Умножение что на что умножать
Умножение
В этом разделе познакомимся с умножением и узнаем, что сложение одинаковых слагаемых можно заменить умножением.
Например, 6 + 6 + 6 + 6 = 24 можно записать по-другому: 6 • 4 = 24
Смысл действия умножения состоит в том, что при умножении находится сумма одинаковых слагаемых.
Первое число при умножении показывает, какое слагаемое повторяют несколько раз.
Второе число при умножении показывает, сколько раз повторяют это слагаемое.
Результат умножения показывает, какое число получается.
6 • 4 значит, что число 6 повторяют 4 раза: 6 + 6 + 6 + 6 = 24
Числа при умножении
Результат умножения, или Произведение
Чтение числовых выражений
Этот пример можно прочитать по-разному.
Умножение на 1
4 • 1 = 4, потому что это значит, что число 4 повторяют только 1 раз.
23 • 1 = 23, потому что это значит, что число 23 повторяют только 1 раз.
Умножение на 0
8 • 0 = 0, потому что это значит, что число 8 повторяют 0 раз.
26 • 0 = 0, потому что это значит, что число 26 повторяют 0 раз.
Умножение на 10
8 • 10 = 80, потому что число 8 повторяют 10 раз.
15 • 10 = 150, потому что число 15 повторяют 10 раз.
Связь деления и умножения
8 • 3 = 24, потому что 8 повторяют 3 раза.
24 : 3 = 8, потому что в 24 по 3 содержится 8 раз.
24 : 8 = 3, потому что в 24 по 8 содержится 3 раза.
В несколько раз больше
Решим задачу:
В магазине было 2 лисички, а котят в 4 раза больше. Сколько было котят?
Это значит, что котят было 4 раза по 2.
Заменяем сложение умножением и получаем:
Во сколько раз больше? Во сколько раз меньше?
Например, решим задачу: В магазине было 8 котят и 2 лисички. Во сколько раз котят было больше, чем лисичек? Во сколько раз лисичек было меньше, чем котят?
Чтобы ответить на эти вопросы, нужно узнать, сколько раз по 2 содержится в 8?
Значит, котят в 4 раза больше, чем лисичек, а лисичек в 4 раза меньше, чем котят.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Правила умножения натуральных чисел
Что такое умножение
Умножение — такое арифметическое действие, когда сложение одинаковых чисел происходит искомое количество раз.
Умножение имеет широкую матрицу для применения.
Множимое — число, которое будет использоваться в математическом действии.
Множитель — число раз, сколько нужно данное число (множимое) повторить, для выполнения операции.
Произведение — итог действия, результат математической операции.
Знак умножения в алгебре обозначается (∙) точкой в середине строки. Допустимо в печати использование крест (х), в компьютерной печати нередко используется звездочка (*).
Описание основных правил, порядок действий
Чтобы произвести умножение в алгебре, нужно помнить и понимать смысл самой математической операции.
25 х 4 = 25 + 25 + 25 + 25 = 100
Множимое число 25 умножаем на множитель 4 — понимаем это как сумма четырех чисел 25, или как сумма, где 25 сложили 4 раза. 100 — произведение арифметической операции.
При умножении на число с нулями (десять, сто, тысяча, десять тысяч, миллион) достаточно в произведении к множителю дописать нули.
Познакомимся с алгоритмом умножения в столбик. Это поможет в решении многих примеров, в том числе с дробями. Ученик действует по принципу пишу, затем умножаю единицы, затем десятки, наконец сотни.
Решите пример 25 ∙ 16 с помощью столбика.
Чтобы произвести умножение столбиком, действуем последовательно.
Законы с примерами, как проверить результат
В умножении, как и в делении, сложении и вычитании, есть свои нормы и порядки.
Переместительный закон умножения
От перестановки слагаемых сумма чисел не меняется. Этот же закон действует и для умножения. Если множитель и множимое поменять местами, полученное произведение чисел не изменится.
Переместительный закон гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется.
a ∙ b = b ∙ a
Разберем переместительный закон на примере задачи.
У садовника в трех корзинах было по 14 груш. Сколько всего было груш в корзинах?
Решение: 14 ∙ 3 = 42 (груши) или 3 ∙ 14 = 42 (груши).
Ответ: 42 груши у садовника было в корзинах.
В многоэтажном доме 75 квартир. В каждой квартире проживает 5 жильцов. Сколько всего жильцов в этом многоэтажном доме?
Решение: 75 ∙ 5 = 375 (жильцов) или 5 ∙ 75 = 375 (жильцов).
Ответ: 375 жильцов всего проживает в многоэтажном доме.
Сочетательный закон умножения
Сочетательный закон умножения объясняет, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
То есть фактически при решении уравнения есть возможность менять множители местами. Воспользоваться этой формулой необходимо, например, когда операцию внутри скобок провести легче, чем предложенное прямое уравнение.
71 · 25 · 4 = 71 · (25 · 4) = 710
В данном случае найти произведение 25 · 4 не составит труда у школьников, тогда как умножение 71 на 25 довольно длительная и проблематичная операция.
Распределительный закон умножения
Распределительный закон умножения действует относительно двух других важных операций: сложение и вычитание.
а ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ с
Если нужно умножить число на сумму чисел, допускается умножить число отдельно на каждое из этих чисел и затем произвести сложение.
5 ∙ (12 + 16) = 5 ∙ 28 = 140
5 ∙ 12 + 5 ∙ 16 = 60 + 80 = 140
Как мы можем убедиться из этого примера, при одинаковом произведении произвести операцию в данном случае через сумму отдельных произведений a ∙ b + a ∙ с проще.
а ∙ (b – c) = a ∙ b – a ∙ с
Для умножения числа на множитель, который представляет собой операцию вычитания, нужно умножить число отдельно на каждое из чисел в скобках, а затем произвести вычитание.
В данной арифметической операции к итогу 144 также можно прийти двумя способами. Решение примера по математике зависит от предложенных в задании компонентов и логической мысли ученика.
Умножение натуральных чисел
Умножение — это арифметическое действие, с помощью которого находят сумму одинаковых слагаемых.
Пример. Во дворе посадили 3 ряда ёлок, по 4 ёлки в каждом ряду. Сколько ёлок посадили во дворе?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти сумму 3 слагаемых, каждое из которых равно 4.
Складывая 3 раза по 4 ёлки, мы получим общее количество ёлок во всех трёх рядах.
Умножить – значит повторить одно число слагаемым столько раз, сколько в другом содержится единиц.
Для записи умножения используется знак х (косой крест) или · (точка), который ставится между числами. Например:
Эта запись означает, что 4 надо умножить на 3. Справа от записи умножения ставится знак = (равно), после которого записывается полученный результат:
Умножение – это краткая запись сложения одинаковых слагаемых.
Пример. Умножить 6 на 5 — это значит найти сумму пяти слагаемых, каждое из которых равно шести:
Сократим запись, заменив сложение на умножение:
Оба выражения равны:
6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 5 = 30,
но для краткости записей лучше всегда использовать умножение, когда число одинаковых слагаемых больше двух.
Множимое, множитель и произведение
Множимое — это число, которое умножают. Множитель — это число, на которое умножают. Например, в записи:
4 — это множимое, 3 — множитель. Множимое является числом, которое выступает в качестве слагаемого. Множитель — это число, которое указывает количество одинаковых слагаемых.
Произведение — это число, которое получается в результате умножения. Например, в записи:
12 — это произведение. При этом сама запись 4 · 3 тоже называется произведением.
Множимое и множитель иначе называются множителями или сомножителями.
Проверка умножения
Умножение двух чисел можно проверить делением, для этого произведение делят на один из сомножителей, если частное окажется равно другому сомножителю, то умножение выполнено верно.
Почему в задаче запись 2*9 правильна, а 9*2 нет?
Как часто при решении задач типа:
«Фермер продал 9 покупателям по 2 л молока. Сколько всего литров молока он продал?» в начальной школе можно увидеть перечернутое ребенком решение
и правильную запись учителя 2*9=18 (л)
При этом ребенку снижается оценка и задача считается решенной неправильно.
В этой статье разберем почему так происходит и почему это считается ошибкой?
Почему учителя снижают оценку за неправильный порядок множителей в задаче?
Ключевым навыком, которому обучаются дети во втором классе, является понимание смысла умножения.
Согласно смыслу умножения, запись 2*9 обозначает следующее — по два взяли девять раз.
Запись 5*14 обозначает — по пять взяли 14 раз
100*3 обозначает — по сто взяли три раза
Тогда как 9*2 — по девять взяли два раза.
Вернемся к задаче.
Фермер продал 9-ти покупателям по 2 литра молока.
Иными словами, по 2 литра молока взяли 9 покупателей.
Если записать 9*2, то получится следующее: по девять покупателей взяли два раза. Кто взял? Зачем взял? Куда взял?))
В период формирования ребенком навыка самостоятельного решения задач, важно не оставлять его одного с задачей, а проговаривать вместе с ним этапы решения и смысл каждого действия.
Так же для правильного решения задач, потренируйте с ребенком смысл действия умножения
В школе 60 минут мы обязательно объясняем ребенку ЧТО такое умножение и его свойства.
Ученики школы 60 минут, которые посещают общеобразовательную школу, благодаря урокам Школы 60 минут легко могут понять темы, которые не поняли на уроке.
Для тренировки вы можете написать ребенку много разных примеров, даже за пределами таблицы, например:
И предложить ребенку ПРОГОВОРИТЬ смысл действия умножения
111*154 = по 111 взяли 154 раза
1000*7 = по 1000 взяли 7 раз
25*2 = по 25 взяли 2 раза
2*25 = по 2 взяли 25 раз
А еще лучше, даже попробовать поиграть например, с карандашами.
Взять по 2 карандаша 4 раза (2 карандаша в четыре руки, в руки мамы и ребенка)
По 4 карандаша 2 раза (ребенок в каждую руку берет по 4 карандаша)
Тогда в задачах данного типа у вашего ребенка всегда будет оценка «отлично», а значит и желание учиться дальше не пропадет от непонятных исправлений педагога
Итак, скулхак № 2 по решению задач: Научите ребенка понимать смысл действия умножение в задачах.
В школе 60 минут ученики третьего класса научились этому благодаря видео и тренировке:
В следующих статьях мы раскроем другие важные аспекты решения задач по математике в начальной школе.
А сейчас вы можете получить уникальную систему занятий для ваших детей, которая полностью заменит репетитора по предметам и поможет ребенку легко овладеть школьной программой.
Успейте записаться сейчас, пока действует лучшая цена участия.
До встречи в школе 60 минут.
Вам понравилась статья? Сохраните себе на стену, чтобы не потерять
Похожее
Автор
Рената Кирилина
Эксперт №1 по эффективному обучению детей в школе, мама троих детей, прошла путь от учителя до директора школы Посмотреть все записи автора Рената Кирилина
Почему в задаче запись 2*9 правильна, а 9*2 нет?: 9 комментариев
Я как учитель математики старших классах вижу в этом подходе усложнение, потому что потом мы объясняем им, что от перемены мест множителей произведение не меняется. И тогда не понятно, за что ребенку ставили двойки и почему нельзя сказать, что 9 человек взяли по 2 литра, а истина в конечной инстанции заключается во фразе «по 2 литра взяли 9 человек», почему нельзя переставить слова? Лично я не понимаю.
Екатерина, я хоть и не учитель, и пока еще мама дошкольницы, тоже не понимаю смысла этого перечеркивания и не считаю логичным. При жтом же ребенок может отлично решать такие задачи, а этим перечеркиванием можно перечеркнуть и весь энтузиазм ребенка к учебе…
Екатерина, школа вообще одно сплошное усложнение:))) Я имею в виду систему образования в том виде, в котором она представлена сегодня. Тот же учебник математики в 6-м классе… Каждый мой вечер начинается с того, что я объясняю ребенку каждое математическое правило ПОНЯТНЫМ ребенку языком. Для этого мне, человеку с высшим филологическим образованием, иной раз приходится перечитать правило пару раз:))) НУ НЕПОНЯТНО, о чем это они:))) Учитель в восторге от того, как сделаны домашние задания… Только чего это стоит маме:)
[id55125188|Анна], как нормальный взрослый человек, я полностью согласна с высказываниями выше, но как учитель начальных классов, могу объяснить почему прогрмма по математике в начальной школе так серьезно относится к этому вопросу: во-первых, только единицы детей начальной школы легко и сразу могут решать задачи самостоятельно, без помощи взрослых, т.к. просто не понимают смысл задачи, не умеют вдумываться, о чем идет речь в задаче, во-вторых, тоже самое происходит и со смыслом умножения. Данное требование (о котором говорится в статье 2х9 или 9х2) как раз и заставляет ребенка задуматься о смысле самой задачи, т.к. в начальной школе — это и есть одна из целей (научить решать задачи). Просто не все учителя нач.классов делают на этом акцент при объяснении (почему так, а не иначе), не забывая проговаривать и о переместительном свойстве умножения, а просто зачеркнут решение — и все. Надеюсь, не запутала Вас.
Не могу понять. «Девяти покупателям продали по 2 литра молока». Ну девять на два ведь логичнее! Даже число «9» заявлено раньше. Как это может противоречить смыслу задачи? Девять покупателей получают по два литра каждый
В связи с тем, что некоторым детям (в связи со слабым знанием таблицы умножения) легче 9х2 ( удвоить девятку), чем 2х9- пусть пользуются тем, что лучше знают. В конечном итоге ответ один и тот же.. И переместительный закон умножения применят. А придать правильный смысл множителям можно в устном комментарии.
Фокус в том, что для того, чтобы ребенок легко считал в уме, ему надо сначала посчитать «на пальцах». Для того, чтобы ребенок легко в средней школе учился, в начальной надо отрабатывать простые алгоритмы, которые взрослому кажутся бессмысленными или мешающими.
чушь какая то…русским языком написано…фермер продал девяти покупателям по два литра….
Вздумай учитель математики моему ребенку такое снизить, я бы после школы с ним поговорил, раз этак 9 на 2 глаза, что бы этот дятел не портил ребенку понимание коммутативности сомножителей.
Нововведения в математике или как правильно решать задачи
Логика продолжает удивлять. Ладно, была загадка без правильного ответа, но вот чтобы математические задачи решались с нарушением логики — сложно представить! Но есть и такое в нашей светлой действительности.
Вот такое решение математической задачи и «правильный» ответ облетели Интернет. Фермер продал 9 покупателям по 2 л молока. Сколько всего литров молока он продал. Оказывается, что решение(даже не ответ) должно выглядеть так: 2*9=18. А если помножить 9 на 2, то неправильно. То есть надо умножать литры на покупателей, а не покупателей на литры. Разница — принципиальная. 
То есть все мое поколение, которое в школах учили простой истине, что от перемены мест слагаемых(или множителей) сумма(произведение) не меняется — вкорне неверно!
В чем же логика? А логику объясняют в другом учебнике математики: В 5 чашек положили по 2 куска сахара. Сколько всего кусков сахара положили в эти чашки? И вот тут начинается самое главное: оказывается, при записи задачи с помощью умножения важен порядок множителей — от этого зависит наименование в ответе задачи. В данной задаче нельзя поменять множители местами при записи решения… Число 2 обозначает куски сахара, а число 5 обозначает количество чашек. Если поменять их местами в записи решения задачи, то в ответе будут чашки, а не куски сахара. Некоторые учителя полагают, что данное требование формально и необязательно к соблюдению. Однако оно важно для формирования осмысленного отношения к процессу решения задачи
Видимо, это учебник стереотипности мышления и невозможности поиска альтернатив. Формальный и осмысленный подход к решению важнее умения решать. То есть, если в 5 чашек положить по 2 куска сахара, а потом перемножить показатели, то получим в ответе не сахар, а чашки. Похоже, что у них какая-то особая чашка, которая умеет раздваиваться, если в нее положить 2 куска сахара.
Число 2 имеет размерность «кусков в расчёте на чашку», или «кусков/чашка».
При умножении на 5 «чашек» имеем
2 «кусков/чашка» * 5 «чашек» = (2*5) «кусков/чашка * чашка»
«Чашка» сокращается.
В итоге имеем 10 «кусков».
Если мы запишем 5 «чашек» * 2 «кусков/чашка» в ответе будут те же 10 кусков.
Насчёт мышления вообще потрясающе сказано. В таком случае, по мнению авторов пособия, перестановка слов в условии сразу будет делать задачу нерешаемой.
Захотел гаишник заработать. Останавливает женщину и спрашивает:
— Слушай, а если я у тебя свечи выкручу, у тебя какое колесо спустит?
Думала она, думала — не знает, что ответить.
— Ага, не знаешь, ну плати штраф.
Гаишнику понравилось, останавливает он мужика на грузовике и опять тот же вопрос.
Мужик думал-думал, и спрашивает у гаишника:
— Слушай, а если я тебе монтировкой по башке дам, на какой ноге шнурки развяжутся?
В общем, для таких задач рекомендуется заучить фразу: Моя мама учит меня, что не всякое оценочное суждение должно служить модификатором поведения «операция умножения над полем вещественных чисел обладает свойством коммутативности». 😉