Умножил эти деньги математик что ли

Читать онлайн Магия чисел бесплатно

Артур Бенджамин, Майкл Шермер

«МАГИЯ ЧИСЕЛ»
Моментальные вычисления и другие математические фокусы

Я посвящаю эту книгу моей жене Дине и дочерям Лорел и Ариэль.

Посвящается Ким — моей жене и самому доверенному личному советчику и помощнику.

Эту книгу хорошо дополняют:

· Стивен Строгац Удовольствие от х

· Майкл Льюис Moneyball

· Кэрол Дуэк Гибкое сознание

· Кен Дженнингс Braniac

Предисловие

Мне нравится размышлять о тех людях, которым первым пришла в голову мысль считать вещи. Наверное, они сразу заметили, что счет на пальцах отлично работает. Может быть, какой-нибудь древний человек по имени Ог (родившийся еще до потопа) или один из его приятелей сказал: «Нас тут один, два, три, четыре, пять. Значит, нам нужно пять кусочков фрукта. — И добавил: — Смотри-ка, ты на своих пальцах можешь сосчитать количество человек у костра, птиц на дереве, камней в ряду, поленьев в костре, виноградин в грозди». Так было положено отличное начало для развития математики. Вы, вероятно, тоже впервые встретились с числами подобным образом.

Должно быть, вы слышали, что математика — это язык науки, а природа говорит на языке математики. Что ж, это правда. Чем больше мы понимаем Вселенную, тем больше математических связей в ее устройстве обнаруживаем. Цветы располагаются на стебле по винтовой линии, причем их количество на разной высоте совпадает с определенной последовательностью чисел (чисел Фибоначчи), которую несложно понять; к тому же любой самостоятельно ее высчитает. Узоры на раковине образуют совершенные математические кривые (логарифмические спирали), появившиеся вследствие определенных химических процессов. Скопления звезд тянутся друг за другом в математическом танце, и его можно наблюдать на расстоянии миллионов и даже миллиардов километров.

В течение многих столетий подтверждается и открывается математическая сущность Природы. Однако с каждым новым открытием кто-то должен взять на себя труд удостовериться, что числа не лгут. Эта книга поможет вам разобраться в этом. Освоив вычисления, вы узнаете ряд математических секретов природы, и трудно представить, куда это может вас привести!

При знакомстве с числами вы поймете: ответ на самом деле лежит на кончиках ваших пальцев. Это не шутка: именно с этого все и начинается. Поскольку у человека десять пальцев, математическая наука взяла за основу цифры от 1 до 10.

Совпадение? Вряд ли. Нашим далеким предкам очень скоро стало недоставать пальцев для счета. То же самое, вероятно, произошло и с вами. Мы не можем просто игнорировать большие числа и пенять при этом на свои руки (шутка!).

Мы нуждаемся в числах, так как они часть повседневной жизни, хотя порой мы этого даже не замечаем. Подумайте о телефонной беседе с другом: чтобы позвонить, нужен номер телефона; время, потраченное на разговор, тоже измеряется в числах (в часах и минутах). Каждая историческая дата, включая такую важную, как ваш день рождения, обозначается цифрами. Числа мы используем и для презентации идей, которые на первый взгляд не имеют ничего общего с расчетами. Например, выражение «Как молодо вы выглядите!» неявно подразумевает информированность о вашем возрасте, выраженном в числовом эквиваленте, а также оценку вашего внешнего вида тоже в виде числа. Люди часто описывают друг друга с помощью чисел, отображающих рост и вес человека.

И конечно, мы все хотим знать, сколько денег у нас есть или сколько стоит та или иная вещь в числовом выражении: в долларах, песо, юанях, рупиях, рублях, евро или иенах.

Если по какой-то причине вы пока еще не влюблены в математику, читайте эту книгу. Конечно, как человек науки я надеюсь, что вам понравится эта дисциплина. Хотя больше всего мне хотелось бы, чтобы вы ее полюбили. Что бы вы ни чувствовали по отношению к ней (ненависть или любовь), я все равно готов поспорить: вы часто будете ловить себя на мысли, что хотите узнать ответ сразу, без того чтобы сначала старательно все записать и усердно работать (или даже не тратя время на то, чтобы взять калькулятор). Вы мечтаете, чтобы ответ появился «по мановению волшебной палочки». Оказывается, множество математических задач решаются именно таким магическим образом. И книга продемонстрирует вам, как это делается.

Что делает любую магию столь интригующей и увлекательной? Зрители не часто могут похвастаться тем, что понимают, как выполняется трюк. «Как она это сделала? Не знаю, но это круто!» Так вот, приемы и методы из этой книги сродни волшебству. Публика редко бывает осведомлена о секретах трюков — она просто ценит их. Заметьте, что магия вряд ли чего-то стоит, если никто не смотрит представление. Но знание того, как работает магия чисел, не лишает вас увлекательной интриги. Простая арифметика не позволит вам увязнуть в вычислениях, и вы сможете сосредоточиться на прекрасной природе чисел. В конце концов, математика — двигатель Вселенной.

Доктор Бенджамин занялся быстрыми вычислениями ради забавы. Полагаю, этим он поразил своих учителей и одноклассников. Иллюзионисты могут заставить публику думать, что они обладают сверхъестественными способностями.

Волшебники от математики создают иллюзию своей гениальности. Способность обратить внимание окружающих на то, что вы делаете, представляет собой часть обмена идеями. Если вы произвели на людей впечатление, они будут слушать то, что вы говорите. Так что попробуйте немного поупражняться в магии чисел. Вы можете произвести впечатление на друзей?

Отлично! Но вы также будете «выступать для себя» и поймете, что в состоянии решать задачки, которые, как вы полагали раньше, вам не по зубам. Вы придете в восторг от самого себя.

Но счет на пальцах — совсем другое дело. Вы когда-нибудь замечали, что считаете вслух, или что-то шепчете, или издаете еще какие-то звуки во время вычислений? Это почти всегда упрощает расчеты. Проблема, однако, в том, что окружающие думают, будто вы ведете себя немножко странно. Так вот, в «Магии чисел» доктор Бенджамин научит вас использовать функцию «говорю вслух» так, чтобы сделать решение задач более простым и быстрым, а ответы — точными (что удивительно). И все это будет «выдаваться» вашим мозгом в процессе обдумывания задачи (как будто вы думаете вслух).

Вы станете перемещаться по математическим задачкам так же, как мы читаем: слева направо. Вы будете щелкать сложные задания как орешки, выдавая результат с погрешностью в пределах процента или около того. Вы научитесь быстро выполнять арифметические действия. Таким образом, вы сможете приятно провести время, размышляя о том, что означают цифры. Он задумался над вопросом: «Достаточно ли у нас фруктов для каждого человека, сидящего у костра? Если нет, то могут возникнуть проблемы». Теперь вы можете спросить: «Достаточно ли места на этом компьютере, чтобы отслеживать мои музыкальные файлы или банковский счет? Если нет, то могут возникнуть проблемы».

Это книга больше о секретах математики, чем просто о подсчетах. Например, вы научитесь определять, на какой день недели придется или приходилась та или иная дата. Это просто фантастика, почти волшебство, когда вы в состоянии сказать кому-либо, в какой день недели он родился. Это действительно невероятно, если вы способны вычислить, что Соединенные Штаты Америки отмечали свой первый День независимости в четверг 4 июля 1776 года; что 15 апреля 1912 года — день гибели «Титаника» — был понедельник; что первый человек ступил на Луну 20 июля 1969 года, в воскресенье. Вы никогда не забудете, что террористическая атака на США произошла 11 сентября 2001 года. С помощью магии чисел вы всегда сумеете доказать, что это случилось во вторник.

Существующие в природе взаимосвязи лучше всего описывают именно числа. Один, два, три и далее до десяти — эти числа вы можете посчитать на пальцах. Но между ними есть еще бесконечное количество чисел. Это дроби. Некоторые числа никогда не заканчиваются. Они становятся настолько большими, насколько вы пожелаете, и настолько маленькими, что их трудно себе представить. Вы, должно быть, знакомы с ними. «Магия чисел» позволит вам так быстро доставать их из ума, что у вас в нем останется еще достаточно места для размышлений о сложившемся устройстве мира. В общем эта книга покажет вам, что все в природе имеет смысл.

Математика — прекрасный, элегантный и чрезвычайно полезный язык с собственными лексикой и синтаксисом, глаголами, существительными и определениями, диалектами и местными наречиями. Он с блеском используется одними людьми и с трудом — другими. Многие из нас боятся исследовать скрытые возможности его применения, тогда как некоторые пускают его в ход, словно меч, чтобы атаковать и покорять налоговые декларации или массивы данных, сопротивляющиеся менее храбрым людям. Возможно, эта книга не превратит вас в Лейбница, не возведет в ранг профессора алгебры, но, надеюсь, поспособствует появлению у вас нового, волнующего и даже занимательного взгляда на то, что можно делать с числами.

Мы все думаем, что знаем достаточно об арифметике, чтобы сводить концы с концами, и, конечно, не чувствуем вины за то, что при каждом удобном случае обращаемся к карманному калькулятору, который стал неотъемлемой частью нашей жизни. Но так же, как фотография может скрыть истинную красоту картины Вермеера, а электронная клавиатура — стать причиной того, что мы забудем великолепное исполнение Горовица, чрезмерное доверие к технологиям способно лишить удовольствия, которое вы получите при изучении математики на этих страницах.

Я помню, какое наслаждение испытал в детстве, когда мне открылось, что можно умножать на 25, просто прибавляя два нуля к исходному числу и деля это новое число на 4. Метод сравнений по модулю 9 для проверки результатов умножения был следующим захватывающим этапом. А когда я узнал о перекрестном умножении, то уже был на крючке и ненадолго превратился в невыносимого одержимого математикой.

Прививки против такого недуга не существовало. Приходилось лечить себя самому. Так что будьте осторожны!

Вы не держали бы сейчас в руках эту книгу, если бы у вас не было желания улучшить свои математические навыки либо удовлетворить любопытство по отношению к этому увлекательному предмету. Так же как и при использовании любой инструкции, вы сможете удерживать в памяти и применять только определенный процент разнообразных трюков и методов, описанных здесь. Но даже это оправдает время, потраченное на чтение этой забавной книги.

Я знаю обоих авторов довольно хорошо. Арт Бенджамин не только один из числа тех одаренных детей, на которых учителя постоянно ворчали в школе, но, как известно, и актер «Волшебного замка» в Голливуде, где он демонстрирует свои навыки (однажды Арт отправился в Токио, чтобы там в прямом эфире помериться математическими способностями с женщиной-ученым). Майкл Шермер, с его специальными научными познаниями, имеет отличное представление о практическом применении математики (о том, как она используется в реальном мире).

Если это ваше первое знакомство с такого рода полезным математическим материалом, то я вам завидую. Открывая каждый восхитительный способ по-новому атаковать цифры, вы обнаружите, что упустили что-то в школе. Математика, в особенности арифметика, — мощный и надежный инструмент для повседневного использования, позволяющий нам управляться с жизнью более уверенно и точно. Позвольте Арту и Майклу показать вам, как округлить некоторые из углов и срезать неровности на вашем практическом пути. Вспомните слова доктора Сэмюэля Джонсона, человека Магия чисел в высшей степени практичного во всех отношениях: «Изучение арифметики служит развлечением в моменты одиночества благодаря процессу решения и способствует укреплению репутации на публике благодаря эффектности».

В общем наслаждайтесь книгой. Пусть она развлечет и развеселит вас. Все, чего вы можете желать от жизни, — это совершать хорошие поступки время от времени и иногда съесть кусочек пиццы (без анчоусов!) в компании добрых друзей. Ну, или почти все… Может быть, еще «Феррари».

Пролог

Мой хороший друг доктор Артур Бенджамин, профессор математики в колледже Harvey Mudd в Клермонте, выходит на сцену под шквал аплодисментов публики «Волшебного замка», знаменитого клуба магов в Голливуде, где он собирается демонстрировать «магию чисел» или, как он это называет, искусство быстрых устных вычислений. Арт никоим образом не выглядит как профессор математики из престижного колледжа. Удивительно находчивый, он похож на остальных молодых иллюзионистов и магов, которые представляют именитый клуб. Особенным Арта делает то, что он может выступать перед любой группой людей, в том числе перед профессиональными математиками и магами, потому что умеет то, на что мало кто способен. Артур Бенджамин складывает, вычитает, умножает и делит числа в уме быстрее, чем калькулятор. Он может возводить в квадрат двузначные, трехзначные и четырехзначные числа, а также находить квадратные и кубические корни, не записывая ничего на бумаге. А еще он готов научить вас выступать с собственной математической магией.

Традиционно маги отказываются раскрывать свои секреты, считая, что если вы будете их знать, таинственность и очарование их искусства будут утрачены. Но Арт стремится вызвать у людей интерес к математике. Он понимает, что лучший способ сделать это — посвятить читателей в секреты «математического гения». С этими навыками любой человек сможет повторить то, что демонстрирует Артур Бенджамин на сцене.

Это особая ночь в «Волшебном замке». Арт начинает с вопроса о том, есть ли у кого-нибудь в аудитории калькулятор.

Группа инженеров поднимает руки и присоединяется к Арту на сцене. Предлагая проверить калькуляторы, чтобы убедиться в том, что они работают, Арт просит человека из зала назвать двузначное число. «Пятьдесят семь!» — кричит тот. Арт указывает на другого, который произносит: «Двадцать три». Обращаясь к людям на сцене, Арт говорит: «Умножьте 57 на 23 с помощью калькулятора и убедитесь, что получилась 1311, иначе устройство работает неправильно», и терпеливо ждет, пока добровольцы закончат ввод чисел. После того как каждый участник подтверждает, что его калькулятор выдал результат 1311, аудитория издает вздох. Удивительный Арт обыграл калькуляторы в их собственной игре!

Далее Арт сообщает, что возведет в квадрат четыре двузначных числа быстрее, чем «кнопкодавы» сделают это на своих калькуляторах. Аудитория просит его возвести в квадрат числа 24, 38, 67 и 97. Крупно и четко, чтобы все было видно, Арт пишет на доске цифры: 576, 1444, 4489 и 9409 — и разворачивается к инженерам-добровольцам с просьбой огласить результаты, полученные на калькуляторах. Их ответ вызывает удивление, а затем аплодисменты аудитории: «576, 1444, 4489, 9409». Женщина рядом со мной сидит с открытым от изумления ртом.

После этого волшебник Арт предлагает возвести в квадрат трехзначное число, даже не записывая ответ. «Пятьсот семьдесят два!» — выкрикивает мужчина из зала. Ответ Арта доносится меньше чем через секунду: «572 в квадрате будет 327 184». Он незамедлительно указывает на другого представителя аудитории, который называет число «389», и невозмутимо произносит: «389 в квадрате равно 151 321». Кто-то еще выпаливает «262». «68 644», — оперативно выдает Арт. И, чувствуя, что затянул на какое-то мгновение с последним ответом, обещает компенсировать это со следующим числом. Вызов поступил: 991. Без паузы Арт возводит это число в квадрат: «982 081». Звучит еще несколько трехзначных чисел, и Арт отвечает безупречно. Зрители в аудитории качают головами, не в силах поверить в происходящее.

Покорив аудиторию, Арт заявляет, что предпримет попытку возвести в квадрат четырехзначное число. Женщина выкрикивает: «1306», и Арт мгновенно отвечает: «1 073 296».

Аудитория смеется, а Арт объясняет: «Нет-нет. Это слишком просто. Я не рассчитываю на то, что одержу победу над калькуляторами в этом упражнении. Давайте попробуем другой пример». Мужчина предлагает «2843». Делая небольшую паузу между цифрами, Арт отвечает: «Итак, квадрат этого числа должен составлять 8 миллионов… 82 тысячи… 649». Он прав, конечно, и публика взрывается аплодисментами так же громко, как и во время выступления предыдущего мага, который распилил женщину пополам и заставил исчезнуть собаку.

Так происходит везде, где бы Артур Бенджамин ни появился: в классе старшей школы, колледже, на профессиональной конференции, в «Волшебном замке» или телевизионной студии.

Профессор Бенджамин выступал со своей магией особого рода по всей стране и в прямом эфире многочисленных телевизионных ток-шоу. Он был предметом исследования по когнитивной психологии Университета Карнеги — Меллона и отмечен в научной книге Стивена Смита The Great Mental Calculators: The Psychology, Methods, and Lives of Calculating Prodigies, Past and Present. («Великие ментальные вычислители: психология, методы и жизнь вундеркиндов вычислений, прошлое и настоящее»). Арт родился в Кливленде 19 марта 1961 года (по его подсчетам, в воскресенье; этому навыку он обучит вас в главе 9). Он был гиперактивным ребенком, доводил учителей до исступления своими выходками, зачастую сводившимися к исправлению математических ошибок, допускаемых ими время от времени. На протяжении всей книги параллельно с обучением математическим секретам Арт вспоминает, когда и где он узнал об этих секретах. Так что я предоставлю возможность поведать эти увлекательные истории ему самому.

Арт Бенджамин — личность экстраординарная. Он придумал необыкновенную программу обучения методам быстрых устных вычислений. Я утверждаю это без тени сомнения и прошу помнить: эта информация поступает не от парочки ребят, сулящих вам чудеса, «если только вы позвоните по нашей горячей линии». Мы с Артом — дипломированные специалисты в области самых консервативных академических дисциплин: Арт в математике, я в истории науки. И мы никогда не подвергли бы себя риску оконфузиться (или что-нибудь похуже), делая столь громкие заявления, если бы не были уверены в них на сто процентов. Словом, метод работает, и практически каждый может ему научиться, потому что мастерство «математического гения» — навык приобретаемый.

Итак, вы можете рассчитывать на то, что разовьете свои математические способности, произведете впечатление на друзей, улучшите свою память и изрядно повеселитесь!

Введение

Я всегда любил упражняться с числами, и в этой книге поделюсь своей страстью с вами. Числа казались мне наделенными определенной магической притягательностью, и я проводил огромное количество времени, развлекая себя и других с помощью их великолепных свойств. Будучи подростком, я выступал в качестве мага, а позже объединил свою увлеченность математикой и магией в полнометражном шоу под названием Mathemagics («Математическая магия»), в рамках которого хотел продемонстрировать и объяснить секреты быстрых устных вычислений зрителям всех возрастов.

После защиты диссертации я преподавал математику в колледже Harvey Mudd и до сих пор наслаждаюсь тем, что разделяю радость от общения с числами с детьми и взрослыми во всем мире. В этой книге я поделюсь с вами всеми своими секретами, касающимися быстрого выполнения математических действий в уме. (Конечно же, волшебники не должны раскрывать секреты, но у математической магии другие правила. Математика должна вселять благоговение, а не пугать своей таинственностью.)

Какую пользу принесет вам эта книга? Вы научитесь производить математические действия в уме быстрее, чем могли себе представить. После небольшой практики вы значительно улучшите свою память на числа. Вы изучите способы делать быстрые вычисления, которые поразят ваших друзей, коллег и учителей. К тому же начнете рассматривать математику как весьма занимательный вид деятельности.

Слишком часто эта наука преподается как набор жестких правил, где нет места для творческого мышления. Но как вы узнаете из нашей книги, обычно у одной проблемы бывает несколько решений. Большие задачи можно разделить на меньшие, более «покладистые» составляющие. Мы будем выискивать характерные детали, чтобы облегчить вам решение задач.

Мне это кажется ценным жизненным уроком, который можно использовать при поиске решения всех видов проблем, как математических, так и любых других.

«Но разве талант к математике не дается от рождения?»

Мне часто задают этот вопрос. Многие люди убеждены, что молниеносные вычислители необыкновенно одарены. Может быть, у меня действительно есть повышенный интерес к тому, как что-либо работает, будь то задача по математике или фокус. Но я уверен, основываясь на многолетнем опыте преподавания, что «скоростная» математика — это навык, которым может овладеть любой человек. Но он требует практики и приверженности, если вы хотите стать экспертом в этом деле. А для получения результатов важно придерживаться правильного пути. Позвольте же мне указать вам его!

Глава 0
Быстрые трюки: простые (и впечатляющие) вычисления

Далее вы узнаете, как быстро выполнять математические действия в уме. После непродолжительной практики и освоения методов этой книги ваша способность работать с числами значительно улучшится. После более продолжительной практики вы сможете считать быстрее, чем с помощью калькулятора.

В этой главе я научу вас нескольким простым (но впечатляющим) вычислениям, которые вы можете освоить незамедлительно. Более серьезные вещи оставим на потом.

МГНОВЕННОЕ УМНОЖЕНИЕ

Давайте начнем с одного из моих любимых трюков: как умножать в уме любое двузначное число на 11. Это очень легко, если вы знаете секрет. Представьте следующую задачу:

Для ее решения нужно просто сложить цифры 3 + 2 = 5, а затем поместить пятерку между двойкой и тройкой.

Вот и наше решение: 352

Что может быть легче? Теперь попробуйте

Поскольку 5 + 3 = 8, ответ достаточно прост:

Еще пример. Не подглядывая и не записывая, скажите, чему равно:

У вас получилось 891? Поздравляю!

Но пока не слишком воодушевляйтесь: я показал лишь половину того, что необходимо знать. Допустим, задача такая:

Несмотря на то что 8 + 5 = 13, ответ НЕ 8135!

Как и прежде цифра 3 ставится между цифрами 8 и 5, но 1 добавляется к цифре 8 для получения правильного ответа 935.

Представляйте задачу следующим образом:

Вот еще пример. Попробуйте перемножить 57 х 11.

Так как 5 + 7 = 12, ответ:

Теперь ваша очередь. Как можно быстрее, подсчитайте, сколько будет 77 х 11?

Если вы получили ответ 847, можете себе поаплодировать.

Вы на пути к превращению в матемага.

Мне известно по опыту, что если вы скажете другу или учителю, что способны в уме умножить любое двузначное число на 11, просьба умножить 99 на 11 не заставит себя долго ждать. Поэтому решим эту задачку прямо сейчас, чтобы вы были готовы.

Так как 9 + 9 = 18, ответ таков:

Хорошо попрактикуйте свой новый навык какое-то время, а затем проведите шоу перед друзьями. Вы будете удивлены реакцией, которую вызовет ваше умение (раскрывать или нет свои секреты — решайте сами).

Итак, к этому моменту у вас, должно быть, появилось несколько вопросов, скажем:

Можно ли использовать этот метод для умножения трехзначных (или более «значных») чисел на 11?

Безусловно. Например, для задачи 314 х 11 ответ все еще будет начинаться с 3 и заканчиваться на 4. Так как 3 + 1 = 4 и 1 + 4 = 5, ответ будет равен 3454. Но мы пока отложим задачи посерьезнее на потом.

Вероятно, вы уже спрашиваете себя:

Конечно, замечательно, что таким способом можно умножать на 11. Но как насчет других чисел? Как умножить числа на 12, 13 или 36?

Мой ответ: «Терпение!» Об этом рассказывается дальше.

В главах 2, 3, 6 и 8 вы изучите методы умножения, позволяющие перемножать любые два числа. При этом вам не придется запоминать специальные правила для каждого случая. Несколько методов — вот и все, что вам понадобится для быстрого умножения чисел в уме.

ВОЗВЕДЕНИЕ ВО ВТОРУЮ (В КВАДРАТ) И БÓЛЬШИЕ СТЕПЕНИ

Как вы, наверное, знаете, квадрат числа — это заданное число, умноженное само на себя. Например, квадратом 7 будет 7 х 7, то есть 49. Позже я научу вас простому способу, который позволит без труда вычислять квадрат любого двузначного и трехзначного (и состоящего из большего количества знаков) числа.

Этот метод особенно легко применять, если число заканчивается на 5. Поэтому опробуем его прямо сейчас.

1. Ответ должен начинаться с результата умножения первой цифры возводимого в квадрат числа на цифру, большую на единицу, чем первая цифра.

2. Ответ заканчивается на 25.

Например, чтобы возвести в квадрат число 35, мы просто умножаем первую цифру (3) на 4, то есть на единицу бóльшую цифру, после чего добавляем 25. Так как 3 х 4 = 12, следовательно, ответ — 1225. Таким образом, 35 х 35 = 1225. Проделанные шаги можно представить следующим образом:

Как насчет возведения в квадрат числа 85? Так как 8 х 9 = 72, мы мгновенно получаем ответ: 85 х 85 = 7225.

Можно применить похожий прием при умножении двузначных чисел, начинающихся с одинаковых первых цифр, сумма вторых цифр которых равняется 10. Ответ будет состоять из числа, полученного с помощью вышеописанного метода (первая цифра умножается на цифру, на единицу бóльшую), и произведения вторых цифр чисел, участвующих в умножении. Например, попробуем умножить 83 на 87. (Оба числа начинаются на 8, а сумма последних цифр 3 + 7 = 10.)

Так как 8 х 9 = 72 и 3 х 7 = 21, ответ — 7221.

Подобным образом получаем из 84 х 86 = 7224.

Теперь ваша очередь. Попробуйте вычислить 26 х 24.

С чего начинается ответ? С 2 х 3 = 6. Чем заканчивается? 6 х 4 = 24. Значит, 26 х 24 = 624.

Помните, что использовать этот метод можно, только если первые цифры чисел одинаковы, а последние дают в сумме 10.

Итак, мы можем применить этот метод, чтобы мгновенно вычислить:

Вы можете спросить: Что делать, если последние цифры не дают в сумме 10? Мы все равно можем использовать этот прием, чтобы умножить 22 на 23?

Пока еще нет. Но в главе 8 я покажу вам простой способ решения таких задач с применением метода «совместной близости» (для вычисления 22 х 23 нужно умножить 20 х 25, прибавить 2 х 3 и получите 500 + 6 = 506; но это я забегаю наперед!). Вы не только научитесь использовать данные методы, но и поймете принципы их работы.

Часто мне задают еще такой вопрос: Существуют какие-либо методы устного сложения и вычитания?

Конечно, и этому посвящена вся следующая глава. Если бы меня заставили описать свой прием в двух словах, я бы сказал: «Слева направо». (Вот вы украдкой и получили анонс будущего.)

Представьте следующую задачу на вычитание:

Большинству людей не понравится решать подобные задачки в уме (и даже на бумаге!), но давайте все упростим. Вместо того чтобы вычесть 587, вычтем 600. Так как 1200 — 600 = 600, получаем следующее:

Но мы вычли на 13 больше. (В главе 1 показано, как быстро определить «13».) Таким образом, наш пример, на который было больно смотреть, превращается в простую задачку на сложение:

довольно легко решаемую в уме (в особенности слева направо). Итак, 1241 — 587 = 654.

Используя немножко магии чисел, описанной в главе 9, вы сможете мгновенно вычислить сумму десяти чисел, представленных ниже:

Хотя я не стану раскрывать магический секрет прямо сейчас, сделаю небольшой намек. Полученный ответ 935 уже появлялся в этой главе. Еще больше трюков для вычислений на бумаге вы найдете в главе 6. Более того, вы будете в состоянии быстро назвать частное двух следующих чисел:

359 ÷ 222 = 1,61 (первые три цифры)

Нам еще многое предстоит узнать о делении (включая обычные и десятичные дроби) в главе 4.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРАКТИЧЕСКИЕ СОВЕТЫ

В главе 7 вы изучите полезную технику запоминания чисел, которая поможет в учебе и не только. Используя легкую для понимания систему преобразования чисел в слова, вы сможете быстро и без труда запоминать любые числа: даты, телефонные номера — все, что захотите.

Что касается календарных чисел, то как вы смотрите на то, чтобы научиться выяснять день недели любой даты? Это пригодится для вычисления дней рождения, исторических событий, запланированных в будущем встреч и тому подобного.

Я расскажу об этом в деталях позже, а пока предлагаю простой способ определения дня недели 1 января любого года в XXI веке. Сначала ознакомьтесь с представленной таблицей.

Например, давайте выясним, каким днем недели будет 1 января 2030 года. Возьмите две последние цифры года и представьте себе, что это ваш счет в ресторане (в данном случае 30 долларов.) Теперь добавьте 25 % чаевых, но излишки в центах оставьте себе. (Это можно вычислить, дважды разделив счет пополам и отбросив всю «мелочь». Половина от 30 равна 15, а половина от 15 — 7,50. Оставив излишки себе, получим чаевые в размере 7 долларов.) Отсюда следует, что ваш счет плюс чаевые составляет 37 долларов. Чтобы определить день недели, вычитаем из этой суммы наиболее близкое к ней (но не большее) произведение числа 7 (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, …) и получаем в результате порядковый номер дня. В данном примере, 37–35 = 2, значит, 1 января 2030 года приходится на второй день недели, то есть на вторник.

Какой день недели 1 января 2043 года?

Исключение: если год високосный, уберите 1 доллар из суммы чаевых, высчитанных ранее. Например, для 1 января 2032 года 25 % от счета на 32 доллара будут равны 8 долларам чаевых. Вычитание 1 дает в итоге 32 + 7 = 39. Вычитание наибольшего по отношению к сумме счета произведения 7 дает 39–35 = 4. Итак, 1 января 2032 года приходится на четвертый день недели, четверг. За полной информацией, которая позволит определить день недели для любой исторической даты, обращайтесь к главе 9. (Кстати, совершенно естественно начать чтение книги именно с нее!)

Я знаю, о чем вы сейчас думаете: Почему этому не учат этому в школе?

Боюсь, на некоторые вопросы даже я не знаю ответа. Вы готовы освоить еще больше волшебной математики? Так чего мы ждем? Вперед!

Глава 1
Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание

Сколько себя помню, мне всегда было легче складывать и вычитать слева направо, нежели справа налево. Поступая таким образом, я выяснил, что могу выкрикнуть ответ на математическую задачку раньше, чем одноклассники запишут условия.

А мне не нужно было даже записывать!

В этой главе вы научитесь методу «слева направо», используемому для устного сложения и вычитания большинства чисел, с которыми мы сталкиваемся каждый день. Эти умственные навыки важны не только для выполнения математических трюков из данной книги, но и незаменимы во время учебы в школе, трудовой деятельности и в других ситуациях, когда вам нужно оперировать числами. В скором времени вы сможете отправить свой калькулятор на заслуженный отдых и начать задействовать мозг в полную силу, складывая и вычитая двузначные, трехзначные и даже четырехзначные числа с молниеносной скоростью.

СЛОЖЕНИЕ СЛЕВА НАПРАВО

Большинство из нас обучены проводить письменные вычисления справа налево. И это нормально для счета на бумаге. Но у меня есть достаточно много убедительных аргументов, объясняющих, почему это лучше делать слева направо, чтобы считать в уме (то есть быстрее, чем на бумаге). В конце концов, числовую информацию вы читаете слева направо, произносите числа тоже слева направо, поэтому и думать о числах (и считать их) более естественно слева направо. Вычисляя ответ справа налево, вы генерируете его в обратном направлении. Это и делает вычисления в уме такими сложными. К тому же, чтобы просто оценить результат вычислений, важнее знать, что он «чуть больше 1200», чем то, что он «заканчивается на 8».

Итак, применяя метод слева направо, вы начинаете решение с самых значимых цифр вашего ответа. Если вы привыкли работать на бумаге справа налево, то вам может показаться неестественным новый подход. Но с практикой к вам придет понимание, что это самый эффективный способ для устных вычислений. Хотя, возможно, первый набор задач — сложение двузначных чисел — и не убедит вас в этом. Но проявляйте терпение. Если будете следовать моим рекомендациям, то скоро поймете, что единственным легким путем к решению задач на сложение трехзначных (и более «значных») чисел, всех задач на вычитание, умножение и деление является метод слева направо. Чем раньше вы приучите себя действовать так, тем лучше.

Сложение двузначных чисел

Прежде всего я исхожу из того, что вы знаете, как складывать и вычитать числа, состоящие из одной цифры. Мы начнем со сложения двузначных чисел, хоть я и подозреваю, что вы неплохо умеете делать это в уме. Однако следующие упражнения все равно станут для вас хорошей практикой, так как навыки сложения двузначных чисел, которые вы приобретете в итоге, понадобятся для решения более трудных задач на сложение, как, впрочем, и для почти всех задач на умножение, предложенных в следующих главах. В этом проиллюстрирован фундаментальный принцип устной арифметики, а именно: «упрощай задачу, разбивая ее на меньшие, проще решаемые». Это ключ практически к каждому методу, представленному в данной книге. Перефразируя старую пословицу, есть три составляющие успеха: упрощай, упрощай и упрощай.

Самые легкие задачи на сложение двузначных чисел — те, которые не требуют от вас держать в уме какие-либо цифры (то есть когда первые две цифры в сумме дают 9 или меньше или сумма последних двух цифр равна 9 и меньше). Например:

Чтобы сложить 47 + 32, сначала 30 прибавляем к 47, а затем к полученной сумме прибавляем 2. После сложения 30 и 47 задача упрощается: 77 + 2 равно 79. Проиллюстрируем это следующим образом:

Приведенная схема — простой способ представления мыслительных процессов, выполняемых для получения правильного ответа. Хотя вы должны читать и понимать такие схемы на протяжении всего времени работы с книгой, записывать что-либо не требуется.

Теперь попробуем вычисление, в котором необходимо держать числа в уме:

Прибавляя слева направо, вы можете свести задачу к действию 67 + 20 = 87, а затем к сложению 87 + 8 = 95.

Теперь попробуйте сами, после чего сверьтесь с тем, как это сделали мы.

Ну что, получилось? Вы сложили 84 + 50 = 134, а затем 134 + 7 = 141.

Если удержание цифр в уме служит причиной ваших ошибок, не переживайте. Вероятно, это ваша первая попытка выполнить систематизированное устное вычисление и, как и большинству людей, вам понадобится время, чтобы запомнить числа. Однако с опытом вы сможете удерживать их в уме автоматически. В качестве практики попробуйте решить устно еще одну задачку, а затем опять сверьтесь с тем, как это сделали мы.

Вам следовало сложить 68 + 40 = 108 и 108 + 5 = 113 (итоговый ответ). Было ли вам проще? Если хотите проверить свои силы на большем количестве задач на сложение двузначных чисел, обратитесь к примерам, представленным ниже. (Ответы и ход вычислений приведены в конце книги.)

Сложение трехзначных чисел

Стратегия сложения трехзначных чисел точно такая же, как и двузначных: вы складываете слева направо и после каждого шага переходите к новой, более простой задаче на сложение.

Вначале прибавляем к 538 число 300, затем 20, затем 7. После прибавления 300 (538 + 300 = 838) задача сводится к 838 + 27. После прибавления 20 (838 + 20 = 858) задача упрощается до 858 + 7 = 865. Такого рода мыслительный процесс может быть представлен в виде следующей схемы:

Все задачи на устное сложение можно решить таким способом, последовательно упрощая задачу до тех пор, пока не останется просто прибавить однозначное число. Обратите внимание, что пример 538 + 327 требует удержания в уме шести цифр, тогда как 838 + 27 и 858 + 7 — только пяти и четырех цифр соответственно. Если вы упрощаете задачу, решить ее становится легче!

Попробуйте решить в уме следующую задачу на сложение, прежде чем посмотрите наше решение

Вы упростили ее, складывая цифры слева направо? После сложения сотен (623 + 100 = 723) осталось сложить десятки (723 + 50 = 773). Упростив задачу до 773 + 9, в сумме получаем 782. В виде схемы решение задачи выглядит так:

Когда я решаю подобные задачи в уме, я не визуализирую числа, а пытаюсь слышать их. Я слышу пример 623 + 159 как шестьсот двадцать три плюс сто пятьдесят девять. Выделяя для себя слово сто, я понимаю, с чего начать. Шесть плюс один равняется семи, значит, моя следующая задача семьсот двадцать три плюс пятьдесят девять и так далее. Решая такие задачи, тоже делайте это вслух. Подкрепление в виде звуков поможет вам освоить этот метод гораздо быстрее.

Задачи на сложение трехзначных чисел на самом деле не бывают сложнее следующей:

Взгляните на то, как это сделается:

На каждом этапе я слышу (а не вижу) новую задачу на сложение. У меня в голове это звучит примерно так:

858 плюс 634 равно 1458 плюс 34,

равно 1488 плюс 4, равно 1492.

Ваш внутренний голос может звучать иначе, чем мой (не исключено, что вам удобнее видеть числа, а не слышать их), но, как бы там ни было, наша цель — «подкреплять» числа на их пути, чтобы не забыть, на каком этапе решения задачи мы находимся и не начинать все сначала.

Давайте еще попрактикуемся.

Вначале сложите в уме, потом проверьте вычисления.

Этот пример немного сложнее предыдущего, так как требует держать в уме числа на протяжении всех трех шагов.

Однако в нем можно воспользоваться альтернативным методом подсчета. Я уверен, что вы согласитесь: гораздо проще к 759 прибавить 500, чем 496. Так что попробуйте прибавить 500 и затем вычесть разность.

До сих пор вы последовательно расчленяли второе число, чтобы сложить его с первым. На самом деле не имеет значения, какое число разбивать на части, важно соблюдать порядок действий. Тогда вашему мозгу не придется решать, в какую сторону направиться. Если запомнить второе число намного легче первого, то их можно поменять местами, как в следующем примере.

Закончим тему сложением трехзначных чисел с четырехзначными. Так как память среднестатистического человека одновременно может удерживать только семь или восемь цифр, это как раз подходящая задача, с которой вы можете справиться, не прибегая к искусственным устройствам запоминания (таким как пальцы, калькуляторы или приемы мнемотехники из главы 7). Во многих задачах на сложение одно или оба числа заканчиваются на 0, поэтому уделим внимание примерам такого типа. Начнем с самого легкого:

Так как 27 сотен + 5 сотен равняется 32 сотням, мы просто прибавляем 67 с целью получить 32 сотни и 67, то есть 3267. Процесс решения идентичен для следующих заданий.

Поскольку 40 + 18 = 58, первый ответ — 3258. Во втором примере 40 + 72 в сумме больше 100, поэтому ответ будет 33 сотни с «хвостиком». Итак, 40 + 72 = 112, поэтому ответ — 3312.

Эти задачи легкие, потому что значащие цифры (отличные от нуля) в них складываются лишь один раз и примеры можно решить в одно действие. Если значащие цифры складываются два раза, то и действий понадобится два. Например:

Задача в два действия схематически выглядит следующим образом.

Тренируйтесь на представленных ниже упражнениях в сложении трехзначных чисел до тех пор, пока не станете с легкостью выполнять их в уме, не подглядывая в ответ. (Ответы находятся в конце книги.)

Карл Фридрих Гаусс: вундеркинд от математики

Вундеркинд — это очень талантливый ребенок. Обычно его называют «развитым не по годам» или «одаренным», так как он почти всегда опережает сверстников в развитии. Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) был одним из таких детей. Он часто хвастался тем, что научился производить расчеты раньше, чем говорить. Будучи трех лет от роду, он исправил платежную ведомость отца, заявив: «Подсчеты неверны». Дальнейшая проверка ведомости показала, что малыш Карл был прав.

В десятилетнем возрасте ученик Гаусс получил на уроке следующую математическую задачу: какова сумма чисел от 1 до 100? Пока одноклассники отчаянно производили расчеты с бумагой и карандашом, Гаусс сразу представил себе, что если он запишет числа от 1 до 50 слева направо, а от 51 до 100 — справа налево прямо под списком чисел от 1 до 50, то каждая сумма чисел, стоящих друг под другом, будет равна 101 (1 + 100, 2 + 99, 3 + 98…). Поскольку выходило всего пятьдесят таких сумм, ответ составил 101 х 50 = 5050. Ко всеобщему изумлению (включая учителя), юный Карл получил ответ, не только опередив всех остальных учеников, но и вычислив его целиком в уме. Мальчик записал ответ на своей грифельной доске и швырнул ее на стол учителя с дерзкими словами: «Вот ответ».

Учитель был настолько поражен, что за свои деньги купил наилучший из доступных учебников по арифметике и отдал его Гауссу, заявив: «Это превышает пределы моих возможностей, я больше ничему не смогу его научить».

Действительно, Гаусс стал учить математике других и в конечном итоге достиг небывалых высот, прослыв одним из величайших математиков в истории, чьи теории до сих пор служат науке. Его желание лучше понимать природу посредством языка математики было подытожено в его девизе, взятом из шекспировского «Короля Лира» (заменяя «закон» на «законы»): «Природа, ты моя богиня! В жизни я лишь твоим законам послушен».

ВЫЧИТАНИЕ СЛЕВА НАПРАВО

Для большинства из нас сложение проще вычитания. Но если вы будете вычитать слева направо и начнете разделять вычисления на более простые действия, вычитание может стать почти таким же простым, как сложение.

Вычитание двузначных чисел

При вычитании двузначных чисел следует упростить задачу, сведя ее к вычитанию (или сложению) однозначных. Начнем с очень простого примера.

После каждого действия вы переходите на новый, более простой этап вычитания. Сначала отнимаем 20 (86–20 = 66), затем 5, имея простое действие 66 — 5, в итоге получаем 61. Решение схематически можно представить как:

Конечно, вычитать значительно легче, если не нужно занимать единицу из старшего разряда (так происходит, когда бóльшая цифра вычитается из меньшей). Однако хочу вас успокоить: трудные задачи на вычитание обычно можно превратить в легкие задачки на сложение. Например:

Существуют два способа решить этот пример в уме.

1. Сначала вычитаем 20, затем 9:

Но для этой задачи я предлагаю другую стратегию.

2. Сначала вычитаем 30, потом прибавляем 1

Определить, какой метод лучше использовать, вам поможет правило:

если в задаче на вычитание двузначных чисел вычитаемая цифра больше уменьшаемой, округлите ее до десяти.

Далее из уменьшаемого числа вычтите округленное число, а потом прибавьте разность между округленным числом и первоначальным. Например, в задаче 54–28 вычитаемое 8 больше уменьшаемого 4. Поэтому округляем 28 до 30, вычисляем 54–30 = 24, после чего прибавляем 2 и получаем ответ — 26.

А теперь закрепим знания на примере 81–37. Так как 7 больше 1, округляем 37 до 40, вычитаем это число из 81 (81–40 = 41), а затем прибавляем разность 3 для получения ответа:

Всего лишь немного практики — и вы без труда сможете решать задачи обоими способами. Используйте вышеуказанное правило для принятия решения о том, какой способ лучше подходит.

Вычитание трехзначных чисел

Теперь займемся вычитанием трехзначных чисел.

Этот пример не требует округления чисел (каждая цифра второго числа как минимум на единицу меньше соответствующих цифр первого), поэтому задача не должна быть слишком сложной. Просто вычитайте по одной цифре за раз, с каждым шагом упрощая задачу.

Теперь рассмотрим задачу на вычитание трехзначных чисел, которая требует округления.

На первый взгляд она кажется довольно сложной. Но если сначала вычесть 600 (747–600 = 147), а потом прибавить 2, то получим 149 (147 + 2 = 149).

Теперь попробуйте сами.

Вначале вы вычли 700 из 853? Если да, то получили 853–700 = 153, не правда ли? Так как вы вычли число, на 8 большее исходного, прибавили ли вы 8, чтобы получить ответ 161?

Теперь я могу признаться, что нам удалось упростить процесс вычитания, потому что вычитаемые числа были почти кратными 100. (Вы заметили?) А как насчет других задач, например такой?

Если вычитать по одной цифре за раз, упрощая каждое действие, то последовательность будет выглядеть так:

А что произойдет, если округлить вычитаемое до 500?

Вычесть 500 легко: 725–500 = 225. Но вы отняли слишком много. Хитрость в том, чтобы точно определить, чему равно это «слишком много».

На первый взгляд, ответ не очевиден. Чтобы найти разницу между 468 и 500. Ответ можно получить с помощью дополнения — ловкого приема, который упростит большинство задач на вычитание трехзначных чисел.

Быстро скажите, как далеко от 100 эти числа?

Обратите внимание, что для каждой пары чисел, сумма которых равна 100, первые цифры (слева) в сумме дают 9, а последние (справа) — 10. Можно сказать, что 43 — это дополнение для 57, 32 — для 68 и так далее.

А сейчас отыщите дополнения к следующим двузначным числам:

Чтобы найти дополнение к числу 37, сначала определите, сколько нужно прибавить к 3, чтобы получить 9. (Ответ — 6.)

Затем выясните, сколько следует добавить к 7 для получения 10. (Ответ — 3.) Следовательно, 63 — дополнение к 37.

Остальные дополнения: 41, 7, 56, 92 соответственно. Обратите внимание, что как матемаг вы ищете дополнения, как и все остальное, слева направо. Как мы уже выяснили, первую цифру увеличиваем до 9, вторую до 10. (Исключение, если числа заканчиваются на 0 — например, 30 + 70 = 100, — но такие дополнения легко вычислить!)

Какая связь между дополнениями и устным вычитанием?

Они позволяют преобразовать сложные примеры на вычитание в простые задачи на сложение. Рассмотрим последнюю задачу, доставившую нам некоторые трудности.

Итак, сначала вычитаем из 725 число 500 вместо 468 и получаем 225 (725–500 = 225). Однако поскольку мы вычли слишком много, нужно выяснить, сколько теперь следует прибавить. Использование дополнений позволяет мгновенно дать ответ. На сколько цифр 468 отстоит от 500? На столько же, насколько 68 отстоит от 100. Если искать дополнение для 68 показанным выше способом, то выйдет 32. Прибавьте 32 к 225 и получите 257.

Попробуйте другую задачу на вычитание трехзначных чисел:

Чтобы подсчитать это в уме, отнимите 300 от 821, выйдет 521. Затем прибавьте дополнение для 59 (то есть 41), получится 562. Весь процесс выглядит следующим образом:

Вот еще один пример:

Проверьте свой ответ и ход решения:

Вычитание трехзначного числа из четырехзначного не многим сложнее, что иллюстрирует следующий пример.

Путем округления вычитаем 600 из 1246. Получаем 646.

Затем прибавляем дополнение для 79 (то есть 21). Ответ: 646 + + 21 = 667.

Выполните упражнения на вычитание трехзначных чисел, данные ниже, а затем попробуйте придумать свои примеры на сложение (или на вычитание?).

Глава 2
Произведения растраченной юности: основы умножения

Вероятно, я слишком много времени в детстве думал о том, как максимально быстро перемножать числа в уме. Мне поставили диагноз «гиперактивность», а моим родителям сообщили, что из-за короткого периода концентрации внимания мне, скорее всего, не добиться успеха в учебе. (К счастью, родители этот прогноз проигнорировали; и с учителями мне повезло в первые годы обучения.) Должно быть, этот короткий период концентрации внимания мотивировал меня к поиску ускоренных способов счета. Не думаю, что тогда я обладал достаточным терпением для решения задач с карандашом и бумагой.

И вы, как только освоите техники, описанные в данной главе, тоже перестанете полагаться на эти инструменты.

В этой главе вы научитесь умножать в уме однозначные числа на дву- и трехзначные. Кроме того, изучите феноменально быстрый способ возводить в квадрат двузначные числа. Даже друзья с калькуляторами не смогут угнаться за вами.

Поверьте, практически каждый будет ошеломлен тем, что такие задачи можно решить в уме, да еще и с подобной скоростью. Иногда я думаю, почему мы не применяли эти способы в школе, ведь они кажутся такими простыми, как только их освоишь.

Но для того чтобы развить этот навык, нужно соблюсти одно обязательное условие: вам необходимо знать таблицу умножения, вплоть до десяти. В действительности вы должны быть способны воспроизвести ее в обоих направлениях.

Те из вас, кому понадобится освежить знания, могут обратиться к таблице умножения, представленной ниже. Как только вы «проглотите» ее, можете начинать осваивать мои методы.

Таблица умножения от 1 до 10

ЗАДАЧИ НА УМНОЖЕНИЕ ТИПА «2 НА 1»

Если вы успешно поработали над главой 1, то наверняка оценили преимущества сложения и вычитания слева направо.

В этой главе мы тоже будем действовать аналогичным образом, но уже в отношении умножения. Несомненно, это полностью противоположно тому, чему вас учили в школе. Но вскоре вы поймете, насколько легче думать слева направо, нежели справа налево. (Кстати, вы можете проговаривать числа вслух, пока не закончите вычисления.)

Рассмотрим первый пример.

Сначала умножаем 40 х 7 = 280. (Заметьте, что 40 х 7 — это почти то же самое, что и 4 х 7, только с добавлением дружелюбного нуля.) Затем 2 х 7 = 14. Теперь складываем 280 плюс 14 (слева направо, естественно) и получаем ответ 294. Проиллюстрируем это в записи:

Мы опустили на приведенной схеме устное сложение 280 + 14, так как вы уже научились делать подобные вычисления в предыдущей главе. Поначалу вам придется подсматривать условия задачи во время решения. С практикой вы сможете отказаться от этого шага и считать исключительно в уме.

Попробуем другой пример.

Ваш первый шаг — разбить пример на маленькие задачки на умножение, которые можно с легкостью выполнить в уме.

Так как 48 = 40 + 8, умножаем 40 х 4 = 160, затем прибавляем 8 х 4 = 32. Ответ будет 192. (Примечание: если вас интересует, почему этот прием работает, обратитесь к разделу «Почему эти приемы работают» в конце данной главы.)

Вот еще две задачи для устного умножения, которые решаются достаточно быстро. Сначала вычислите 62 х 3. Затем 71 х 9. Попытайтесь выполнить все в уме, прежде чем посмотрите, как это сделали мы.

Эти два примера достаточно просты, потому что сумма складываемых чисел меньше 10. Выполняя действие 180 + 6, вы можете слышать ответ: сто восемьдесят… шесть! Есть еще один простой способ устного умножения, при условии что двузначное число начинается на пять. Когда пять умножается на четную цифру, первое число получается кратным 100, что делает итоговую задачу на сложение особенно простой.

Попрактикуйтесь на следующем примере.

Обратите внимание, насколько легче решать его слева направо. Требуется намного меньше времени, чтобы сложить 400 плюс 35 в уме, чем понадобилось бы для применения метода «карандаш и бумага» и «5 пишем, 3 в уме».

Следующие два примера немного сложнее.

Как обычно, разбиваем задачу на подзадачи. В первом примере умножаем 30 х 9 и 8 х 9, в итоге суммируем 270 + 72.

Задача на сложение немного сложнее, потому что включает в себя запоминание чисел. Вот как это делается: 270 + 70 + 2 = 340 + 2 = 342.

Практикуясь, вы станете легко решать задачи, подобные этой. И те из них, которые требуют запоминания чисел, покажутся почти такими же легкими, как и не требующие этого.

В предыдущей главе вы убедились, насколько полезно округление при выполнении вычитания. Та же история и с умножением, особенно для чисел, заканчивающихся на 8 или 9.

Рассмотрим пример 69 х 6, показанный ниже. Слева представлено вычисление обычным способом: складываем 360 + 54.

Справа мы округлили 69 до 70 и вычли из 420 — 6, что нам показалось более простым действием.

Следующий пример также демонстрирует, насколько округление облегчает вычисления.

Метод вычитания особенно хорошо работает для чисел, в которых надо округлять до кратной 10 одну или две цифры. Однако он не так хорош, когда округлять приходится больше двух цифр, потому что тогда сама задача на вычитание усложняется. В этом случае можно продолжать придерживаться метода сложения. Лично я для таких задач использую только его, потому что за время, потраченное на выбор метода, уже могу все посчитать!

Если вы хотите усовершенствовать технику, то следует больше практиковаться на задачах типа «2 на 1». Ниже представлены 20 примеров, на которых вы можете потренироваться. Ответы даны в конце книги, включая разбивку на отдельные действия для всего процесса умножения. Если после разбора каждого примера вы захотите попрактиковаться еще, то просто составьте собственные примеры. Считайте в уме, затем сверяйте ответ с калькулятором. Как только почувствуете, что научились быстро выполнять такие задачки в уме, можете переходить на следующий уровень устных вычислений.

ЗАДАЧИ НА УМНОЖЕНИЕ ТИПА «3 НА 1»

Теперь, когда вы умеете в уме решать задачи типа «2 на 1», умножение трехзначных чисел на однозначные не покажется вам более сложным. Вы можете начать со следующего примера типа «3 на 1» (который на самом деле представляет собой замаскированную задачку типа «2 на 1»).

Было ли это легко? (Если этот пример показался трудным, вам следует повторить материал по сложению из главы 1.)

Попробуем решить еще одну задачу «3 на 1», подобную верхней, но заменим в ней 0 на 6, чтобы у вас появилось еще одно действие для выполнения:

В данном случае вы просто прибавляете результат умножения 6 х 7, то есть 42, к первой сумме 2240. Так как здесь не нужно запоминать никаких чисел, будет легко сложить 42 и 2240 и получить в итоге 2282.

При решении этой и других задач типа «3 на 1» камнем преткновения может стать удержание в памяти первой суммы (в этом примере число 2240), в то время как вы заняты умножением (здесь 6 х 7). Нет какого-либо магического секрета для запоминания первого числа, но я уверяю вас, что по мере освоения метода концентрация внимания улучшится, и держать числа в памяти, выполняя параллельно другие операции, станет для вас привычным делом.

Решим еще одну задачу.

Даже если числа большие, сам процесс умножения прост.

Впервые решая такие задачки, вы должны поглядывать на записи, чтобы напоминать себе начальные условия. Поначалу это нормально. Но со временем попытайтесь избавиться от такой привычки, чтобы научиться держать в памяти всю задачу.

В разделе об умножении типа «2 на 1» мы видели, что примеры, где числа начинаются на пятерку, особенно легкие в решении. То же верно и для задач типа «3 на 1».

Обратите внимание, что всякий раз, когда первый результат умножения получается кратным 1000, следующее действие на сложение уже вовсе не является задачей. Так происходит потому, что вам не нужно запоминать никаких чисел и в дальнейшем порядковый номер тысячи не изменится. Если бы вы решали эту задачу перед кем-то, то могли бы сказать вслух «три тысячи…» с абсолютной уверенностью в том, что это число не превратится в ответе в 4 тысячи. (И в придачу, называя первые цифры, вы создаете иллюзию, будто мгновенно вычислили ответ!) Но даже если вы тренируетесь в одиночестве, проговаривание вслух первых результатов вычисления освобождает часть оперативной памяти, необходимой для продолжения работы над оставшимися действиями для решения задачи типа «2 на 1», ответ на которую вы тоже можете произнести вслух, например, «…триста семьдесят восемь».

Попробуйте данный подход при решении следующей задачи, где множителем выступает 5.

Так как первые две цифры трехзначного числа одинаковые, вы можете произносить ответ параллельно с вычислениями даже без необходимости складывать что-либо! Правда, было бы здорово, если бы все задачки на умножение были такими легкими?

Поднимемся на новый уровень сложности и попробуем решить пару примеров, которые потребуют от нас удержания чисел в уме.

В следующих двух примерах вам нужно держать числа в уме на последнем этапе решения, а не в его начале.

Первое действие для каждой задачи легко выполнить в уме. Сложности возникают при необходимости удерживать в памяти предварительный ответ, параллельно вычисляя итоговый. В первой задаче легко сложить 5400 + 360 = 5760. Но вы будете вынуждены твердить «5760» самому себе, пока умножаете 8 х 9 = 72. Затем надо сложить 5760 и 72. Иногда на этой стадии я начинаю проговаривать ответ вслух еще до ее завершения. Я знаю, что нужно будет держать числа в уме, когда я буду складывать 60 + 72, но я также знаю, что 5700 станет 5800.

Я говорю: «Пять тысяч восемьсот…», затем приостанавливаюсь для сложения 60 + 72 = 132. Поскольку я уже держу числа в уме, я произношу только последние две цифры: «… тридцать два!» А вот и ответ: 5832.

Две следующие задачи потребуют от вас держать в уме два числа, так что их решение может занять больше времени. Но, потренировавшись, вы станете делать это быстрее.

Когда вы впервые принимаетесь за решение таких примеров, повторяйте ответы для каждого действия вслух, параллельно вычисляя остальное. В первой задаче, например, начните с «две тысячи восемьсот плюс пятьсот шестьдесят», проговорив пару раз все это вслух и тем самым закрепив два числа в памяти, пока складываете их. Повторите ответ «три тысячи триста шестьдесят» несколько раз, пока умножаете 9 х 7 = 63. После проговаривайте «три тысячи триста шестьдесят плюс шестьдесят три» вслух до тех пор, пока не вычислите итоговый ответ 3423. Если вы достаточно быстро соображаете, чтобы распознать, что сложение 60 + 63 потребует переноса 1 в старший разряд, то вы в состоянии назвать итоговый ответ на долю секунды быстрее, чем сами это осознаете: «три тысячи четыреста и… двадцать три!»

Завершим раздел с задачами на умножение типа «3 на 1» рядом особых примеров, которые можно мгновенно решить, так как они требуют лишь одного действия на сложение вместо двух.

В общем, если результат умножения последних двух цифр первого числа на его множитель известен вам и без подсчетов (например, вы знаете, что 25 х 8 = 200), то вы сможете получить итоговый ответ намного быстрее. Например, если вы и так знаете, что 75 х 4 = 300, то легко вычислите 975 х 4.

Чтобы закрепить только что усвоенный материал, решите следующие задачи на умножение типа «3 на 1» в уме, а затем проверьте себя по ответам в конце книги. Исходя из собственного опыта, могу сказать, что устные вычисления сродни катанию на велосипеде или печатанию. Это может казаться невозможным поначалу, но как только вы все освоите, то уже никогда этого не забудете.

ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Возводить в уме числа в квадрат (умножать число само на себя) — одно из наиболее легких, но в то же время и наиболее впечатляющих ловкачеств из арсенала устных вычислений. Я до сих пор помню, как открыл этот прием для себя. Мне было тринадцать. Я ехал в автобусе навестить отца на работе в центр Кливленда. Я уже проделывал этот путь неоднократно, поэтому мысли начали блуждать. Не помню почему, но я стал думать о числах, которые в сумме дают 20. И задался вопросом: насколько большим может быть произведение этих чисел?

(смотрите таблицу ниже).

На самом деле существует простое алгебраическое объяснение данного феномена (смотрите раздел «Почему эти приемы работают» в конце главы). Но в то время я не разбирался в алгебре настолько хорошо, чтобы доказать постоянство появления такой последовательности, но все-таки провел достаточное количество экспериментов с подобными примерами, чтобы убедиться в ее наличии.

Затем я осознал, что данная последовательность может облегчить операцию возведения чисел в квадрат. Предположим, я хочу возвести в квадрат число 13. Почему бы, вместо того чтобы умножать 13 х 13, не получить приближенный ответ, используя два числа, которые легче перемножить и которые в сумме дают тоже 26? Я выбрал 10 х 16 = 160. Чтобы получить итоговый ответ, я просто прибавил 3 2 = 9 (так как 10 и 16 дают разность 3 с числом 13) к числу 160. Таким образом, 13 2 = 160 + 9 = 169. Все четко!

Данный метод схематически можно представить так.

А теперь посмотрим, как эта схема работает с квадратом другого числа

Чтобы возвести в квадрат 41, вычтем 1 из 41, чтобы получить 40, и добавим 1 к 41, чтобы получить 42. Далее умножаем 40 х 42. Без паники! Это простое умножение типа «2 на 1» под прикрытием (здесь 4 х 42). Так как 4 х 42 = 168, то 40 х 42 = 1680.

Почти все! Вам осталось лишь прибавить квадрат 1 (числа, на величину которого вы уменьшали и увеличивали 41), чтобы получить ответ: 1680 + 1 = 1681.

Неужели в самом деле так легко возводить в квадрат двузначные числа? Да, с использованием этого метода и небольшим количеством практики. И способ работает независимо от того, округляете вы исходное число в бóльшую или меньшую сторону.

В данном примере преимущество округления в большую сторону состоит в том, что вы практически уже получили решение, осталось просто прибавить 9 к 0 на конце!

По сути, я всегда округляю по принципу большей близости к 10. Так, если возводимое в квадрат число оканчивается на 6, 7, 8 или 9, то округляю в большую сторону, а если на 1, 2, 3 или 4, то в меньшую. (Если число оканчивается на 5, то округляем сразу в обе стороны!) Придерживаясь такой стратегии, вы ограничитесь прибавлением лишь чисел 1, 4, 9, 16 или 25 к результатам первого умножения.

Рассмотрим другой пример. Вычислите 56 2 в уме самостоятельно, прежде чем посмотрите на наше решение.

Что касается чисел, оканчивающихся на 5, вам будет несложно разгромить любого «вычислителя» с калькулятором в руке. А после небольшой практики с другими задачками калькулятор, не заставит себя долго ждать. Вы даже перестанете бояться больших чисел. Можете попросить кого-нибудь задать вам действительно большое двузначное число, что-нибудь вроде «больше 90», и это будет выглядеть в глазах людей так, словно вы взялись за непосильную задачу. На самом же деле так даже проще, потому что у вас будет возможность округлить до 100.

Правда, было легко? Вам следовало округлить с помощью 4 до 100 и 92, а затем умножить 100 х 92 и получить 9200. В момент решения задачи вы можете проговаривать вслух: «Девять тысяч двести…» и затем закончить: «…шестнадцать». И наслаждаться аплодисментами.

УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Решите следующие задачи.

1. 14 2 2. 27 2 3. 65 2 4. 89 2 5. 98 2

6. 31 2 7. 41 2 8. 59 2 9. 26 2 10. 53 2

Одним из первых извлечь выгоду из своего таланта — умения производить вычисления молниеносно — сумел Зера Колберн (1804–1839), сын американского фермера из Вермонта, который выучил таблицу умножения до 100 даже раньше, чем научился читать и писать. Когда юному дарованию исполнилось шесть лет, его отец организовал тур, и выступления Зеры позволили скопить достаточный капитал для того, чтобы отправить мальчика в школу в Париже или Лондоне. В возрасте восьми лет он был известен во всем мире, выступал со своими молниеносными расчетами в Англии и был охарактеризован в Annual Register как «возможно, самый исключительный феномен в истории человеческого разума из когда-либо существовавших». Майкл Фарадей и Сэмюэль Морзе восхищались его талантом.

Где бы Колберн ни выступал, он всегда опережал всех соперников в скорости и точности. В автобиографии он рассказывает о наборе задач, которые ему задали в Нью-Хэмпшире в июне 1811 года: «Сколько дней и часов прошло с момента рождения Христа 1811 лет назад? Ответил за двадцать секунд: 661 015 дней, 15 864 360 часов. Сколько секунд содержится в одиннадцати годах? Ответил за четыре секунды: 346 896 000.

Колберн использовал методы, описанные в этой книге, чтобы проводить вычисления исключительно в уме. Например, он раскладывал большое число на меньшие сомножители и затем перемножал их: однажды Колберн умножил 21 734 х 543 путем разложения 543 как 181 х 3. Затем он умножил 21 734 х 181, чтобы получить 3 933 854, и наконец умножил это число на 3, чтобы получить в итоге 11 801 562.

Как часто бывает с такими людьми, интерес к удивительным способностям Колберна со временем утих, и в возрасте двадцати лет юноша вернулся в США и стал проповедником-методистом. Он умер в возрасте тридцати пяти лет. Подытоживая информацию о своих способностях к молниеносным вычислениям и преимуществам, которые такой дар дает, Колберн размышлял: «Действительно, метод… требует большего количества вычислений, чем общее правило. Зато запомнится то, что ручка, чернила и бумага обходились Зере очень дешево».

ПОЧЕМУ ЭТИ ПРИЕМЫ РАБОТАЮТ

Этот раздел предназначен для учителей, студентов, любителей математики и всех, кому любопытно, почему этот метод работает. Некоторые найдут теоретическую сторону вопроса не менее интересной, чем практическая. К счастью, вам не нужно разбираться в том, почему метод работает, для того чтобы научиться его применять. Всем магическим трюкам есть рациональное объяснение. И математические не исключение. И вот прямо сейчас маг от математики раскроет свои самые сокровенные тайны!

В этой главе, посвященной задачам на умножение, мы применили дистрибутивный (распределительный) закон, который позволял нам разбивать задачи на части. Данный закон гласит, что для любых чисел a, b и c

(b + с) х а = (b х а) + (с х а)

То есть число за скобками распределяется и по отдельности умножается на каждое из чисел в скобках. Например, в первой задаче на умножение 42 х 7 мы добрались до итогового ответа с помощью представления 42 в виде 40 + 2, а затем помножили на 7 каждое из них следующим образом:

42 х 7 = (40 + 2) х 7 = (40 х 7) + (2 х 7) = 280 + 14 = 294

Вы можете спросить, почему распределительный закон в принципе работает. Чтобы понять его интуитивно, представьте, что у вас есть 7 сумок, в каждой по 42 монеты, 40 из которых золотые, а 2 серебряные. Сколько всего у вас монет? Существует два способа получить ответ. С одной стороны, исходя из определения умножения, скажем, что у вас есть 42 х 7 монет. С другой — всего 40 х 7 золотых и 2 х 7 серебряных монет.

Следовательно, всего имеем (40 х 7) + (2 х 7) монет. Отвечая на наш вопрос двумя способами, получим 42 х 7 = (40 х 7) + (2 х 7). Обратите внимание, что числа 7, 40 и 2 можно заменить любыми другими (a, b или c), сохранив общий логический принцип. Вот почему распределительный метод работает!

Используя подобную аргументацию о золотых, серебряных и медных монетах, получим более общий закон.

(b + с + d) х а = (b х а) + (с х а) + (d х а)

Следовательно, чтобы умножить 326 х 7, разбиваем 326 как 300 + 20 + 6. Потом умножаем на 7 следующим образом: 326 х 7 = (300 + 20 + 6) х 7 = (300 х 7) + (20 х 7) + (6 х 7), а затем складываем отдельные произведения.

Что касается возведения в квадрат, представленный ниже алгебраический закон оправдывает мой метод. (A и d — любые числа.)

Глава 3
Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня

Учительница сделала расчет на доске и получила такой же ответ. Глядя немного испуганно, она произнесла: «Да, верно. Как ты это сделал?» Тут я ей и выложил: «Я округлил 108 до 100 и увеличил 108 до 116. После перемножил 116 на 100, получил 11 600, а потом просто прибавил квадрат 8, в итоге получилось 11 664».

Она никогда раньше не сталкивалась с таким методом.

Я был взволнован. Даже успел самонадеянно подумать о «теореме Бенджамина». Я на самом деле верил в то, что открыл нечто новое. Когда я в конце концов наткнулся на этот метод спустя несколько лет в книге Мартина Гарднера по занимательной математике Mathematical Carnival («Математический карнавал», 1965), мой день был испорчен! Хотя то, что я сам нашел его, все же воодушевляло.

Вы тоже можете произвести впечатление на друзей (или учителей), используя некоторые из довольно удивительных примеров на умножение. В конце предыдущей главы вы узнали, как умножить двузначное число само на себя. В этой главе вы научитесь перемножать два разных двузначных числа, а затем попробуете приложить руку (вернее, мозг) к возведению трехзначных чисел в квадрат. При этом для решения таких задач не обязательно знать, как умножить два двузначных числа. Так что можете начать осваивать любой из этих навыков в любом порядке.

ЗАДАЧИ НА УМНОЖЕНИЕ ТИПА «2 НА 2»

При возведении в квадрат двузначного числа всегда применяется одинаковый метод. Но перемножать двузначные числа можно разными способами, которые в итоге приведут вас к одному и тому же ответу. Лично для меня здесь и начинается самое интересное.

Первый метод, назовем его «метод сложения», можно применять для решения любых задач на умножение типа «2 на 2».

В методе сложения при перемножении двух двузначных чисел надо всего лишь решить две задачи на умножение типа «2 на 1» и суммировать результаты, например:

Итак, 42 разбиваем на 40 и 2, после чего умножаем 40 х 46 (а это всего лишь 4 х 46 с добавочным нулем, то есть 1840); затем 2 х 46 = 92. Наконец складываем 1840 + 92 = 1932, как и показано выше.

Вот еще один способ решения той же задачи:

Но здесь есть небольшая проблема, которая заключается в том, что умножить 6 х 42 сложнее, чем 2 х 46, как в первом способе. Более того, прибавить 1680 + 252 сложнее, чем суммировать 1840 + 92. Так как же решить, какое из чисел разбивать на части? Я стараюсь выбирать то, которое приведет к более простой задаче на сложение. В большинстве случаев, но не всегда, желательно разбивать число с наименьшей цифрой в конце, потому что это обычно приводит к меньшим числам при сложении.

Попробуйте свои силы на следующих примерах.

В последнем примере показано, почему числа с 1 в конце лучше всего представлять в виде суммы. В случае если оба числа оканчиваются на одинаковую цифру, следует делить на части большее число, как показано ниже.

Если одно из чисел намного больше другого, то его разбиение часто оправдывает себя, даже если цифра на конце больше цифры на конце меньшего числа. Вы поймете, что я имею в виду, когда решите следующие задачи двумя разными способами.

Показался ли вам первый способ быстрее второго? Мне — да.

Вот еще одно исключение из правила: разбивайте на части число с наименьшей цифрой на конце. При умножении числа, близкого и большего 50, на четное, следует разбить на части именно число, близкое к 50.

Последняя цифра числа 84 меньше, чем цифра на конце числа 59. Но если разбить на части 59, то результат первого умножения будет кратным 100, что упрощает последующую задачу на сложение.

Теперь попробуйте решить легкую задачу другого типа.

Хотя вычисления, представленные выше, достаточно просты, существует еще более простой и быстрый способ умножения числа на 11. Это магия чисел во всей красе: вы не поверите своим глазам, когда увидите! (Если, конечно, вы еще не забыли, что читали в главе 0.)

Вот как это работает. Представьте себе двузначное число, цифры которого в сумме дают 9 или меньше. Для умножения такого числа на 11 просто сложите эти две цифры и вставьте полученную сумму между двух исходных цифр. Например, чтобы умножить 42 х 11, сначала складываем 4 + 2 = 6. Поместив 6 между 4 и 2, получаем 462, что и является решением!

Вычислите 54 х 11, используя данный метод.

Что может быть проще? Все, что вам нужно, — поставить 9 между 5 и 4 и получить окончательный ответ 594.

Но что делать, когда сумма двух чисел больше 9? В таких случаях надо увеличить цифру десятков на 1, а затем вставить последнюю цифру суммы между двумя числами, как и прежде. Например, при умножении 76 х 11 суммируете 7 + 6 = 13, увеличиваете цифру 7 в числе 76 до 8, а затем вставляете 3 между 8 и 6, что дает окончательный ответ 836.

Посмотрите на схему вычислений:

Попытайтесь самостоятельно умножить 68 х 11.

После того как вы освоите этот метод, вы никогда не станете умножать числа на 11 по-другому. Решите несколько задач, а затем сверьтесь с ответами в конце книги.

Следующую задачу вначале бывает очень трудно решить.

Попытайтесь умножить 89 х 72 в уме, подглядывая в случае необходимости в решение. Если вы справились с ней за две попытки, то все в порядке.

Если вы получили правильный ответ с первого или второго раза, похлопайте себя по плечу. В действительности не найдется задач на умножение типа «2 на 2» труднее этой.

Если вы не получили ответ сразу, не волнуйтесь. В следующих двух разделах я обучу вас более простым стратегиям для решения подобных задач. Но прежде чем продолжить чтение, попрактикуйтесь в методе сложения на следующих задачах на умножение.

Метод вычитания может пригодиться, когда одно из умножаемых чисел заканчивается на 8 или 9. Следующий пример показывает, что я имею в виду.

Хотя большинство людей находят, что сложение легче вычитания, порой удобнее отнять маленькое число, чем прибавить большое. (Если бы мы решали эту задачу методом сложения, то пришлось бы складывать 850 + 153 = 1003.)

Теперь рассмотрим сложную задачу, приведенную в конце предыдущего раздела.

Разве это не намного проще? А вот задача, где одно из чисел заканчивается на 8.

В данном случае следует поступить с числом 88 так: вычитаем 90 — 2, затем умножаем 90 х 23 = 2070. Но мы умножили с лишком. Каким? Он равен 2 х 23 = 46. Так что для получения ответа 2024 надо вычесть 46 из 2070.

Хочу подчеркнуть, что важно решать такие примеры в уме, а не просто изучать, как это делается. Пропускайте через себя эти задачи, проговаривайте выполняемые действия вслух, чтобы подкрепить свои размышления.

Я использую метод вычитания не только для чисел, оканчивающихся на 8 или 9, но и для чисел, близких и больших 90, поскольку 100 — очень удобное число для умножения. Например, если кто-то попросит меня умножить 96 на 73, я незамедлительно округлю 96 до 100.

Когда действие на вычитание внутри задачи на умножение требует держать числа в уме, использование дополнений (которые мы изучили в главе 1) ускорит получение ответа.

Вы поймете, о чем я говорю, когда поработаете над задачами, приведенными ниже. Например, вычтите из 340 число 78.

Нам известно, что ответ будет в области «200 плюс». Разность между 40 и 78 составляет 38. С помощью дополнения к 38, которое равно 62, получаем ответ 262!

Теперь следующая задача.

Есть два пути вычитания внутри данной задачи. Длинный путь состоит из вычитания 200 и прибавления 48.

Короткий путь заключается в понимании того, что ответ будет равен 6600 и «сколько-то еще». Для определения этого «сколько-то» вычитаем 52–40 = 12, а затем находим дополнение для 12, которое равно 88. Следовательно, ответ — 6688.

Попробуйте решить такой пример.

Снова идем коротким путем, взяв за основу ответ 3900 и сколько-то еще. Так как 67–20 = 47, а дополнение для 47 — это 53, ответ — 3953.

Как вы, наверное, поняли, использование данного метода возможно в любой задаче на вычитание, в которой требуется держать числа в уме, а не только тогда, когда она является частью решения задачи на умножение. Все это служит еще одним доказательством того (если вам нужны доказательства), что дополнение — очень мощный инструмент в математической магии. Освойте эту технику, и довольно скоро люди начнут рассыпать вам комплименты!

Метод разложения — мой любимый метод умножения двузначных чисел, поскольку в нем совсем не используются сложение и вычитание. Его следует применять, когда один из сомножителей можно разложить на множители, состоящие из одной цифры, которые при перемножении дадут исходное число. Например, число 24 можно представить в виде 8 х 3 или 6 х 4. (Возможно также разложение в виде 12 х 2, но мы отдаем предпочтение использованию однозначных чисел.)

Вот еще несколько примеров разложения чисел:

84 = 7 х 6 х 2 или 7 х 4 х 3

Чтобы посмотреть, как разложение облегчает процесс умножения, рассмотрим следующий пример.

Ранее мы решали его путем умножений 46 х 40 и 46 х 2 и последующего сложения сумм. Чтобы использовать метод разложения, представим 42 как 7 х 6 и начнем с умножения 46 х 7, что равняется 322. Затем умножим 322 х 6 и получим ответ 1932. Вы знаете, как решать задачи на умножение типа «2 на 1» и «3 на 1», так что решить этот пример для вас не составит труда.

46 х 42 = 46 х (7 х 6) = (46 х 7) х 6 = 322 х 6 = 1932.

Конечно, множители при разложении числа 42 можно поменять местами:

46 х 42 = 46 х (6 х 7) = (46 х 6) х 7 = 276 х 7 = 1932.

В данном примере легче умножить 322 х 6, чем 276 х 7. Чаще всего я предпочитаю использовать больший множитель при решении исходной задачи типа «2 на 1» и сохраняю меньший множитель для его применения в случае задачи «3 на 1». Разложение упрощает задачу на умножение типа «2 на 2» до более легкой задачи типа «3 на 1» (иногда даже до «2 на 1»).

Преимущество этого метода разложения для устных вычислений состоит в том, что вам не приходится слишком многое держать в памяти. Рассмотрим другой пример 75 х 63.

75 х 63 = 75 х (9 х 7) = (75 х 9) х 7 = 675 х 7 = 4725.

Как и прежде, вы упрощаете этот пример типа «2 на 2» путем разложения 63 на 9 х 7 и затем умножаете 75 на эти числа.

(Кстати, мы можем переставить скобки во втором шаге вычислений по ассоциативному, или сочетательному, закону умножения.)

63х75 = 63х(5х5х3) = (63х5)х5х3 = 315x5x3 = 1575×3 = 4725.

Потренируйтесь на следующем примере:

57 х 24 = 57 х 8 х 3 = 456 х 3 = 1368.

Здесь можно разложить 24 как 6 х 4 для перехода к другому простому варианту вычислений:

57 х 24 = 57 х 6 х 4 = 342 х 4 = 1368.

Сравните данный подход с методом сложения.

В рамках метода сложения необходимо решить две задачи на умножение типа «2 на 1», а затем суммировать результаты.

При использовании метода разложения вам нужно выполнить только два действия на умножение типа «2 на 1» и «3 на 1». Метод разложения обычно снисходителен к вашей памяти.

Помните ту трудную задачу на умножение из предыдущей части этой главы? Вот она:

Мы решили ее достаточно легко с помощью метода вычитания, но разложение работает еще быстрее:

89 х 72 = 89 х 9 х 8 = 801 х 8 = 6408.

Задача существенно облегчается тем, что в середине числа 801 находится 0. Следующий пример показывает, что поиск варианта разложения чисел, позволяющего воспользоваться подобной ситуацией (когда есть 0 в середине числа), часто бывает оправданным. Рассмотрим два способа вычисления 67 х 42.

67 х 42 = 67 х 7 х 6 = 469 х 6 = 2814.

67 х 42 = 67 х 6 х 7 = 402 х 7 = 2814.

Обычно 42 раскладывают как 7 х 6, следуя правилу «используй больший множитель в первую очередь». Но задачу легче решить, разложив 42 как 6 х 7, поскольку это приводит к созданию числа с 0 в середине, что облегчает умножение.

Я называю такие числа дружелюбными произведениями.

Ниже поиск дружелюбного произведения проведен в процессе умножения двумя способами.

43 х 56 = 43 х 8 х 7 = 344 х 7 = 2408.

43 х 56 = 43 х 7 х 8 = 301 х 8 = 2408.

Не показался ли вам второй вариант более легким?

Применяя метод разложения, выгодно отыскивать дружелюбные произведения везде, где только можно. Следующий список должен в этом помочь. Я жду от вас не столько его запоминания, сколько простого ознакомления с ним.

Практикуясь, вы научитесь интуитивно определять дружелюбные произведения, и этот список станет для вас хорошим подспорьем.

Числа с дружелюбными произведениями

25: 25 х 4 = 100, 25 х 8 = 200.

26: 26 х 4 = 104, 26 х 8 = 208.

34: 34 х 3 = 102, 34 х 6 = 204, 34 х 9 = 306.

51: 51 х 2 = 102, 51 х 4 = 204, 51 х 6 = 306, 51 х 8 = 408.

52: 52 х 2 = 104, 52 х 4 = 208.

67: 67 х 3 = 201, 67 х 6 = 402, 67 х 9 = 603.

68: 68 х 3 = 204, 68 х 6 = 408.

76: 76 х 4 = 304, 76 х 8 = 608.

Ранее в этой главе вы обучились легкому способу умножать числа на 11. Он применим в методе разложения в ситуации, когда один из множителей равен 11, как в данном примере.

52 х 33 = 52 х 11 х 3 = 572 х 3 = 1716.

83 х 66 = 83 х 11 х 6 = 913 х 6 = 5478.

ТВОРЧЕСКИЙ ПОДХОД К УМНОЖЕНИЮ

Я уже упоминал в начале главы, что решать задачи на умножение — одно удовольствие, так как это можно сделать любым количеством способов. Теперь, когда вы поняли, что я имею в виду, применим все три метода, приведенные в этой главе, к одной задаче. Начнем с метода сложения.

Теперь метод вычитания.

Обратите внимание, что две последние цифры могут быть получены путем сложения 50 + (дополнение для 73), то есть 50 + 27 = 77, или путем вычисления дополнения для разности 73 и 50; дополнение для 23 = 77.

И наконец, метод разложения:

73 х 49 = 73 х 7 х 7 = 511 х 7 = 3577.

Поздравляю! Вы освоили умножение типа «2 на 2» и теперь обладаете всеми необходимыми базовыми навыками для быстрых устных вычислений. Все, что вам нужно для превращения в молниеносного вычислителя, — это больше практики!

УМНОЖЕНИЕ ТИПА «2 НА 2» ЛЮБЫМ СПОСОБОМ!

У этих упражнений есть несколько вариантов решения. Попробуйте выполнять вычисления столькими способами, сколько вспомните. Затем сверьте свои ответы с данными в конце книги. Наши ответы предлагают различные магические пути решения задач, начиная с самых простых.

Следующие задачи типа «2 на 2» представляют собой подзадачи более сложных задач типа «3 на 2», «3 на 3» и «5 на 5», с которыми вы встретитесь позже. Вы можете решать их сейчас, чтобы поупражняться, а затем снова обратиться к ним, когда они будут включены в большие примеры.

ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Возведение в квадрат трехзначных чисел — впечатляющее проявление искусности в ментальном фокусничестве. Так же как при возведении в квадрат двузначного числа выполняется его округление в большую или меньшую сторону для получения кратного 10, для возведения трехзначного числа в квадрат его нужно округлить в большую или меньшую сторону для получения кратного 100. Возведем в квадрат число 193.

Путем ок ругления 193 до 200 (второй сомножитель стал равным 186) задача типа «3 на 3» преобразовалась в более простую типа «3 на 1», так как 200 х 186 — это всего лишь 2 х 186 = 372 с двумя нулями в конце. Почти готово! Теперь все, что нужно сделать, это прибавить 7 2 = 49 и получить ответ — 37 249.

Попробуем возвести в квадрат 706.

При округлении числа 706 до 700 необходимо еще и изменить это же число на 6 в большую сторону для получения 712.

Так как 712 х 7 = 4984 (простая задача типа «3 на 1»), 712 х 700 = = 498 400. Прибавив 6 2 = 36, получаем 498 436.

В этом примере число 314 уменьшилось на 14 ради округления до 300 и увеличилось на 14 до 328. Умножаем 328 х 3 = 984 и добавляем два нуля в конце, чтобы получить 98 400. Затем прибавляем квадрат 14. Если вам мгновенно приходит на ум (благодаря памяти или быстрым вычислениям), что 14 2 = 196, то вы в хорошей форме. Далее просто сложите 98 400 + 196 для получения окончательного ответа 98 596.

Чем дальше число, возводимое в квадрат, отстоит от кратного 100, тем сложнее становятся вычисления. Попробуйте возвести в квадрат 529.

Если у вас есть аудитория, которую вы хотели бы впечатлить, можете произнести вслух «279 000», прежде чем найдете 292. Но такое не пройдет в случае каждой решаемой задачи.

Например, попытайтесь возвести в квадрат 636.

Теперь ваш мозг по-настоящему заработал, не правда ли?

Не забывайте повторять «403 200» самому себе несколько раз, пока будете возводить в квадрат привычным способом 36, чтобы получить 1296. Самое сложное — суммировать 1296 + 403 200. Делайте это по одной цифре за раз, слева направо, и получите ответ 404 496. Даю слово, что, как только вы лучше ознакомитесь с возведением в квадрат двузначных чисел, задачки с трехзначными значительно упростятся.

Первая проблема — надо решить, какие числа перемножать. Несомненно, одно из них будет 900, а другое — больше 800. Но какое именно? Это можно рассчитать двумя способами.

1. Сложный способ: разность между 863 и 900 составляет 37 (дополнение для 63), вычитаем 37 из 863 и получаем 826.

2. Легкий способ: удваиваем число 63, получаем 126, теперь последние две цифры этого числа прибавляем к числу 800, что в итоге даст 826.

Вот как работает легкий способ. Поскольку оба числа имеют одинаковую разность с числом 863, их сумма должна равняться удвоенному числу 863, то есть 1726. Одно из чисел 900, значит, другое будет равно 826.

Затем проводим следующие вычисления.

Если вам трудно вспомнить число 743 400 после возведения в квадрат числа 37, не расстраивайтесь. В следующих главах вы узнаете систему мнемотехники и научитесь запоминать такие числа.

Попробуйте свои силы на самой трудной пока задаче — на возведении в квадрат числа 359.

Для получения 318 либо отнимите 41 (дополнение для 59) от 359, либо умножьте 2 х 59 = 118 и используйте последние две цифры. Далее умножьте 400 х 318 = 127 200. Прибавление к этому числу 412 = 1681 даст в сумме 128 881. Вот и все! Если вы сделали все правильно с первого раза, вы молодец!

УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

Математической банальностью 1991 года, которая поставила всех в тупик, оказалась статья Мэрилин Савант — женщины с самым высоким в мире IQ (что зарегистрировано в Книге рекордов Гиннесса) — в журнале Parade. Этот парадокс стал известен как «проблема Монти Холла», и заключается он в следующем.

Вы участник шоу Монти Холла «Давайте совершать сделки» (Let’s Make a Deal). Ведущий дает вам возможность выбрать одну из трех дверей, за одной из которых находится большой приз, за двумя другими — козы. Допустим, вы выбираете дверь № 2. Но прежде чем показать, что скрывается за этой дверью, Монти открывает дверь № 3. Там коза. Теперь в своей дразнящей манере Монти спрашивает вас: вы хотите открыть дверь № 2 или рискнете посмотреть, что находится за дверью № 1? Что вам следует сделать? Если предположить, что Монти собирается подсказать вам, где нет главного приза, то он всегда будет открывать одну из «утешительных» дверей. Это оставляет вас перед выбором: одна дверь с большим призом, а вторая — с утешительным. Сейчас ваши шансы составляют 50 на 50, не так ли?

А вот и нет! Шанс, что вы правильно выбрали в первый раз, по-прежнему 1 к 3. Вероятность того, что большой приз окажется за другой дверью, увеличивается до 2/3, потому что вероятности в сумме должны давать 1.

Таким образом, изменив свой выбор, вы удвоите шансы на выигрыш! (В задаче предполагается, что Монти всегда будет давать игроку возможность сделать новый выбор, показывая «невыигрышную» дверь, и, когда ваш первый выбор окажется правильным, откроет «невыигрышную» дверь наугад.) Поразмышляйте об игре с десятью дверями. Пусть после вашего первого выбора ведущий откроет восемь «невыигрышных» дверей. Здесь ваши инстинкты, скорее всего, потребуют поменять дверь. Люди обычно ошибаются, думая, что если Монти Холл не знает, где главный приз, и открывает дверь № 3, за которой оказывается коза (хотя мог бы быть и приз), то дверь № 1 с вероятностью в 50 процентов будет нужной. Такое рассуждение противоречит здравому смыслу, тем не менее Мэрилин Савант получила груды писем (многие от ученых, и даже математиков), в которых говорилось, что ей не следовало писать о математике. Конечно, все эти люди были неправы.

ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ

Мы закончим эту главу новым методом возведения в куб двузначных чисел. (Воскресите в памяти тот факт, что куб числа — это число, умноженное на себя дважды. Например, 5 в кубе (обозначается 5 3 ) будет равно 5 х 5 х 5 = 125.) Как вы убедитесь, это не намного сложнее, чем умножение двузначных чисел. Метод основан на алгебраическом соотношении

А 3 = (A — d)A(A + d) + d 2 A,

где d — любое число. Как и при возведении в квадрат двузначных чисел, я стараюсь выбрать такое d, чтобы при его сложении (или вычитании) получить число, как можно более близкое к кратному десяти. Например, при возведении в куб числа 13, d = 3, в результате получается:

13 3 = ((13 — 3) х 13 х (13 + 3)) + (3 2 х 13).

Поскольку 13 х 16 = 13 х 4 х 4 = 52 х 4 = 208 и 9 х 13 = 117, то мы имеем:

13 3 = 2080 + 117 = 2197.

Как насчет куба 35? Принимая d = 5, получим:

35 3 = (30 х 35 х 40) = (5 2 х 35).

Так как 30 х 35 х 40 = 30 х 1400 = 42 000 и 35 х 5 х 5 = 175 х 5 = 875, имеем

35 3 = 42 000 + 875 = 42 875.

При возведении 49 в куб задаем d = 1 с целью округления этого числа до 50. Тогда

49 3 = (48 х 49 х 50) + (12 х 49).

Можно умножить 48 х 49 с помощью метода разложения, но для задач такого типа я предпочитаю метод совместной близости, который будет описан в главе 8. (Можете забежать вперед и взглянуть на него уже сейчас, если хотите!) Используя этот метод, получим 48 х 49 = (50 х 47) + (1 х 2) = 2352.

Умножив это число на 50, получим 117 600 и тогда:

49 3 = 117 600 + 49 = 117 649.

Вот задача посложнее. Попробуйте возвести в куб число 92.

92 3 = (90 х 92 х 94) + (2 2 х 92)

Если вы умеете быстро возводить в квадрат двузначные числа, значит, можете вычислить 92 х 94 = 932 — 1 = 8648, либо применить метод совместной близости, следствие которого 92 х 94 = (90 х 96) + (2 х 4) = 8648. Итак, умножим это число на 9 (как описано в начале главы 8) — 9 х (8600 + 48) = 77 400 + 432 = 77 832. Следовательно, 90 х 92 х 94 = 778 320. Далее, поскольку 4 х 92 = 368, прибавим его и получим окончательный ответ:

92 3 = 778 320 + 368 = 778 688.

Отметим, что при использовании метода совместной близости для задач на умножение, возникающих при возведении в куб трехзначного числа, малое произведение, которое нужно прибавить (в зависимости от значения d = 1, 2, 3, 4 или 5), будет равно 1 х 2 = 2; 2 х 4 = 8; 3 х 6 = 18; 4 х 8 = 32; 5 х 10 = 50.

Возведем в куб число 96.

96 3 = (92 х 96 х 100) + (42 х 96)

Произведение 92 х 96 = 8832 можно посчитать разными способами. Чтобы отпраздновать окончание данной главы, применим некоторые из уже изученных нами методов. Я начну с самого, на мой взгляд, сложного, а закончу самым простым. По методу сложения (90 + 2) х 96 = 8640 + 192 = 8832; по методу вычитания 92 х (100 — 4) = 9200 — 368 = 8832; по методу разложения 92 х 6 х 4 х 4 = 552 х 4 х 4 = 2208 х 4 = 8832; по результатам возведения в квадрат 942 — 22 = 8836 — 4 = 8832; по методу совместной близости с основанием 90: (90 х 98) + (2 х 6) = 8820 + 12 = 8832; и по методу совместной близости с основанием 100: (100 х 88) + (–8 х –4) = 8800 + 32 = 8832.

Произведение 42 х 96 = 1536 тоже можно вычислить несколькими способами, такими как 96 х 4 х 4 = 384 х 4 = 1536 или 16 х (100 — 4) = 1600 — 64 = 1536. И наконец, поскольку 8832 х 100 = 883 200, получаем окончательный ответ:

96 3 = 883 200 + 1 536 = 884 736

УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

9. 52 3 10. 56 3 11. 65 3 12. 71 3

Глава 4
Разделяй и властвуй: деление в уме

Деление в уме — чрезвычайно полезный навык как для бизнеса, так и для повседневной жизни. Сколько раз в неделю вы сталкиваетесь с ситуациями, которые требуют от вас что-то равномерно распределить, например счет в ресторане? Точно такой же навык оказывается кстати, когда вы хотите выяснить стоимость одной упаковки корма для собак, или поделить выигрыш во время игры в покер, или узнать, сколько литров бензина можно купить на 20 долларов. Способность делить в уме избавит вас от необходимости постоянно обращаться к калькулятору, когда вам нужно что-либо посчитать.

При выполнении устного деления метод вычисления слева направо вступает в свои права. Именно ему нас учили в школе, так что вы будете заниматься естественным для себя делом. Помню, что, будучи ребенком, думал, будто метод деления слева направо олицетворяет то, какой арифметика должна быть в принципе. Я часто размышлял о том, что если бы в школе нашли способ преподавать и деление справа налево, они, вероятно, так бы и сделали!

ДЕЛЕНИЕ НА ОДНОЗНАЧНОЕ ЧИСЛО

Первый шаг при делении в уме — предположить, из скольких цифр будет состоять итоговый ответ. Чтобы понять, что я имею в виду, попробуйте решить вот такую задачу: 179 ÷ 7

Попробуем решить похожую задачу, используя аналогичные расчеты.

Как и раньше, если 675 находится между 8 х 10 = 80 и 8 х 100 = 800, то ответ должен быть меньше 100 и выражаться двузначным числом. Чтобы произвести деление, учтем, что 8 х 80 = 640 и 8 х 90 = 720. То есть ответ должен быть в диапазоне 80 «с хвостиком». Но с каким хвостиком? Чтобы это узнать, вычтите 640 из 675 для получения остатка 35. После произнесения вами «80» наша задача сведется к 35 ÷ 8. Так как 8 х 4 = 32, итоговый ответ будет 84 с остатком 3, или 84 и 3/8.

Схематически данный пример представим так:

Как и большинство устных вычислений, процесс деления можно рассматривать как процесс упрощения. Чем больше числа в первом действии, тем проще становится задача. То, что начиналось как 675 ÷ 8, было сведено к меньшей задаче 35 ÷ 8.

Теперь рассмотрим пример, при решении которого получается трехзначное число.

На этот раз ответ будет содержать три цифры, потому что 947 находится между 4 х 100 = 400 и 4 х 1000 = 4000. Нам следует отыскать наибольшее кратное 100, наиболее близкое к 94

Источник