовом языке мы привыкли к тому, что слово «погрешность» у нас ассоциируется с просчетом или упущением.

В физике погрешность — обыденное явление, присутствующее внутри практически каждой величины, и мало что имеет общего с ошибкой в привычном понимании слова.

Все величины, которые, к примеру, вы видите в типовых физических задачах на вычисление, так или иначе содержат погрешность. Ее не обозначают для удобства. Поэтому помните о невозможности проводить эксперименты в идеальных условиях и о том, что ни один прибор чаще всего не сможет показать результат таким, каков он есть на самом деле.

Как правило, при однократном проведении измерения определить значение погрешности крайне затруднительно: для ее выявления обычно проводят серию равноточных измерений — измерений, произведенных в одинаковых условиях.

После результаты сличаются, то есть сравниваются между собой и, при необходимости, сопоставляются с различными экспериментальными величинами. На основе данных, полученных в результате измерений и сличения, вычисляется погрешность.

Эксперимент с линейкой

Обнаружить явление погрешности можно самостоятельно вне строгой лабораторной обстановки: достаточно провести простой эксперимент измерения длины с обычной школьной линейкой. В качестве примера, возьмем карандаш и выполним с ним замеры.

Рисунок 2. Замер линейкой с ценой деления 1 см.

Во-первых, необходимо зафиксировать цену деления измерительного прибора. Цена деления определяется разностью двух ближайших отметок. В нашем случае она равна 1 см.

Примечание. На разметке измерительного прибора всегда указываются единицы измерения. К примеру, на стандартной линейке можно увидеть пометку «см», сантиметры.

Довольно часто используемые для измерений приборы не работают с основными единицами СИ — единицы величин либо являются производными, как сантиметр, либо, как миллиметр ртутного столба, являются внесистемными.

Когда вас просят привести ответ в СИ, не забывайте о переводе значений, если измерительный прибор работает с внесистемными или производными единицами. В случае с сантиметровой линейкой, при подобном требовании, обязательно выражение результата в метрах и т. п.

Далее совмещаем конец карандаша с нулевой отметкой. Видим, что второй конец располагается между отметками 12 и 13.

Какой из этих результатов следует принять за длину нашего карандаша?

Очевидно, что тот, который будет ближе к истинному значению — 12 см. Если бы мы провели аналогичный опыт, использовав более точную линейку с ценой деления в миллиметр, мы получили бы значение 12.2 см.

Рисунок 3. Замер линейкой с ценой деления 1 мм.

А какой из этих результатов лучше будет засчитать теперь? Какой правильный?

Оба результата фактически являются верными, их разница заключается лишь в том, что получены они были с разной точностью измерения: длина карандаша во втором варианте была дана с точностью до миллиметра, в первом — до сантиметра. Можно было бы воспользоваться микро́метром, еще более точным измерительными прибором, и получить результат с точностью до микроме́тра. Однако в случае с карандашом точности до миллиметра будет достаточно.

Вычисление погрешности

Но что делать, если бы мы захотели учесть погрешность? Как ее вычислить и обозначить математически?

На самом деле, точно определить погрешность не так просто. Для этого необходимо владение методами математической статистики, для чего требуется уже знание высшей математики. Плюс немаловажно определение комплексных параметров вроде класса точности измерительного прибора.

Поэтому для простоты измерений с погрешностью считается, что обычно она равна половине цены деления прибора. В нашем эксперименте при цене деления линейки в сантиметр погрешность составила 0.5 см. При цене деления в миллиметр — 0.05 см.

$l$ = 12 ± 0.5 cм — в случае, когда цена деления составляла сантиметр;

$l$ = 12.2 ± 0.05 см — в случае, когда цена деления составляла миллиметр.

Математический символ плюс-минус (±) используется для обозначения интервала значений и расшифровывается следующим образом: истинное значение величины заключено в диапазоне «от-до».

Формула погрешности

Таким образом, общая формула для записи величин с погрешностью выглядит следующим образом:

Выходит, что истинное значение длины карандаша располагается в диапазоне значений от 11.5 см до 12.5 см.

При более точных замерах до миллиметра: от 12.15 см до 12.25 см.

Однако остается один последний интересный момент. Несмотря на то, что мы провели замеры и определили длину, философски говоря, вопрос остается вопросом: так какую же точную длину имеет карандаш?

Источник

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

п.1. Шкала измерительного прибора

Примеры шкал различных приборов:

Манометр – прибор для измерения давления, круговая шкала

Вольтметр – прибор для измерения напряжения, дуговая шкала

Индикатор громкости звука, линейная шкала

п.2. Цена деления

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале: a = 5 c b = 10 c Между ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления.

Цена деления: \begin \triangle=\frac\\ \triangle=\frac<10-5><24+1>=\frac15=0,2\ c \end

п.3. Виды измерений

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin m_0=\frac<99,8+101,2+100,3><3>=\frac<301,3><3>\approx 100,4\ \text <г>\end Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности \(m_0\) и измерения. \begin \triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\\ \triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\\ \triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 \end Находим среднее абсолютное отклонение: \begin \triangle_=\frac<0,6+0,8+0,1><3>=\frac<1,5><3>=0,5\ \text <(г)>\end Мы видим, что полученное значение \(\triangle_\) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin \triangle m=max\left\<\triangle_; d\right\>=max\left\<0,5; 0,05\right\>\ \text <(г)>\end Записываем результат: \begin m=m_0\pm\triangle m\\ m=(100,4\pm 0,5)\ \text <(г)>\end Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): \begin \delta_m=\frac<0,5><100,4>\cdot 100\text<%>\approx 0,050\text <%>\end

п.6. Представление результатов эксперимента

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin \delta_1=\frac<0,1><4,0>\cdot 100\text<%>=2,5\text<%>\\ \delta_2=\frac<0,03><4,0>\cdot 100\text<%>=0,75\text <%>\end Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: \(\delta_2\lt \delta_1\), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Источник

Содержание:

При измерении разных физических величин мы получаем их числовые значения с определенной точностью. Например, при определении размеров листа бумаги (длины, ширины) мы можем указать их с точностью до миллиметра; размеры стола – с точностью до сантиметра, размеры дома, стадиона – с точностью до метра.

Нет необходимости указывать размеры стола с точностью до миллиметра, а размеры стадиона с точностью до сантиметра или миллиметра. Мы сами в каждой ситуации, опыте и эксперименте определяем, с какой точностью нам нужны данные физические величины. Однако очень важно оценивать, насколько точно мы определяем физическую величину, какую ошибку (погрешность) в ее измерении допускаем.

При измерении мы не можем определить истинное значение измеряемой величины, а только пределы, в которых она находится.

Пример:

Измерим ширину стола рулеткой с сантиметровыми и миллиметровыми делениями на ней (рис. 5.1). Значение наименьшего деления шкалы называют ценой деления и обозначают буквой С. Видно, что цена деления рулетки С = 1 мм (или 0,1 см).

Совместим нулевое деление рулетки с краем стола и посмотрим, с каким значением
шкалы линейки совпадает второй край стола (рис. 5.1). Видно, что ширина стола составляет чуть больше 70 см и 6 мм, или 706 мм. Но результат наших измерений мы запишем с точностью до 1 мм, то есть L = 706 мм.

Абсолютная погрешность измерения ∆ (ДЕЛЬТА)

Из рис. 5.1 видно, что мы допускаем определенную погрешность и определить ее «на глаз» достаточно трудно. Эта погрешность составляет не более половины цены деления шкалы рулетки. Эту погрешность называют погрешностью измерения и помечают ∆L («дельта эль»). В данном эксперименте ее можно записать

Сам результат измерения принято записывать таким образом: ширина стола L = (706,0 ± 0,5) мм, читают: 706 плюс-минус 0,5 мм. Эти 0,5 мм в нашем примере называют абсолютной погрешностью. Значения измеряемой величины (706,0 мм) и абсолютной погрешности (0,5 мм) должны иметь одинаковое количество цифр после запятой, то есть нельзя записывать 706 мм ± 0,5 мм.

Такая запись результата измерения означает, что истинное значение измеряемой величины находится между 705,5 мм и 706,5 мм, то есть 705,5 мм ≤ L ≤ 706,5 мм.

Относительная погрешность измерения ε (ЭПСИЛОН)

Иногда важно знать, какую часть составляет наша погрешность от значения
измеряемой величины. Для этого разделим 0,5 мм на 706 мм. В результате получим: . То есть наша ошибка составляет 0,0007 долю ширины стола, или 0,0007 · 100% = 0,07%. Это свидетельствует о достаточно высокой точности измерения. Эту погрешность называют относительной и обозначают греческой буквой (эпсилон):

(5.1)

Относительная погрешность измерения свидетельствует о качестве измерения. Если длина какогото предмета равна 5 мм, а точность измерения – плюс-минус 0,5 мм, то относительная погрешность будет составлять уже 10%.

Стандартная запись результата измерений и выводы

На точность измерения влияет много факторов, в частности:

Все это необходимо учитывать при проведении измерений.

Измерительные приборы

Устройства, с помощью которых измеряют физические величины, называют измерительными приборами.

Простейший и хорошо известный вам измерительный прибор — линейка с делениями. На ее примере вы видите, что у измерительного прибора есть шкала, на которой нанесены деления, причем возле некоторых делений написано соответствующее значение физической величины. Так, значения длины в сантиметрах нанесены на линейке возле каждого десятого деления (рис. 3.11). Значения же, соответствующие «промежуточным» делениям шкалы, можно найти с помощью простого подсчета.

Разность значений физической величины, которые соответствуютближайшим делениям шкалы, называют ценой деления прибора. Ёе находят так: берут ближайшие деления, возле которых написаны значения величины, и делят разность этих значений на количество промежутков между делениями, расположенными между ними.

Например, ближайшие сантиметровые деления на линейке разделены на десять промежутков. Значит, цена деления линейки равна 0,1 см = 1 мм.

Как определяют единицы длины и времени

В старину мерами длины служили большей частью размеры человеческого тела и его частей. Дело в том, что собственное тело очень удобно как «измерительный прибор», так как оно всегда «рядом». И вдобавок «человек есть мера всех вещей»: мы считаем предмет большим или малым, сравнивая его с собой.

Так, длину куска ткани измеряли «локтями», а мелкие предметы — «дюймами» (это слово происходит от голландского слова, которое означает «большой палец»).

Однако человеческое тело в качестве измерительного прибора имеет существенный недостаток: размеры тела и его частей у разных людей заметно отличаются. Поэтому ученые решили определить единицу длины однозначно и точно. Международным соглашением было принято, что один метр равен пути, который проходит свет в вакууме за 1/299792458 с. А секунду определяют с помощью атомных часов, которые сегодня являются самыми точными.

Можно ли расстояние измерять годами

Именно так и измеряют очень большие расстояния — например, расстояния между звездами! Но при этом речь идет не о годах как промежутках времени, а о «световых годах». А один световой год — это расстояние, которое проходит свет за один земной год. По нашим земным меркам это очень большое расстояние — чтобы убедиться в этом, попробуйте выразить его в километрах! А теперь вообразите себе, что расстояние от Солнца до ближайшей к нему звезды составляет больше четырех световых лет! И по астрономическим масштабам это совсем небольшое расстояние: ведь с помощью современных телескопов астрономы тщательно изучают звезды, расстояние до которых составляет много тысяч световых лет!

Что надо знать об измерительных приборах

Приступая к измерениям, необходимо, прежде всего, подобрать приборы. Что надо знать об измерительных приборах?

На рисунке 34 изображены три линейки с одинаковыми верхними пределами (25 см). По эти линейки измеряют длину с различной точностью. Наиболее точные результаты измерений дает линейка 7, наименее точные — линейка 3. Что же такое точность измерений и от чего она зависит? Для ответа на эти вопросы рассмотрим сначала понятие цена деления шкалы прибора.

Цена деления — это значение наименьшего деления шкалы прибора.

Как определить цену деления шкалы? Для этого необходимо:

Полученное значение и будет ценой деления шкалы прибора. Обозначим ее буквой С.

Точно так же можно определить и цену деления шкалы мензурок 1 и 2 (рис. 35). Цена деления шкалы мензурки 1:

Цена деления шкалы мензурки 2:

А какими линейкой и мензуркой можно измерить точнее?

Измерим один и тот же объем мензуркой 1 и мензуркой 2. Но показаниям шкал в мензурке 1 объем воды V = 35 мл; в мензурке 2 — V = 37 мл.

Итак, любым прибором, имеющим шкалу, измерить физическую величину можно с точностью, не превышающей цены деления шкалы.

Линейкой 1 (см. рис. 34) можно измерить длину с точностью до 1 мм. Точность измерения длины линейками 2 и 3 определите самостоятельно.

Главные выводы:

Для любознательных:

В истории науки есть немало случаев, когда повышение точности измерений давало толчок к новым открытиям. Более точные измерения плотности азота, выделенного из воздуха, позволили в 1894 г. открыть новый инертный газ — аргон. Повышение точности измерений плотности воды привело к открытию в 1932 г. одной из разновидностей тяжелых атомов водорода — дейтерия. Позже дейтерий вошел в состав ядерного горючего. Оценить расстояния до звезд и создать их точные каталоги ученые смогли благодаря повышению точности при измерении положения ярких звезд на небе.

Пример решения задачи

Для измерения величины угла используют транспортир. Определите: 1) цену деления каждой шкалы транспортира, изображенного на рисунке 38; 2) значение угла BАС, используя каждую шкалу; укажите точность измерения угла ВАС в каждом случае.

Решение:

1) Цена деления нижней шкалы:

Цена деления средней шкалы:

Цена деления верхней шкалы:

2) Определенный но нижней шкале с точностью до 10° определенный по средней шкале с точностью до 5° определенный по верхней шкале с точностью до 1°

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник