Уравнение движения материальной точки что это

Теоретическая механика

16. Кинематика точки. Способы задания движения точки (векторный и координатный)

Кинематика изучает простейшую форму движения – механическое движение. Кинематически определить движение тела – это значит указать его положение относительно выбранной системы отсчета в каждый момент времени.

Движение материальной точки (в дальнейшем будем говорить просто точки) задано, если известен закон движения.

Закон движения. Закон движения – это уравнение, позволяющее определить положение точки относительно выбранной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики точки. По известному закону движения определить траекторию движения точки, ее положение на траектории, скорость и ускорение точки в ее положении на траектории.

Способы задания движения точки

В зависимости от выбора системы отсчета существуют три способа задания движения точки – векторный, координатный и естественный. Рассмотрим эти способы задания движения в отдельности.

Векторный способ задания движения точки

Таким образом, вектор определяет положение движущейся точки в любой момент времени. Следовательно, уравнение является законом движения при векторном способе задания движения.

Величина называется вектором скорости точки. Вектор скорости точки всегда направлен по касательной к годографу (траектории движения точки) в сторону перемещения точки.

Величина называется вектором ускорения точки.

Как показано на рис.К.10, вектор направлен в сторону вогнутости траектории движения точки, следовательно и вектор ускорения всегда направлен в ту же сторону, то есть в сторону вогнутости траектории движения точки.

Координатный способ задания движения точки

Компоненты скорости и ускорения движущейся точки в любой момент времени определяются по формулам

Модули скорости и ускорения

Источник

Уравнение движения материальной точки

Вы будете перенаправлены на Автор24

Система отсчета. Системы координат

Под движением материальной точки в пространстве понимают изменение ее положения относительно некоторых тел с течением времени. В связи с этим можно говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Сами по себе точки пустого пространства неразличимы между собой, поэтому говорить о той или иной точке пространства можно, если в ней находится материальная точка. Ее положение и определяется относительно тела отсчета с помощью измерений, для чего с телом (телами) отсчета жестко связывается некоторая система координат; в ней и измеряются пространственные координаты. Например, на поверхности Земли это географическая широта и долгота точки.

В теоретических рассуждениях часто не принимают во внимание реальную систему отсчета, сохраняя только систему координат, которая и служит математической моделью системы отсчета, применяемой при измерениях на практике.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Итак, в любой системе отсчета и системе координат имеется возможность определить координаты материальной точки в любой момент времени.

Если положение материальной точки в каждый момент времени определено в данной системе отсчета, то движение ее задано или описано.

Это задание достигается в виде кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки всегда определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Этот факт выражают словами: свободная точка имеет три степени свободы движения.

Готовые работы на аналогичную тему

В этом случае кинематические уравнения движения точки имеют следующий общий вид:

$r=r(t),\varphi =\varphi (t)$. (3)

кинематические уравнения движения точки запишутся так:

(Это могут быть сферические, цилиндрические и другие координаты).

Это уравнение является уравнением движения точки по траектории. Такой способ задания движения называется естественным или траекторным.

Координатный и естественный способы задания движения точки физически (в смысле фиксации ее положения в пространстве)

Закон движения точки по траектории может быть задан аналитически, графически или в виде таблицы. Оба последних способа широко применяются на транспорте (например, графики и расписания движения поездов).

Решение: Зависимость скорости от времени имеет вид:

Запишем уравнение зависимости координаты от времени и сравним его с данным:

Подставим полученные данные в уравнение скорости и получим:

Определим точки и построим график:

Путь, пройденный телом, численно равный площади фигуры, ограниченной графиком и может быть найден по следующей формуле:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 07 2021

Источник

Теоретическая механика

26. Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Уравнения движения материальной точки

Динамика есть часть теоретической механики, в которой устанавливается и изучается связь между движением материальных тел и действующими на них силами.

В основе динамики лежат эмпирические законы, точно сформулированные и систематически изложенные независимо друг от друга Ньютоном и Галилеем.

Если на материальную точку не действуют никакие силы или действующая система сил является уравновешенной, то материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения. Такое состояние точки называется инерциальным.

3. Закон равенства сил действия и противодействия.

Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные точки, всегда равны по модулю и направлены по прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

3′. Закон независимости действия сил.

Если на материальную точку действует система сил, то точка получит ускорение равное геометрической сумме ускорений, которые приобрела бы точка под действием каждой силы в отдельности.

Уравнение (1) называется основным уравнением динамики точки.

Дифференциальное уравнение движения материальной точки

Таким образом, можно записать

Уравнение (2) является основным дифференциальным уравнением движения материальной точки, записанное в векторном виде.

Координатная форма записи основного дифференциального уравнения движения точки

Разложим радиус-вектор и результирующую силу по осям координат

Подставим (3) в (2), получим

Система уравнений (5) является координатной формой записи основного дифференциального уравнения движения точки.

Источник

Уравнение движения материальной точки

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

После подстановки данных в уравнение:

Определим точки, изобразим график:

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

Источник