Упрости выражение зная что

Упростить выражение

Что значит упростить выражение

Когда говорят упростить выражение, подразумевают конкретные математические действия с этим выражением, в результате чего оно примет иной вид.

Такими действиями могут быть раскрытие скобок, внесение и вынесение множителя за скобку, деление (сокращение), умножение, возведение в степень, приведение дробей к общему знаменателю и много других операций.

При этом часто используют формулы сокращенного умножения и теоремы, а в тригонометрии от простых формул приведения до самых сложных тригонометрических выражений.

Чем старше школьник, тем больше формул он знает и обладает богатым арсеналом математических действий.

В чем смысл таких действий

Задачи на упрощение выражений встречаются с самых младших классов. Дети сами того не осознавая, учатся шевелить мозгами в нужном направлении, чтобы преобразовать одно выражение в другое.

Разумеется, все задания составляются таким образом, что в любом случае они приводятся к более простому виду или подходящему для дальнейших операций.

Однако, при таком подходе теряется общий смысл поставленной задачи.

Когда ученик слышит, что надо что-то упростить, то машинально начинает перебирать всевозможные математические действия в голове, не задаваясь вопросом, а для чего упрощать?

Приведем наглядный пример

Кто теперь скажет, что раскрыть скобки, затем подставить a=⅔ и b=⅓, а затем вычислить ответ, это легче, чем сразу найти a+b=⅔+⅓=1? После этого возводи единицу хоть в сотую степень!

Итак, главная цель задач на упрощение выражений в том, чтобы научить вас применять те или иные математические действия над выражениями.

Это обязательно нужно уметь делать. Но более важная проблема в том, чтобы научиться применять необходимые действия в нужный момент и воспользоваться результатом преобразования.

Благо есть онлайн калькуляторы упрощения выражений, например, такой как наш, с помощью которого можно проверить свои вычислительные результаты.

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Упрощение многочлена.
Умножение многочленов.

С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен.
В процессе работы программа:
— умножает многочлены
— суммирует одночлены (приводит подобные)
— раскрывает скобки
— возводит многочлен в степень

Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Немного теории.

Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Источник

Упрощения алгебраических выражений

Что значит упростить алгебраическое выражение

Алгебраическое выражение — одна или несколько алгебраических величин (чисел и переменных), которые объединены с помощью знаков арифметических действий в виде сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня, возведения в степень (при целых значениях показателей корня и степени), знаков последовательности, определяющих порядок применения данных операций (скобки разного вида).

Обязательным условием для алгебраического выражения является конечное число величин, которые его составляют. Данный принцип пригодиться математикам для решения задач в средних классах школы.

Упростить выражение — это значит уменьшить число арифметических действий, необходимых для вычисления значения данного выражения с учетом определенных значений переменных.

Правила упрощения алгебраических выражений

Существуют основные методы в алгебре для того, чтобы упростить алгебраическое выражение:

В процессе приведения выражения в более простую форму следует использовать полезные советы:

Приведение подобных

Приведение подобных слагаемых в теории заключается в сложении их коэффициентов и приписывании буквенной части.

Подобными являются слагаемые (одночлены), которые обладают буквенной частью.

В выражении 2ab+3ab+b одночлены 2ab и 3ab являются подобными слагаемыми.

Привести подобные — значит, выполнить сложение нескольких подобных слагаемых для получения в результате одного слагаемого.

К примеру, приведем слагаемые:

Заметим, что числа в таких слагаемых умножают на буквы. Данные числа носят названия коэффициентов.

Рассмотрим выражение с квадратной степенью:

Здесь число 3 является коэффициентом.

Разложение на множители

Разложить выражение на множители можно, если вынести общий множитель за скобки, применить формулы сокращенного умножения и другие.

a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c

В распространенных случаях разложение на множители следует за приведением подобных при упрощении выражений. В итоге получаются произведения. Чтобы это понять, отдельно нужно упомянуть правила действия с дробями, а именно, при сокращении дроби числитель и знаменатель требуется записать, как произведения.

Сокращение дроби

В процессе сокращения дроби допустимо выполнять умножение или деление числителя и знаменателя дроби на одинаковое число, отличное от нуля, в результате чего величина дроби остается прежней.

Объяснение алгоритм действий при сокращении дробей:

a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a

Важно заметить, что сокращению подлежат исключительно множители.

Озвученное правило является следствием ключевого свойства дроби. Оно состоит в допустимости умножения или деления числителя и знаменателя дроби на одно и то же число, которое не равно нулю. В результате значение дроби останется без изменений.

Существует простой способ, руководствуясь которым можно определить, разложено ли выражение на множители. Арифметическое действие, выполняемое в последнюю очередь при вычислении значения выражения, считается «главным».

Данное правило состоит в том, что, когда при подстановке каких-либо чисел на замену буквам и вычислении значения выражения последнее действие представляет собой умножение, можно заключить, что перед нами произведение, то есть выражение разложено на множители. В том случае, когда на последнем шаге в процессе расчетов выполняется сложение или вычитание, разложение выражения на множители не выполнено, то есть сокращение не допускается.

Сложение и вычитание дробей

При сложении и вычитании обыкновенных дробей требуется найти общий знаменатель, умножить каждую из дробей на недостающий множитель и сложить или вычесть числители:

a b + c d = a · d + c · b b · d ;

Разберем правило на конкретных примерах. Вычислим:

Заметим, что знаменатели являются взаимно простыми, то есть не имеют общих множителей. Таким образом, наименьший общий множитель данных чисел соответствует их произведению. В результате:

В данном случае общим множителем является число 24. Выполним преобразования и упростим выражение:

В данном примере следует смешанные дроби записать в виде неправильных. Далее можно упростить выражение по стандартному алгоритму:

Разберем самостоятельный случай, когда знаменатели не содержат буквы. При этом алгоритм действий такой же, как и при действиях с обыкновенными дробями:

Здесь общий множитель равен 12. Тогда:

a 2 b · 3 4 + a · 2 6 = 3 a 2 b + 2 a 12

Далее можно привести подобные в числители, и разложить на множители при их наличии:

a 2 b 4 + a 6 = 3 a 2 b + 2 a 12 = a 3 a b + 2 12

Когда знаменатели содержат буквы, схема действий существенно не меняется:

Рассмотрим пример, когда требуется упростить выражение:

Разложим знаменатели на множители:

a b 2 = a · b · b a 2 b = a · a · b

Вычислим единые множители:

a b 2 = a ¯ · b ¯ ¯ · b a 2 b = a ¯ · a · b ¯ ¯

Затем можно записать общие множители и выполнить умножение:

a ¯ · b ¯ ¯ · a · b = a 2 b 2

1 a b 2 · a + 1 a 2 b · b = a + b a 2 b 2

Умножение и деление дробей

Умножение и деление дробей выполняют таким образом:

a b · c d = a · c b · d ;

a b : c d = a · d b · c

Арифметические действия выполняют в следующем порядке:

Важно заметить, что при наличии скобок, операции, которые в них заключены, необходимо выполнить в первую очередь. Далее можно приступать к раскрытию скобок. Когда имеется несколько скобок с арифметическими действиями, которые нужно умножить или разделить, в начале проводят вычисления в каждой из скобок, а затем умножение или деление полученных результатов. При наличии внутренних скобок, заключенных в скобки, действия в них выполняют в первую очередь.

Используя правило умножения и деления дробей, получим:

Во многих примерах имеются не только цифры, но и буквы. В этом случае выполняются алгебраические действия, в том числе, приведение подобных, сложение, сокращение дробей и другие операции. Отличия можно заметить при разложении многочленов на множители. Для этого следует пользоваться формулами сокращенного умножения или вынесением единого множителя за скобки.

Ключевой задачей при работе с такими выражениями является запись выражений в виде произведения или частного.

Попробуем упростить выражение:

Так как имеются скобки, следует начать преобразования именно с них. Упростим разность дробей, которая в них записана, чтобы получить вместо нее произведение или частное. Приведем дроби к единому знаменателю и определим сумму:

Заметим, что дальнейшие преобразования не приведут к упрощению данного выражения. Причина этого заключается в том, что каждый из множителей является элементарным. В результате:

Пояснения на примерах

Требуется упростить выражения:

Приведем подобные и упростим выражения:

Заметим, что ab и 2ba являются подобными по той причине, что:

В результате можно сделать вывод, что данные слагаемые обладают одинаковой буквенной частью.

Требуется упростить выражения:

Путем разложения на множители упростим данные выражения:

a b 2 + a 2 c = a b 2 + a c

72 30 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 2 · 3 · 5 = 2 · 2 · 3 5 = 12 5

a a + b a 2 = a a + b a · a = a + b a

В первую очередь выполним разложение на множители:

Дано выражение, которое требуется упростить:

В данном случае требуется разложить знаменатели на множители. Первый знаменатель записан так, что можно вынести за скобки х. Второй знаменатель содержит разность квадратов. Выполним преобразования:

Рассмотрим выражение на наличие общих множителей:

Заметим, что при переносе слагаемых, заключенных в скобках, изменился знак перед дробью. Приведем выражения к единому знаменателю:

Воспользуемся формулой сокращенного умножения, а именно, разностью кубов:

Заметим, что в знаменателе дроби расположено выражение, которое называют неполным квадратом суммы:

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 · x + 2 2

Второе по счету слагаемое в неполном квадрате суммы является произведением первого и последнего. Неполный квадрат суммы представляет собой множитель, который входит в состав разложения разности кубов:

Требуется упростить выражения:

Дано выражение, которое требуется упростить:

При наличии в знаменателях одного и того же множителя, возведенного в разные степени, то в общем знаменателе данный множитель будет обладать самой большой из имеющихся степеней. Применительно к этой задаче, общий знаменатель будет состоять из следующих выражений:

a во второй степени;

x в третьей степени;

b в третьей степени;

y в четвертой степени.

В результате получим:

Нужно упростить выражение:

Исключить ошибки можно, если расписать заранее порядок операций. В первую очередь целесообразно суммировать дроби, расположенные в скобках. В результате будет получена только одна дробь. Далее можно приступить к делению дробей. Полученный итог следует прибавить к последней дроби.

Выглядит этот алгоритм таким образом:

Источник

Общие сведения

Принцип решения любой математической задачи основан на получении оптимального ответа, который в дальнейшем возможно будет применить для других целей (доказательства теорем, тождеств, получения промежуточных величин). Оптимизация результата состоит из операций, имеющих собственный приоритет. Последний соответствует порядковому номеру элемента в списке:

В первом случае компоненты выражения группируются посредством скобок. В математике принято использовать только круглые, т. е. «()». Однако допускаются квадратные «[]», но некоторые начинающие математики иногда группируют элементы выражения при помощи фигурных скобок «<>». Это делать не рекомендуется, поскольку последние обозначают в дисциплинах с физико-математическим уклоном общее решение.

Иногда новички не знают, что возведение в степень и извлечение корня являются двумя эквивалентными операциями. Это утверждение легко доказывается. Например, квадратный корень из 36 эквивалентен 6. Знак радикала можно заменить степенью, имеющей вид обыкновенной или десятичной дроби, т. е. (36)^(½)=√36=6.

Произведение не всегда обладает высшим приоритетом, чем деление. Для удобства вычислений можно сначала разделить, а затем умножить. Например, требуется найти значение выражения «3*81:9». Его можно решить, основываясь на приоритетах или удобстве вычислений (оптимизации). Для сравнения расчетов нужно решить равенство двумя способами:

При решении получены одинаковые результаты. Следует отметить, что простой метод — второй. Операции сложения и вычитания имеют одинаковый приоритет. Упростить выражение — означает, что необходимо преобразовать его из сложной формы представления в простую. Иными словами, операция называется оптимизацией результата.

Оптимизация выражений применяется при решении уравнений (равенств с неизвестными величинами) любой сложности и доказательства теорем. Это базовые знания, необходимые для упрощения выражений в 5 классе.

Базовые знания

Для освоения определенного направления в любой дисциплине необходимы определенные знания. Например, невозможно выполнить умножение одного числа на другое, не зная таблицы умножения. Это касается и оптимизации тождеств. Основные элементы теории, которые нужно знать для выполнения операции:

По этим пунктам можно упрощать алгебраические целочисленные и дробные выражения любой сложности. Однако каждый из элементов необходимо разобрать подробно, чтобы не совершать ошибок при расчетах.

Приведение подобных элементов

Практически во всех заданиях нужно складывать общие элементы, полученные при расчетах или раскрытии скобок. Для этой операции необходимо руководствоваться следующими правилами:

В первом случае нужно привести пример тождества следующего вида: 2+5t+4+5t^2+2t-4t^2. Чтобы его упростить, необходимо сгруппировать подобные компоненты, т. е. (2+4)+(5t+2t)+(5t^2-4t^2). Далее следует сложить компоненты между собой, т. е. 6+7t+t^2.

Группу «5t^2-4t^2» можно назвать операцией сложения, хотя на самом деле она называется разностью, которую записывают и в виде суммы: 5t^2+(-4t^2). Раскрывая скобки в последнем тождестве, можно получить упрощенную форму: 5t^2-4t^2. Далее необходимо ознакомиться с правилами раскрытия скобок.

Раскрытие скобок

Операция раскрытия скобок для выполнения дальнейших вычислений очень часто применяется в различных дисциплинах с физико-математическим уклоном. Она осуществляется по следующим правилам:

В первом и втором случаях операции называют вынесением общего множителя за скобки. Последнее правило группировки действует не на все компоненты, т. е невозможно выполнить объединение 2 и 3 элементов (5 и 4) в выражении «4:5+4-1+7». Для доказательства следует решить его двумя способами:

Выражение, решенное первым и вторым способом, имеет различные ответы, поскольку 10,8>6[4/9]. Объяснение этому несоответствию — нарушение логики тождества. Следующим компонентом, составляющим базу для упрощения тождеств, является работа со степенями.

Работа со степенями

В математических тождествах иногда необходимо упростить степенные выражения. Однако большинство математиков-новичков делает много ошибок, поскольку не знают основных правил:

Нулевое значение в такой же степени является пустым множеством, т. е. его не существует. Cтепень может быть представлена в виде обыкновенной или десятичной дроби. В последнем случае для удобства ее необходимо перевести к первому типу. Если указано значение степенного показателя, равное 3/5, нужно величину возвести в куб, а затем изъять корень 5 порядка.

Оптимизация обыкновенных дробей

В последнем случае каждый знаменатель необходимо разложить на множители, затем перемножить между собой все неповторяющиеся компоненты. Следующим элементом, который необходимо для преобразования тождеств, являются формулы сокращенного умножения.

Сокращенное умножение

Для решения задач очень часто применяются формулы сокращенного умножения. В некоторых случаях тождества «собираются» в них или, наоборот, для сокращения нужно расписать элементы по множителям (правая часть равенства). Соотношения имеют следующий вид:

Cледует отметить, что в некоторых случаях к формуле сокращенного умножения тождество следует «подвести», воспользовавшись свойством отнимания и прибавления одного и того же значения. Например, необходимо из некоторого выражения (2t^2-60) выделить одну из формул. Это делается следующим образом:

Иногда в более сложных выражениях приходится применять несколько соотношений. Если тождество является дробью, обязательно следует проверить условие неравенства знаменателя нулевой величине. Для этой цели следует решить соответствующее уравнение, вычислив его корни. Последние должны привести к пустому множеству, т. к. на 0 делить нельзя. Вот именно их и необходимо исключить, записав условие, т. е. t!=-9.

Таким образом, для грамотной оптимизации математических выражений необходимо пользоваться рекомендациями специалистов, правилами и методиками, поскольку их несоблюдение могут существенно повлиять на результаты вычислений.

Источник

Урок 23 Бесплатно Упрощение выражений

Нам уже известно, что одну и ту же информацию можно представить в различных формах: в словесной форме и в символьной.

Кроме того, в словесной форме одну и ту же информацию можно произнести или записать по-разному.

Рассмотрим поясняющий пример.

Прочитаем внимательно следующие три предложения:

1. «Лида- сестра Марины».

2. «Марина- сестра Лиды».

3. «Лида с Мариной сестры».

Заметим следующее: сказаны и записаны данные утверждения по-разному, однако имеют один и тот же смысл.

Рассмотрим еще одно утверждение.

«Девочка Наташа и девочка Света учатся в одном классе.»

Попробуем записать данное предложение короче и проще, сохранив при этом его смысл.

Объединим два словосочетания «девочка Наташа» и «девочка Света» в одно.

Запишем «девочки Наташа и Света».

В результате получим такую фразу: «Девочки Наташа и Света учатся в одном классе».

В целом смысл предложения остался прежним, а предложение стало короче.

Наташа и Света- имена женского рода, и так ясно, что Наташа и Света девочки.

Уберем из предложения слово «девочки» и посмотрим, что получится.

«Наташа и Света учатся в одном классе».

Предложение заметно сократилось, а смысл исходного утверждения сохранился.

Фразу «учатся в одном классе» можно заменить одним словом «одноклассницы».

В таком случае получаем следующее предложение: «Наташа и Света- одноклассницы».

С помощью некоторых преобразований у нас получилось сократить и упростить исходное предложение.

Другими словами, нам удалось заменить исходное предложение эквивалентным ему, сохранив при это его смысл.

Аналогичная ситуация складывается с высказываниями, записанными с помощью математического языка.

Математическое утверждение, записанное в символьной форме, с помощью некоторых преобразований, можно из сложного и громоздкого превратить в простое и короткое.

Сегодня на уроке мы выясним, что значит упростить математическое выражение.

Вспомним, что такое числовое и буквенное выражение.

Познакомимся с различными методами преобразования арифметических и алгебраических выражений.

Разберем большое количество примеров, помогающих понять и усвоить материал по данной теме.

Упрощение выражения. Тождественные преобразования

Осмысленная комбинация математических символов, букв и знаков, как нам уже известно, называется математическим выражением.

Выражение не может представлять собой случайный набор математических символов и знаков.

Математические выражения делят на числовые и буквенные.

Числовое выражение- это запись, состоящая из чисел, арифметических операций, скобок и иных специальных математических символов.

Числовые выражения еще по-другому называют арифметическими выражениями.

Число, которое получается после выполнения всех арифметических операций, входящих в выражение, называют значением этого числового выражения.

В таком случае, чтобы найти значение числового выражения, необходимо выполнить в определенном порядке все арифметические операции, указанные в выражении.

Числовое выражение всегда имеет одно верное решение.

Решить арифметическое выражение- значит найти его значение, которое превращает это выражение в верное равенство.

В буквенных выражениях, наряду с числами, знаками математических операций и другими специальными математическими символами содержатся еще и буквы- переменные.

Числовое выражение, в котором числа обозначены цифрами и буквами, называют буквенным выражением.

Буквенные выражения часто называют алгебраическими выражениями.

Алгебраические выражения должны быть составлены в соответствии со всеми математическими правилами и по тому же принципу, что и числовые выражения.

Значение выражения с переменными зависит от значения переменных, входящих в него.

Последовательность выполнения арифметических операций в выражениях с переменными такая же, что и для числовых выражений.

Вычисления в алгебраических выражениях выполняют после подстановки вместо букв их численные значения.

Найти значение алгебраического выражения- значит найти значение выражения при заданном значении переменной.

Значение переменной, при котором алгебраическое выражение обращается в верное равенство, называют допустимым значением этой переменной.

Простые арифметические и алгебраические выражения вам уже хорошо знакомы, значения таких выражений находили не раз, выполняя в определенной последовательности математические операции.

Однако, часто можно встретить выражения, которые имеют сложный и громоздкий вид, значение, которых сложно найти, используя только правила выполнения математических операций.

Чтобы привести математическое выражение к виду, удобному для дальнейшего решения, используют различные тождественные преобразования.

Тождественным преобразованием называют замену одного выражения на другое, тождественно равное исходному.

Часто в словосочетании «тождественные преобразования выражения» слово «тождественные» опускают и произносят просто «преобразования выражения».

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Основные способы упрощения выражений

Упростить выражение- значит найти эквивалентное ему выражение, которое будет короче (содержащее минимум знаков, символов, математических операций) и проще для вычислений и дальнейших преобразований.

После упрощения выражения значение этого выражения остается прежним.

Упрощение выражений выполняется на основе свойств математических операций над числами, не зависимо от того арифметическое это выражение или алгебраическое.

Изученные нами раннее свойства сложения, вычитания, умножения, деления позволяют преобразовывать и упрощать математические выражения.

Рассмотрим основные методы упрощения математических выражений.

1. Метод группировки

Сочетательное и переместительное свойства сложения и умножения часто используют для преобразования выражений.

Удобно использовать переместительное и сочетательное свойства, группируя числа, объединяя их по определенному признаку, чтобы в результате они давали круглые числа или легко считались.

Группировка слагаемых подразумевает объединение в группы нескольких слагаемых.

Группировка множителей- это объединение нескольких множителей в группы.

Упростим числовое выражение 242 + 183 +58 + 17.

Для упрощения данного выражения воспользуемся переместительным и сочетательным свойством сложения.

Сгруппируем числа 242 и 58 и числа 183 и 17.

Упростим числовое выражение 12 ∙ 9 ∙ 5 ∙ 1.

Воспользуемся переместительным свойством умножения.

Сгруппируем числа 12 и 5 и числа 9 и 1.

Рассмотрим пример упрощения буквенного выражения.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Важно помнить, что буквенное выражение (алгебраическое выражение) всегда содержит хотя бы одну букву.

Буквенные выражения так же могут содержать несколько одинаковых букв или состоять из разных букв.

Число, стоящее перед переменными, называют числовым коэффициентом выражения.

Коэффициент обычно пишут перед буквенным множителем.

Если нет коэффициента перед буквой или произведением букв, то считается, что он равен единице.

Так как любое число, умноженное на единицу (или единицы на любое число), равняется самому себе.

Например, а ∙ b ∙ c = 1 ∙ а ∙ b ∙ c.

Выражение может состоять только из букв.

Разные буквы имеют различное значение.

А если в выражении встречается одна и та же буква несколько раз, то во всех случаях она имеет одно и тоже значение.

Чтобы не путаться, можно для каждой буквы образно представить свой предмет.

Например, рассмотрим выражение 7x— 4y + y.

Представим, что x— это мороженное, y-это конфеты.

В результате получим: 7 мороженных минус 4 конфеты и плюс еще 1 конфета.

Невозможно из мороженного вычесть конфеты, однако конфеты с конфетами сложить можно.

4 конфеты + 1 конфета = 5 конфет.

Чтобы сложить слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, необходимо сложить коэффициенты и результат умножить на буквенную часть.

В итоге для нашего выражения получим следующее.

4y и y имеют одинаковую буквенную часть- это переменная y, следовательно,

4y + y = (4 + 1)y = 5y.

Запишем тождественное равенство.

7x— 4y + y = 7x— (4y + y) = 7x— 5y

Числа, которые имеют одинаковую буквенную часть, можно складывать и вычитать.

Упростим выражение 2а ∙ 4b ∙ 3c.

Сначала выполним перестановку множителей в исходном выражении, объединяя множители в одну группу

Сгруппируем отдельно числовые и буквенные множители.

2а ∙ 4b ∙ 3c = (2 ∙ 4 ∙ 3) ∙ (а ∙ b ∙ c) = 24 ∙ а ∙ b ∙ c

В полученном выражении число 24, стоящее перед буквенной частью a, b, c— это числовой коэффициент выражения.

Часто математические выражения содержат скобки.

Скобки имеют особое значение в выражении, например, указывают очередность арифметических операций.

Порой удобно избавиться от скобок и перейти к тождественно равному выражению без скобок, нежели производить в них вычисления.

2. Упрощение выражений со скобками (раскрытие скобок).

Перейти от выражения со скобками к выражению без скобок- это значит раскрыть (опустить) скобки.

Правило раскрытия скобок основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения и вычитания.

Чтобы умножить сумму нескольких чисел на число, можно каждое слагаемое умножить на это число, а полученные произведения сложить.

(a + b) c = ac + bc

Неважно с какой стороны располагается число с.

Таким образом, умножая число на сумму чисел, необходимо это число умножить на каждое слагаемое, а полученные произведения сложить.

c (a + b) = ac + bc

Распределительное свойство умножения относительно вычитания выполняется аналогичным образом, соблюдая некоторые нюансы.

Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

(a — b) c = c (a — b) = ac — bc

Рассмотрим поясняющие примеры.

Раскроем скобки в выражении 4 ∙ (2а + 3b).

Умножим каждое слагаемое на число 4.

Число 4— это общий множитель для каждого слагаемого, находящегося в скобке.

В нашем выражении- это общий множитель для слагаемых 2а и 3b.

Обычно, раскрывая скобки, промежуточные вычисления записывают в виде цепочки равенств.

4 ∙ (2а + 3b) = 4 ∙ 2а + 4 ∙ 3b

Умножим первое слагаемое 2а на общий множитель 4, для этого необходимо коэффициент 2 умножить на 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 8а.

Таким же образом поступим и со вторым слагаемым 3b, для этого необходимо коэффициент 3 умножить на общий множитель 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 12b.

Сложим полученные произведения 8а и 12b.

В результате получаем следующее тождественное преобразование.

4 ∙ (2а + 3b) = 4 ∙ 2а + 4 ∙ 3b = 8а + 12b

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

В скобках может быть любое количество слагаемых.

Например, 10 ∙ (2a + 4b + b).

Упростим выражение 10 ∙ (2a + 4b + b).

Можно сначала сгруппировать слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть (в нашем выражении это 4b и b), затем раскрыть скобки, применив распределительное свойство умножения относительно сложения.

Умножим каждое слагаемое, находящееся в скобке,на их общий множитель, равный 10.

Затем сложим полученные произведения.

10 ∙ (2a + 4 b + b ) = 10 ∙ (2a + 5 b ) = 10 ∙ 2а + 10 ∙ 5b = 20а + 50b.

Второй вариант упрощения выражения 10 ∙ (2a + 4b + b) заключается в следующем:

Первым делом, раскроем скобки, применив распределительное свойство умножения относительно сложения, умножим все три слагаемых 2a, 4b, b на их общий множитель, число 10.

Для этого коэффициенты каждого слагаемого умножить на общий множитель 10

10 ∙ 2а + 10 ∙ 4b + 10 ∙ b = 20a + 40b + 10b

Затем сгруппируем слагаемые с одинаковой буквенной частью (в нашем случае это 40b и 10b) и найдем их сумму.

В результате получаем следующее равенство:

10 ∙ 2а + 10 ∙ 4b + 10 ∙ b = 20a + 40 b + 10 b = 20a + 50b

В первом и во втором варианте тождественные преобразования привели к одному результату 20a + 50b, в полученном выражение отсутствуют скобки, количество арифметических операций уменьшилось

Воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания.

Умножим уменьшаемое 2а на общий множитель 4, для этого необходимо коэффициент 2 умножить на 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 8а.

Таким же образом поступим и с вычитаемым 3b, для этого необходимо коэффициент 3 умножить на общий множитель 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 12b.

Затем из первого полученного произведения вычтем второе.

В результате получим следующее равенство:

Рассмотрим правила раскрытия скобок при делении.

Распределительное свойство деления справедливо только в том случае, если скобки стоят в делимом

(a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c

Например, раскроем скобки в выражении (20а + 30b) ÷ 5.

Разделим каждое слагаемое на число 5.

(20а + 30b) ÷ 5 = 20а ÷ 5 + 30b ÷ 5

Разделим первое слагаемое 20а на 5, для этого необходимо коэффициент 20 разделить на 5, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 4а.

Таким же образом поступим и со вторым слагаемым 3b, для этого необходимо коэффициент 30 разделить на 5, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 6b.

Сложим полученные частные 4а и 6b.

В результате получаем следующее тождественное преобразование.

(20а + 30b) ÷ 5 = 20а ÷ 5 + 30b ÷ 5 = 4а + 6b

Однако, если скобки расположены в делителе, т.е. число делят на сумму чисел, то необходимо выполнить действия в скобках (если это возможно), и только потом делимое число разделить на результат, полученный в скобках.

3. Вынесение общего множителя за скобки.

Выражения (a + b) c и ac + bc согласно распределительному свойству умножения имеют одно и то же значение, т.е. распределительный закон умножения можно применять в обратную сторону- выносить общий множитель за скобки.

a c + b c = (a + b) c = c (a + b)

Неважно с какой стороны расположен общий множитель.

Необходимо иметь ввиду, что общим множителем может быть не только число, но и буква или несколько букв, а порой, даже целое выражение.

Рассмотрим несколько примеров.

Упростим выражение 7а + 7b.

Произведения 7а и 7b имеют общий множитель число 7.

Вынесем общий множитель за скобки, исходное выражение примет вид 7 (а + b).

Мы по сути получили произведение общего множителя и выражения в скобках, записанного без общего множителя.

Общий вид решения будет выглядеть так:

7а + 7b = 7 (а + b).

В данном выражении 3х и 2х имеют в своей записи множитель х— это их общий множитель.

Вынесем общий множитель (переменную х) за скобку.

Решением в общем виде будет выглядеть так:

Упростим выражение 8х + 2у.

Слагаемые 8х и 2у имеют общий множитель 2, так как 8 представляет собой произведение двух чисел 4 ∙ 2, т.е. исходное выражение можно записать следующим образом:

4 ∙ 2 ∙ х + 2 у.

Вынесем общий множитель (число 2) за скобку, получим

4 ∙ 2 ∙ х + 2 у = 2 (4х + у).

Решение в общем виде будет записываться так:

8х + 2у = 4 ∙ 2 ∙ х + 2 у = 2 (4х + у).

За скобки можно выносить даже целое выражение.

Упростим выражение 4аb + 2b.

Так как 4 = 2 ∙ 2, то 4аb и 2b имеют общий множитель 2.

Кроме того, данные слагаемые имеют одинаковую букву- это буква b, следовательно, 4аb и 2b имеют общий множитель в виде произведения 2b.

Исходное выражение запишем так:

2 ∙ 2а b + 2 b

Вынесем общий множитель 2 b за скобку.

4аb + 2b = 2 ∙ 2а b + 2 b = 2 b (2а + 1).

Проверим верно ли мы упростили выражение.

Выполним обратное действие, раскроем скобки.

Известно, при умножении любого числа на единицу (или единицы на число) получится само это число.

В результате получится равенство

2b ∙ (2а + 1) = 2 b ∙ 2а + 2 b ∙ 1 = 2 ∙ 2 ∙ a ∙ b + 2b = 4аb + 2b.

В итоге получили выражение 4аb + 2b, которое требовалось упростить.

Упрощение математических выражений часто используют при решении уравнений и текстовых задач, решаемых с помощью уравнений.

Найдем значение у, при котором данное уравнение превратится в верное равенство.

Первым делом упростим левую часть равенства.

12у и 3у имеют одинаковую буквенную часть, их можно сложить (сложим коэффициенты 12 и 3 и результат умножим на их буквенную часть).

12у + 3у = 15у

Исходное равенство тогда примет следующий вид:

В этом уравнении уменьшаемое представлено не просто числом, а буквенным выражением 15у.

Нам известно, как связаны между собой компоненты вычитания.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое (15у), необходимо к разности (28) прибавить вычитаемое (2).

15у = 28 + 2

15у = 30

Неизвестное у в данном уравнении является множителем.

Чтобы найти неизвестный множитель (у), нужно произведение (30) разделить на известный множитель (15).

у = 30 ÷ 15

у = 2

Выполним проверку найденного корня.

28 = 28

Значение левой и правой части равенства одинаково, значит корень уравнения найден верно.

Ответ: у = 2.

Опуская все наши пояснения и рассуждения, решение уравнения запишем так:

15у = 28 + 2

15у = 30

у = 30 ÷ 15

у = 2

28 = 28

Значит корень уравнения найден верно.

Ответ: у = 2.

Рассмотрим пример текстовой задач, которую можно решить с помощью уравнения.

В двух корзинах было 9 килограммов ягод.

В первой корзине в 2 раза больше ягод, чем во второй.

Сколько килограммов ягод было в каждой корзине?

Пусть х (кг) ягод было в первой корзине.

По условию во второй корзине было ягод в 2 раза больше, тогда

2х (кг) ягод было во второй корзине.

Зная, что в двух корзинах было 9 (кг) ягод, составим уравнение.

х + 2х = 9

Упростим левую часть равенства.

х и 2х имеют одинаковую буквенную часть, их можно сложить (сложим коэффициенты 1 и 2 и результат умножим на их буквенную часть.)

1х + 2х = 3х

Исходное равенство тогда примет следующий вид:

3х = 9

Получили простое уравнение, в котором неизвестен множитель (х).

Чтобы найти неизвестный множитель (х), нужно произведение (9) разделить на известный множитель (3).

х = 9 ÷ 3

х = 3 (кг) ягод было в первой корзинке.

2х = 2 ∙ 3 = 6 (кг) ягод во второй корзинке.

Проверим найденные значения.

Сложим полученное количество ягод в первой и во второй корзинке.

3 кг + 6 кг = 9 (кг) было в двух корзинах.

Решение задачи найдено верно.

Ответ: 3 (кг), 6 (кг).

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник